江西省2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末教學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 附答案

江西高二期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.

3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)

應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域

內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.

4.本卷命題范圍：北師大版選擇性必修第一冊(cè)第一章~第五章.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

7T

1.已知直線X+O—1=0的傾斜角為則實(shí)數(shù)上的值為（）

A.-A/3B.--C.1D.—

32

2.過(guò)點(diǎn)（2,-1）且與直線2x—3y+9=0平行的直線的方程是（）

A.2x—3y—7—0B.2x+3y—1—0C.3x+2y—4—0D.2x—3y+7—0

2

3.已知點(diǎn)P是雙曲線。：爐—卷=1上一點(diǎn)，耳，鳥(niǎo)分別為C的左、右焦點(diǎn)，若歸周=7,則歸8|=（）

A.5B.13C.5或9D.5或6

4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)尸（a,4c）,若a,dceN*,且a<Z?<c<7,則滿足條件的點(diǎn)P共有（）

A.15個(gè)B.20個(gè)C.25個(gè)D.30個(gè)

5.已知直線/:4x—3y—2=0與圓。：/+/一4x+6y—12=0相交于4,3兩點(diǎn)，則△ABC的周長(zhǎng)為（

A.26B.18C.14D.13

6.已知點(diǎn)A（-2,0）,3是拋物線C:/=18x上的動(dòng)點(diǎn)，則直線A3的斜率的最大值是（）

1>/33

A.—B.--C.1D.一

222

7.楊輝三角（如下圖所示）是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)

字之和為（）

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第〃行

AIRC3cC3—1r)C3—1

~2023<20245~20231~2024,

8.有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，

半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱(chēng)作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24,棱長(zhǎng)都相等

的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所

得?已知點(diǎn)E為線段BC上一點(diǎn)且BE=,若直線DE與直線AF所成角的余弦值為獨(dú)3，則A=（

26

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知關(guān)于的方程+二一=1表示的曲線是E,則曲線￡可以是（）

4-mm-2

A.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.圓

10.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AP=a,A3=6,A￡>=c,若

PE=ED,CF=2FPM()

221

A?BE——d—b+cB.BF--a——b+—c

22333

212

C.DF--a+—b——cD.EF=-d-—b+—c

333636

11.已知拋物線C:>2=8x的焦點(diǎn)為凡其準(zhǔn)線/與X軸的交點(diǎn)為A,P（%,%）為C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)5（3,2），則（

A.當(dāng)為=4時(shí)，|PF|=6B.當(dāng)上4LPF時(shí)，/=2右一4

C.|P5|+|PF|的最小值為5D.|P3|-|PF|的最大值為新

12.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-4耳中，A3=A。=2A41=4,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為側(cè)面g3（含

邊界）上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.存在點(diǎn)￡使得PC，陽(yáng)1B.滿足=的點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為石

C.RC+ED］的最小值為4&+2君D.若他〃平面EFC,則線段AF長(zhǎng)度的最小值為，

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.方程C；=A；（xeN且xW6）的解為x=.

14.已知平面a的法向量為“=（2,1,2）,點(diǎn)A（0,1,1）為平面a內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)尸（1,0,2）為平面a外一點(diǎn)，則點(diǎn)尸

到平面a的距離為.

15.若（x+a）（l-2x）5的展開(kāi)式中/的系數(shù)為70,則實(shí)數(shù)。=.

22

16.已知橢圓C:三+多=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡,工，點(diǎn)尸在橢圓C上，PF,的延長(zhǎng)線交橢圓

ab

C于點(diǎn)。，且|p耳RPQ|,Z\P與耳的面積為〃，記△尸耳月與△。耳心的面積分別為則立=

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

根據(jù)張桂梅校長(zhǎng)真實(shí)事跡拍攝的電影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某數(shù)學(xué)組有3名男教師和2

名女教師相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起.求：

（1）2名女教師必須坐在一起的坐法有多少種？

（2）2名女教師互不相鄰的坐法有多少種？

18.（本小題滿分12分）

如圖，正方體ABC?！?4GA的棱長(zhǎng)為2.

