2024年高考數(shù)學(xué) 排列組合與二項式定理（解析版）

排列組合與二項式定理

目錄一覽

2023董題展現(xiàn)

考向一排列組合

真題考查解讀

近年真題對比

考向一排列組合

考向二二項式定理

命題規(guī)律

名校模擬探源

易錯易混速記/二級結(jié)論速記

：2023年真題展現(xiàn)

rr5

考向一排列組合

1.（2023?新高考n?第3題）某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法

作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200

名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）

A.C400,。品種B.C400,種

C.C400,。為種D-C400,第種

【答案】D

解：：初中部和高中部分別有400和200名學(xué)生，

，人數(shù)比例為400：200=2：1,

則需要從初中部抽取40人，高中部取20人即可，

則有C溫,c縱種.

2.（2023?新高考I?第13題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中

選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有一種（用數(shù)字作答）.

【答案】64

解:若選2門,則只能各選1門,有以以=16種，

如選3門，則分體育類選修課選2,藝術(shù)類選修課選1,或體育類選修課選1,藝術(shù)類選修課選2,

則有以鬣+Clcl=24+24=48,

綜上共有16+48=64種不同的方案.

.真題考查解讀

力——

【命題意圖】

考查二項式定理、排列組合?？疾槎検蕉ɡ砉胶蛻?yīng)用排列組合計算

【考查要點】

二項展開基本定理，還會涉及到三項展開，考查特定項、特定項的系數(shù)、二項式系數(shù)，同時會涉及到

賦值法的應(yīng)用，排列組合常以現(xiàn)實生活、社會熱點為載體.多為小題.

【得分要點】

1.排列組合問題的一些解題技巧

(1)特殊元素優(yōu)先安排.

(2)合理分類與準(zhǔn)確分步.

(3)排列、組合混合問題先選后排.

(4)相鄰問題捆綁處理.

(5)不相鄰問題插空處理.

(6)定序問題除法處理.

(7)分排問題直排處理.

(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部.

(9)構(gòu)造模型.

(10)正難則反、等價轉(zhuǎn)化.

2.排列、組合問題幾大解題方法：

(1)直接法.

(2)排除法.

(3)捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它

們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”.

(4)插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決

“元素不相鄰問題”.

(5)占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位

置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的

解題原則.

(6)調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時，可用此法.

(7)平均法：若把版?zhèn)€不同元素平均分成左組，每組〃個，共有笫解?！?

(8)隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.

(9)定位問題：從〃個不同元素中每次取出左個不同元素作排列規(guī)定某:?個元素都包含在內(nèi)，并且都

排在某r個指定位置則有勺鷹二.

（10）指定元素排列組合問題：

①從〃個不同元素中每次取出左個不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某7?個元素都包含在內(nèi).先C

后A策略，排列&第二A4；組合a鬣二.

②從〃個不同元素中每次取出發(fā)個不同元素作排列（或組合），規(guī)定某7?個元素都不包含在內(nèi).先C

后A策略，排列第一聞；組合第

③從〃個不同元素中每次取出左個不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個排列（或組合）都只包含某廠

個元素中的s個元素.先C后A策略，排列C；C仁/猊組合

3.二項式定理

（a+b）"=C%"+C』a"TbHHC姑"（〃GN*）,這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右

邊的多項式叫做（a+b）"的二項展開式，其中的系數(shù)C"&=0,1,2,…，"）叫做第r+1項的二項式系數(shù).式

中的C%"-。,叫做二項式展開式的第r+1項（通項），用「+1表示，即展開式的第r+1項；T,+i=C%"一%、

[[I近年真題對比

考向一排列組合

3.（2022?新高考H）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相

鄰，則不同的排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

【解答】解：把丙和丁捆綁在一起，4個人任意排列，有A：?A：=48種情況，

132

甲站在兩端的情況有c3AA=24種情況，

232

...甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有48-24=24種，

故選：B.

考向二二項式定理

4.（2022?新高考I）（1-X）（x+y）8的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

X

【解答】解：G+y）8的通項公式為7kl=最興-y,

35

當(dāng)r=6時，,=（：舐2丫6,^r=50^,T6=c|xy;

（1-工）（x+y）8的展開式中/了6的系數(shù)為--—^—=28-56=-28-

x686!*2!5!*3!

故答案為：-28.

