新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義之方法技巧專題08冪函數(shù)與二次函數(shù)(原卷版+解析)

專題08冪函數(shù)與二次函數(shù)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.冪函數(shù)的定義一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數(shù)為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).2.冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)3.常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)4.二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：；（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對(duì)稱軸方程.（3）零點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).5．二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）單調(diào)性與最值O圖2-9O圖2-8=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，；.O圖2-9O圖2-8（2）與軸相交的弦長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，.6.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.對(duì)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則.【方法技巧與總結(jié)】1.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；②當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；③當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出．2．實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系（1）方程有兩個(gè)不等正根（2）方程有兩個(gè)不等負(fù)根（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為3.一元二次方程的根的分布問題一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示.根的分布圖像限定條件在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根4.有關(guān)二次函數(shù)的問題，關(guān)鍵是利用圖像.（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——?jiǎng)虞S定區(qū)間和定軸動(dòng)區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對(duì)稱軸.即注意對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：=1\*GB3①軸處在區(qū)間的左側(cè)；=2\*GB3②軸處在區(qū)間的右側(cè)；=3\*GB3③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對(duì)參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.（2）對(duì)于二次方程實(shí)根分布問題，要抓住四點(diǎn)，即開口方向、判別式、對(duì)稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).【題型歸納目錄】題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型三：二次方程的實(shí)根分布及條件題型四：二次函數(shù)“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”問題【典例例題】題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．2例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（p，q∈Z且p，q互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且例3．（2023·海南·文昌中學(xué)高三階段練習(xí)）已知冪函數(shù)過點(diǎn)A（4，2），則f（）=___________.例4．（2023·黑龍江·哈九中高三開學(xué)考試（文））已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且，則a的取值范圍是______．例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖是冪函數(shù)（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限內(nèi)的圖象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它們具有性質(zhì)：①都經(jīng)過點(diǎn)（0，0）和（1，1）；

②在第一象限都是增函數(shù)．請(qǐng)你根據(jù)圖象寫出它們?cè)冢?，+∞）上的另外一個(gè)共同性質(zhì)：___________．例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（）在是嚴(yán)格減函數(shù)，且為偶函數(shù).（1）求的解析式；（2）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由.【方法技巧與總結(jié)】確定冪函數(shù)的定義域，當(dāng)為分?jǐn)?shù)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為根式考慮，是否為偶次根式，或?yàn)閯t被開方式非負(fù).當(dāng)時(shí)，底數(shù)是非零的.題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例7．（2023·河北石家莊·高三期末）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，則（

）A．-2 B．0 C．1 D．2例8．（2023·四川眉山·三模（文））下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．例9．（2023·廣西·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．例10．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)的圖象不可能是（

）A． B．C． D．例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的解集為：_________．例12．（2023·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）若函數(shù)是冪函數(shù)，且其圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________.例13．（2023·四川·瀘州老窖天府中學(xué)高二期中（理））已知函數(shù)，若方程有8個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________________________．例14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.（1）求的值并寫出的解析式；（2）試判斷是否存在，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?？若存在，求出的值；若不存在，?qǐng)說明理由.【方法技巧與總結(jié)】緊扣冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù).題型三：二次方程的實(shí)根分布及條件例15．（2023·河南·焦作市第一中學(xué)高二期中（文））設(shè)：二次函數(shù)的圖象恒在x軸的上方，：關(guān)于的方程的兩根都大于－1，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例16．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例17．（2023·江西省豐城中學(xué)高一開學(xué)考試）函數(shù)且，函數(shù).(1)求的解析式；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例18．（2023·湖北·高一期末）已知函數(shù)，．(1)求的最大值及取最大值時(shí)的值；(2)設(shè)實(shí)數(shù)，求方程存在8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根時(shí)的取值范圍．【方法技巧與總結(jié)】結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析實(shí)根分布，得到其限定條件，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，從而解不等式求參數(shù)的范圍.題型四：二次函數(shù)“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”問題例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，若的值域?yàn)?，，的值域?yàn)?，，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．0 B．1C．2 D．4例20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知值域?yàn)榈亩魏瘮?shù)滿足，且方程的兩個(gè)實(shí)根滿足．(1)求的表達(dá)式；(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例21．（2023·貴州畢節(jié)·高一期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實(shí)數(shù)a和t的值．例22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）問題：是否存在二次函數(shù)同時(shí)滿足下列條件：，的最大值為4，____？若存在，求出的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.在①對(duì)任意都成立，②函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，③函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中作答.例23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足．（1）求的解析式；（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范圍．例24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（），滿足，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有.(1)求的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，若是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：（1）根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時(shí)需要結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行分析；（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，，，則（

