湖南省永州市2023-2024學(xué)年高二年級下冊開學(xué)檢測數(shù)學(xué) 含解析

2024年上期永州市一中高二入學(xué)檢測

數(shù)學(xué)試題

滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若兩條直線2*+（川+5），—8=°和（加+3卜+4，+3機(jī)―5=°平行，則實(shí)數(shù)用的值為（）

A.1B.-1C.-3D.-7

【答案】D

【解析】

【分析】由直線平行求出加，注意檢驗(yàn)重合情形即可.

【詳解】因?yàn)閮芍本€平行，

所以2>4=（m+5）（m+3）,

解得機(jī)=-1或〃2=-7,

當(dāng)〃2=-1時(shí)，兩直線重合，舍去，

故選：D

2.等差數(shù)列｛?！保碾緉項(xiàng)和為Sn.若+41012+“1013=6,則邑023=（）

A.8092B.4048C.4046D.2023

【答案】C

【解析】

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得到Gon=2,利用求和公式和等差數(shù)列性質(zhì)求出答案.

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得01011+01013=24012，所以3。1012=6，解得曲）12=2,

所以S，023=2°23（4+/023）=2023al012=4046.

ZUZD1U1Z

故選：c.

3.如圖，空間四邊形。43c中，OA=a,O8=6,OC=c,點(diǎn)M在線段。4上，且=點(diǎn)N為

BC中點(diǎn)，則MN=（）

2」工

B.

322

D.二J+L

322

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合圖形，利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】點(diǎn)M在線段OA上，且OM=2MA,

A/A=—0A——a

33

又AB=OB—OA=b—a，

為2C的中點(diǎn)，

:.BN=^BC=^(OC-OB)=^(c-b)

MN=MA+AB+BN=—a+b-a+—(c-b)=--a+—b+—c.

32322

故選：D.

n—Y

4.已知曲線y=T存在過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

e

A.[T,0]B,+oo)

C.(-4,0)D.(-oo,-4)iJ(O,-H?)

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)％,利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于％的方程,

根據(jù)此方程應(yīng)有實(shí)數(shù)根，求得。的取值范圍.

【詳解】；y=巴;，

,-1-a+x

??y-，

ex

設(shè)切點(diǎn)為(%,%),則％=a『,切線斜率4=1：+',

cc

切線方程為y-與含=T；：+%(x_x°),

:切線過原點(diǎn)，

..._a^xQ=1e：+”(—Xo)，整理得：xl-ax0~a=0,

?.?存在過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，

?**A=a2+4a>0，解得aW-4或a20,

實(shí)數(shù)。的取值范圍是(一",T0,+").

故選：B.

5.已知拋物線E：V=4x,圓C：_?+丁=2%,過圓心C作直線/與拋物線E和圓。交于四點(diǎn)，自上

而下依次為A,M,N,B,若|"M，|人呵成等差數(shù)列，則直線/的斜率為()

A.夜B.±72C.巫D.土旦

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，可得圓心C為拋物線的焦點(diǎn)，求出弦AB長，設(shè)出直線AB方程并與拋物線方程聯(lián)

立，求解作答

【詳解】圓C：(了-1)2+產(chǎn)=1的圓心。(1,0),半徑r=1,顯然點(diǎn)C(LO)為拋物線E:/=4x的焦點(diǎn)，

其準(zhǔn)線為x=—1,

設(shè)4>1，%),8(%2，，2)，則IA3|=|AC|+|3cl=西+1+%2+1=尤1+々+2,而|MV|=2,

由|肱V|,|NB|成等差數(shù)列得，|AM|+|NB|=2|MV|=4,因此|AB|=6,

即有玉+々+2=6,解得芯+巧=4,設(shè)直線/的方程為丁=左(％-1),顯然左W0,

y—k(x—1)4

由12,消去y得：k2x2-(2k2+4)x+k2=0,則有石+々=2+言=4,解得左=±0,

y=4xk

所以直線/的斜率為土0.