命題規(guī)律

二項展開基本定理考查特定項、特定項的系數(shù)、二項式系數(shù)，同時會涉及到賦值法的應(yīng)用。排列組合

常以現(xiàn)實生活為載體.多為小題.

1名校模擬探源］

一.計數(shù)原理的應(yīng)用（共4小題）

1.（多選）（2023?羅定市校級模擬）將四個不同的小球放入三個分別標(biāo)有1、2、3號的盒子中，不允許

有空盒子的放法有多少種？下列結(jié)論正確的有（）

A.ClcQclB.C2/3

321343

C.Cd"D.18

342

【解答】解：根據(jù)題意，四個不同的小球放入三個分別標(biāo)有1?3號的盒子中，且沒有空盒，則三個盒子

中有1個中放2個球，剩下的2個盒子中各放1個,

有2種解法:

（1）分2步進(jìn)行分析:

①、先將四個不同的小球分成3組，有C42種分組方法；

②、將分好的3組全排列，對應(yīng)放到3個盒子中，有/33種放法;

則沒有空盒的放法有弓49種;

（2）分2步進(jìn)行分析：

①、在4個小球中任選2個，在3個盒子中任選1個，將選出的2個小球放入選出的小盒中，有C1C2

34

種情況

②、將剩下的2個小球全排列，放入剩下的2個小盒中，有種放法;

則沒有空盒的放法有。1。2422種;

34

故選：BC.

2.（2023?汕頭二模）電腦調(diào)色板有紅、綠、藍(lán)三種基本顏色，每種顏色的色號均為0?255.在電腦上繪

畫可以分別從三種顏色的色號中各選一個配成一種顏色，那么在電腦上可配成的顏色種數(shù)為（

A.2563B.27C.2553D.6

【解答】解：分3步取色，第一、第二、第三次都有256種取法,

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，共可配成256X256X256=2563種顏色.

故選：A.

3.（2023?鹽都區(qū)校級三模）六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同

的排法共有一種.

【解答】解：最左端排甲，共有455=120種，最左端排乙，最右端不能排甲，有C//44=96種,

根據(jù)加法原理可得，共有120+96=216種.

故答案為：216.

4.（2023?定遠(yuǎn)縣校級模擬）小林同學(xué)喜歡吃4種堅果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5種顏色的“每

日堅果”袋.每個袋子中至少裝1種堅果，至多裝4種堅果.小林同學(xué)希望五個袋子中所裝堅果種類各

不相同，且每一種堅果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（）

A.20160B.20220C.20280D.20340

【解答】解：依次記核桃、腰果、杏仁、榛子為女，Y,X,Z,則每個字母出現(xiàn)2次或4次，分類計算

分堆可能：

（1）/7,H-,Y,Y；X,X；Z,Z,

若是“8=4+1+1+1+1”，則其中的“4”必須是SZ,故1種可能;

若是“8=3+2+1+1+1”，則考慮（H/）正※）（X）（X），故有C^C；=12種可能；

小計：1+12+12=25；

（2）諸如“〃，H,H,H；Y,Y；X,X；Z,Z”類型，

若是“10=4+3+1+1+1”，則四個“無論怎么安排，都會出現(xiàn)某兩個袋僅放，，故0種可能；

若是“10=4+2+2+1+1”,則“1+1”中有一個是

H,“4+2+2”中各一個H,“2+2”巾除了一個H外，另一個互異，故袱=3種可能；

若是“10=3+3+2+1+1”，則“1+1”中各有1個區(qū)“3+3+2”中各一個H可以考慮含※模式，（口※

X）（“※※）（77※）（X）（"）,故有C§A^=6種可能；

若是“10=3+2+2+2+1”，則可用下表進(jìn)一步分類，有1+C棄C期；=10種可能;

YXZ//※//※//※H

//※//※//※X

//※※

//※“※※※H

若是“10=2+2+2+2+2”，則四個X至少有兩個出現(xiàn)搭配相同，故0種可能；

小計：Cjx（0+3+6+10+0）=76；

（3）諸如“H,H,H,H；Y,Y,Y,匕X,X-,Z,Z”類型，

若是“12=4+4+2+1+1”，則“4+4”必然重復(fù)，故0種可能；

若是“12=4+3+3+1+1”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)僅（"EXZ）（HYZ）（HYX）（HYX）（Z）

（X）可能；

若是“12=4+3+2+2+1”，則考慮（//XAZ）（H丫※）（:※※）（:※X）（:※）或（/TXXZ）（宓※）

（※※）（※※）（X）,有以己=4種可能；

若是“12=4+3+2+2+1”，則考慮（Z/XAZ）（〃丫※）（:※※）（:※※）（:※）或（"DZ）（應(yīng)※）

（:※※）（:※※）（:※），

若是“12-3+3+3+2+1”，則有（HEY）（HYZ）（ZA77）（HY）（丫）或CHYZ）（ZAT）

（HY1（H）都成立，有2種可能;

若是“12=3+3+2+2+2”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)（HYZ）（HY）（口※）㈠※），有2

種可能.

