安徽2023-2024學(xué)年高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析

安徽2023-2024學(xué)年高考考前模擬數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長為（）

俯視圖

A.275B.4C.2D.20

y<x

2.已知不等式組卜2-x表示的平面區(qū)域，、的面積為9,若點(diǎn)J)-',則二丁的最大值為()

x<a

A.3B.6C.9D.12

3.已知函數(shù)/(x)=(x—a—1)/,若2°=腕26=。,則()

A.f(a)<f(b)<f(c)B.f(b)<f(c)<f(a)

C.f(a)<f(c)<f(b)D.f{c)<f(b)<f(a)

4.若復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=i(i是虛數(shù)單位)，貝!!z的虛部為()

111.1.

A.—B.----C.—ID.----1

2222

5.設(shè)直線/過點(diǎn)A(0,—1),且與圓C：d+y2—2)=o相切于點(diǎn)3,那么我.屁=()

A.±3B.3C.粗D.1

6.J+x+y]的展開式中工、2的系數(shù)是()

A.160B.240C.280D.320

冗冗

7.已知函/(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,xe,則/(x)的最小值為()

A.2-72B.1C.0D.-V2

,、,、=a+10/>?a

8.已知正項(xiàng)數(shù)列{%},{2}滿足：7",設(shè)G=力，當(dāng)。3+。4最小時，。5的值為()

[2+1=4+4明

14c

A.2B.yC.3D.4

9.已知口為拋物線/=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)4在拋物線上，且卜耳=5,過點(diǎn)口的動直線/與拋物線瓦C交于兩點(diǎn)，。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為給出下列四個命題：

①在拋物線上滿足條件的點(diǎn)4僅有一個；

②若P是拋物線準(zhǔn)線上一動點(diǎn)，貝！)歸4|+|尸。|的最小值為2而；

③無論過點(diǎn)廠的直線/在什么位置，總有NOMB=NQ0C；

④若點(diǎn)C在拋物線準(zhǔn)線上的射影為。，則三點(diǎn)3、。、。在同一條直線上.

其中所有正確命題的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

10.已知4=卜卜|<1},3={,2'<1},則AB=()

A.(—1,0)B.(°」)C.(—1,+8)D.(TO』)

2%(%<0)

11.已知函數(shù)/(%)二一,且關(guān)于x的方程/(x)+x-。=0有且只有一個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)，的取值范圍

Inx(x>0)

().

A.[0,+oo)B.(1,-Hx))C.(0,+oo)D.[-oo,l)

22

12.設(shè)耳,E分別為雙曲線=-==1(。>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)片作圓好+丁2=標(biāo)的切線，與雙曲線的左、

ab

右兩支分別交于點(diǎn)P,Q,若|QE|=|PQI,則雙曲線漸近線的斜率為()

A.±1B.±(73-1)C.土(G+l)D.±75

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（x+工—2）4的展開式中/的系數(shù)為.

X

14.三對父子去參加親子活動，坐在如圖所示的6個位置上，有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有種（比

如：B與D、3與C是相鄰的，4與。、C與。是不相鄰的）.

15.設(shè)歹為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，A3,。為C上互相不重合的三點(diǎn)，且|4斤|、|8/|、可成等差數(shù)列，若

線段AD的垂直平分線與x軸交于E（3,0）,則3的坐標(biāo)為.

16.已知Rd公=〃，則（x+y+1）”展開式中/,的系數(shù)為一

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知橢圓E：4+^=1的離心率為e=Y3,且短軸的一個端點(diǎn)5與兩焦點(diǎn)A,C組成

a2b22

的三角形面積為四.

（I）求橢圓E的方程；

（II）若點(diǎn)尸為橢圓E上的一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作橢圓E的切線交圓。：好+/=”于不同的兩點(diǎn)"，N（其中M在N

的右側(cè)），求四邊形AQBN面積的最大值.

18.（12分）如圖，在四棱錐尸-A5CD中，底面ABC。，底面ABC。是直角梯形，〃為側(cè)棱上一點(diǎn),

已知BD=2,BC=26,CD=4,DP=4,DM=3.

