2024年新高考數(shù)學(xué)壓軸題 新高考新結(jié)構(gòu) 數(shù)列新定義（含答案）

新高考新結(jié)構(gòu)數(shù)列新定義-2024年新高考數(shù)學(xué)壓軸

題

新高考新結(jié)構(gòu)大題壓軸--數(shù)列新定義

一、解答題

k

題目口（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)qWO,定義數(shù)列｛4｝如下：如果n=3+23+22,2+■■■+2xk,xiE

k

｛0,1｝,1=0,1,2「，，k，則an=力（）+/q+x2（f~\-\-xkq.

（1）求a7和08（用q表示）;

_n_

（2）令bn=a2n-i，證明：WX=。2”一1；

i=i

（3）若1VqV2,證明：對于任意正整數(shù)幾，存在正整數(shù)a,使得冊〈0館4冊+1.

題目囪（2024?浙江溫州,二模）數(shù)列｛?｝,電｝滿足：｛吼｝是等比數(shù)列，仇=2,&=5,且如仇+Q2b2+???+。人=

2（冊-3）0+8（nCN*）.

⑴求a”也；

（2）求集合A=｛劍（2—aj（2-bj=0,iW2n,iGN*｝中所有元素的和；

（3）對數(shù)列｛弓｝,若存在互不相等的正整數(shù)自施，…向（/>2）,使得cki+ck2+…+c礙也是數(shù)列｛cj中的項(xiàng),則

稱數(shù)列｛品｝是“和穩(wěn)定數(shù)列”.試分別判斷數(shù)列｛冊｝,｛勾｝是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”.若是，求出所有/的值;若

不是，說明理由.

?M

題目§（2024?安徽池州?模擬fit測）定義:若對VkeN*,k>2,Ojt-1+ajt+1<2a/亙成立，則稱數(shù)列｛冊｝為“上凸

數(shù)列”.

（1）若飆=工?三,判斷｛飆｝是否為“上凸數(shù)列”，如果是，給出證明;如果不是,請說明理由.

⑵若｛飆｝為“上凸數(shù)列"，則當(dāng)771>口+2（?72,九GN*）時(shí)，。但+。九&。館-1+每+1.

（i）若數(shù)列Sn為｛。九｝的前n項(xiàng)和,證明：S會葭（Q1+Q九）；

（ii）對于任意正整數(shù)序列力1,力2,%…,電,…，”（九為常數(shù)且九>2,?1eN*）,若〉冠一1》』（彳/一4—1

恒成立，求4的最小值.

題目G（23-24ift三下?浙江?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系①。"中，我們把點(diǎn)Q’S,eyeN"稱為自然點(diǎn).按

如圖所示的規(guī)則,將每個(gè)自然點(diǎn)卜力進(jìn)行賦值記為PQ,y），例如R2,3）=8,P（4,2）=14,P（2,5）=17.

—U

7L

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5x:

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i0-曲

1L。⑥

li

⑴求P(±,l)；

⑵求證：2P(a;,y)=P(x—l,y)+P(x,y+1);

⑶如果P(x,y)滿足方程P(x+l,y-l)+P(x,y+1)+PQ+l,y)+"3+l,y+1)=2024,求P(x,y)的

值.

???

題目回(2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列的,az,…，飆為"(n=2,3,4,…)階“曼德拉數(shù)

列”：

@01+02+03+…+%=0；②laj+|a2|+血|H---b|a?|=1.

(1)若某2k(keN*)階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)斯(1WnW2%,用表示)；

(2)若某2A:+1(kCN*)階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)an(lWnW2k+1,用及九表示)；

⑶記ri階“曼德拉數(shù)列”｛冊｝的前七項(xiàng)和為&(k=1,2,3,…，九)，若存在館6｛1,2,3,…,n｝,使￡“=(試問:

數(shù)列｛&｝(i=1,2,3,…，切能否為"階''曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)歹！J；若不能，請說明理由.

題目回(2024南三?全國?專題練習(xí))設(shè)數(shù)列｛冊｝的各項(xiàng)為互不相等的正整數(shù)，前八項(xiàng)和為S”,稱滿足條件

“對任意的小，n6N*,均有(n-rn)S?+m=S+a)(S“一SQ”的數(shù)列｛aj為“好”數(shù)列.

⑴試分別判斷數(shù)列｛aj,｛fej是否為“好”數(shù)列，其中a“=2九—1,b“=2"T,neN并給出證明；

(2)已知數(shù)列｛0｝為“好”數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Tn.

①若。2024=2025,求數(shù)列｛cj的通項(xiàng)公式；

②若Ci=p，且對任意給定的正整數(shù)p,s(s>l),有5,Cs，G成等比數(shù)歹！J,求證：t>s2.