故選：B

J

6.設(shè)函數(shù)尸(x)是奇函數(shù)/(x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，/(—1)=0,當(dāng)x>0時(shí)，礦(％)—/(x)<0,則使

得/(%)>0成立的x的取值范圍是

A.(-?,-l)J(0,l)B.(-1,0)?(1,?)

C.(T0,-1)U(-L。)D.(0,1)U(l,+oo)

【答案】A

【解析】

【詳解】構(gòu)造新函數(shù)g(x)="")，g'(x)=對("L,當(dāng)x>0時(shí)g'(x)<0.

XX

所以在(0,+8)上g(x)=/H單減,又/⑴=0,即g⑴=0.

X

所以g(x)=/H>0可得0<x<l,止匕時(shí)/(%)>0,

又了(九)為奇函數(shù)，所以/(力>0在上的解集為：(fo,T)u(0,l).

故選A.

點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要構(gòu)造函數(shù)，例如才(X)-/(X),想到構(gòu)造

g⑴=以立.一般：(1)條件含有〃x)+/'(x),就構(gòu)造g(x)=e"(x),(2)若/(%)--(%),就

構(gòu)造g(x)=&h(3)2f(x)+f'(x),就構(gòu)造g(x)=e2"(x),(4)2/(x)—/'⑺就構(gòu)造

ex

g(x)=/學(xué)，等便于給出導(dǎo)數(shù)時(shí)聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).

7.已知數(shù)列｛%｝滿足的="%=:且%%+磯4=2%%T(〃之2),若b“=a”a“+i，數(shù)列也｝

2o

的前〃項(xiàng)和為（，則（024（）

.202320232024506

A.-------B.--------C.-------D.-------

8096202420252025

【答案】D

【解析】

可得數(shù)列，—>是等差數(shù)列,進(jìn)而可得數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式,

【分析】由an+ian+%%=2an+1an_1（?>2）

an,

故可得數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而通過裂項(xiàng)相消法得到數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T,,最后代入得到金24.

【詳解】an+1an+=2an+1an_1(n>2),

111cl11

-----+------=2-----,二數(shù)歹!一、是等差數(shù)列,

J4+1an

11

7，44=3-=2,-=8,

Zo

,數(shù)列I，的公差d=2,

—=2+2(〃-1)=2”，既q=J-

anIn

111j__1

+故hJ…〃”五?而而=”

nn+\

1111111n

二4=（仇+么+&+------------1------------F------------1—

22334n〃+177+1471+1

,12024506

"2024一屋2025—2025'

故選：D.

/、-xlnx小

911

8.若對任意的石,馬e（O,m）,且石<%2，都有X―>2成立，則加的最大值為（)

1

A-B.1D.e2

e

【答案】A

【解析】

【分析】將已知不等式變形為詈+/號+不令且（力=一+?，將問題轉(zhuǎn)化為且⑴在（。汨上

單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，由此可得加的最大值.

xAnx,-xAnXy小/、

【詳解】由J7--->2可得菁一％1nxi>2(馬-玉)，

、lnxlux,221ILX2Inx,2

由X，%2￡(z0,根)，且玉<%2,所以---9-------〉-------，即---9-+—>----+一，

\，x2%!x1x2x2x2玉玉

令=里+一，貝！Jg(%)=坐+一在X￡(O,根)上單調(diào)遞增，

XXXX

ll-，/\1-lnx2-1-lnx人一,八i1

所以g(%)=——$----r=---5，令一1一lnx=。，則％=一，

xxxe

當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,此時(shí)g(x)=t+：在上單調(diào)遞增；

當(dāng)xe］g,+oo］時(shí)，g'(%)<0,此時(shí)g(x)=U竺+2在］:,+GO］上單調(diào)遞減；

所以(o,m)口故mwL

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是將恒成立的不等式變形為同一函數(shù)不同函數(shù)值之間大小關(guān)系的比

較問題，通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)的問題.