（I）證明:平面平面PBD；

（II）求二面角A—AW—C的余弦值.

19.（12分）車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件，對之前加工的100個零件的加工時間進(jìn)行

統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：

加工1個零件用時X（分鐘）20253035

頻數(shù)（個）15304015

以加工這100個零件用時的頻率代替概率.

（D求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX;

（2）劉師傅準(zhǔn)備給幾個徒弟做一個加工該零件的講座，用時40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個該零

件作示范.求劉師傅講座及加工2個零件作示范的總時間不超過100分鐘的概率.

20.（12分）選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)二。：）=口一口卜口<。.

（1）證明:入二）十二（一百然;

（2）若不等式」（匚）.+二:二的解集非空，求二的取值范圍.

21.（12分）某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機(jī)會，通

過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.

組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)2515020025022510050

（1）已知此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N（〃,210）,〃近似為這1000人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），請利用正態(tài)分布的知識求尸（36<Z<79.5）；

（2）在（1）的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案.

（i）得分不低于〃的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于〃的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi)；

（ii）每次贈送的隨機(jī)話費(fèi)和相應(yīng)的概率如下表.

贈送的隨機(jī)話費(fèi)/元2040

3_￡

概率

44

現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記X為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：,210h14.5，若X,則P（〃—cr<X+=0.6827,P（//-2cr<X<//+2cr）=0.9545,

-3b<XW〃+3b）=0.9973.

22.（10分）［選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程］

x-A/2+A/2costz

在直角坐標(biāo)系X0y中，曲線G的參數(shù)方程為土廠(a是參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸

y=12sina

為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為夕=4sin，.

(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程和曲線G的直角坐標(biāo)方程；

(2)若射線夕=尸［0<〃<|^與曲線G交于0,A兩點(diǎn)，與曲線交于0,3兩點(diǎn)，求+可取最大值時tan6

的值

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計(jì)算各棱的長度.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個四棱錐，如圖所示：

由三視圖知：|">|=2,\CE\=V3,\SD\=2,

所以,q=\DC\=2,

所以W=J⑼2+留2=2痣，閡=+忸4=2亞，

所以該幾何體的最長棱的長為272

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三視圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

2、C

【解析】

分析：先畫出滿足約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域，利用平面區(qū)域的面積為9求出。=3,然后分析平面區(qū)域多邊形的各個頂

點(diǎn)，即求出邊界線的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值.

詳解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：

則A(a,a),B(a,—a),所以平面區(qū)域的面積S=--a-2a=9,

2

解得。=3,此時A(3,3),3(3,—3),

由圖可得當(dāng)z=2x+y過點(diǎn)A(3,3)時，z=2x+y取得最大值9,故選C.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目

標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點(diǎn)是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最

優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相

應(yīng)的方法求解.

3、C

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得了(九)在(氏―)上遞增，結(jié)合y=c與＞=2￡?=叫2羽丁=》圖象，判斷出”,仇C的大小關(guān)系，由此

比較出了(。)"僅)"(C)的大小關(guān)系.

【詳解】

因?yàn)?4x)=(x-a)e\所以/(X)在3,y)上單調(diào)遞增；

在同一坐標(biāo)系中作V=c與y=22y=log2x,y=x圖象，

a

2=log2b=c,可得a<c<6,故.于(a)〈于(c)〈于(b).

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于

中檔題.

4、A

【解析】

由(1+。z=z?得z=，，然后分子分母同時乘以分母的共朝復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù)z,從而可得z的虛部.

1+i

【詳解】

因?yàn)?l+i)z=i,

5iz(l-z)i-i2z+111.

1+Z(1+0(1-0i-i1+122

所以復(fù)數(shù)Z的虛部為

2

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的方法是分子分母同時乘以分母的共朝復(fù)數(shù)，轉(zhuǎn)化

為乘法運(yùn)算.

5、B

【解析】

過點(diǎn)4(0,—1)的直線/與圓C：f+y2—2y=o相切于點(diǎn)3,可得花.隴=0.因此

ABAC^AB^AB+Bc\^AB+ABBC=AB1=AC-r2>即可得出.