題目1(2024?湖南國旭?二M)已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一項(xiàng)是2°,接

下來的兩項(xiàng)是2°,2],再接下來的三項(xiàng)是2°,21,22,依此類推.設(shè)該數(shù)列的前九項(xiàng)和為必，規(guī)定:若mmC

N*,使得Sm=2P(peN),則稱館為該數(shù)列的“佳幕數(shù)”.

(1)將該數(shù)列的“佳幕數(shù)”從小到大排列，直接寫出前4個(gè)“佳幕數(shù)”；

(2)試判斷50是否為“佳幕數(shù)”，并說明理由；

(3)(i)求滿足巾＞1000的最小的“佳事數(shù)”m；

(ii)證明:該數(shù)列的“佳暴數(shù)”有無數(shù)個(gè).

【題目回(2024?遼寧大連?一模)對于數(shù)列AaiQQSiCN,i=1,2,3),定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)

列B：瓦也,與，其中"=舊+「a,|(i=1,2),且b=|a3-ail.這種“T變換”記作B=T(A)，繼續(xù)對數(shù)列B進(jìn)行

“T變換”，得到數(shù)列Ue”?g,依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束.

⑴寫出數(shù)列43,6,5經(jīng)過5次“T變換”后得到的數(shù)列：

⑵若電,a2,&3不全相等，判斷數(shù)列力：的42也不斷的“T變換”是否會結(jié)束，并說明理由；

(3)設(shè)數(shù)列42020,2,2024經(jīng)過k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值.

題目回（23—24方三下?江蘇南通?模擬預(yù)測）設(shè)正整數(shù)n>3,有窮數(shù)列｛斯｝滿足0（i=1,2,…,力,且電

+。2+—n，定乂積值S=Q/電an.

⑴若n=3時(shí)，數(shù)列居J,界與數(shù)列｛/，|■，喇的S的值分別為&，S2.

①試比較Si與S2的大小關(guān)系；

②若數(shù)列｛冊｝的S滿足min｛S,S2｝VSVmax｛S,S2｝,請寫出一個(gè)滿足條件的｛期｝;

⑵若n=4時(shí)，數(shù)列｛ai,a2,a3,a4｝存在i,，E｛1,2,3,4｝,使得&V1V%?，將的，Q）.分別調(diào)整為a~a^aj—l,4

=1,其它2個(gè)州（k#i,/）,令成=&.數(shù)列｛QIQSQ｝調(diào)整前后的積值分別為S,S',寫出S,S'的大小關(guān)系并

給出證明；

（3）求S=的?02。九的最大值，并確定S取最大值時(shí)…,為所滿足的條件，并進(jìn)行證明.

題目[[[(23-24高三下懵南省直林縣級單位?模擬覆測)由九x九個(gè)數(shù)排列成n行外列的數(shù)表稱為九行n

an?201301九

。21出2。23。2九

列的矩陣，簡稱八x九矩陣，也稱為九階方陣,記作：AM=031。32a33。3九其中a旬

1Qnian2冊3Q/wi)

(ieN*,jEN*,ij<n)表示矩陣A中第i行第/列的數(shù).已知三個(gè)n階方陣分別為A(n,n)=

'Qn012,的九b]_2、’CnC12C13?

電3,瓦3,,bin,5、

b2&23,,b2

021。22電3,,"2n匕212rlC21C22C23,,C2n

^31

,?3n,b3n，C31c32C33,，其中

。31恁2。33,,B(n,n)=匕32匕33,C(n,n)=,C3n

I%b2b3,,b)Ic?ii

'Q*7ll為2a?i3.*0加，nnnnC?i243,*C?m，

aij9bijfc^jE7V*,iJ<n)分別表示4"，幾),_8(口,幾),。(九,打)中第i行第/列的數(shù).若“=(1—〃)％?+〃％

(〃6_R),則稱是74(%n),_B(n,H)生成的線性矩陣.

3

24

(1)已知4(2,2)二,B(2,2)4，若。(2,2)是4(2,2),現(xiàn)2,2)生成的線性矩陣，且“=3,求。

1112

(2,2)；

Qn的2,*^ln%與2…bln\

332?-3n12n

(2)已知Vn￡77*,72>3,矩陣4(72,72),B(n,n)=，矩陣C(n,n)

b2rl,…b)

I九^2n,'blnn1n

是4",h),_8(幾,九)生成的線性矩陣，且。2尸2.

⑴求c23，c2fc(fceN*,k&n)；

n

(優(yōu))已知數(shù)列｛fen｝滿足bn=n，數(shù)列｛dj滿足或=，數(shù)列｛服｝的前幾項(xiàng)和記為方,是否存在正整數(shù)

2c2n-n

zn,n,使黑=妒成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對(小,n)；若不存在,請說明理由.