）A．，都有 B．，都有C．，使得 D．，使得2．（2023·北京·二模）下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上有相同單調(diào)性的是（

）A． B．C． D．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則的值為（

）A．1或 B．1 C． D．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)，則使函數(shù)的定義域?yàn)?，且該函?shù)為奇函數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．、或5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的值域是（

）A． B．C． D．6．（2023·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)．若存在實(shí)數(shù)，使得，，…，同時(shí)成立，則正整數(shù)的最大值是A．3 B．4 C．5 D．67．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若冪函數(shù)(m，n∈N*，m，n互質(zhì))的圖像如圖所示，則（

）A．m，n是奇數(shù)，且<1B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且>1C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且<1D．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)，且>18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則正整數(shù)a的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．510．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則下列說法中一定正確的是（

）A． B．C． D．11．（2023·廣東揭陽(yáng)·高三期末）已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足不等式，則（

）A． B．C． D．12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)滿足．則點(diǎn)（

）A．只有有限個(gè) B．有無限多個(gè)C．位于同一條直線上 D．位于同一條拋物線上三、填空題13．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)（文））寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①；②當(dāng)時(shí)，；③；14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知α∈.若冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞減，則＝______.15．（2023·廣東肇慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，用表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)，若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）是冪函數(shù)圖象上的點(diǎn)，將的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若點(diǎn)（，且）在的圖象上，則______.四、解答題17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解不等式．18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（1）求的解析式；（2）用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.（1）求的值并寫出的解析式；（2）試判斷是否存在，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?？若存在，求出的值；若不存在，?qǐng)說明理由.20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域和值域都是，，求的值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，(1)若函數(shù)在，上存在零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，，總存在，，使得，求的取值范圍．22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且.（1）求的值，并確定的解析式；（2）若且）,是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上為減函數(shù).專題08冪函數(shù)與二次函數(shù)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.冪函數(shù)的定義一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數(shù)為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).2.冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)3.常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)4.二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：；（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對(duì)稱軸方程.（3）零點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).5．二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）單調(diào)性與最值O圖2-9O圖2-8=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，；.O圖2-9O圖2-8（2）與軸相交的弦長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，.6.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.對(duì)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則.【方法技巧與總結(jié)】1.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；②當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；③當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出．2．實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系（1）方程有兩個(gè)不等正根（2）方程有兩個(gè)不等負(fù)根（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為3.一元二次方程的根的分布問題一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示.根的分布圖像限定條件在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根4.有關(guān)二次函數(shù)的問題，關(guān)鍵是利用圖像.（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——?jiǎng)虞S定區(qū)間和定軸動(dòng)區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對(duì)稱軸.即注意對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：=1\*GB3①軸處在區(qū)間的左側(cè)；=2\*GB3②軸處在區(qū)間的右側(cè)；=3\*GB3③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對(duì)參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.（2）對(duì)于二次方程實(shí)根分布問題，要抓住四點(diǎn)，即開口方向、判別式、對(duì)稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).【題型歸納目錄】題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型三：二次方程的實(shí)根分布及條件題型四：二次函數(shù)“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”問題【典例例題】題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．2答案：D【解析】分析：根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)求出，再驗(yàn)證單調(diào)性可得.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，符合題意，所以.故選：D.例2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（p，q∈Z且p，q互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且答案：D【解析】分析：根據(jù)給定函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)，即可得出p、q的取值情況.【詳解】因函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，于是得函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又函數(shù)的定義域?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，則有0，又因p、q互質(zhì)，則q為奇數(shù)，所以只有選項(xiàng)D正確.故選：D例3．（2023·海南·文昌中學(xué)高三階段練習(xí)）已知冪函數(shù)過點(diǎn)A（4，2），則f（）=___________.答案：##0.5【解析】分析：點(diǎn)坐標(biāo)代入冪函數(shù)解析式，求得，然后計(jì)算函數(shù)值．【詳解】點(diǎn)A（4，2）代入冪函數(shù)解得，，故答案為：．例4．（2023·黑龍江·哈九中高三開學(xué)考試（文））已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且，則a的取值范圍是______．答案：【解析】分析：先求得冪函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性來求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，所以，在上遞增，且為奇函數(shù)，所以.故答案為：例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖是冪函數(shù)（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限內(nèi)的圖象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它們具有性質(zhì)：①都經(jīng)過點(diǎn)（0，0）和（1，1）；