【詳解】

由圓C：犬+>2-2y=0配方為/+(y-l)2=l,

c(o,l),半徑r=1.

???過點(diǎn)4(0,—1)的直線/與圓C：x2+y2-2y=0相切于點(diǎn)B,

???ABBC=0；

?*.AB-AC-AB-(A5+BC^=AB+AB-BC-AB"=AC-r~=3；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查向量數(shù)量積的計(jì)算，考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

首先把［+X看作為一個整體，進(jìn)而利用二項(xiàng)展開式求得V的系數(shù)，再求［工+X)的展開式中xT的系數(shù)，二者相乘

即可求解.

【詳解】

由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得9+X+/］的第廠+1項(xiàng)為4+1=4卜+力/，令r=1,則(=c；p+x)V，

又［工+x］的第r+1為xr=C；x2r-\令r=3,貝?。菹?35,所以獷成？的系數(shù)是35x8=280.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

/(x)=V2sin(2x+-)+2,xe—,—2V2x+工〈至利用整體換元法求最小值.

4L44J444

【詳解】

由已知，/(x)=1+2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+2=A/2sin(2x+?)+2,

又一JwxwJ,9<2x+￡〈號，故當(dāng)2x+J=—彳，即》=—：時，f?in=l.

44444444

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值，涉及到二倍角公式的應(yīng)用，是一道中檔題.

8、B

【解析】

nQ

ra.=a+10&-^=1+-----]9.9

由丁，得2+i4口，即％+1=1+—7，所以得。3+。4=。3+1+—7,利用基本不等式求出最

〔%=4+勿r1g+iq+i

小值，得到。3=2,再由遞推公式求出C5.

【詳解】

r?10

。“+1=4+10%坦4+1an+10b“bn9

.2+1=4+勿an+bn組+12+1

bnbn

9

C3+。4=。3+1+'—726,當(dāng)且僅當(dāng)C3=2時取得最小值,

c3+l

9914

此時。4=1+'------7=4，。5=1+'―T

q+1Q+1y

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了數(shù)列中的最值問題，遞推公式的應(yīng)用，基本不等式求最值，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

9、C

【解析】

①：由拋物線的定義可知|4同=。+1=5,從而可求A的坐標(biāo)；②：做A關(guān)于準(zhǔn)線x=-1的對稱點(diǎn)為A',通過分析

可知當(dāng)A；P,O三點(diǎn)共線時|B4|+|P0]取最小值，由兩點(diǎn)間的距離公式，可求此時最小值|A'0|；③：設(shè)出直線/方程,

聯(lián)立直線與拋物線方程,結(jié)合韋達(dá)定理,可知焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可求kMB+kMC=Q,從而可判斷出ZOMB,ZOMC

的關(guān)系；④：計(jì)算直線。。,03的斜率之差，可得兩直線斜率相等，進(jìn)而可判斷三點(diǎn)3、。、。在同一條直線上.

【詳解】

解：對于①，設(shè)4(。力)，由拋物線的方程得尸(1,0),貝!]|AF|=a+l=5,故a=4,

所以4(4,4)或(4,T),所以滿足條件的點(diǎn)4有二個，故①不正確；

對于②，不妨設(shè)4(4,4),則A關(guān)于準(zhǔn)線l=—1的對稱點(diǎn)為4(—6,4),

^L\PA\+\OP\=\PA'\+\OP\>\A'o\=452=2y/13,

當(dāng)且僅當(dāng)4,尸,O三點(diǎn)共線時等號成立，故②正確；

對于③，由題意知，M(-l,0),且/的斜率不為0,則設(shè)/方程為：x=7ny+l(m^0),

設(shè)I與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為%),C(%,%)，聯(lián)立直線與拋物線的方程為，

x=my+l。

<2二，整理得》-4根丫—4=0,則%+%=4/〃,％%=-4,所以

y=4%

22

x,+x2=4m+2,xxx2=+1)+1)=~4rrr+4/12+1=1

所“=%+為=%(%2+1)+%(七+1)=2%+2%+2岫%

MBMC

玉+1x2+1(%1+l)(x2+1)+x2+xvx2+1

Dx4^/7_QYYIx4

=:=0.故的傾斜角互補(bǔ),所以NOAffi=NOMC,故③正確.