題目叵〕（23-24高三下?安徽?模擬預(yù)瀏）基本不等式可以推廣到一般的情形:對于九個(gè)正數(shù)的,a2,…，為，它

們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即ai+a?+…+為>-他…冊,當(dāng)且僅當(dāng)a產(chǎn)a?=???=M時(shí)，等號

n

成立.若無窮正項(xiàng)數(shù)列｛時(shí)｝同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì):①mM>O,Q九VM；②｛QJ為單調(diào)數(shù)歹!J,則稱數(shù)列

｛an｝具有性質(zhì)P.

（1）若冊=口十冬,求數(shù)列｛an｝的最小項(xiàng)；

1n

（2）若勾=—，記Sn=”，判斷數(shù)列｛Sn｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

2-1i=i

（3）若品=（1+1）”,求證:數(shù)列｛品｝具有性質(zhì)P.

\n7

頷目叵（2024?山東泰安?一模）已知各項(xiàng)均不為0的遞增數(shù)列｛&｝的前幾項(xiàng)和為S”,且a產(chǎn)2,。2=4,anan+i

=2sh（Sn+i+S所l2S/（九GN,且>2）.

（1）求數(shù)列｛專｝的前n項(xiàng)和黑；

（2）定義首項(xiàng)為2且公比大于1的等比數(shù)列為“G—數(shù)列”.證明：

①對任意％W5且%eN*,存在“G—數(shù)列”｛&｝，使得既<ak<bk+1成立；

②當(dāng)k>6且kCN*時(shí),不存在“G—數(shù)列”｛品｝，使得c.m<am<cm+1對任意正整數(shù)m&k成立.

■目口i]（2024?河南信陽?一模）定義：max｛a⑸=min｛a,b｝=?己知數(shù)列｛廝｝滿足an

[b,a<Zb,[a,aVb,

+min｛an+i,an+2｝=max｛an+i,an+2）-

（1）若Q2=2,“3=3,求Qi，Q4的值；

（2）若\/neN*,3fcGN*，使得為恒成立.探究:是否存在正整數(shù)0,使得Qp=0,若存在，求出p的可能

取值構(gòu)成的集合;若不存在,請說明理由；

⑶若數(shù)列｛廝｝為正項(xiàng)數(shù)列，證明：不存在實(shí)數(shù)4使得VneN\an<A.

題目五（2024?廣東?模擬《（測）已知數(shù)列｛飆｝與｛0｝為等差數(shù)列，<12=63,5=2瓦，｛飆｝前幾項(xiàng)和為

19-+n2

2'

（1）求出｛&｝與｛6J的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在每一項(xiàng)都是整數(shù)的等差數(shù)列｛品｝,使得對于任意nEN+,品都能滿足限+1”「刈4品

.若存在，求出所有上述的｛冊｝,若不存在，請說明理由.

4鼠+6J:10n―闔

?M

題目叵］（2024?吉林白山?二《）已知數(shù)列｛&｝的前九項(xiàng)和為S”,若數(shù)列｛廝｝滿足:①數(shù)列｛斯｝項(xiàng)數(shù)有限為

N

N；②SN=。；③Z&I=1，則稱數(shù)列｛冊｝為“N階可控?fù)u擺數(shù)列”.

i=l

（1）若等比數(shù)列｛aj（l<n<10）為“10階可控?fù)u擺數(shù)列”，求M的通項(xiàng)公式；

（2）若等差數(shù)列｛廝｝（12m,mEN*）為“2m階可控?fù)u擺數(shù)列”,且am>求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式；

N

（3）已知數(shù)列｛%｝為“N階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在1WznWN,使得2屈=2s“，探究:數(shù)列｛Sj能否為“N

2=1

階可控?fù)u擺數(shù)列"，若能，請給出證明過程;若不能，請說明理由.

題目五）（2024?安徽合質(zhì)―模）“g-數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè)q是非零實(shí)數(shù),對任意ne

N*，定義“q-數(shù)”（九）尸1+q+…+q"T利用“g_數(shù)”可定義“q—階乘"⑹!=（1）,（2）,-（喻,且（0）!尸1.

和“q—組合數(shù)”，即對任意kCNmeNAWn,（"）=--■兒、

\k）q（S—k兒

⑴計(jì)算：（：）；

\2

（2）證明：對于任意k,neN*,k+l（1）=（［；）k1）

（3）證明：對于任意瓦rneN,neJtA+iWn,.

題目112024?福堂泉州?模擬fWl）（a,b）表示正整數(shù)a,b的最大公約數(shù)，若｛%如…應(yīng)｝G

｛1,2「-,加｝（府,山67\0，且\//6｛0,；1；2「-,以｝，（必,?。?1，則將用的最大值記為。（機(jī)），例如：。（1）=1，

0（5）=4.

⑴求W⑵，*（3）,<p⑹;

（2）己知（771,九）=1時(shí)，0（河）=卬（館）？5）.

（i）求卬（6"）；

⑻設(shè)r=3儀6；=p數(shù)列｛bn］的前幾項(xiàng)和為雪，證明：北〈*.

