2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)課件新人教A版選擇性必修第一冊

第二章2.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)學(xué)習(xí)單元3

直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式初中定性地研究了“相交線與平行線”,建立直線方程后,就可以用代數(shù)方法對直線的有關(guān)問題進(jìn)行定量的研究.如利用兩直線方程組公共解的數(shù)量,來判斷兩條直線的位置關(guān)系.若相交還能求出交點(diǎn)位置,若平行還能求出兩平行線間的距離.距離,是平面幾何中一個非常重要的基本幾何量,我們可以得到兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、兩條平行線間的距離公式等.這是本學(xué)習(xí)單元的知識明線.具體內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下圖所示:通過對兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求解,以及距離的代數(shù)表示,加深對平面內(nèi)點(diǎn)、直線相互間關(guān)系的認(rèn)識,積累幾何問題代數(shù)化的經(jīng)驗(yàn),反過來也要識別代數(shù)式蘊(yùn)含的幾何意義,體會數(shù)形結(jié)合的思想,并在實(shí)際問題的解決中逐步加深對解析幾何“四步曲”大觀念的應(yīng)用意識.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).(邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.會根據(jù)方程組解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系.(邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)

兩條直線的交點(diǎn)1.已知兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0相交,設(shè)這兩條直線的交點(diǎn)為P,則點(diǎn)P既在直線l1上,也在直線l2上.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x+B1y+C1=0,也滿足直線l2的方程A2x+B2y+C2=0,即點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程2.方程組

的解一組無數(shù)組無解直線l1和l2公共點(diǎn)的個數(shù)1無數(shù)0直線l1和l2的位置關(guān)系

相交重合平行名師點(diǎn)睛如果兩條直線相交,則交點(diǎn)坐標(biāo)分別滿足兩條直線的方程,即交點(diǎn)坐標(biāo)是兩條直線的方程所組成的方程組的解.判斷兩條直線平行或重合,由于運(yùn)算的原因,平時比較少用解的個數(shù).微思考1.判斷兩直線平行,可以通過斜率、向量以及交點(diǎn)個數(shù)來判斷.如何選擇?

2.若直線l1的方程A1x+B1y+C1=0,直線l2的方程A2x+B2y+C2=0,則方程(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0有什么幾何特征?提示

當(dāng)直線方程用點(diǎn)斜式或斜截式時,可以通過斜率來判斷;當(dāng)直線方程為一般式時,通過向量來判斷比較方便;通過交點(diǎn)個數(shù)來判斷,相對較少,因?yàn)檫\(yùn)算相對會復(fù)雜一點(diǎn).提示

該方程是一條直線方程,且是過l1,l2交點(diǎn)的直線方程.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1“兩條直線相交有一個交點(diǎn)”的幾何關(guān)系,從代數(shù)上來看應(yīng)如何描述?問題2“直線的交點(diǎn)坐標(biāo)”從代數(shù)上來看,應(yīng)該如何描述?問題3根據(jù)兩直線交點(diǎn)的特性,可否構(gòu)建過兩直線交點(diǎn)的直線系方程?如何構(gòu)建?構(gòu)建此方程有何優(yōu)點(diǎn)?探究點(diǎn)一求過兩直線交點(diǎn)的直線方程【例1】

(1)求經(jīng)過點(diǎn)(2,3)且經(jīng)過直線l1:x+3y-4=0與l2:5x+2y+6=0的交點(diǎn)的直線方程;(2)求經(jīng)過兩條直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)且與直線3x+y-1=0垂直的直線方程.(方法2)設(shè)此直線方程為(2x-3y-3)+m(x+y+2)=0,且與直線3x+y-1=0垂直,即3(2+m)+(m-3)=0,可得m=-,則此直線方程為5x-15y-18=0.規(guī)律方法

過兩條直線交點(diǎn)的直線的方程的求法(1)常規(guī)解法(方程組法):一般是先解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合其他條件寫出直線方程.(2)特殊解法(直線系法):先設(shè)出過兩直線交點(diǎn)的直線方程,再結(jié)合條件利用待定系數(shù)法求出參數(shù),最后確定直線方程.探究點(diǎn)二含參直線恒過定點(diǎn)問題4點(diǎn)斜式方程根據(jù)其方程形式容易觀察出定點(diǎn)坐標(biāo),若把點(diǎn)斜式方程轉(zhuǎn)化為一般式方程,是否還能看出其定點(diǎn)坐標(biāo)?“動直線過定點(diǎn)”的幾何特征,從直線方程的角度來分析,可以認(rèn)為是什么代數(shù)關(guān)系?【例2】

無論實(shí)數(shù)a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直線恒過定點(diǎn),試求該定點(diǎn).解

由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+a(x+2)=0.所以,已知直線恒過直線-x-y-1=0與直線x+2=0的交點(diǎn).所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直線恒過定點(diǎn)(-2,1).規(guī)律方法

含有參數(shù)的直線恒過定點(diǎn)的問題(1)方法一:任給直線中的參數(shù)賦兩個不同的值,得到兩條不同的直線,然后驗(yàn)證這兩條直線的交點(diǎn)就是題目中含參數(shù)直線所過的定點(diǎn),從而問題得解.(2)方法二:若能整理為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0的形式,其中λ是參數(shù),這就說明了它表示的直線必過定點(diǎn),其定點(diǎn)可由方程組

解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,則表示的直線必過定點(diǎn)(x0,y0).探究點(diǎn)三對稱問題問題5如何用幾何法作出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)?問題6根據(jù)圖形的作法,可否把此作圖過程代數(shù)化,從而計算出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)?問題7對于特殊直線的對稱,如關(guān)于x軸,y軸,y=±x+b等直線的對稱,幾何上都容易觀察,可否有相應(yīng)簡單的求對稱的方法?【例3】

光線通過點(diǎn)A(2,3)在直線l:x+y+1=0上反射,反射光線經(jīng)過點(diǎn)B(1,1),試求入射光線和反射光線所在直線的方程.規(guī)律方法

點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的求法(1)點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點(diǎn)P0(x0,y0),滿足關(guān)系

解方程組可得點(diǎn)P0的坐標(biāo).(2)若關(guān)于斜率為±1的直線對稱,運(yùn)算會簡單一點(diǎn).如例3中,設(shè)點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線l:x+y+1=0的對稱點(diǎn)為A'(x0,y0),則根據(jù)x+y+1=0可得x=-y-1=-3-1=-4,y=-x-1=-2-1=-3,所以A'(-4,-3).本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)兩條直線的交點(diǎn);(2)直線系過定點(diǎn)問題.2.方法歸納:消元法、直線系法.3.常見誤區(qū):(1)對兩直線相交條件理解不清;(2)容易混淆直線交點(diǎn)與對應(yīng)方程組解的關(guān)系.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1231.(例1對點(diǎn)題)已知直線l經(jīng)過原點(diǎn),且經(jīng)過另兩條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0的交點(diǎn),則直線l的方程為(

)A.2x+y=0 B.2x-y=0C.x+2y=0 D.x-2y=0B(方法2)設(shè)直線l的方程為2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其過原點(diǎn),所以8+(-λ)=0,λ=8,直線l的方程為2x-y=0.1232.(例2對點(diǎn)題)求證:不論m為何值,直線(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通過一定點(diǎn).證明

將原方程按