4m2+2+1+1

對于④，由題意知。(一L%),由③知，%+%=4瓶,%%=-4

則kOB=&=-，尢”>=一%，由自B_&>￡>=—+，2=---匕匹=0,

七%為%

知k°B=koD，即三點(diǎn)3、。、。在同一條直線上，故④正確.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了拋物線的性質(zhì)，考查了直線方程，考查了兩點(diǎn)的

斜率公式.本題的難點(diǎn)在于第二個命題，結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.

10、D

【解析】

分別解出集合4民然后求并集.

【詳解】

解：A=卜料<1}={x|-4<x<1},<1}={x|x<0}

A,B=(-oo,l)

故選：D

【點(diǎn)睛】

考查集合的并集運(yùn)算，基礎(chǔ)題.

11,B

【解析】

根據(jù)條件可知方程/(%)+%-。=0有且只有一個實(shí)根等價于函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=-x+a只有一個交點(diǎn),

作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可.

【詳解】

解：因?yàn)闂l件等價于函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=-*+a只有一個交點(diǎn)，作出圖象如圖，

由圖可知，<7>1,

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點(diǎn)之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

如圖所示：切點(diǎn)為"，連接OAf,作PNLx軸于N,計(jì)算歸周=2匹歸閶=4d|PN|=^，⑶N|=*,

cc

根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.

【詳解】

如圖所示：切點(diǎn)為"，連接，作ZWJ_x軸于N,

\Q^-\QF2\=\Q^+\PFi-\QF2\=\PFi=2a,故|尸閶=4匹

在放中，smZMFxO=-,故cosNMGO=。，故|尸網(wǎng)=肛，閨N|=必，

根據(jù)勾股定理：164=（+[2。-9],解得，=3+1.

本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、28

【解析】

將已知式轉(zhuǎn)化為（X+L-2）4=0?，貝!|（X+^-2）4的展開式中％2的系數(shù)（X—1）8中的系數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式展開式

XXX

可求得其值.

【詳解】

一(工+工一2)4=叵二字=gE，所以(X+^—2)4的展開式中12的系數(shù)就是(x—l)8中的系數(shù)，而(x—1)8

XXXX

中X6的系數(shù)為Cf-(-1)2==28,

二展開式中爐的系數(shù)為《=28

故答案為：28.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式展開式中的某特定項(xiàng)的系數(shù)，關(guān)鍵在于將原表達(dá)式化簡將三項(xiàng)的募的形式轉(zhuǎn)化為可求的二項(xiàng)式的形式,

屬于基礎(chǔ)題.

14、192

【解析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，在三對父子中任選1對，安排在相鄰的位置上，②，將剩下的4人安排在剩下的4

個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①，在三對父子中任選1對，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有4種情況，將選出的1對父子安排在相鄰的位置，

有3x4=12種安排方法；

②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有2義2義2義2=16種安排方法，

則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法16x12=192種；

故答案為：192

【點(diǎn)睛】

本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15、(1,2)或(1,—2)

【解析】

設(shè)出4瓦。三點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、拋物線的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

拋物線C:/=4x的準(zhǔn)線方程為：x=-l,設(shè)4(占,%),3(々,%)，。(毛,％),由拋物線的定義可知：

|”|=七一(一1)=內(nèi)+1,尸|=w—(—1)=%2+1，|￡>F|=X；-(-1)=X3+1,因?yàn)閨4/|、|8斤|、］。尸|成等差

數(shù)列，所以有2|3/|=|?？?|AP|,所以馬=土受，

因?yàn)榫€段AO的垂直平分線與x軸交于E(3,0),所以胡=應(yīng)),因此有

J(3-國產(chǎn)+yj=J(3-室)?+??=>9—6%+Xy+4%=9—6退++4退9化簡整理得：

(玉-九3)(玉+$—2)=0=>X=%3或再+%3=2?