題目口口(2024?河南開封?二《)在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密

算法中的應(yīng)用.設(shè)是兩個(gè)正整數(shù)，若的最大公約數(shù)是1,則稱互素.對于任意正整數(shù)九，歐拉

函數(shù)是不超過九且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為＜p(n).

(1)試求磯3)”⑼,以7)3(21)的值；

(2)設(shè)幾是一個(gè)正整數(shù)，p,q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù).試求p(3"),p(pq)與p(p)和(p(q)的關(guān)系；

(3)RSA算法是一種非對稱加密算法,它使用了兩個(gè)不同的密鑰:公鑰和私鑰.具體而言：

①準(zhǔn)備兩個(gè)不同的、足夠大的素?cái)?shù)p,q；

②計(jì)算n=歐拉函數(shù)3(n);

③求正整數(shù)％，使得初除以公九)的余數(shù)是1;

④其中M稱為公鑰，⑺#)稱為私鑰.

已知計(jì)算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是(187,17).若滿足題意的正整數(shù)k從小到大排列得

到一列數(shù)記為數(shù)列｛aJ,數(shù)列｛弓｝滿足80c”=鼠+47,求數(shù)列｛tanc/tanc?+i)的前n項(xiàng)和Tn.

題目」fJ(2024?全國?二#)已知由m(m>3)個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組A(的5,…,如)，如果|a「a』W

血—俳+」(i=2,3,…,小—1)恒成立，則稱有序數(shù)組力為“非嚴(yán)格差增數(shù)組”.

⑴設(shè)有序數(shù)組？：(2,3,0,4)?：(1,2,3,0,4),試判斷。@是否為“非嚴(yán)格差增數(shù)組”？并說明理由；

(2)若有序數(shù)組R：(1J,四…㈤1)(力豐0)為“非嚴(yán)格差增數(shù)組”，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

題目,(2024?海南盾直林縣級單位?一模)若有窮數(shù)列?Q,…,期("是正整數(shù))，滿足a尸a?J.i+1(ieN,且

1WiWn),就稱該數(shù)列為“S數(shù)列”.

⑴已知數(shù)列｛0｝是項(xiàng)數(shù)為7的S數(shù)列,且仇也,甌成等比數(shù)列，瓦=2&=8,試寫出｛bn｝的每一項(xiàng)；

(2)已知｛弓｝是項(xiàng)數(shù)為2A:+l(k>1)的S數(shù)歹！J,且以+1&+2,…,構(gòu)成首項(xiàng)為1。0,公差為—4的等差數(shù)

歹！J,數(shù)列｛C?｝的前2k+1項(xiàng)和為S2M+1，則當(dāng)k為何值時(shí)，$2川+1取到最大值？最大值為多少？

(3)對于給定的正整數(shù)館>1,試寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過2小的S數(shù)列，使得1,2,22,…,2，1成為數(shù)列中的連續(xù)

項(xiàng)；當(dāng)山>1500時(shí)，試求這些S數(shù)列的前2024項(xiàng)和S2024.

13

題目叵1(2024?江蘇徐州?一模)對于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列P：5,<12,…,M，定義變換n，n將數(shù)列p變換成

數(shù)列((P)：n,5—142—1,…,斯—L對于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列Q：瓦電，…,"，定義S(Q)=2?+2b2

+…+e心)+優(yōu)+用+…+%，定義變換冕，￡將數(shù)列Q各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng),得到數(shù)

列6(Q).

⑴若數(shù)列R)為2,4,3,7,求S(7](玲)的值；

(2)對于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列冗，令兄+尸冕(Z(婷))，kEN.

⑴探究S(Z(R))與S(R1)的關(guān)系；

(近)證明：S(娓+J<S0).

：題目區(qū)(2024?湖南?二M)已知數(shù)列｛廝｝的前幾項(xiàng)和為S”,滿足2S0+an=3；數(shù)列｛bJ滿足勾+0+產(chǎn)2n+

1,其中瓦=1.

⑴求數(shù)列｛%｝,｛&“｝的通項(xiàng)公式；

(2)對于給定的正整數(shù)i(i=1,2,…,ri),在出和火+1之間插入i個(gè)數(shù)，使df,ca,Cu,ai+1成等

差數(shù)列.

(i)求Z>=C11+C21+C22+—Fcni+c?2+—Fcnn；

bm-1H---

(M是否存在正整數(shù)小,使得一:一盧巖屋恰好是數(shù)列｛4｝或｛蹌｝中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件

Um127^-3

的小的值;若不存在，說明理由.

???

題目區(qū)(2024?廣西南寧?一模)若無窮數(shù)列｛斯｝滿足a產(chǎn)0,|4+「為|=/(切，則稱數(shù)列｛&｝為0數(shù)列，若6

數(shù)列｛冊｝同時(shí)滿足a”4汽工，則稱數(shù)列｛aj為y數(shù)列.