（1）證明：4G〃平面ACQ；

（2）求直線與平面AC，所成角的正弦值.

19.（本小題滿分12分）

2x-9）的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為各項(xiàng)系數(shù)之和為6,且。+〃=513.

（1）求〃的值;

（2）求［2x-9］的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

20.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，尸。，平面48。。,48=2/3。=240,點(diǎn)￡在棱48上,

且

4

p

(1)求證：CEVPB-

(2)若A￡>=2,求二面角O—PE—C的余弦值.

21.(本小題滿分12分)

瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱(chēng)為

三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中，ZVIBC滿足AC=5C,頂點(diǎn)A(—1,0)、5(1,2),且其“歐拉線”

與圓M:(x+5)2+V=，(廠〉0)相切.

(1)求△ABC的“歐拉線”方程；

(2)若圓M與圓公+(>—。)2=2有公共點(diǎn)，求a的范圍；

(3)若點(diǎn)(x,y)在△ABC的“歐拉線”上，求J爐+9一2%一+2+J(龍—2)2+丁的最小值.

22.(本小題滿分12分)

已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸到點(diǎn)尸(2,0)的距離等于其到直線x距離的2倍，記點(diǎn)尸的軌跡為曲線

(1)求曲線r的方程；

(2)已知斜率為左的直線/與曲線r交于點(diǎn)43,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OALOB,證明：總產(chǎn)+品甲為定值.

江西高二期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)?數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

1.B由題意可知，直線x+@—1=0的斜率為—4=tan工=也，解得左=—且.故選B.

2.A設(shè)與直線2x—3y+9=0平行的直線的方程為2x—3y+2=0,將點(diǎn)(2,—1)代入得

2x2—3x(—1)+2=0,解得a=—7,所以所求直線的方程為2x—3y—7=0.故選A.

3.C由題意可知a=l,c=J幣E=4,|P4>c+a=5,若|P4|=7,則|7—|PEI|=2JPE|=5或9.故選C.

4.B由題意可知，滿足條件的點(diǎn)尸即從123,4,5,6這6個(gè)數(shù)中選3個(gè)數(shù)，然后按從小到大的次序分配給a,

"c,共有或=20個(gè).故選B.

5.B由尤2+/—4x+6y—12=0,得(x—2『+(y+3)2=25,所以圓心為C(2,—3),半徑r=5,圓心C到

4x3x3

直線I的距離d=l^-(-)zjl=3,所以|A31=2〃_/=8,所以AABC的周長(zhǎng)為

次+(—丁

2r+|AB|=18.故選B.

6.D設(shè)直線AB的斜率為匕則直線AB的方程為y=k(x+2),由題意，得直線AB與拋物線C有交點(diǎn)，聯(lián)

立方程\k'X+2"得k2x2+(4左2—18)X+4^=O,當(dāng)左=0時(shí)，％=0,即3(0,0)；當(dāng)左w0時(shí)，

y=18%,、7

△=(4左2—18『—16左420,解得—2〈左<2且左W0,綜上所述，上的最大值為3.故選D.

v7222

7.B由題意可得，第2行到第2023行，每行的第3個(gè)數(shù)字之和為

C；+C；+C：++C；023=C；+C；+C：++C；023=C：+Cj++C|023==C；023+C；023=C；024?故

選B.

8.C將半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)半正多面體的棱長(zhǎng)為正方體的棱

長(zhǎng)為2,所以A(2,l,0),F(2,2,1),B(l,0,2),C(0,l,2),D(l,2,2),AF=(O,1,1),BC=(-1,1,0)以

BE=ABC=(-2,2,0),2e[0,1],則E(l-2,2,2),DE=(-2,2-2,0).設(shè)直線OE與直線A尸所成角為氏

\AFDE\|A-2|5A/13622+2-l=0,解得;1=」或

則cos3=|cos(AF,DE)|==p

\AF\\DE\后“2+(「一2)2263

2=--(舍).故選C.