小計。X9=54；

諸如“〃，H,H,H-,Y,Y,Y,y；X,X,X,X；Z,Z”類型

若是“14=4+4+*+*+*”，則“4+4”必然重復(fù)，故0種可能；

若是“14=4+3+3+3+1”,則“4+3+3+3”中至少有3個Z,故0種可能；

若是“14=4+3+3+2+2”，則“4+3+3”至少有2個Z,考慮（切XZ）（HYX）&※※）（;※※）（X

X）,其中Z※※有c：=3種可能，故此小類有3種可能；

若是“14=3+3+3+3+2”，則“3+3+3+3”中至少有3個Z,故0種可能；

小計3C：=12：

（5）aH,H,H,H；Y,Y,Y,Y；X,X,X,X；Z,Z,Z,Z”

只有"16=4+3+3+3+3”的搭配，有1種可能；

綜上：共有個分堆可能，故不同的方案數(shù)為168Ag=168X120=2016冊?

25+76+54+12+1=168U

故選：A.

二.排列及排列數(shù)公式（共3小題）

5.（2023?荔灣區(qū)校級模擬）設(shè)a€N+,且a<27,則（27-a）（28-a）（29-a）…（34-a）等于（）

B.i.27-a

A34-a

【解答】解：a￡N+,且a<27,（27-a）（28-a）（29-a）…（34-a）

故選：D.

6.（2023?安化縣校級模擬）某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若

7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有

（）

A.504種B.960種C.1008種D.1108種

【解答】解：分兩類：

第一類甲乙相鄰排1、2號或6、7號，這時先排甲和乙，有2XA狎，然后排丁，有A；種，剩下其他

四個人全排列有種，因此共有2X/22/4/44=384種方法

第二類：甲乙相鄰排中間，

若丙排7號，先排甲和乙，因為相鄰且在中間，則有4XA：種，然后丙在7號，剩下四個人全排列有A：

種,

若丙不排7號，先排甲和乙，因為相鄰且在中間，則有4XA失中，然后排丙，丙不再1號和7號，有A；

種,接著排丁,丁不排在10月7日，有舄種，剩下3個人全排列，有A涉，

2423

因此共有（4A2A4+4A2A3%%）=624種方法，

故共有1008種不同的排法

故選：C.

7.（2023?洪山區(qū)校級模擬）已知加，n,2均為正整數(shù)，則湖足加!+加=夕的一組解為（加，n,p）

【解答】解：當(dāng)加25時，加!的尾數(shù)為0,而夕尾數(shù)為5,；?加，

然后取加，n,p---檢驗可得，（冽，n,p）=（1,4,2）或（4,1,2）.

故答案為：（1,4,2）或（4,1,2）（寫一個即可）.

三.組合及組合數(shù)公式（共4小題）

2320222023

8.(2023?沙河口區(qū)校級一模)-2Cnn9o+2Cnn9o-2Cnnoq+--+2Cnjno-2Cnjno

乙U乙J乙U￡?。乙U乙-J4U匕。匕U4。C?Uo。

是

【解答】解：由已知可得,,0_r)r14.02r.2_03r3.,02022r2022_O2023r2023

■2023—“2023+4^2023v2023v2023-zv2023

C2023XI2023X(-2)°+C2023X產(chǎn)Nx(-2)1XI1X(-2)2022+C2J93X1°X(-2)2023

(1-2)202』-1

故答案為：-1.

O

C5

66

9.（2023?紹興二模）

【解答】解:

6」_1

(]3)6-

"264

故答案為：J_.