(1)若數(shù)列｛冊｝為6數(shù)列，/(九)=1,九CN*,證明：當(dāng)nW2025時(shí)，數(shù)列｛冊｝為遞增數(shù)列的充要條件是a2025

=2024；

(2)若數(shù)列｛0｝為7數(shù)歹！J,/S)=九，記品=%，且對任意的nCN*,都有品＜%+i，求數(shù)列｛cj的通項(xiàng)公式.

題目包)(2024?山東青島?一模)記集合S={{a川無窮數(shù)列{aj中存在有限項(xiàng)不為零，MN*},對任意

{an}eS,設(shè)變換/({aj)=ai+a2tH-------------,a;CR.定義運(yùn)算?:若{%},{勾}CS,則{出}?{bj

CS,f({a?}?{6?})=/({an}),/({M)-

(1)若{冊}?{6“}=歷4},用的,<1243，&4，匕1也,63也表示巾4；

(2)證明：({a?}?{bn})?{c?}={an}?({6?}?{cn})；

懸l<n<100r/XV03-n1

(3)若斯=(n(n+D，?>?=<21<n<500，{或}={a”}九{吼}，證明：dzooV^.

0,九>10010，n>500

題目區(qū)(2024?河南?一模)在正項(xiàng)無窮數(shù)列｛斯｝中，若對任意的MN*,都存在meN*,使得冊a“+2產(chǎn)

(-mV,則稱｛④｝為m階等比數(shù)列.在無窮數(shù)列也｝中，若對任意的九eN*,都存在meN*,使得bn

+鼠+2“尸26.+a，則稱｛0｝為m階等差數(shù)列.

(1)若｛an｝為1階等比數(shù)列，的+&2+613=:a3+a4+a5=磊，求｛斯｝的通項(xiàng)公式及前幾項(xiàng)和；

(2)若｛斯｝為小階等比數(shù)列，求證：｛Inaj為m階等差數(shù)列；

(3)若｛冊｝既是4階等比數(shù)列，又是5階等比數(shù)列，證明：｛冊｝是等比數(shù)列.

新高考新結(jié)構(gòu)大題壓軸--數(shù)列新定義

一、解答題

k

題目工（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)q片0,定義數(shù)列｛%｝如下:如果n=330+2^+2^2+■■■+2xk,xie

k

｛0,1｝,1=0,1,2「,，k，則an=力（）+/q+x2（f~\-\-xkq.

（1）求a7和08（用q表示）;

九

（2）令bn=a2n-i，證明：Z"=。2”一1；

i=i

（3）若1VqV2,證明：對于任意正整數(shù)幾，存在正整數(shù)a,使得即〈（1館《冊+1.

【答案】（1）。7=1+q+/,。8=Q3

（2）證明見解析

（3）證明見解析

【分析】（1）觀察題目條件等式中的系數(shù)可得答案；

n

（2）6九=a2n-x—0-',分別計(jì)算〉仇和。2f可證明結(jié)論；

i=l

（3）先根據(jù)a2n~\—q"T無上界說明存在正整數(shù)Tn,使得an<a體分m—1是偶數(shù)和m—1是奇數(shù)分別說明.

【詳解】（1）因?yàn)?=1+2+2、所以a7—1+q+q?;

因?yàn)?=23,所以。8=Q3;

XI

2n-1

（2）由數(shù)歹4｛冊｝定義得：bn=ar-i—（fT;所以y^bj=1+q+Q+—bQ.

i=l

而2n-l=1+2+22+…+2九-1,

n

2n-1

所以a2n-i=1+q+QH----Fg=>加

i=l

72-1

（3）當(dāng)1VqV2,由（2）可知，aT-i—q無上界，故對任意詼,存在0m，使得am>an.

設(shè)772是滿足%九的最小正整數(shù).下面證明。館<Q九+1.

2k

①若Tn—1是偶數(shù)，設(shè)?n—1=2X1-\-2X2-\-—\-2xk,XiE｛0,1｝,i=1,2,…,k,

則m=1+2g+2?62+—F2k秋，于是am=1+xxq+/2/+—\-xk（^—1+。館_卜

因?yàn)?。?gt;am.i，所以am=1+am.!<an+l.

②若m—1是奇數(shù)，設(shè)772—1—1+2+2?+—F2‘+2'+2g+?+—卜2卜秋,

/+1222

貝1am—am-i-Q—（1+q+Q+—Fq'）—（q—1）（1+q+Q+—Fq"）—（1+q+Q+—Fq'）+11.

所以am<am_i+l<an+l.

綜上所述，對于任意正整數(shù)九，存在正整數(shù)使得an<。館&an+l.