若藥=%，由々=%；七可知;%=々=七，這與已知矛盾，故舍去；

若X]+￡=2,所以有x2="；項(xiàng)=],因此于=4々=4=>%=±2.

故答案為：(L2)或(1,-2)

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

16、1.

【解析】

由題意求定積分得到〃的值，再根據(jù)乘方的意義，排列組合數(shù)的計(jì)算公式，求出展開式中/y的系數(shù).

【詳解】

042

,已知1》3公=—=4=n,貝！I(x+y+1)"=(x+y+1)4,

24o.

它表示4個因式(x+y+1)的乘積.

故其中有2個因式取X,一個因式取y,剩下的一個因式取1,可得-y的項(xiàng).

故展開式中x2y的系數(shù)c]C；?C：=12.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查求定積分，乘方的意義，排列組合數(shù)的計(jì)算公式，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

丫2

17、(I)—+y2=1；(II)4.

4

【解析】

(I)結(jié)合已知可得g=走，6c=百求出”，8的值，即可得橢圓方程；

a2

(II)由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用判別式等于0可得加2=4左2+1,

聯(lián)立直線方程與圓的方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得5AMe。+5AAN。，利用弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式，求出

SAMON9得至！ISAC=S\MON+S^co+S^o,整理后利用基本不等式求最值.

【詳解】

解：（I）可得￡=走，bc=6結(jié)合a1=b2+c2,

a2

解得a=2,c=邪,b=l,得橢圓方程?+y2=i；

(II)易知直線肱V的斜率兀存在，沒MN：y=kx+m,

由,得(4左2+1)%2+8輸+4(m2_1)=0,

222

由△=64/憶2_16(4/+l)(m-l)=0,^m=4Z:+l,

9

?SACMN~S^fON+S^co+S^ANO

設(shè)點(diǎn)O到直線MN：丘-y+m=o的距離為d,

2

，\MN\=2yl\OM\2-d2=24-m

k2+l

2

SAMQN=5義2,4—m|m\

—oX—/~=—[---------------(—

人+1yjl+k2y/l+k2y/k2+1k2+l

‘履：1n,得(左2+1)12+2^^+w2-4=0,

由《

x+y=4''

—2kmm2-4

…2=鏟下…2=百口

/.%+%=Ax,+根+牝+zn二女(玉+x2)+2m

2km2m

=k+2m=

l+lr+1

?|x|+|%|)=￥(lX+%l)=

??^AMCO+SgfAO=5X

??SACMN=S^JON+(SkNAO+S^JCO)=_+c

k-+lk2+l

而帆2=4左2+1,易知人220,.則同之1,

_273\m\_86\m\_8+<8上_

四邊形ACMV的面積3=切2_],=徵2+3=3一亞=’

+]\m\+n

4-------------------11\m\

3

當(dāng)且僅當(dāng)而IT加I,即冽=±3時取"=”.

本題考查了由”,仇c求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題.

18、(I)證明見解析；(II)—叵.

4

【解析】

(I)先證明BCLPD,再證明3CL平面尸如，利用面面垂直的判定定理，即可求證所求證；

(II)根據(jù)題意以為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A3M和平面BMC的向量，利用公式

即可求解.

【詳解】

(I)證：由已知得8ZP+8C2=C￡>2.BCLB。

又平面ABC。，BCu平面ABC。，ABC±PD,

而正￡>仆6￡>=。故，3C，平面PBD

.BCu平面P5C,二平面P5CJ_平面尸3￡)

(II)由(I)知5CL6D,推理知梯形中A6//CD,AD±AB,AD1DC,

有+，又NBCD+NBDC=90，故ZADB=NBCD

所以AABD相似ABDC,故有理=處，即竺=2=A3=1

BDDC24

AD=>/BD2-AB2=V22-l2=V3

所以，以。ADC,DP為X軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,

則D(0,0,0),A(A/3,0,0),B(Al,0),C(0,4,0),Af(0,0,3)

AB=(0,1,0),BC=(-A/3,3,0),=(-A-l,3),設(shè)平面ABM的法向量為1=(%,%,zj，則

nx-AB=QJ%=0

M],BM=0—-%+3Z]=0

令%=3,則4=石，，勺=(3,0,6)是平面AA/B的一個法向量

設(shè)平面BMC的一個法向量為巧=（%,%，z2），

—\/3%2+3%=0

n2-BC=0

n,-BM=0-y。+3^2=0

令％2=3,則%=百

【點(diǎn)睛】

本題考查線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直觀想象能力與運(yùn)算求解能力,

屬于中檔題.

