立體幾何初步（公式、定理、結論圖表）【口袋書】2023年高考數學必背知識手冊

立體幾何初步（公式、定理、結論圖表）

現(xiàn)實世界中的物體￡錐、臺、球的結構特征

.____________________________

空間幾何體立體圖形的直觀圖

I------*__i__II____________Z____________

4柱、錐、一?丁東6康面積和體積

I平面的基本性質

［空間中直線三直線的底置主系

空間點、直城、空間中直線二平面的平行

平面的位置關系囪可中直線三平面的位置走系

:空間中平面與平面的位置關系空間中直線、平面的垂直

空間平行、垂直關系之間的轉化

性質

性質

--------------1判定J-------!-------判定「

直線與直線垂直直線與平面垂直一［平面與平面垂直

性質

1.多面體的結構特征

名稱棱柱棱錐棱臺

圖形

>ABABsAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

相交于一點,但不一定

側棱互相平行且相等延長線交于一點

相等

側面形狀平行四邊形三角形梯形

2.正棱本E、正棱錐的結構特征

(1)正棱柱：側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫

做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正多邊形，側棱垂直于底面，側面是矩形.

(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱

錐叫做正棱錐.特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體.

3.旋轉體的結構特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

■S\0

叁

圖形

互相平行且相

長度相等且相延長線交于二

母線等，垂直于底

交于一點點

面

全等的等腰三全等的等腰梯X

軸截面全等的矩形圓

角形

側面展開圖矩形扇形扇環(huán)

旋轉圖形矩形直角三角形直角梯形半圓

4.三視圖

(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側視圖、俯視圖,分別是從幾何體的正前方、

正左方和正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.

(2)在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線.

(3)三視圖的長度特征：

“長對正、高平齊、寬相等”，即正俯同長、正側同高、俯側同寬.

5.空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：

⑴原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，/軸，軸的夾角為

45°或135°,z'軸與/軸和V軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸;平行于x軸和

z軸的線段在直觀圖中保持原長度丕變；平行于y軸的線段在直觀圖中長度為原

來的一半.

6.多面體的表(側)面積

因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之

和，表面積是側面積與底面面積之和.

7.圓柱'圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式

圓柱圓錐圓臺

廠—//'、、

----J;

-2叫：;

側面展開圖1

—、2irr!

側面積公式S圓柱側=271rls圓錐側=匹〃S圓臺側=兀(廠1+r2)/

r'=rr'=0

三者關系

S圓柱側一271rl*S圓臺側——兀。1h）1*S圓錐側一71rl

8.柱、錐、臺和球的表面積和體積

名稱

表面積體積

幾何體

柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側+2S底V=Sh

V=^Sh

錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側+S底

V=|（S±+S卜+=S上S卜）力

臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側+S上+S下

41

球S=4TTR2V=T7l7?3

3---

9.平面的基本性質

(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在這個平面

內.

(2)公理2：過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.

(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過

該點的公共直線.

(4)公理2的三個推論

推論1：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面.

推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面.

推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面.

10.空間直線的位置關系

(1)位置關系的分類

’平行直線

共面直線《

、相交直線

〔異面直線：不同在任何一個平面內,沒有公共點

(2)異面直線所成的角

①定義:設》是兩條異面直線，經過空間任一點。作直線///a,b'//b,

把小與》所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

=兀

②范圍:2

一

(3)平行公理(公理4)和等角定理

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互

補.

11.空間中直線與平面、平面與平面的位置關系

⑴空間中直線與平面的位置關系

位置關系圖形表示符號表示公共點

直線a在平面a內Z0/有無數個公共點

直線。與平_a

a//a沒有公共點

面a平行//

直線

直線a與平

在平ciCl

面a斜交有且只有一個公共

面外

直線。與平點

a.La

面a垂直7

(2)空間中兩個平面的位置關系

位置關系圖形表示符號表示公共點

兩平面平行4__/a//p沒有公共點

/__/

兩平斜交aCB=l

面相有一條公共直線

交aa.L/3且

垂直；a7

/p/

12.線面平行的判定定理和性質定理

符號語

文字語言圖形語言、.