64

10.（2023?遼寧模擬）我們常常運(yùn)用對同一個量算兩次的方法來證明組合恒等式，如：從裝有編號為1,

2,3,,,,,"+1的"+1個球的口袋中取出加個球（0</nW〃，m,〃eN）,共有「也，種取法.在「也.種

取法中，不取1號球有C：種取法；取1號球有C『種取法.所以C：+C，1=CM.試運(yùn)用此方法，寫

出如下等式的結(jié)果:Y+C瀉_]+C%cL+…+0C2"—%一

【解答】解：從編號為1,2,3,…，〃+3個球中，取出6個球，記所選取的六個小球的編號分別為四,

〃2，…，〃6，且<…<%，

當(dāng)?shù)?3時，分三步完成本次選?。?/p>

第一步，從編號為1,2的球中選取2個；第二步，選取編號為3的球；第三步，從剩下的"個球中任選

3個，故選取的方法數(shù)為eg卜c：=cj

當(dāng)?shù)?4時，分三步完成本次選?。?/p>

第一步，從編號為1,2,3的球中選取2個；第二步，選取編號為4的球；第三步，從剩下的個球

中任選3個，故選取的方法數(shù)為1=C；（3；

當(dāng)?shù)?〃時，分三步完成本次選?。?/p>

第一步，從編號為1,2,3,1的球中選取2個；第二步，選取編號為〃的球；第三步，從剩下

的3個球中選3個，故選取的方法數(shù)為,C卜C?=C

至此，完成了從編號為1,2,3,〃+3個球中，選取6個球，第3個球的編號確定時的全部情況，

另外，從編號為1,2,3,…，〃+3個球中，取出6個球，有c6c種取法，

n+3

所以C3c2弋3+「2（3+…+?23c2Q6.

%十七4-1+匕Ln-2^n-2L4+^n-l^m-3

故答案為：,6

n+3

11.（2023?常德二模）從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出三臺，其中至少要有甲型和乙型電視機(jī)各

1臺，則不同的取法共有一種.

【解答】解：甲型電視機(jī)2臺和乙型電視機(jī)1臺，取法有C42c51=30種；

甲型電視機(jī)1臺和乙型電視機(jī)2臺，取法有。4匕52=40種；

共有30+40=70種.

故答案為：70

四.排列、組合及簡單計數(shù)問題（共31小題）

12.（2023?賀蘭縣校級四模）從2名教師和5名學(xué)生中，選出3人參加“我愛我的祖國”主題活動.要求

入選的3人中至少有一名教師，則不同的選取方案的種數(shù)是（）

A.20B.25C.30D.55

【解答】解：根據(jù)題意，從2名教師和5名學(xué)生中，選出3人，有C73=35種選法，

若入選的3人沒有教師，即全部為學(xué)生的選法有。53=10種，

則有35-10=25種不同的選取方案，

故選：B.

13.（2023?讓胡路區(qū)校級模擬）某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前

兩位，節(jié)目乙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有（）

A.36種B.42種C.48種D.54種

【解答】解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析:

①節(jié)目甲必須排在前兩位，則節(jié)目甲有2種排法，

②節(jié)目乙必須排在最后一位，節(jié)目乙有1種排法，

③剩下的4個節(jié)目安排到其他4個位置，有溫=24種排法，

則有2X1X24=48種編排方案；

故選：C.

14.（2023?商丘三模）某小學(xué)從2位語文教師，4位數(shù)學(xué)教師中安排3人到西部三個省支教，每個省各1

人，且至少有1位語文教師入選，則不同安排方法有（）種.

A.16B.20C.96D.120

【解答】解：當(dāng)只有1為語文教師入選時，則有C；C：AW=2X6X6=72種安排方法，

當(dāng)2為語文教師均入選時，則有j=lX4X6=24種安排方法，

故共有72+24=96種安排方法.

故選：C.

15.（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）N,B,C,D,￡共5人排成一列，要求/與8不相鄰，且。排在N后面,

則共有（）種排法.

A.36B.54C.72D.96

【解答】解利用間接法，僅考慮C排在/后面的情況，采用先排NC,然后8OE插空，共有3X4X5=

60種，

其中N8相鄰的有A：X3X4=24種（將48捆綁，有A狎，然后排好后插空），

故C排在/后面且48不相鄰的有60-24=36種.

故選：A.

16.（2023?南通三模）某人將斐波那契數(shù)列的前6項“1,1,2,3,5,8”進(jìn)行排列設(shè)置數(shù)字密碼，其中

兩個“1”必須相鄰，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有（）

A.120種B.240種C.360種D.480種

【解答】解：將兩個1捆綁在一起，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有代職120種?

故選：A.