2

9.BCD當(dāng)4—加=機(jī)—2＞0時(shí)，771=3,方程一匚+二一=1可以化簡(jiǎn)為必+＞2=1,曲線E是圓；當(dāng)

4—mm—2

4一根＞0,加一2＞0且4一加。加一2時(shí)，2＜加＜3或3＜租＜4,曲線E是橢圓；當(dāng)(4一加)(加一2)＜0時(shí)，

加＜2或加＞4,曲線E是雙曲線.故選BCD.

10.BC3E=AE—AB=；(AP+A。)—AB=；a—Z?+；c,故A錯(cuò)誤；

22122122-1

BF=AF-AB=AC+CF-AB=AC+-CP-AB=-AP+-AC-AB=-AP——AB+-AD=-a——b+-c

333333333

_221212

,故B正確；DF=BF-BD=-a——b+-c-(c-b)=-a+-b——c,故C正確；

333333

EF=BF—BE=?—abH—c|[—a-ci-\—=一H—b—c,故D錯(cuò)誤.故選BC.

(333八22J636

11.BCD由題意知尸(2,0),A(—2,0),當(dāng)為=4時(shí)，％=2,貝U|PR|=^|+=4,故A錯(cuò)誤；當(dāng)E4LPF

時(shí)，點(diǎn)尸為拋物線V=8X與圓犬+V=4的交點(diǎn)，二者聯(lián)立并消去y,得/+8%—4=0,所以x=—4±2百，

又飛〉0,所以%=26—4,故B正確；過(guò)8作/的垂線班'，垂足為當(dāng)尸為班'與C的交點(diǎn)時(shí)，

|P5|+|PF|最小，最小值為5,故C正確；當(dāng)點(diǎn)尸為線段5尸的延長(zhǎng)線與C的交點(diǎn)時(shí)，|P3|-|PF|最大，

最大值為|6尸|=6，故D正確.故選BCD.

12.BD以A為原點(diǎn)，分別以ABARAA所在的直線為無(wú)軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),C(4,4,0),D](0,4,2),E(0,0,l),F(m,0,n)(mG[0,4],ne[0,2]).對(duì)于選項(xiàng)A,若FCJL則

FC-FD]=0,又FC=(4—m,4,—ri).FDX=(—m,4,2—九)，所以(4一縱4,-〃)?(-zn,4,2-〃)=0,即

("Z—2)2+5—1)2+n=0,此方程無(wú)解,所以不存在點(diǎn)凡使得FC±即”故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,由PC=FD.,

得，(4一加)2+4。+(-〃)2=，(一加)2+42+(2一〃)2，化簡(jiǎn)可得20一〃二3,又力￡[0,2],所以當(dāng)〃=0時(shí)，得

4(g,o,o],當(dāng)〃=2時(shí)，得月(，0,2],即滿足歹0=/2的點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為月耳=6,故B正確；對(duì)于

選項(xiàng)C,設(shè)點(diǎn)C關(guān)于平面用3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G,則G的坐標(biāo)為(4,-4,0),則

FC+FD[=FG+FD[NGD[=2721，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,

s-EF=0

例二(0,4,2),EF=(m,0,H-l),EC=(4,4,-1)，設(shè)平面EFC的一個(gè)法向量為s=(羽y,z)，則'

卜反=0,

mx+(n-l)z=0,1

即《令1二〃一1,則y=l-"——機(jī),2=-m，所以平面跖。的一個(gè)法向量為

4x+4y—z=0,4

s=,因?yàn)锳R〃平面EFC,所以A。=0,即3m+4〃—4=0,又點(diǎn)A(0,0,0),所

以A尸=4加2+*=J加2+(1—[根)——+捺，當(dāng)加=裝時(shí)，4

A尸取得最小值一，故D正

5

確.故選BD.