???/〃〃,

平面外一條直線與此平面內的一條直線

aUa,及

判定定理平行，則該直線與此平面平行（簡記為

a,

“線線平行二線面平行”）

：.l//a

'：l//a,

一條直線與一個平面平行，則過這條直luB,

性質定理線的任一平面與此平面的支線與該直線aC8=

平行（簡記為“線面平行二線線平行”）b,

：.l//b

13.面面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面內的兩條相

??Z〃￡,b///3,

交直線與另一個平面

aC\b=P,

判定定理平行，則這兩個平面

bUa,

平行（簡記為“線面平b__/

：.a///3

行今面面平行”）

如果兩個平行平面同*.*6，，

性質定理時和第三個平面相二8c尸b,

交，那么它們的交線Ja//b

平行

14.直線與平面垂直

(1)定義：如果直線/與平面a內的任意一條直線都垂直,則直線/與平面a

垂直.

(2)判定定理：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線

與此平面垂直.

(3)推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條也垂

直于這個平面.

(4)直線和平面垂直的性質：

①垂直于同一個平面的兩條直線壬紅.

②直線垂直于平面，則垂直于這個平面內的任二直線.

③垂直于同一條直線的兩平面壬丘.

15.直線和平面所成的角

⑴平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平

面所成的角.

(2)當直線與平面垂直和平行(或直線在平面內)時，規(guī)定直線和平面所成的角

分別為90。和0。.

(3)直線和平面所成角的范圍是0°We<90°.

16.二面角的有關概念

(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內分別作

垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范圍是0WW180。.

17.平面與平面垂直

(1)定義：如果兩個平面所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

(2)平面與平面垂直的判定定理與性質定理

文字語言圖形語言符號語言

判定一個平面過另一個平面的垂線，則4l.La]

定理這兩個平面垂直(//u用"

〈常用結論》

1.特殊的四棱柱

底面為平行側棱垂直直平行底面為

四棱柱

平行四邊形六面體于底面六面體矩形

Ik、〃I底面I〒一任工、I側棱與底面IV一

長萬體正四棱柱一不工正萬體

-------邊長相等I1---------邊長i相R寺—-------

上述四棱柱有以下集合關系：|正方體｝呈｛正四棱柱｝呈

I長方體｝室!直平行六面體｝工1平行六面體｝呈｛四棱

柱1?

2.球的截面的性質

(1)球的任何截面是席西;

(2)球心和截面(不過球心)圓心的連線建真土截面；

(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關系為r=7照一心

3.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積的關系

如下:

4.正四面體的表面積與體積

棱長為。的正四面體，其表面積為也足，體積為害ai

5.幾個與球有關的切、接常用結論

⑴正方體的棱長為a,球的半徑為R,

①若球為正方體的外接球，則遇三低；

②若球為正方體的內切球，則2R=a;

③若球與正方體的各棱相切，則舞三缶.

(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則

匕2±[.

(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3：1,棱長為a的正四面體，

其內切球半徑7?內=福，外接球半徑R外=乎必

6.異面直線的判定定理

經過平面內一點的直線與平面內不經過該點的直線互為品面真線.

7.等角定理的引申

(1)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向相同或相反，則這兩個角相等.

(2)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向一個邊相同，一個邊相反，則這

兩個角互補.

8.唯一性定理

(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.

(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

(3)過平面夕I"點有且只有一個平面與已知平面平行.

(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.

9.線、面平行的性質

(1)兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面.

(2)夾在兩個平行平面間的平行線段長度加餐.

(3)經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面土丘.

(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例.

(5)如果兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面互相平行.

(6)如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，

那么這兩個平面平行.

(7)垂直于同一條直線的兩個平面生紅.

(8)垂直于同一平面的兩條直線生紅.

10.若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

11.一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直.

12.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.

13.過一點有且只有一條直線與已知平面垂直.

14.過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

〈解題方法與技巧》

一、空間幾何體概念辨析題的常用方法

緊扣定義，由已知構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型

定義法

中的線面關系或增加線、面等基本元素，根據定義進行判定

通過反例對結構特征進行辨析，即要說明一個結論是錯誤的，只要

反例法

舉出一個反例即可

典例1：下列結論正確的是()

A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉

形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐

C.棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐

D.圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線

D[A錯誤.如圖1所示，由兩個結構相同的三棱錐疊放在一起構成的幾何

體，各面都是三角形，但它不是棱錐.