19、(1)分布列見解析，EX=27.75;(2)0.8575

【解析】

(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求得分布列，并計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.

(2)根據(jù)對立事件概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出劉師傅講座及加工2個零件作示范的總時間不

超過100分鐘的概率.

【詳解】

(1)X的分布列如下：

X20253035

p0.150.300.400.15

EX=20x0.15+25x0.30+30x0.40+35x0.15=27.75.

(2)設(shè)X2分別表示講座前、講座后加工該零件所需時間，事件A表示“留師傅講座及加工兩個零件示范的總時

間不超過100分鐘”，

則P(A)=P(X1+X1<60)=1-P{Xx+X2>60)

=1-[P(X1=30,X2=35)+P(X1=35,X2=30)+P(X1=35,X2=35)]

=1-(0.4x0.15+0.4x0.15+0.152)=0.8575.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查對立事件概率計(jì)算，考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算，屬于中檔

題.

20、⑴見解析.

(1)⑼.

【解析】

試題分析：(1)直接計(jì)算一1=二：:一一二，由絕對值不等式的性質(zhì)及基本不等式證之即可；

(1)二二-二二二?=二-二I-二二-二，分區(qū)間討論去絕對值符號分別解不等式即可.

試題解析：(1)證明：函數(shù)f(x)=|x-a|,a<2,

貝(If(x)+f(--)=|x-a|+|---a|=|x-a|+|—+a|>|(x-a)+(-+a)|

XXXX

=|x+1|=|x|+合

(1)f(x)+f(lx)=|x-a|+|lx-a|,a<2.

當(dāng)x<a時，f(x)=a-x+a-lx=la-3x,貝1)f(x)>-a；

當(dāng)a<x<—f(x)=x-a+a-lx=-x,貝!|--<f(x)<-a；

22

當(dāng)xA|時，f(x)=x-a+lx-a=3x-la,則f(x)>-則f(x)的值域?yàn)閇--1,+co).

不等式f(x)+f(lx)得的解集非空，即為之>-"|,解得，a>-1,由于a<2,

則a的取值范圍是

考點(diǎn)：1.含絕對值不等式的證明與解法.1.基本不等式.

21、(1)0.8186；(2)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表，利用公式計(jì)算出平均數(shù)〃的值，再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系將36、79.5表示為36=〃-2。,

79.5=〃+b,利用題中所給數(shù)據(jù)，以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對稱性，求出對應(yīng)的概率;

(2)根據(jù)題意，高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各為工，再結(jié)合得20元、40元的概率，分析得出話費(fèi)的可能數(shù)據(jù)

2

都有哪些，再利用公式求得對應(yīng)的概率，進(jìn)而得出分布列，之后利用離散型隨機(jī)變量的分布列求出其數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

35x25+45x150+55x200+65x250+75x225+85x100+95x50「

(1)由題意可得〃=----------------------------------------------------------------二65,

1000

易知er=J210~14,5>36=65—29=65—2x14.5=〃-2cr,

79.5=65+14.5=JU+CT,

：.P(36<Z<79.5)=P(//-2cr<Z<〃+cr)=P(〃-2cr<ZW〃)+P(〃<ZW〃+cr)

尸(〃一2cr<XV〃+2cr)+P(〃一cr<X<〃+cr)0.9545+0.6827.,

=-------------------------------------------=--------------=O.oO1Soo;

22

(2)根據(jù)題意，可得出隨機(jī)變量X的可能取值有20、40、60、80元,

=20)=-x-=-,P(X=40)=-x-+-x-x-=—,

[7248'72424432

1133ill1

p(X=60)=2x-x-x-=—,P(X=80)=-x-x-=—.

')24416、724432

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：

X