題目囪（2024?浙江溫州?二?）數(shù)列｛廝｝,但｝滿足：｛6J是等比數(shù)列，瓦=2Q=5,且a/i+a2b2+-+anbn=

2（Q九一3）與+8（nEN*）.

⑴求為也；

（2）求集合力=｛力|（力一Q0（力一幾）=0,i42%iGN*）中所有元素的和；

⑶對數(shù)列｛cj,若存在互不相等的正整數(shù)自施，…向(/>2),使得Cki+Ck2+…+c與也是數(shù)列｛cj中的項(xiàng)，則

稱數(shù)列｛品｝是“和穩(wěn)定數(shù)列”.試分別判斷數(shù)列｛冊｝,｛6“｝是否是"和穩(wěn)定數(shù)列”.若是，求出所有/的值;若

不是，說明理由.

【答案】(1)斯=3n—1,bn=2"

rlog2(6n-l)+l~l

(2)6n2+n+22n+1-1-4L2」一［■

oo

⑶數(shù)列｛&｝是“和穩(wěn)定數(shù)列“J=3m+l,(mGN*),數(shù)列｛8｝不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，理由見解析

(分析］⑴根據(jù)已知及等比數(shù)列的定義求出｛&?)的通項(xiàng)公式，由已知和求通項(xiàng)可得｛%｝的通項(xiàng)公式，

(2)根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果

(3)根據(jù)''和穩(wěn)定數(shù)列”的定義可判定.

【詳解】⑴：電仇=2(%—3)瓦+8,d=2,5=2

又a/i+a2b2=2(&2—3)甌仇=2,的=2,(X2=5,解得:歷=4

因?yàn)椋鸼j是等比數(shù)列，所以仇｝的公比q=與=2,.?&=2n

bi

又當(dāng)九>2時(shí)，a1b1+a2b2-\----l-an_ifen_i=2(an_1-3)bn_i+8,

作差得：aj)n=2(an-3)&n-2(an-i-3)bn-X

將bn=T代入，化簡：an=2(Q九一3)—(Q*L-3),

得：an—an-x—3(n>2)

:.｛an｝是公差d=3的等差數(shù)列,/.an=。什⑺—l)d=3n—1

(2)記集合A的全體元素的和為S,

2

集合7W=｛。卜電,…,電九｝的所有元素的和為A2n=2—(6.I+、'=6n+n,

2(1-22n)

集合N=｛仇也，…也J的所有元素的和為B—22n+1-2,

2n1^2~~

集合河PIN的所有元素的和為T,則有s=4廿62rl—T

對于數(shù)列｛bj:

當(dāng)口二2k—l(kGN*)時(shí)，甌-尸22fc_1=(3-l)2fc-1=3p-l(pGN*)是數(shù)列｛冊｝中的項(xiàng)

當(dāng)n=2k(kEN*)時(shí)，b2k=2b21=2(3p-1)=3p—2(pEN*)不是數(shù)列｛QJ中的項(xiàng)

.TLII.IIA甘出j。2人14a2nlog(6n-1)—1log(6n—1)+1

???7=8+仇+…+匕21,其中＜=＞----2---5----------＜卜4------2-----5----------

1%+1＞。2九22

即卜=「°82(6九2~1)+［(其中［句表示不超過實(shí)數(shù)力的最大整數(shù))

/rlog(6n-l)+11\

「二2(f=4(4fc-l)=4(4L22

1-4oo

rlog2(6n-l)+l-|

.-.S=6n2+n+22n+1—1-4L2--

oJ

⑶①解：當(dāng)j=3m,(mGTV*)時(shí),akx+ak^\---HQ同是3的正整數(shù)倍,

故一定不是數(shù)列｛冊｝中的項(xiàng)；

當(dāng)j=3m—1,(m6N*)時(shí)，---卜鈾=l(mod3)，不是數(shù)列｛冊｝中的項(xiàng)；

當(dāng)」=3m+1,(mEN*)時(shí)，。刖+%~|---卜。同=2(mod3),是數(shù)列｛QJ中的項(xiàng);

綜上，數(shù)歹”｛冊｝是"和穩(wěn)定數(shù)列“，/=3m+1,(mEN*);

②解:數(shù)列｛bj不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，理由如下：

不妨設(shè)：103〈口〈???〈期,則了+b后+,??+%>與,且

"+%+???+既戶仇+戾+?“+%=2'+22+…+2"=2”-2<2”=*

故瓦,+履+…+瓦，不是數(shù)列?｝中的項(xiàng).

數(shù)列｛bj不是“和穩(wěn)定數(shù)列”.

題目⑼(2024?安微池州?模擬預(yù)測)定義:若對VkCN*#>2,afc.1+afc+1<2&恒成立，則稱數(shù)列｛冊｝為“上凸

數(shù)列”.

(1)若飆=工?二1,判斷｛aj是否為“上凸數(shù)列”，如果是，給出證明;如果不是,請說明理由.