17.（2023?雁峰區(qū)校級模擬）如圖，一圓形信號燈分成4,B,C,。四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有3種不同的顏色

供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色，則不同的信號總數(shù)

A.18B.24C.30D.42

【解答】解：若3種不同的顏色燈帶都使用，

故有兩塊區(qū)域涂色相同，要么C,要么B,。相同，有2種方案，

則不同的信號數(shù)為2Ag=12；

若只用2種不同的顏色燈帶，則4C顏色相同，B,。顏色相同，只有1種方案，

則不同的信號數(shù)為C：A：=6；

則不同的信號總數(shù)為12+6=18.

故選：A.

18.（2023?屯昌縣二模）某學(xué)校為了豐富同學(xué)們的寒假生活，寒假期間給同學(xué)們安排了6場線上講座，其

中講座/只能安排在第一或最后一場，講座2和C必須相鄰，問不同的安排方法共有（）

A.34種B.56種C.96種D.144種

【解答】解：???由題意知講座/只能安排在第一或最后一場，

?,.有A；=2種結(jié)果，

?..講座8和C必須相鄰，

???共有A：A：=48種結(jié)果，

根據(jù)分步計數(shù)原理知共有2X48=96種結(jié)果.

故選：C.

19.（2023?連云港模擬）現(xiàn)要從N,B,C,D,￡這5人中選出4人，安排在甲、乙、丙、丁4個崗位上,

如果/不能安排在甲崗位上，則安排的方法有（）

A.56種B.64種C.72種D.96種

【解答】解：根據(jù)/是否入選進(jìn)行分類：

若/入選，

則先給/從乙、丙、丁3個崗位上安排一個崗位有嗎=3種，再給剩下三個崗位安排人有A：=4X3X2=24

種，共有3X24=72種方法；

若/不入選，

則4個人4個崗位全排有A：=4X3X2X1=24種方法，

所以共有72+24=96種不同的安排方法.

故選：D.

20.（2023?賀蘭縣校級模擬）某教師有相同的語文參考書3本，相同的數(shù)學(xué)參考書4本，從中取出4本贈

送給4為學(xué)生，每位學(xué)生1本，則不同的贈送方法共有（）

A.15種B.20種C.48種D.60種

【解答】解：根據(jù)題意，按取出4本書的情況不同分4種情況討論:

①、若取出的4本書全部是數(shù)學(xué)參考書，將其贈送給4位學(xué)生，有1種情況，

②、若取出的4本書有1本語文參考書，3本數(shù)學(xué)參考書，需要在4個學(xué)生中選取1人，接受語文參考

書，剩下的3人接受數(shù)學(xué)參考書，

有C/=4種贈送方法，

③、若取出的4本書有2本語文參考書，2本數(shù)學(xué)參考書，需要在4個學(xué)生中選取2人，接受語文參考

書，剩下的2人接受數(shù)學(xué)參考書，

有042=6種贈送方法，

④、若取出的4本書有3本語文參考書，1本數(shù)學(xué)參考書，需要在4個學(xué)生中選取3人，接受語文參考

書，剩下的1人接受數(shù)學(xué)參考書，

3

有C4=4種贈送方法，

則一共有1+4+6+4=15種贈送方法，

故選：A.

21.（2023?貴州模擬）公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計圓周率n的值的范圍：3.1415926<it<3.1415927,

為紀(jì)念祖沖之在圓周率的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學(xué)的偉大成就.某小學(xué)教師為

幫助同學(xué)們了解“祖率”，讓同學(xué)們把小數(shù)點后的7位數(shù)字1,4,1,5,9,2,6進(jìn)行隨機(jī)排列，整數(shù)

部分3不變，那么可以得到小于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)有（）

A.240B.360C.600D.720

【解答】解：小于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)有兩類：

第一類：3.11開頭的，剩余5個數(shù)字全排列有媼=120種；

第二類：3.12開頭的，剩余5個數(shù)字全排列有/^=120種-

根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共120+120=240種.

故選：A.