②在第一象限都是增函數(shù)．請(qǐng)你根據(jù)圖象寫出它們?cè)冢?，+∞）上的另外一個(gè)共同性質(zhì)：___________．答案：α越大函數(shù)增長(zhǎng)越快【解析】分析：根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定結(jié)論．【詳解】解：從冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知：①α越大函數(shù)增長(zhǎng)越快；②圖象從下往上α越來越大；③函數(shù)值都大于1；④α越大越遠(yuǎn)離x軸；⑤α＞1，圖象下凸；⑥圖象無上界；⑦當(dāng)指數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；⑧當(dāng)α＞1時(shí)，圖象在直線y＝x的上方；當(dāng)0＜α＜1時(shí)，圖象在直線y＝x的下方．從上面任取一個(gè)即可得出答案．故答案為：α越大函數(shù)增長(zhǎng)越快．例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（）在是嚴(yán)格減函數(shù)，且為偶函數(shù).（1）求的解析式；（2）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由.答案：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，為非奇非偶函數(shù).理由見解析.【解析】（1）由題意可得：，解不等式結(jié)合即可求解；（2）由（1）可得，分別討論、、且時(shí)奇偶性即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)（）在是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，即，解得：，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)為奇函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為偶函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為奇函數(shù)，不符合題意；所以，（2），令當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，，，，，此時(shí)是非奇非偶函數(shù)函數(shù).【方法技巧與總結(jié)】確定冪函數(shù)的定義域，當(dāng)為分?jǐn)?shù)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為根式考慮，是否為偶次根式，或?yàn)閯t被開方式非負(fù).當(dāng)時(shí)，底數(shù)是非零的.題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例7．（2023·河北石家莊·高三期末）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，則（