圖1圖2

B錯誤.如圖2,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉軸不是

直角邊所在直線，所得的幾何體都不是圓錐.

C錯誤.由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側棱長必然要大于底面邊長.D

正確.]

二、識別三視圖的步驟

(1)弄清幾何體的結構特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；

(2)根據三視圖的有關定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側

視圖；

(3)被遮住的輪廓線應為虛線，若相鄰兩個物體的表面相交，表面的交線是它

們的分界線；對于簡單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位

置.

典例2：(1)如圖是一個正方體，A,B,C為三個頂點，。是棱的中點，則

三棱錐A-BCD的正視圖、俯視圖是(注：選項中的上圖為正視圖，下圖為俯視

圖)()

(2)中國古建筑借助梯卯將木構件連接起來.構件的凸出部分叫樺頭，凹進部

分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是梯頭.若如圖擺放的木構件與某一帶卯

眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是()

(1)A(2)A[(1)正視圖和俯視圖中棱AD和5。均看不見，故為虛線，易知

選A.

(2)由題意可知，咬合時帶卯眼的木構件如圖所示，其俯視圖為選項A中的

圖形.]

三、由三視圖確定幾何體的步驟

I定底面[~j根據俯視圖判斷出底面形狀:

定棱及側面n根據正、側視圖確定幾何體的側棱與側面的特征:

g________________

定形狀口注意三視圖中虛線和實線變化，確定幾何體形狀：

典例3:(1)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形

的個數為()

俯視圖

A.1B.2C.3D.4

(2)某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示.圓柱表面上的點M

在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為3,則在此

圓柱側面上，從”到N的路徑中，最短路徑的長度為()

B

A.2^17B.D.2

(1)C(2)B[(1)在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐尸-A5CQ,

如圖，由圖可知在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數為3,故選C.

(2)先畫出圓柱的直觀圖，根據題圖的三視圖可知點N的位置如圖1所

不.

MyMr^r---------

、、、、、、

。4NP

圖1圖2

圓柱的側面展開圖及舷，N的位置（N為0P的四等分點）如圖2所示，連接

MN,則圖中MN即為/到N的最短路徑.ON=：X16=4,0M=2,

：.MN=7OM?+ON2=N嬰+42=2小.故選B.]

四'由幾何體的部分視圖確定剩余視圖的方法

解決此類問題，可先根據已知的一部分視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，

然后再找其剩下部分視圖的可能形式.當然作為選擇題，也可將選項逐項代入檢

驗.

典例4：如圖是一個空間幾何體的正視圖和俯視圖，則它的側視圖為（）

A[由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是由一個圓柱挖去一個圓錐構成的，

結合正視圖的寬及俯視圖的直徑可知側視圖應為A,故選A.]

五、空間幾何體的直觀圖

1.用斜二測畫法畫直觀圖的技巧

在原圖形中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中與/軸或了軸平行，原

圖中不與坐標軸平行的直線段可以先畫出線段的端點再連線.

2.原圖形與直觀圖面積的關系

按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關系：（1）S直觀圖=

，S原圖形；（2）S原圖形=2,2s直觀圖.

典例5：（1）已知等腰梯形ABC。，CD=1,AD=CB=y[2,AB=3,以A3所

在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A'B'CD'的面積為（）

A.^2

(2)如圖，矩形。'A，B'C是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中

O'A'=6cm,O'C=2cm,則原圖形是（）

A.正方形

C.菱形D.一般的平行四邊形

(1)C(2)C[(1)法一(作圖求解):如圖，取A3的中點。為坐標原點，建立

平面直角坐標系，y軸交。C于點E,O,E在斜二測畫法中的對應點為，

E',過E'作F'±x'軸，垂足為〃，

因為0E=q(嫄產―y=1,

所以0，E'=|,E'F'=當.

所以直觀圖A'B'CD'的面積為

S'=*(1+3)X當邛，

故選C.