22.（2023?日喀則市模擬）某國際高峰論壇會議中，組委會要從5個國內(nèi)媒體團(tuán)和3個國外媒體團(tuán)中選出

3個媒體團(tuán)進(jìn)行提問，要求這三個媒體團(tuán)中既有國內(nèi)媒體團(tuán)又有國外媒體團(tuán)，每個媒體團(tuán)提問一次，且

國內(nèi)媒體團(tuán)不能連續(xù)提問，則不同的提問方式的種數(shù)為（）

A.150B.90C.48D.36

【解答】解：根據(jù)題意，要求提問的三個媒體團(tuán)中既有國內(nèi)媒體團(tuán)又有國外媒體團(tuán)，分2種情況討論：

選出的3個媒體團(tuán)中只有一個國內(nèi)媒體團(tuán)，有或C弘§=90種不同的提問方式；

3J3

②選出的3個媒體團(tuán)中有兩個國內(nèi)媒體團(tuán)，則國外媒體要在中間位置發(fā)言，則有C2C!AW=6O種不同的

提問方式.

綜上，共有60+90=150種不同的提問方式.

故選：A.

23.（2023?平定縣校級模擬）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心實驗艙、問天實驗艙和夢天實驗艙，假

設(shè)空間站要安排甲、乙等5名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多二人，則甲乙不在同一實驗

艙的種數(shù)有（）

A.60B.66C.72D.80

【解答】解：5名航天員安排三艙，每個艙至少一人至多二人，共有c；C；C：=90種安排方法，

若甲乙在同一實驗艙的種數(shù)有=種，

故甲乙不在同一實驗艙的種數(shù)有90-18=72種.

故選：C.

24.（2023?江西模擬）中國空間站（ChinaSpaceStation）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天

實驗艙.2022年10月31日15：37分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關(guān)鍵部分

的發(fā)射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“T”字形架構(gòu)，我國成功將中國

空間站建設(shè)完畢.2023年，中國空間站將正式進(jìn)入運(yùn)營階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開

展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（）

A.450種B.72種C.90種D.360種

【解答】解：由題知，6名航天員安排三艙，

三艙中每個艙至少一人至多三人，

可分兩種情況考慮：

第一種，分人數(shù)為1-2-3的三組,共有\(zhòng)Ag=360種;

0uJ3

CfiC?CnQ

第二種，分人數(shù)為2-2-2的三組，共有6，2/上9冊;

所以不同的安排方法共有360+90=450種.

故選：A.

25.（2023?河北模擬）中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年10月在北京石開.會議期間，5男3

女共8位代表相約在人民大會堂前站成一排合影，若女代表中恰有2人相鄰，且男代表甲不站在兩端，

則不同的站位方法共有（）

A.7920種B.9360種C.15840種D.18720種

【解答】解：8人站成一排，女代表中恰有2人相鄰的站位方法有NI=《A）"會21600種，

其中男代表甲站在兩端的方法有電=以（：負(fù)負(fù)'2760種，

故所求的站位方法共有21600-5760=15840種.

故選：C.

26.（2023?香坊區(qū)校級三模）“第二課堂”是哈九中多樣化課程的典型代表，旨在進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的人文

底蘊(yùn)和科學(xué)精神，為繼續(xù)滿足同學(xué)們不同興趣愛好，美育中心精心準(zhǔn)備了大家非常喜愛的中華文化傳承

系列的第二課堂活動課：陶藝，拓印，扎染，創(chuàng)意陶盆，壁掛，剪紙六個項目供同學(xué)們選學(xué)，則甲、乙、

丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有（）

A.135種B.720種C.1080種D.1800種

【解答】解：恰有2名學(xué)生選課相同，

第一步，先將選課相同的2名學(xué)生選出，有cj=6種可能；

第二步，從6個項目中選出3個排好，有A,=120種排法，

根據(jù)分步計數(shù)原理可得，方法有6X120=720種；

4名學(xué)生所選的課全不相同的方法有A，=360種.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有

720+360=1080種.

故選：C.

27.（2023?武威模擬）將8個人分成三組，其中一組由2人組成，另外兩組都由3人組成，則不同的分組

方法種數(shù)為一.

【解答】解：先從8個人中選出3人為一組，再從5人中選出3人為一組，剩余兩人為一組.

C3c3c2

滿足條件的分組方法種數(shù)為8旌2=56、10=280.

A：2

故答案為：280.