(2)若｛aj為“上凸數(shù)列"，則當(dāng)？7Z>71+2(?TZ,71GN")時(shí)，am+an<am-i+an+1.

(i)若數(shù)列S“為｛aj的前九項(xiàng)和,證明：S言治(如+源)；

x

(ii)對于任意正整數(shù)序列xn(n為常數(shù)且2,nGN*)，若"J*—1>yj(^2i一力一1

恒成立，求4的最小值.

【答案】(1)是，證明見解析

⑵(i)證明見解析；(ii)n-l

【分析】⑴構(gòu)造函數(shù)/(±)=/^不1產(chǎn)1一利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性結(jié)合“上凸數(shù)列”定義判定

即可；

(2)(i)利用“上凸數(shù)歹4”定義及倒序相加法證明即可;令斯=Vn2-1,利用條件及數(shù)列求和適當(dāng)放縮計(jì)算

即可.

【詳解】(1)｛%｝是“上凸數(shù)列”，理由如下：

222

因?yàn)閍n=Vn—l,an+i—a?=-\/(n+l)—1—Vn—1,

令/(c)=J(a;+1)2—1—Vx2—1,c>1,

則4/=2+1_________x__=J(1+l)3(a;-1)-Jd3+2)

、XJQ+1)-Va；2-1J(rc+1)2—1-Vrc2-1

當(dāng)a;21時(shí)，(/+l)3(rr—1)—x3｛x+2)——2x—l<0,

所以JQ+l)3(c-1)<y/x3(x+2),

所以『(c)<OJ(a;)在區(qū)間［L+8)上單調(diào)遞減，

所以/(n)>/(n+l),a?+i-a?>an+2-an+1,

所以an+2+an<2an+1,

所以｛QJ是“上凸數(shù)列”.

（2）（i）證明：因?yàn)椋麅裕恰吧贤箶?shù)列”，由題意可得對任意九（iGN*）,

七十為一計(jì)1>七一1+廝一計(jì)2>魚一2+%-計(jì)3~>電+。n-1>

所以2Sn=（QI+Q九）+（a2+an_i）H---b（an_i+a2）+（Q九+的）》ZI（QI+Q九）,

所以S含3（QI+Q九）.

12

（ii）解：令an=Vn—1,

由⑴可得當(dāng)冊=工?二I時(shí)，｛QJ是“上凸數(shù)列”，

由題意可知，當(dāng)m^n+2（m,nGN*）時(shí)，am+an<am-i+an+i，

n____________________

因?yàn)閃J冠-i—J冠—i+J曷—i+Vx1—i+,,,+，R—i，

4=1

n______________

即，—i—vXi—i+J曷一i+J屆—1+…

4=1

n__________________________________

所以ZJ*—1>J(力i—g+l)2—1+V^2—1H—H

2=1

當(dāng)且僅當(dāng)Xi=劣2=?"=/九-1時(shí)等號成立，

所以；1>九一1.

綜上所述，4的最小值為n—1.

題目團(tuán)（23-24:高三下?浙江?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系，中，我們把點(diǎn)Q,g）,，,?/eN*稱為自然點(diǎn).按

如圖所示的規(guī)則,將每個(gè)自然點(diǎn)（⑨y）進(jìn)行賦值記為P｛x,y），例如P⑵3）=8,P（4,2）=14,P（2,5）=17.

,*:'

7.0@-@?-,

-十

6⑩?

54-

--?企

4(z)-??-4,-,

?砂

-??:

3.⑥e??-?T

5I

0-砂?--!-

。?⑥?

-?■

1234567x

⑴求P(%,1);

(2)求證:2P(力,v)=P(力一l,g)+PQ,g+1);

⑶如果P(x,y)滿足方程P(力+1,7/—1)+P(x,y+1)+P(x+l,g)+P(x+l,g+1)=2024,求P(x,y)的

值.

【答案】⑴p(2,1)=M'jl)

(2)證明見解析

(3)474.

【分析】(1)根據(jù)圖形即可得到結(jié)果；

⑵根據(jù)題意，由圖形分別計(jì)算P(x,y｝與P(x,y+1)+P(x-l,y),然后代入計(jì)算，即可證明；

(3)根據(jù)題意,將方程轉(zhuǎn)化為P(x,y+1)+3P(x+l,y)=2023,然后化簡，分別計(jì)算a:+3=31與a;+夕=33

的值，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)根據(jù)圖形可知P(2,1)=1+2+3+…+/=J0.