法二(公式法)：由題中數據得等腰梯形A3CD的面積S=；X(1+3)X1=2.

由S直觀圖=AS原圖形,

得S直觀圖X2=!",故選C.

(2)如圖，在原圖形。WC中，應有。。=2。'D'=2X2g=4*(cm),CD

=C'D'=2cm.

所以0C=、0?+cr>2=叱4的2+22=6(cm),

所以。4=0C,由題意得。4觸BC,故四邊形。4BC是菱形，故選C.]

六、求解幾何體表面積的類型及求法

求多面體的

先求各個面的面積，再相加即可

表面積

可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表

求旋轉體的

面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中

表面積

的邊長關系

求不規(guī)則幾通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這

何體的表面些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求

積時出所給幾何體的表面積

典例6：(1)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()

俯視圖

A.48+KB.48—兀

C.48+2兀D.48—2兀

(2)已知圓柱的上、下底面的中心分別為。1,。2,過直線。1。2的平面截該圓

柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()

A.12巾itB.12TI

C.8y[2nD.lOn

(1)A(2)B[(1)該幾何體是正四棱柱挖去了一個半球，正四棱柱的底面是

正方形(邊長為2),高為5,半球的半徑是1,那么該幾何體的表面積為S=2X2X2

+4X2X5—兀XF+2兀xy=48+兀，故選A.

(2)因為過直線OiQ的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以

圓柱的高為2g，底面圓的直徑為2g，所以該圓柱的表面積為2XTTX(表產+

2nx巾X2取=12兒]

七、求體積的常用方法

直接法對于規(guī)則的幾何體，利用相關公式直接計算

首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；

割補法或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟

悉的幾何體，便于計算

等體積選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用

法三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換

典例7:(1)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:

加3)是()

A.1+lB.1+3

C.^+lD.^+3

(2)如圖，已知正方體ABCD-A山CLDI的棱長為1,則四棱錐AI-BBLDLD的

體積為.

(1)A(2)|[(1)由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1,高為3的半個圓

錐和三棱錐S-ABC組成的，

如圖，三棱錐的高為3,底面△ABC中，AB=2,OC=1,ABLOC故其體積

V=^X^XTCX12X3+|'X^'X2XIX3=^+1.故選A.

(2)四棱錐的底面BBDLD為矩形，其面積S=1Xg=啦，又四

1、歷

棱錐的高為點4到平面35LDLD的距離，即〃=洲心=4-,所以四棱錐的體積

V=1X72X^=|.]

八、空間幾何體與球接、切問題的求解方法

(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把

空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性?/p>

素間的關系求解.

(2)若球面上四點P,A,B,C構成的三條線段以，PB,PC兩兩互相垂直，

且必=a,PB=b,PC=c,一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體，利

用4夫2=/+02+02求解.

典例8：(1)設A,B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，AABC為

等邊三角形且其面積為9小，則三棱錐。-A3C體積的最大值為()

A.12小B.18^3

C.2473D.54小

(2)已知直三棱柱ABC-ALBICI的6個頂點都在球0的球面上，若AB=3,AC

=4,AB±AC,AAi=12,則球。的半徑為()

A智B.2也

D.3y[ld

⑴B(2)C[(1)如圖，E是AC中點，”是△ABC的重心，。為球心，連接

BE,OM,OD,BO.因為SAABC=—AE1

=2小.易知平面ABC,所以在RtaOBM中，OM=q()B2—BM?=2,所以

當D,O,M三點共線且”時，三棱錐D-A3C的體積取得最大值，

且最大值Kia.r=B.

D

(2)如圖所示，由球心作平面ABC的垂線,

則垂足為3C的中點因為43=3,AC=4,AB±AC,所以3C=5.

又AM=；BC='|,0M=^AAi=6,

所以球0的半徑R=OA

2

八13

+62=^~,故選C.]

九、共點、共線、共面問題的證明方法

(1)證明點共線問題：①公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩

個平面的公共點，再根據基本公理3證明這些點都在交線上；②同一法：選擇其

中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.

(2)證明線共點問題：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經過該點.

(3)證明點、直線共面問題：①納入平面法：先確定一個平面，再證明有關點、

線在此平面內；②輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面a,再證明其余元

素確定平面力，最后證明平面a,夕重合.