）A．-2 B．0 C．1 D．2答案：B【解析】分析：由已知構(gòu)造函數(shù)，利用，，及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性即可得出結(jié)果.【詳解】構(gòu)建函數(shù)，則為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.由，，得，，所以.故選：B.例8．（2023·四川眉山·三模（文））下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：對(duì)于A、B：作出和在第一象限的圖像判斷出：在上，有，在上，有，在上，有.即可判斷A、B；對(duì)于C：判斷出,，即可判斷；對(duì)于D：判斷出，，即可判斷.【詳解】對(duì)于A、B：作出和在第一象限的圖像如圖所示：其中的圖像用虛線表示，的圖像用虛線表示.可得，在上，有，在上，有，在上，有.因?yàn)?，所以，故A正確；因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：,而，所以.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，而，所以.故D錯(cuò)誤.故選：A例9．（2023·廣西·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．B．C．D．答案：A【解析】分析：分析函數(shù)的性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)值集合是，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，函數(shù)值集合是，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，在坐標(biāo)系內(nèi)作出直線和函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，直線和函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A例10．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)的圖象不可能是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：分類討論，與三種情況下函數(shù)的單調(diào)性情況，從而判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為一條射線，且函數(shù)在上為增函數(shù)，B選項(xiàng)符合；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)符合；當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)小于函數(shù)的增長(zhǎng)速度，所以時(shí)，函數(shù)一定為減函數(shù)，選項(xiàng)D符合，C不符合.故選：C例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的解集為：_________．答案：【解析】分析：將不等式化為，構(gòu)造根據(jù)其單調(diào)性可得，求解即可.【詳解】不等式變形為所以，令，則有，顯然在R上單調(diào)遞增，則，可得解得.故不等式的解集為．故答案為：例12．（2023·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）若函數(shù)是冪函數(shù)，且其圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________.答案：【解析】分析：根據(jù)冪函數(shù)的定義及所過的點(diǎn)求出，再根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得，又其圖象過點(diǎn)，所以，所以，則，則，解得或，令，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，又因函數(shù)為減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.例13．（2023·四川·瀘州老窖天府中學(xué)高二期中（理））已知函數(shù)，若方程有8個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________________________．答案：【解析】分析：根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖像，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖像，如圖：令，因?yàn)榉匠逃?個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，所以方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故令，則函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn).所以，即，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：例14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.（1）求的值并寫出的解析式；（2）試判斷是否存在，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?？若存在，求出的值；若不存在，?qǐng)說明理由.答案：（1），；（2）存在，.【解析】分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義及單調(diào)性，令冪的系數(shù)為1及指數(shù)為負(fù)，列出方程求出的值，將的值代入即可；（2）求出的解析式，按照與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，利用的單調(diào)性列出方程組，求解即可.【詳解】（1）（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以解得：或(舍去)，所以；（2）由（1）可得，，所以，假設(shè)存在，使得在上的值域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，顯然不成立；③當(dāng)時(shí)，，在和上單調(diào)遞增，故，解得.綜上所述，存在使得在上的值域?yàn)?【方法技巧與總結(jié)】緊扣冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù).題型三：二次方程的實(shí)根分布及條件例15．（2023·河南·焦作市第一中學(xué)高二期中（文））設(shè)：二次函數(shù)的圖象恒在x軸的上方，：關(guān)于的方程的兩根都大于－1，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】分析：由可得，由可得，進(jìn)而判斷兩集合關(guān)系，即可得到答案.【詳解】由，則，解得；由，方程的兩根為，，則，解得，因?yàn)椋允堑某浞植槐匾獥l件，故選：A例16．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與單調(diào)區(qū)間，結(jié)合已知可得到關(guān)于a的不等式，進(jìn)而求解.【詳解】二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，開口向上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間內(nèi)，需，解得故實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：C例17．（2023·江西省豐城中學(xué)高一開學(xué)考試）函數(shù)且，函數(shù).(1)求的解析式；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案：(1)；(2).【解析】分析：(1)根據(jù)求出a即可；(2)方程參變分離得，換元法求值域即可.(1)由，可得：，解得：，∴；(2)由，可得，令，則，則原問題等價(jià)于y＝m與y＝h(t)＝在上有交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知m∈[h()，h(4)]＝.故實(shí)數(shù)的取值范圍為：.例18．（2023·湖北·高一期末）已知函數(shù)，．(1)求的最大值及取最大值時(shí)的值；(2)設(shè)實(shí)數(shù)，求方程存在8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根時(shí)的取值范圍．答案：(1)當(dāng)，，時(shí)，(2)【解析】分析：（1）去掉絕對(duì)值，化為分段函數(shù)，求出每一段上的最大值；（2）令，問題轉(zhuǎn)化為在上存在兩個(gè)相異的實(shí)根，進(jìn)而列出不等式組，求出的取值范圍.(1)∵，∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)時(shí)，．(2)令，則，使方程存在8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則方程在上存在兩個(gè)相異的實(shí)根，令，則，解得：．故所求的的取值范圍是．【方法技巧與總結(jié)】結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析實(shí)根分布，得到其限定條件，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，從而解不等式求參數(shù)的范圍.題型四：二次函數(shù)“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”問題例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，若的值域?yàn)?，，的值域?yàn)?，，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．0 B．1C．2 D．4答案：C【解析】分析：設(shè)，即有，，可得函數(shù)，的圖象為的圖象的部分，即有的值域?yàn)榈闹涤虻淖蛹从械姆秶?，可得最大值?．【詳解】解：設(shè)，由題意可得，，函數(shù)，的圖象為的圖象的部分，即有的值域?yàn)榈闹涤虻淖蛹?，即，，，可得，即有的最大值?．故選：C．例20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知值域?yàn)榈亩魏瘮?shù)滿足，且方程的兩個(gè)實(shí)根滿足．(1)求的表達(dá)式；(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．答案：(1)；(2).【解析】分析：（1）根據(jù)可以判斷函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)函數(shù)的值域可以確定二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知進(jìn)行求解，求出的值，即可得出的表達(dá)式；（2）根據(jù)題意，可以判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，由，求得，進(jìn)而可知的對(duì)稱軸方程為，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及單調(diào)性，得出，即可求出的取值范圍.(1)解：由，可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)的值域?yàn)?，所以二次函?shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以設(shè)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得，，因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)實(shí)根滿足則，解得：，所以.(2)解：由于函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，即，所以的對(duì)稱軸方程為，則，即，故的取值范圍為.例21．（2023·貴州畢節(jié)·高一期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實(shí)數(shù)a和t的值．答案：(1)(2)或【解析】分析：（1）代入解不等式組可得答案；（2）由題意，結(jié)合最大值為0最小值是分、數(shù)形結(jié)合可得答案.(1)當(dāng)時(shí)，不等式，即為，即，所以，所以或，所以原不等式的解集為．(2)，由題意或，這時(shí)解得，若，則，所以；若，即，所以，則，綜上，或．例22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）問題：是否存在二次函數(shù)同時(shí)滿足下列條件：，的最大值為4，____？若存在，求出的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.在①對(duì)任意都成立，②函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，③函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中作答.答案：答案見解析【解析】分析：由，可求得，由條件可得函數(shù)的對(duì)稱軸，又的最大值為4，可得關(guān)于的方程組，求解即可.【詳解】解：由，可求得，則若選擇①對(duì)任意都成立可得的對(duì)稱軸為，所以1，又的最大值為4，可得且，即，解得，此時(shí)；若選擇函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱可得的對(duì)稱軸為，則2，又f（x）的最大值為4，可得且，即，解得a，，此時(shí)若選擇③函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是，可得f（x）關(guān)于x對(duì)稱，則，又的最大值為4，可得且，即解得，此時(shí)例23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足．（1）求的解析式；（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范圍．答案：（1）；（2）[1,2].【解析】分析：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，設(shè)，根據(jù)已知條件建立方程組，從而可求出解析式；（2）根據(jù)在上有最小值，最大值，，從而函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間上，離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，建立關(guān)系式，從而求出的范圍【詳解】（1）設(shè)，則