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知空間四點(diǎn)4-1,1,0),3(221),0(1,1,1),0(023),則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是()

AAB±CDB.AD=y/li

c.點(diǎn)A到直線BC的距離為J7D.點(diǎn)。到平面ABC的距離為幾

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，空間的距離公式和點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面的距離的向量運(yùn)

算公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對于選項(xiàng)A:結(jié)合題意可得=(3,1,1),CD=(-1,1,2),

因?yàn)锳3-CD=—3+1+2=0，所以ABLCD，故選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B：結(jié)合題意可得AD=^/(-1-0)2+(2-1)2+(3-0)2=而，故選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)c：結(jié)合題意可得5c=（—i,—1,0）

取a=BA=(—3,—1,—l),a=^^=y(—L—1,。)=[—--,—-—

所以a=JTi,a?it=2J5，所以點(diǎn)A到直線BC的距禺為Ja—(a?a)=Jl1-8=血,

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D：結(jié)合題意可得AB=(3,l,l),AC=(2,0,l),AD=(l,l,3),

設(shè)平面ABC的法向量為〃=（羽y,z）,

n-AB=3x+y+z=0/、

則《,，令x=l,貝=

n-AC=2x+z=0

\n-Au\11-1-61r...................

所以點(diǎn)。到平面ABC的距離為d—pi—=i-=v6，故選項(xiàng)D正確；

忖Vl+1+4

故選：ABD.

10.已知圓C：X2+/-4J+2=0,則下列說法正確的有（）

A.圓C關(guān)于直線x—y=0對稱的圓的方程為（x—2）2+V=2

B.直線x—y+l=0被圓。截得的弦長為如

2

C.若圓C上有四個(gè)點(diǎn)到直線x—y+m=0的距離等于白，則掰的取值范圍是（1,3）

D.若點(diǎn)P（%,y）是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則f+》2的取值范圍是［2—J5,2+J可

【答案】AC

【解析】

【分析】把圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和半徑，利用圓的幾何性質(zhì)，解決對稱問題，弦長問題，點(diǎn)到

直線距離和取值范圍.

【詳解】圓C：X2+/-4j+2=0,化成標(biāo)準(zhǔn)方程為尤2+（y—2）2=2,

圓心坐標(biāo)為C（0,2）,半徑為廠=0.

圓C關(guān)于直線x-y=0對稱的圓，圓心坐標(biāo)為（2,0）,半徑為&,

圓的方程為（x—2y+y2=2,A選項(xiàng)正確；

圓心C(0,2)到直線x—y+l=。的距離為1=號把=立,

所以直線x-y+l=O被圓。截得的弦長為2,戶—屋=逐，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若圓C上有四個(gè)點(diǎn)到直線x—y+m=0的距離等于白，則圓心。(0,2)到直線x—y=0的距離小

于正，

2

即號聲1〈孝，解得1<相<3,即機(jī)的取值范圍是。,3),C選項(xiàng)正確；

若點(diǎn)p(x,y)是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，滿足f+y2_4y+2=0,則代+產(chǎn)二分―2,

由圓心坐標(biāo)和半徑可知，2-0<><2+0,則6-4后<4y—2W6+40,

所以產(chǎn)+V的取值范圍是［6-472,6+4后］,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC

11.已知函數(shù)/(x)=d—x+1,則()

A.7(無)有兩個(gè)極值點(diǎn)B./④有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(尤)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

【答案】AC

【解析】

【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A,結(jié)合Ax)的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)

的幾何意義判斷D.

詳解】由題，/，(%)=3%2-1,令用x)>0得X〉#或X<—乎，

令/'(x)<0得—立<x<走，

33

所以/(x)在(_00,一理)，(#,+00)上單調(diào)遞增，(—與，當(dāng))上單調(diào)遞減，所以x=±等是極值點(diǎn)，

故A正確；

因/(-#)=1+乎〉0,/(g)=l-寺〉0,/(-2)=-5<0,

所以，函數(shù)/(%)在1―8,一上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，/(力》/卜￡卜0,即函數(shù)/(%)在￡，+°°上無零點(diǎn)，

綜上所述，函數(shù)/⑺有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

令//(%)=d-x,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,〃(一無)=(-%)'—(一無)=-無3+x=—/?(尤)，

則h(x)是奇函數(shù)，(0,0)是/i(x)的對稱中心，

將/z(x)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到了⑴的圖象，

所以點(diǎn)(0,D是曲線丁=/(幻對稱中心，故C正確；

令/'(x)=3f—1=2,可得九=±1,又/⑴=/(—1)=1,

當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線方程為y=2x—1,當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為y=2x+3,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2

12.點(diǎn)耳，馬分別是雙曲線E:Yt—/=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)「在后上，且/耳尸耳=§TT,則△耳P鳥的面

積為.