典例9：(1)以下命題中，正確命題的個數是()

①不共面的四點中，其中任意三點不共線；

②若點A,B,C,。共面，點A,B,C,E共面，則A,B,C,D,E共面；

③若直線a,6共面，直線a,c共面，則直線0,c共面；

④依次首尾相接的四條線段必共面.

A.0B.1C.2D.3

(2)如圖，正方體ABCD-ALBCLDI中，E,R分別是A3和AAi的中點.求證：

①E,C,Di,R四點共面；

②CE,DiF,D4三線共點.

(1)B[①正確，可以用反證法證明，假設任意三點共線，則四個點必共面，

與不共面的四點矛盾；②中若點A,B,C在同一條直線上，則A,B,C,D,E

不一定共面，故②錯誤；③中，直線。，c可能是異面直線，故③錯誤；④中，

當四條線段構成空間四邊形時，四條線段不共面，故④錯誤.]

(2)[證明]①如圖，連接ER,CDi,AiB.

,：E,R分別是AB,441的中點，

：.EF//BAi.

又：.EF//CD\,

：.E,C,Di,歹四點共面.

@'：EF//CD\,EF<CDi,

與DiR必相交，設交點為產，

則由PG直線CE,CEU平面ABCD,

得P?平面ABCD

同理PG平面ADDiAi.

又平面ABCDn平面ADD1A\=DA,

.,.Pe直線DA,CE,DiF,DA三線共點.

十、空間兩條直線的位置關系

一

空廠|異面直線：判定定理或反走豕~卜

間

兩|平行直線:可利用中位線性質、|可構造

直判定幾何模

線-公理4、線面、面面平行的性質一技巧

位定理型（長方

置體或正

關

系L垂直關系：利用線面垂直性質方體）

判定

一

典例10：⑴已知a,b,c為三條不同的直線，且au平面a,bu平面夕,

aC\￡=c,給出下列命題:

①若。與。是異面直線,則c至少與a,。中的一條相交;

②若a不垂直于c,則a與6一定不垂直;

③若則必有a〃c.

其中真命題有.（填序號）

（2）如圖，G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線

GH,MN是異面直線的圖形有（填上所有正確答案的序號）.

MM

⑴①③⑵②④[（1）對于①，若c與。，。都不相交，則。〃a,c//b,從

而a〃6,這與a與。是異面直線矛盾，故①正確.

對于②，a與?？赡墚惷娲怪?，故②錯誤.

對于③，由。〃。可知?！ㄈ擞謅np=c,從而?！╟,故③正確.

（2）圖①中，直線GH〃MN;圖②中，G,H,N三點共面，但航陣平面GHN,

因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG（圖略），GM//HN,因此GH與MN

共面；圖④中，G,M,N共面，但用平面GMN,因此GH與MN異面，所以

在圖②④中，GH與MN異面.]

十一、平移法求異面直線所成角的步驟

|平移的方法一般有三種類型：（1）利用圖中已有的平行線平移；（2）利用

平移

特殊點（線段的端點或中點）作平行線平移；（3）補形平移（一作）

證明證明所作的角是異面直線所成的角或其補角（二證）

計算在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之（三計算）

因為異面直線所成角e的取值范圍是0。＜。忘90。，所以所作的角為鈍

取舍

角時，應取它的補角作為異面直線所成的角（四取舍）

典例11：（1）在正方體ABCD-AbBiGDi中，E為棱的中點，則異面直

線AE與CD所成角的正切值為（）

（2）在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體

稱為鱉席.如圖，在鱉席ABCD中，A3,平面BCD,且A5=3C=CD,則異面

直線AC與3。所成角的余弦值為（）

(1)C(2)A[(1)如圖，連接BE,

因為A5〃CD,所以異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與A3所

成的角，即NEAR不妨設正方體的棱長為2,貝|CE=1,BC=2,由勾股定理得

3后=小.又由A3,平面BCCiBi可得AB上BE,所以tanNE4B=^=坐.故選C.