解之得：（2）根據(jù)題意：解之得：的取值范圍為例24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（），滿足，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有.(1)求的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，若是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）根據(jù)，結(jié)合可解；（2）結(jié)合圖形，對(duì)對(duì)稱軸和端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行分類討論可得.(1)∵，∴.即，因?yàn)槿我鈱?shí)數(shù)x，恒成立，則且，∴，，所以.(2)因?yàn)?，設(shè)，要使在上單調(diào)，只需要或或或，解得或，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：（1）根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時(shí)需要結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行分析；（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，，，則（

）A．，都有 B．，都有C．，使得 D．，使得答案：B【解析】分析：根據(jù)題目條件，畫出函數(shù)草圖，即可判斷.【詳解】由，，可知，，拋物線開口向上．因?yàn)椋?，?是方程的一個(gè)根，所以，都有，B正確，A、C、D錯(cuò)誤.故選：B．2．（2023·北京·二模）下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上有相同單調(diào)性的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B，由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷C，對(duì)于D有，即可判斷奇偶性和單調(diào)性.【詳解】由為奇函數(shù)且在上遞增，A、B：、非奇非偶函數(shù)，排除；C：為奇函數(shù)，但在上不單調(diào)，排除；D：，顯然且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在上遞增，滿足.故選：D3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則的值為（

）A．1或 B．1 C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性求得的值.【詳解】依題意是冪函數(shù)，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，在遞增，不符合題意.當(dāng)時(shí)，在遞減，符合題意.故選：D4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)，則使函數(shù)的定義域?yàn)椋以摵瘮?shù)為奇函數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．、或答案：A【解析】分析：由冪函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)依次驗(yàn)證得解.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)椋?，，又函?shù)為奇函數(shù)，所以，則滿足條件的或.故選:A5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則的值域是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】先求出冪函數(shù)解析式，根據(jù)解析式即可求出值域.【詳解】?jī)绾瘮?shù)的圖像過點(diǎn)，，解得，，的值域是.故選：D.6．（2023·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)．若存在實(shí)數(shù)，使得，，…，同時(shí)成立，則正整數(shù)的最大值是A．3 B．4 C．5 D．6答案：B【解析】【詳解】因?yàn)楸硎静怀^的最大整數(shù)．由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，與矛盾，故正整數(shù)的最大值是4．考點(diǎn)：函數(shù)的值域，不等式的性質(zhì)．7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若冪函數(shù)(m，n∈N*，m，n互質(zhì))的圖像如圖所示，則（