A1_______

尸々一止二、-----------

/、人、、//y

/-

6x5

13.2或4由題意，可知2C：=6x5,C。=?^=C；,所以x=2或x=4.

14.1由題意得AP=(1,—1,1),故點(diǎn)P到平面a的距離d==

\n\3

15.2因?yàn)?x+a)(l—2x)5的展開(kāi)式中含/的項(xiàng)為》.《(—2x)+a-C；(—2x)2=二(-10+40〃)/,由題意知

—10+40。=70,解得。=2.

16.A/2+I不妨設(shè)|尸耳|=列歸閭=",焦距閨詞=2c,由△期月的面積為從,得/加〃?sin/耳尸鳥(niǎo)=b2,

由余弦定理，得|耳聞2=|「娟2+|尸鳥(niǎo)「_2|尸娟|尸閭85/4/第,則

222

4c2=m+n-2mncosZF{PF2=(m+n)-2/m(l+cosN耳尸區(qū))=44一2mzz(l+cosZ.FXPF2)，所以

mn(l+cos2a1-2c2=2〃,即mn(l+cosZFPF)=nrnsinAFPF，所以

AFXPF2)=12X2

1+85/475月=5也/月/5月,所以05詁/耳/>8—?=1,易得/耳「1=?「用=|0°卜根,所以

|耳。|=圓,所以歸閭=20-m,|0閭=24-也”,所以|?！銃=歸閭+|0閭=4。-(0+1)加=相，所以

機(jī)=4a—2四,所以歸4|=(20—=A/2+1.

17.解：(1)根據(jù)題意，先將2名女教師排在一起，有A；=2種坐法，2分

將排好的女教師視為一個(gè)整體，與3名男教師進(jìn)行排列，共有A：=24種坐法，4分

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有2x24=48種坐法.5分

(2)根據(jù)題意，先將3名男教師排好，有A；=6種坐法，7分

再在這3名男教師之間及兩頭的4個(gè)空位中插入2名女教師，有A：=12種坐法，9分

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6x12=72種坐法.10分

18.如圖，以。為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。孫z,

則A(2,0,0),C(0,2,0),A(2,0,2),Q(0,2,2),B(2,2,0),D,(0,0,2).

所以AG=(—2,2,0),AC=(-2,2,0),AD,=(-2,0,2),BD=(-2,-2,0).2分

n,AC=0,f-2x+2y=0,

(1)證明：設(shè)平面AC"的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),由卜得〈/令1=1,得

n-AD]=0,[-2x+2z=0,

n=(1,1,1).4分

因?yàn)锳G?幾=-2xl+2xl+0xl=0,所以AG_L〃，

又AG仁在平面AC。，所以AG〃平面AC。?6分

(2)解：由(1),得平面ACR的一個(gè)法向量〃

設(shè)直線5。與平面AC。所成角為氏則

\BDn\2>l+(—2)xl+0xl|__7|_76

sin0=|cos(BD,n)\=10分

\BD\-\n\272x7333

所以直線3D與平面AC。1所成角的正弦值為邁

12分

19.解：(1)由題意，得a=2〃,2分

b=(2-iy=i,4分

因?yàn)镼+b=513,所以2〃+1=513,所以2〃=512,解得〃=9.6分

/9

9--r

(2)2x-的展開(kāi)式的通項(xiàng)(+1=Cj(2x)9-=(-l)rC；-29-rx28分

3

令9——r=0,得r=6.10分

2

cn

所以2x—的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為刀=(-L)6cC29y=672.12分

20.(1)證明：設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)R因?yàn)槠矫鍭BCD,CEu平面ABCD,所以