(2)固定2,則P(c,。)為一個(gè)高階等差數(shù)列，且滿足

P(x,y+1)-P8,y)=x+y-l,P(x+1,7/)-P(x,y)=x+y,

所以P(N,g+1)—F(rc,l)=1+2H---Vy+y(x—1)="+y(x—1)

P(c+l)="ug-1)+石旦

所以R硒X^p+aj+l工T)("T),P(工—1而=義守+叱”+(工—2)(。-1)，

所以

z~r、x(x—1)y(y—1)/c、/-U(,+l)/—X(X+1)

P(x,y+1)+P(x-1,沙)=+--+(c—2)(夕-1)+---+y(x-1)+=x9

-\-y2-\-2xy—3g—力+2=2P(x,y).

⑶P(力+l,g—1)+PQ,g+l)+P(力+Lg)+F(a?+l,y+1)=2024,

等價(jià)于P(x,y)++1)+P(x+Lg)+P(x+l,g+1)=2023,

等價(jià)于P(%,g+1)+3P(x+1,7/)=2023,

即"3+1)+此+2/-1)]+拼3+1)(/+2)+(v—1)(v+2刈=2023,

化簡得y2-\-2xy+x2—y+x—10100(力+g—1)(劣+g)+2/=1010,

由于力+g增大，(/+g—1)(力+p)也增大，

當(dāng)re+g=31時(shí)，(力+g—1)(力+g)+2/V992<1010,

當(dāng)力+g=33時(shí)，(力+。-1)(%+g)+21>1056>1010,

故當(dāng)力+g=32時(shí)，(力+g—1)(力+g)+2力=1010=>力=9,y=23,即F(9,23)=3：如+8義

22=474

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列的新定義問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于理解圖形的意思，然

后轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題進(jìn)行解答.

題目回（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列的,az,…，飆為"（n=2,3,4,…）階“曼德拉數(shù)

列”：

@01+02+03+…+%=0；②laj+|a2|+血|H----b|a?|=1.

（1）若某2k（keN*）階“曼德拉數(shù)列”是等比數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)斯（1WnW2%,用表示）；

（2）若某2A:+1（kCN*）階“曼德拉數(shù)列”是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)an（lWnW2k+1,用及九表示）；

⑶記ri階“曼德拉數(shù)列”｛冊｝的前七項(xiàng)和為&（k=1,2,3,…，九），若存在館6｛1,2,3,…,n｝,使￡“=（試問:

數(shù)列｛&｝（i=1,2,3,…，切能否為"階''曼德拉數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)歹！J；若不能，請說明理由.

【答案】⑴@=/（-1尸或冊=—七（—1廠

ZrvZifv

n

（2）an=1一］（nCN*,九W2/c+1）或an=-+GN*,n<2/c+1）

k（/c+l）kfc（fc+1）k

（3）不能，理由見解析

【分析】（1）結(jié)合曼德拉數(shù)列的定義，分公比是否為1進(jìn)行討論即可求解；

（2）結(jié)合曼德拉數(shù)列的定義，首先得念+1=0,必+2=&然后分公差是大于0、等于0、小于0進(jìn)行討論即可求

解；

（3）記ai,a2,…,即中非負(fù)項(xiàng)和為A,負(fù)項(xiàng)和為B,則A+_B=0,A—B=1,進(jìn)一步￡"<《（/（;=1,2,3,,

結(jié)合前面的結(jié)論以及曼德拉數(shù)列的定義得出矛盾即可求解.

【詳解】⑴設(shè)等比數(shù)列…,Q2k（%>1）的公比為q.

=

若qW1,則由①得QI+Q2H----Fa-2fc―=0,得q=—1,

l-q

由②得a尸表或a尸一段?

若q=1,由①得,ar2k=0,得Q產(chǎn)0,不可能.

綜上所述，q=—1.

?**an=』（一1）九T或0n=一段（_1廠T.

⑵設(shè)等差數(shù)列01,02,。3,…,。2k+1（k>1）的公差為d,

=

1?*Q1+Q2+Q3H--------Ha2fc+i°，

/、2%(2%+l)d

???(2f7c+1)的+—~~—=0,Qi+kd=0,

即ak+l=0,，ak+2=d,

當(dāng)d=0時(shí)，“曼德拉數(shù)列”的條件①②矛盾,

當(dāng)d>0時(shí)，據(jù)“曼德拉數(shù)列”的條件①②得,

。卜+2+。k+3H---------Ha2fc+i=y=—(電+a2H--------Fafc),

]

/.kd+即d

k(k+l)

由鶴尸0得a1+k-標(biāo)1y=。，即a尸一木

an=—-1+(n—1)―-=——----^-(nGN*,n<2fc+1).

fc+1i7fc(fc+l)fc(fc+l)ky)

當(dāng)dvo時(shí)，同理可得存+處J)d=一十,

即6:―———.

fc(fc+l)

由明尸。得=即a產(chǎn)+'

‘‘fc+1(九1)fc(fc+1)fc(fc+1)k，)

71n

綜上所述，當(dāng)d>0時(shí)，??.。日=,、一}SeN*,幾42k+l),當(dāng)dvo時(shí),an=一一z+

fc(fc+1)k