【答案】［

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線定義、余弦定理求出1「耳|?|。K1=4,再利用三角形面積公式計(jì)算

作答.

【詳解】結(jié)合題意可得：雙曲線二-丁=1的實(shí)半軸長。=2,半焦距c=占，

47

有|附卜B/=2。=4,

22

在△耳中，由余弦定理得|耳工|=|P耳『+1PF2\-21PF}IIPF21cosZFtPF2,

即有|EK|2=(附HP與Y+2附歸月1(1-COS60),

因此(2逐)2=42+21WIIPEJ(1—g),解得I尸4I?I|=4,

所以6的面積為力咤=||P^|-|P^|sin60=V3.

故答案為：出.

i2

13.已知。，b為正實(shí)數(shù)，直線y=x-2a與曲線y=ln(x+b)相切，則一+一的最小值是.

ab

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得2a+3=1,再結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：＞=ln(x+b)的導(dǎo)數(shù)為y'=,，

x+b

設(shè)切點(diǎn)為(〃ln(m+?),切線斜率左=]匕，則在該點(diǎn)的切線方程為

]1m

y—ln(m+Z7)=-------(x—m\,即y=-------x+ln(m+Z?)-----------,

m+b^m+bm+b

irj4-h

由題意可得《，整理得2a+b=l,

,,、m-

InIzm+p)---------=-2a

、m+b

1212b4a」4a1

則_L+*=(_L+*)(2a+》)=2+2+2+絲》4+2、2,絲=8,當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=—時(shí)取等號，

ababab\ab2

故—I—的最小值為8.

ab

故答案為：8.

14.已知函數(shù)/(x)=e2'—2a(%-2戶一。2X2(。＞0)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則々=.

2

【答案】—e

2

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)，求出/(九)的單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)/(%)恰有兩個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)/(%)與x軸有兩個(gè)不同的

交點(diǎn)，從而建立等量關(guān)系求解可得.

【詳解】因?yàn)椤▁)=—2a(x—2)e"—//(〃>。)，

所以「(%)=2e?x—2〃[e"+(x—2)e，]—2〃2jv=2(e'—or)(e'+〃)

令y=ex-ax則y'=e'-〃，令y'>0,

故當(dāng)%>ln〃時(shí)y'>。，函數(shù)y=e*-ax為增函數(shù),

當(dāng)％<lna時(shí)Vv。，函數(shù)y=ex-ax為減函數(shù),

即當(dāng)x=lna時(shí)函數(shù)y=ex-ax有最小值”(1一Ina),

若a(l—lna)之。，即0<a<e時(shí)/'(x)20,此時(shí)函數(shù)/(%)在R上為增函數(shù)，與題意不符，且當(dāng)a=e

時(shí)，/'(%)的零點(diǎn)為1;

若Q(1—lna)<0,即〃>e時(shí)，此時(shí)函數(shù)y=e無一利,(a>0)與％軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

,、,、fer,=ax,

設(shè)交點(diǎn)為(花，。)，(9,0),S.0<x1<l<x2,即｛,

2

e=ax2

所以當(dāng)x<x或x>3時(shí)y>0,即用x)>o,此時(shí)函數(shù)7(%)為增函數(shù)，

當(dāng)玉<x<尤2時(shí)y<0,即/'(x)<0,此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，

依題意，函數(shù)〃力恰有兩個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)八％)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即〃%)=0或/'(/卜。，

所以e~*_2a(菁_2)e''_cre'2—2a—2)e*2_#x，=0,

￡1—金

所以玉<1<%=2,所以a=

x,2

2

故答案為：—e.