PDLCE.1分

%

在RtZkCBE中，tanZECB=—=4—=-

BC2

2

A]~)1

在RtZkBAD中，tanZABD=——=—,2分

AB2

又ZECB,ZABD均為銳角，所以ZECB=ZABD,3分

因?yàn)閆4B￡＞+NDBC=90°,所以N￡C6+NDBC=90°,

所以NBFC=90。，即3￡＞，上，4分

因?yàn)锽D,PDu平面P應(yīng)＞，且P￡＞3￡＞=。,所以?！?，平面。瓦），5分

又P3u平面所以CELM.6分

（2）解：由題意知DADCDP兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，ZM,DC,。尸所在的直線分別為x軸，y軸，z

軸建立空間直角坐標(biāo)系。孫z,則￡＞（0,0,0）,C（0,4,0）,E（2,3,0）,P（0,0,2），所以

PC=(0,4,-2),CE=(2,-1,Q),DE=(2,3,0),DP=(0,0,2).7分

n-CE=0,2x-y=0,

設(shè)平面PEC的一個(gè)法向量〃=（x,y,z），則＜即＜

n-PC=0,4y-2z=0,

令1=1,則y=2,z=4,所以〃=(1,2,4).9分

m-DE=0,2a+3b=0,

設(shè)平面PED的一個(gè)法向量m=（a,b,c），則＜即V

m-DP=0,2c=0,

令a=3,則b=—2,c=0,所以加=(3,—2,0),11分

設(shè)二面角。—p￡—c的大小為e,由題意知。為銳角，所以

\m-n\1V273

cos8=12分

\m\\n\AxJ1+4+16—273

21.解：（1）因?yàn)锳C=5C,所以△ABC是等腰三角形，由三線合一得：△ABC的外心、重心、垂心均在

邊A3的垂直平分線上，設(shè)△ABC的歐拉線為/,則/過(guò)A3的中點(diǎn)，且與直線A3垂直，

由4—1,0)、5(1,2)可得：A3的中點(diǎn)。(上口,9],即。(0,1),3B=7^;=1，所以勺=一1,

I22)1-(-1)

3分

故/的方程為x+y—1=0.4分

(2)因?yàn)?與圓M:(x+5)2+y2=/相切，故廠=_詈==30，5分

圓_?+(y—of=2的圓心坐標(biāo)為(0,。),半徑=a，則要想圓M與圓好+(>—a)?=2有公共點(diǎn)，只需兩

圓圓心的距離小于等于半徑之和，大于等于半徑之差的絕對(duì)值，故20<，25+十W4加,

7分

所以ae[—近,6].8分

(3)因?yàn)閥lx*23+y2-2x-2y+2+^x-2)2+y2='(1了+(y+7(x-2)2+y2,

所以該式子是表示點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(1,1)、點(diǎn)(2,0)的距離之和，9分

又x+y—1=0,所以上述式子表示直線x+y—1=0上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)E(l/)、點(diǎn)R(2,0)的距離之和.設(shè)點(diǎn)

c-19[s=0

E(l,l)關(guān)于直線x+y—1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G(sj),則有解得4，即

s+1/+1t=0

----+------1=0,i

G(0,0).11分

所以|EG|=2，所以直線x+y—1=。上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)E(l,1)、點(diǎn)F(2,0)的距離之和的最小值為|bG|=2,

即Jx2+9一2x—2y+2+—2)-+y?的最小值為2.12分

22.(1)解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y),則|尸尸|=J(x—2)?+/,1分

點(diǎn)P到直線％=工的距離d=%—1，2分

22

由題意知|PF|=2d,即J(x—2)2+y2=2卜,3分

22

化簡(jiǎn)，得V—匕=1,即曲線「的方程為龍2—匕=1.4分

33

（2）證明：設(shè)直線/的方程為丁=辰+/,4（%,%）,3（%2，%），

（2

「

X-----y------1i,

聯(lián)立方程,得3消去〉并整理，得（3—左2）/—2H%—產(chǎn)—3=0,