28.（2023?武昌區(qū)校級模擬）已知有L,M,S三種尺寸的檢測樣品盒，其中每個乙盒至多放置10支完全

相同的樣品，且工盒至少比M盒多2支樣品，〃盒至少比S盒多2只樣品，則不同的放置方法共有—

一種.（注：L,M,S不可為空盒）

【解答】解：由題意得，當(dāng)￡盒放10支樣品，且M盒放8支樣品時，S盒可放6、5、4、3、2、1支樣

品，共有6種不同的放置方法；

當(dāng)工盒放10支樣品，且M盒放7支樣品時，S盒可放置5、4、3、2、1支樣品，共有5種不同的放置

方法；

……當(dāng)工盒放10支樣品，且“盒放3支樣品時，S盒可放1支樣品，只有1種放置方法，

所以工盒放置10支樣品，共有放置方法：6+5+4+3+2+1=21種，

同理，Z盒放9支樣品，共有放置方法：5+4+3+2+1=15種，

￡盒放8支樣品，共有放置方法：4+3+2+1=10種，

￡盒放7支樣品，共有放置方法：3+2+1=6種，

工盒放6支樣品，共有放置方法：2+1=3種，

工盒放5支樣品，共有放置方法：1種，

所以不同的放置方法總數(shù)為21+15+10+6+3+1=56種.

故答案為：56.

29.（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）某班級計劃安排學(xué)號為1?9的九名同學(xué)中的某5位，分別擔(dān)任周一至周

五的值日生，要求學(xué)號為奇數(shù)的同學(xué)不能安排在周一、周三、周五三天值日，則不同的安排方法有一

—種.（用數(shù)字作答）

【解答】解：第一類：當(dāng)學(xué)號為偶數(shù)的同學(xué)有3位時，有AW=24X20=480；

第二類：當(dāng)學(xué)號為偶數(shù)的同學(xué)有4位時，有對=24X10=240；

所以不同的安排方法有480+240=720種.

故答案為：720.

30.（2023?泰安二模）用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位

數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有一個.（用數(shù)字作答）

【解答】解：根據(jù)題意，分成兩類情況：

①四位數(shù)中沒有偶數(shù)，即在1,3,5,7中任選4個，共有A：=24種，

②四位數(shù)中只有一個偶數(shù)，即在1,3,5,7中任選3個，在2,4,6種選一個，共有C：C；A：=288種，

故共有24+288=312.

故答案為：312.

31.（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）某市文明辦積極創(chuàng)建全國文明典范城市，號召志愿者深入開展交通督導(dǎo)、旅

游宣傳、潔凈家園、秩序維護(hù)4項志愿服務(wù).現(xiàn)有6組志愿者服務(wù)隊，若每組參與一項志愿服務(wù)，每項

志愿服務(wù)至少有1組參與，其中甲組志愿服務(wù)隊不參與旅游宣傳志愿服務(wù)，則不同的參與方式共有—

一種.

【解答】解：以參與旅游宣傳的組數(shù)分類，有3種情況：

①1組：從甲組之外的5中任選一組參與旅游宣傳，其余5組參與其余3項服務(wù)，

,C5C3Q

共有（-A^+吟9?A?=750種；

5白/03

A2

②2組：從甲組之外的5組中任選2組參與旅游游宣傳，其余4組參與另外3項服務(wù)，

共有：嵋C澗=360種；

③3組：從甲組之外的5組中選3組參與游宣傳，其余3組參與其包3項服務(wù)，

共有CrAq=60種;

共計：750+360+66=1170種.

故答案為：1170.

32.（2023?香洲區(qū)校級模擬）“校本課程”是現(xiàn)代高中多樣化課程的典型代表，自在進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的人

文底蘊(yùn)和科學(xué)精神，為繼續(xù)滿足同學(xué)們不同興趣愛好，藝術(shù)科組準(zhǔn)備了學(xué)生喜愛的中華文化傳承系列的

校本活動課：創(chuàng)意陶盆，拓印，扎染，壁掛，剪紙五個項目供同學(xué)們選學(xué)，每位同學(xué)選擇1個項目.則

甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有（）

A.360種B.480種C.720種D.1080種

【解答】解：①恰有2名學(xué)生選課相同，

第一步，先將選課相同的2名學(xué)生選出，有c/=6種可能；

第二步，從5個項目中選出3個排序，有A2=60,

根據(jù)分步計數(shù)原理可得，方法有6X60=360種；

②4名學(xué)生所選的課全不相同的方法有=120種，

□

根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，

甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選的課全不相同的方法共有360+120=480種.

故選：B.