2

【點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題的一般方法：

設(shè)萬⑺=〃x)-g(x)

方法一：轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(%)與X軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，通過求解廠(%)單調(diào)性構(gòu)造不等式求解；

方法二：轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/⑴,y=g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為Sn,4=3,Ho=65；數(shù)列｛b”｝的前〃項(xiàng)和7；=2〃一2.

(1)求數(shù)列｛4｝與也｝的通項(xiàng)公式；

(2)若g=anbn,求數(shù)列｛c“｝的前幾項(xiàng)和Gn.

【答案】(1)+優(yōu)=2"

n+1

(2)Gn=n-2.

【解析】

【分析】(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,由題意列方程可求得q,d,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出

｛4｝；當(dāng)時(shí)，T“_i=2b,_「2,兩式相減得可證得｛么｝是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而

求出｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)由(1)知%=(〃+1)2”,再由錯(cuò)位相減法求解即可.

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,

a1+d=3

4=2

則s10x9,，解得,

10a,H-----d=65d—1

2

所以%=2+(/7-1)X1=/Z+1.

因?yàn)門“=2b”—2,當(dāng)2時(shí)，T“_i=2b“_r2,兩式相減得：bn^2bn_x.

又b\=2b「2,得仇=2,所以｛2｝是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，

所以〃=2X2"T=2".

【小問2詳解】

由⑴矢口g=(〃+1)2”.

則a=2x21+3x2?+4x23+…+5+1)2-

2G^=2X22+3X23+---+ZZX2/,+(W+1)2,,+1,

兩式相減得：—&,=2x智+2?+23+…+2"—(〃+1)I"】

=2+_("+1)2'+1=_您'+1

1-2

所以G“=〃2+L

16.已知在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD為正方形，側(cè)棱上4,平面A3CD,點(diǎn)M在線段尸。上,

直線P5〃平面核IC,PA=AD=1.

P

(2)求平面A4C與平面MAC夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵返~

3

【解析】

【分析】(1)由線面平行的性質(zhì)定理可知〃aW,從而得證；

(2)由空間向量中兩平面的夾角公式求解.

【小問1詳解】

連接3D交AC于點(diǎn)N,連接肱V,

因?yàn)镻5〃平面MAC,且PBu平面P3D，

平面PBD1平面MAC=MN,所以PBHMN.

又因?yàn)樵谡叫蜛3CD中，N是3。的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M為77)中點(diǎn).

【小問2詳解】

因?yàn)樯?,平面A3CD,四邊形A3CD為正方形，

AB，ADu平面ABCD,所以AB,AD，AP兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0),P(0,0,l),

所以AM=[g,￡],AC=(1,1,0).

設(shè)平面MAC的法向量為〃=(x,y,z),

則J即,22-

〔”.AC=O,"=0,

令x=l,則y=-l,z=l,即“=（1,一1,1）；

由上4,平面ABC。，得PA_LBD,

又ACLBD,PA\AC=A,R4u平面PAC,ACu平面PAC,

所以5。1平面PAC,

即3。=（一1,1,0）是平面PAC的一個(gè)法向量.

?_j\n-BD\2J6

所以r[=-=一.

11rr

\H\-\BD\百X近3

所以平面PAC與平面MAC夾角的余弦值為叵.

3

（a>6>0）經(jīng)過點(diǎn)Nf網(wǎng).

(1)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)4(0,2),B,C為橢圓G上異于A的兩點(diǎn)，且A31AC,證明：直線過定點(diǎn)，并求

出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

22

【答案】(1)—+^=1

124

(2)證明見解析，定點(diǎn)(0,—1)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意代入M,N運(yùn)算求解即可;

(2)設(shè)直線的方程為、=辰+利，聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.

【小問1詳解】

由題意可得:,解得a=26，6=4,

故橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^=1.