(2)如圖，分別取AB,AD,BC,8。的中點E,F,G,0,連接石8EG,

OG,FO,FG,則E尸〃3。，EG//AC,所以NEEG為異面直線AC與3。所成

的角.易知R9〃A3,因為A3,平面38,所以平面BCD,所以R9L0G,

設AB=2a,則EG=EF=g,FG=y/a2+a2=yj2a,所以/在6=60。，所以異

面直線AC與5。所成角的余弦值為:，故選A.]

十二、判定線面平行的四種方法

(1)利用線面平行的定義(無公共點)；

(2)利用線面平行的判定定理(a?a,bUa,a//b=^a//a)；

(3)利用面面平行的性質定理(a〃/，aUa一口〃份；

(4)利用面面平行的性質(a〃/,aCa,a■邛,a〃a3a〃葉.

1

典例12：如圖，在四棱錐P-A3CD中，AD//BC,AB=BC=2AD,E,F,

“分別為線段AD,PC,CD的中點，AC與BE交于。點，G是線段OR上一點.

p

⑴求證：AP〃平面3ER；

(2)求證：GH〃平面B4D

［證明］⑴連接EC,

因為AD//BC,BC=^AD,E為AD中點,

所以BC—'AE,

所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以。為AC的中點.

又因為歹是PC的中點，

所以FO//AP,

因為ROU平面BEF,APC平面BEF,

所以AP〃平面BEF.

(2)連接切，0H,

因為R,H分別是PC,CD的中點，

際以FH〃PD,因為平面PDU平面以。，所以切〃平面B4D

又因為。是BE的中點，H是CD的中點，

所以OH〃AD,因為OHQ平面PAD,ADU平面B4D所以0H〃平面PAD.

LFHC0H=H,所以平面0HE〃平面PAD.

又因為GHU平面0HF,

所以GH〃平面PAD.

十三、判定平面與平面平行的四種方法

(1)面面平行的定義，即證兩個平面沒有公共點(不常用)；

(2)面面平行的判定定理(主要方法)；

(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(客觀題可用)；

(4)利用平面平行的傳遞性，兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平

面平行(客觀題可用).

注意：謹記空間平行關系之間的轉化

性質

判定

典例13：已知空間幾何體ABCDE中，4BCD與LCDE均為邊長為2的等

邊三角形，AABC為腰長為3的等腰三角形，平面CDE，平面BCD,平面ABC±

平面BCD,M,N分別為DC的中點.

(1)求證：平面EMN〃平面A3C；

(2)求三棱錐A-ECB的體積.

［解］(1)證明：取3C中點連接AH,

△A3C為等腰三角形，

：.AH±BC,

A

又平面ABC,平面BCD,平面ABCn平面

平面BCD,同理可證平面BCD,

：.EN//AH,

?:EN6平面ABC,AHU平面ABC,

:.EN〃平面ABC,

又M,N分別為BD,DC中點，

：.MN//BC,

平面ABC,3CU平面ABC,

〃平面ABC,

式MNCEN=N,

：.平面EMN//平面ABC.

(2)連接取CH中點G,連接NG,

則NG//DH,由⑴知EN〃平面ABC,

所以點E到平面ABC的距離與點N到平面ABC的距離相等，

又△BCD是邊長為2的等邊三角形，

.,.DH.LBC,

又平面A3C,平面BCD,平面ABCn平面DHU平面BCD,

平面ABC,，NG，平面ABC,：.DH=y(3,

又N為CD中點，NG=M，

又AC=A3=3,BC=2,

：.S^ABc=^\BC\-\AH\=2yf2,

]

??VE-ABC=VN-ABC=^S^ABC,\NG\=3.

十四、證明直線與平面垂直的常用方法

(1)利用線面垂直的判定定理.

(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”.

(3)利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則與另一個也垂直”.

(4)利用面面垂直的性質定理.

典例14：如圖，在斜三棱柱ABC-AiBiG中，底面ABC是邊長為2的正三

角形，M為棱3C的中點，331=3,ABi=5,ZCBBi=60°.

(1)求證：AM,平面BCCLBI；

(2)求斜三棱柱ABC-431cl的體積.