33.（2023?秦淮區(qū)一模）某學(xué)校有6個數(shù)學(xué)興趣小組，每個小組都配備1位指導(dǎo)老師，現(xiàn)根據(jù)工作需要,

學(xué)校準(zhǔn)備將其中4位指導(dǎo)老師由原來的小組均相應(yīng)的調(diào)整到其他興趣小組，其余的2位指導(dǎo)老師仍在原

來的興趣小組（不作調(diào)整），如果調(diào)整后每個興趣小組仍配備1位指導(dǎo)老師，則不同的調(diào)整方案為（）

A.135種B.360種C.90種D.270種

【解答】解：根據(jù)題意，6個數(shù)學(xué)興趣小組有一位指導(dǎo)老師仍在原來的興趣小組，則不做調(diào)整的兩個小

組有或=15種情況，

其余的4個小組的指導(dǎo)老師由原來的小組均相應(yīng)地調(diào)整到其他數(shù)學(xué)興趣小組，

假設(shè)4個小組為1、2、3、4,對應(yīng)的4位指導(dǎo)老師依次為/、B、C、D,

/不能在第1小組，有3種情況，假設(shè)工分到第2小組，則8有3種情況，剩下的兩人有1種情況，

則其余的4個小組有3X3=9種調(diào)整方案，

故有15X9=135種調(diào)整方案，

故選：A.

34.（2023?山西模擬）如圖，有8個不同顏色的正方形盒子組成的調(diào)味盒，現(xiàn)將編號為/,B,C,。的4

個蓋子蓋上（一個蓋子配套一個盒子），要求8不在同一行也不在同一列，C,。也是此要求.那么

不同的蓋法總數(shù)為（）

1234

5678

A.224B.336C.448D.576

【解答】解：第一步：先蓋/,B,有8X3=24種方法；

第二步：再蓋C,D.

①若C與4或3在同一列，則有2種蓋法，。就有3種蓋法，共2X3=6種方法；

②若C與N或8不在同一列，則有4種蓋法，。就有2種蓋法，共4X2=8種方法.

綜上所述，滿足要求的有24X（6+8）=336種方法.

故選：B.

35.（2023?撫松縣校級模擬）琴、棋、書、畫、詩、酒、花、茶被稱為中國傳統(tǒng)八雅.為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文

化，某校決定從“八雅”中挑選“六雅”，于某周末開展知識講座，每雅安排一節(jié)，連排六節(jié).若“琴”

“棋”“書”“畫”必選，且要求“琴”“棋”相鄰，“書”與“畫”不相鄰，則不同的排課方法共

種.（用數(shù)字作答）

【解答】解：首先從詩、酒、花、茶中選“兩雅”有C：種選法，

“琴”“棋”相鄰用捆綁法看做一個整體，與除“書”與“畫”外的“兩雅”全排列，有人為狎排法，

再將“書”與“畫”插入到剛剛所形成的4個空中的2個空，有種插法，

按照分步乘法計數(shù)原理可得一共有c7弘|A4864種排法.

故答案為：864.

36.（2023?蕉城區(qū)校級模擬）近年來喜歡養(yǎng)寵物貓的人越來越多.某貓舍只有5個不同的貓籠，金漸層貓

3只（貓媽媽和2只小貓篇）、銀漸層貓4只、布偶貓1只.該貓舍計劃將3只金漸層貓放在同一個貓

籠里，4只銀漸層貓每2只放在一個貓籠里，布偶貓單獨(dú)放在一個貓籠里，則不同的安排有（）

A.8種B.30種C.360種D.1440種

【解答】解：根據(jù)題意，將3只金漸層貓放在同一個貓籠里，則把3只金漸層貓看成是1個整體，

C2c2

4只銀漸層貓每2只放在一個貓籠里，則分組方法有二丫=3（種），

4

一共有4個整體進(jìn)行排列放在5個不同的貓籠，

則一共可以安排的方法有：A（X3=360（種）.

故選：C.

37.（2023?唐縣校級二模）某班級選出甲、乙、丙等六人分別擔(dān)任語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物

六門學(xué)科的課代表，已知甲只能擔(dān)任語文或英語課代表，乙不能擔(dān)任生物或化學(xué)課代表，且乙、丙兩人

中必有一人要擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，則不同的安排方式有（）

A.56種B.64種C.72種D.86種

【解答】解：若乙擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，則不同的安排方式共有C；.A：=48種，

若丙擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表，則甲只能擔(dān)任語文或英語課代表，乙不能擔(dān)任生物或化學(xué)課代表，不同的安排方

式共有C；卜A；=24種,

所以不同的安排方式共有4