124

【小問2詳解】

因?yàn)锽,C為橢圓G上異于A的兩點(diǎn)，所以直線的斜率存在,

不妨設(shè)直線的方程為、=履+優(yōu)，8（%,%）,C（x2,y2）,

y=kx+m

聯(lián)立方程

id2,消去y得(1+3左之)/+6knvc+3TTI2—12=0,

——+—=1

1124

則A=(6kmf-4(1+3左2)(3療_12)>0,整理得12k2+4>nr，

2

?…?f—6km3m-12

由韋達(dá)定理得+x2=-一

因?yàn)锳(0,2),AB=(xl,yl-2),AC=(%2,j2-2),ABLAC

可得AB?AC：%%+(%-2)(%—2)=石%2+(何+m-2)(Ax2+m-2)

2

二(1+k2)%%2+左—+x2)+(m-2)

=(1+用?^+皿-2)噂+(%2)2=0

化簡得(相—2乂m+1)=0,解得加=2或機(jī)=-1,

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，直線BC的方程為丁=6+2,直線過點(diǎn)4(0,2),不合題意;

當(dāng)〃?=-1時(shí)，12左？+4>m2恒成立，直線的方程為，=近一1,

所以直線過定點(diǎn)（0,—1）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法

(1)動(dòng)直線/過定點(diǎn)問題.解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為丁=區(qū)+l由題設(shè)條件將f用人表示為

t=mk+n,得y=Z(x+7")+”,故動(dòng)直線過定點(diǎn)(一加,")；

(2)動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題.解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)

等于零，得出定點(diǎn).

22

18.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:十方=1(。>0,6>0)的離心率為5且過點(diǎn)(2,2).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)圓必+丁=4的切線/與雙曲線C相交于A3兩點(diǎn).

(i)證明：OA±OB；

(ii)求，Q45面積的最小值.

22

【答案】(1)--^=1

24

(2)(i)證明過程見解析；(ii)4

【解析】

【分析】(1)待定系數(shù)法求解雙曲線方程；

(2)(i)考慮切線/的斜率為0和不為0兩種情況，設(shè)出切線方程兀=磔+乙聯(lián)立雙曲線方程，得到兩

根之和，兩根之積，求出。4.08=0得到垂直關(guān)系；

(ii)在(i)的基礎(chǔ)上，求出當(dāng)切線/的斜率為。時(shí)的三角形面積，再得到切線/的斜率不為。時(shí),OAB

面積表達(dá)式，求出其取值范圍，得到面積的最小值.

【小問1詳解】

由題意得:=石，將(2,2)代入雙曲線中得，—5=1,

又02=儲(chǔ)+〃，解得/=2,〃=4,

22

故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—-^-=1；

24

【小問2詳解】

(i)當(dāng)切線/的斜率為。時(shí)，方程為y=±2,

丫292

不妨設(shè)，=2,此時(shí)］—\=1,解得］=±2,不妨設(shè)4(—2,2),3(2,2),

則OA?O3=(-2,2)?(2,2)=T+4=0,所以04,03；

當(dāng)切線斜率不為。時(shí)，設(shè)為％=切+1,

\t\

由圓心到直線距離可得J^=2,故/=4+4加2，

J1+療

聯(lián)立x=my+/與---=1得，(2nl~y"+4mty+2廠—4=0,

24v)

［2療-IHO

則〈人21*(c、\/21\C，又廠=4+4m~，

A=16m2r-4(2廠一4)(2加2—1)>0

解得"Iw±—,

2

-4mt2tl—4

設(shè)4(%，%)，3(%，%)，則%+為=

2蘇_］，%%-2療_］

故%入2=(7孫+')(7盯2+。=.X%+皿(X+%)+/，

故04?03=石9+M%=(1+m2)乂%+〃才(％+%)+產(chǎn)

(,2、2/一44"?2/22r-4+2m2t2-4m2-4mV2+2m2t2-r

=1+m—；----------；—+r=--------------------------；--------------------------

')2m2-12m"-12m2-1

_t2-4-W

2m2-1

故04,06；

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程，

(2)當(dāng)a=g時(shí)，判斷了(%)是否存在極值，并說明理由；

(3)VXGR,/(X)+-<0,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1)y=-4ex+2e

(2)有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，理由見解析

(3)[(1—月eRo)

【解析】

【分析】(1)當(dāng)a=0時(shí)，求得/—2(x+l)e=結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；

(2)當(dāng)a=g時(shí)，求得/'(%)=e，(ex—2%—2),令/(X)=1—2