［解］(1)證明：如圖，連接81M

因為底面ABC是邊長為2的正三角形，且M為棱的中點，所以

且AM=#,

因為331=3,ZCBBi=60°,BM=1,

所以5/2=12+32-2X1X3Xcos60°=7,

所以BiM=市.

又因為

所以A〃2+B1脛2=10=A庚，

所以A般，31M.

又因為BiMC\BC=M,

所以40，平面BCCiBi.

(2)設斜三棱柱ABC-AiBiCi的體積為V,則

V=3VB］-ABC=^3VA-BiBC

=3x|sABiBC-|AM|

=1x2X3Xsin60。X小

9

~2-

9

所以斜三棱柱ABC-AiBrCr的體積為亍

十五、證明面面垂直的兩種方法

(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，

將證明面面垂直問題轉化為證明平面角為直角的問題.

(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經過另一個平面

的一條垂線，把問題轉化成證明線線垂直加以解決,

注意：三種垂直關系的轉化

線線垂直I*等I線面垂直面面垂直

典例15：(1)如圖，點N為正方形A3CD的中心，△ECD為正三角形，平面

ECD，平面ABCD,航是線段ED的中點，則()

A.BM=EN,且直線EN是相交直線

B.BM中EN,且直線EN是相交直線

C.BM=EN,且直線EN是異面直線

D.BM豐EN,且直線EN是異面直線

B［取CD的中點、F,DF的中點G,連接EF,FN,MG,GB,BD,BE.

,：點N為正方形ABCD的中心，

:.點、N在BD上,且為BD的中點、.

,：AECD是正三角形，/.EF±CD.

平面ECD，平面ABCD,

，斯，平面ABCD.

：.EF±FN.

不妨設AB=2,則/W=l,EF=4,

：.EN=yjFN1+EF1=2.

?：EM=MD,DG=GF,C.MG//EF,

.?.A/G,平面ABC。，：.MG±BG.

1

■:MG=/=,,

BG=^/CG2+BC2=^/Q2+22=|,

/.BM=NMG2+BG2=巾.

：.BM手EN.

,：BM,EN是LDBE的中線,:.BM,EN必相交.

故選B.]

(2)如圖，四棱錐P-A3CD中，△PCD為等邊三角形，CD=AD=2AB,E,

S,T,Q為CD,PA,PB,AD的中點，ZABC=ZBCD=ZPEA=90°,平面STRQC

平面ABCD=RQ.

①證明：平面ELE,平面S77?。；

②若AB=1,求三棱錐Q-5CT的體積.

［解］①證明：因為E為CD的中點，CD=2AB,ZABC=ZBCD=90°,所

以四邊形ABCE為矩形，所以AELCD

由已知易得RQ〃C￡),所以HQLAE.

因為NP￡4=90°,PECCD=E,

故AE,平面PCD,

又因為AEU平面A3CD

故平面PCD，平面ABCD.

因為PE,CD,所以PEL平面ABCD.

因為RQu平面ABCD,所以RQ.LPE.

又PECAE=E,所以RQ,平面B4E

所以平面B4EL平面STRQ.

②由①可知，PEL平面ABC。，又T是的中點，

點T到平面BCQ的距離為余石=坐，

易矢口S45CQ=1S梯形(]+2)4-

故三棱錐Q-BCT的體積V*X乎X坐=].

J4Zo

十六、求點到平面的距離(高)的兩種方法

(1)定義法：求幾何體的高或點到面的距離，經常根據高或距離的定義在幾何

體中作出高或點到面的距離.其步驟為：一作、二證、三求.如何作出點到面的

距離是關鍵，一般的方法是利用輔助面法，所作的輔助面，一是要經過該點，二

是要與所求點到面的距離的面垂直，這樣在輔助面內過該點作交線的垂線，點到

垂足的距離即為點到面的距離.

(2)等體積法：求棱錐的高或點到平面的距離常常利用同一個三棱錐變換頂

點及底面的位置，其體積相等的方法求解.

典例16:(1)已知NAC3=90。，尸為平面ABC外一點，PC=2,點P到NAC3

兩邊AC,3C的距離均為小，那么尸到平面ABC的距離為.

y[2[如圖，過點P作平面ABC于。，則P。為P到平面A