）A．m，n是奇數(shù)，且<1B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且>1C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且<1D．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)，且>1答案：C【解析】分析：根據(jù)冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)利用排除法求解【詳解】由圖知冪函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且，排除B，D；當(dāng)m，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)f(x)非偶函數(shù)，排除A；故選：C.8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：利用導(dǎo)數(shù)研究分段函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖形，數(shù)形結(jié)合得到，然后結(jié)合一元二次方程根的分布即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，，則，令，則，所以時(shí)，，則單調(diào)遞增；時(shí)，，則單調(diào)遞減；且，，時(shí)，；時(shí)，，則，令，則，所以時(shí)，，則單調(diào)遞增；時(shí)，，則單調(diào)遞減；且，，時(shí)，；作出在上的圖象，如圖：關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)根，令，則有兩個(gè)不同的實(shí)根，所以，令，則，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：（1）直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則正整數(shù)a的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：BC【解析】分析：畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合值域可得實(shí)數(shù)的取值范圍，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)在上的值域?yàn)椋Y(jié)合圖象可得，結(jié)合a是正整數(shù)，所以BC正確.故選：BC.10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則下列說法中一定正確的是（

）A． B．C． D．答案：BCD【解析】分析：根據(jù)題意，令，則，結(jié)合的值域?yàn)?，求出的取值范圍，進(jìn)而區(qū)間的特征，即可得到正確選項(xiàng).【詳解】令，則，由，得，即，得；由，得（舍）或2，即；根據(jù)的圖象特征，知，，.故選：BCD．11．（2023·廣東揭陽(yáng)·高三期末）已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足不等式，則（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】分析：先判斷函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性結(jié)合不等式可得所滿足的關(guān)系式，再利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值法逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)?，所以為奇函?shù)，因?yàn)?，所以上單調(diào)遞增，由，得，所以，即，，因?yàn)樵赗上是增函數(shù)，所以，故A正確；因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，故C正確；因?yàn)樵赗上是增函數(shù)，所以，故D錯(cuò)誤；令，可驗(yàn)證B錯(cuò)誤.故選：AC12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)滿足．則點(diǎn)（

）A．只有有限個(gè) B．有無限多個(gè)C．位于同一條直線上 D．位于同一條拋物線上答案：BC【解析】分析：由已知得，根據(jù)的單調(diào)性有，即可知的性質(zhì).【詳解】由題意，可得，又單調(diào)遞增，得，則，故滿足條件的點(diǎn)有無窮多個(gè)，且都在直線上．故選：BC三、填空題13．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)（文））寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①；②當(dāng)時(shí)，；③；答案：（答案不唯一）；【解析】分析：根據(jù)給定函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合偶數(shù)次冪函數(shù)即可寫出符合要求的解析式.【詳解】由所給性質(zhì)：在上恒正的偶函數(shù)，且，結(jié)合偶數(shù)次冪函數(shù)的性質(zhì)，如：滿足條件.故答案為：（答案不唯一）14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知α∈.若冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞減，則＝______.答案：-1【解析】分析：根據(jù)冪函數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，時(shí)，函數(shù)在(0，＋∞)上遞減，即可得出答案.【詳解】解：∵冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，∴可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上遞減，∴α＜0，故＝－1.故答案為：-1.15．（2023·廣東肇慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，用表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)，若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.答案：【解析】分析：分析函數(shù)的零點(diǎn)情況，可確定符合題意的情況，從而得到不等式組，解得答案.【詳解】函數(shù)恒過點(diǎn)，且其圖象開口向上，的零點(diǎn)為1，當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn)至少有一個(gè)大于或等于1時(shí)，如圖示：函數(shù)的零點(diǎn)至多有兩個(gè)，不符合題意，故要使恰有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)零點(diǎn)，如圖示，故解得，故答案為：16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）是冪函數(shù)圖象上的點(diǎn)，將的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若點(diǎn)（，且）在的圖象上，則______.答案：30【解析】分析：先求出函數(shù)的解析式，得到，從而得到，對(duì)利用分組求和法求和即可.【詳解】由，得，，.因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)上，所以，即.所以，所以.故答案為：30.四、解答題17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解不等式．答案：．【解析】分析：不等式變形為，將視為一個(gè)整體，方程兩邊具有相同的結(jié)構(gòu)，于是構(gòu)造函數(shù)，然后由函數(shù)的單調(diào)性解不等式．【詳解】令，易知在R上單調(diào)遞增．原不等式變形為，即．由在R上單調(diào)遞增得，解得或．所以原不等式的解集為．18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函