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文檔簡介

解斜三角形:知識梳理

一正弦定理

1.正弦定理的推導:(法1:面積相等;法2:外接圓中找直徑;)

在△力6c中,若角4B,,所對的邊分別是a,b,c,〃為△46C外接圓半徑,則

a______b______c___

sinAsinBsinC

2.正弦定理的基礎應用

應用一:已知兩角及一邊求三角形

注意:].△/火中,已知兩角,則第三角也就已知了;

2.已知某角的一個三角函數的值,該角也就已知了,只不過不是特殊角而已。

jiJI,、

例1.已知△/阿中,A=—B=—,a=l,則6等于()

6f4

A.2B.1C./D.y[2

_it1

例2.在t△Z6C中t,右b=5,3=7,sinA=~,則a=.

qo

45

例3.(16年全國卷I)AABC的內角的對邊分別為a,b,c,若cosA=—,cosC=—,a=l,

513

貝ijb=________

應用二:已知兩邊及一邊的對角求另一邊的對角(注意:應判斷三角形的個數)

法1:幾何法:在△/6C中,已知a泊邊以及A角,解斜三角形

4為銳角力為鈍角或直角

C

cC

圖形吐

A…A'"、?…….--B4

4B

關系式a=bsinA6sinA《a〈ba^ba>baWb

解的個數一解兩解一解一解無解

法2:代數法:在△/回中,已知。力邊以及A角,解斜三角形

oh

第一步:由一^=—^求出的值;

sinAsmbsin3

第二步:看sinB的值是否比1大,若比1大,則這樣的三角形不存在;

第三步:若sin3的值等于1,這樣的三角形只有一個

第三步:若sin3的值小于于1,看a是否成立,若成立,這樣的三角形只有一個;若成

立,則這樣的三角形有兩個。

1

例1.在AABC中,。=羽6=2,3=45°,若三角形有兩解,則x的取值范圍是:

例2.在△/回中,已知a=2,b=#,2=45°,則滿足條件的三角形有()

A.1個B.2個C.0個D.無法確定

例3.AABC中,已知。=5后,。=10,4=30°則C=()

A.45°B.60°C.135°D.45°或315°

例4.(2017?全國III卷)△一寬的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知(7=60°,b=#,c—3,

貝I4=.

例5.(2017?全國I卷)的內角A,B,。的對邊分別為a,b,c.已知sin8+sinZ(sinC—cos6)

=0,a=2,c=y[i,則。=()

JIJIJIJI

A訪B.不C-TD.可

應用三:邊角互化:邊的齊次式轉化為內角正弦的齊次式,內角正弦的齊次式轉化為邊的齊次式

abc

正弦定理的常見變形:(1)a=27?sinA,b—2Rsix\B,c=27?sinC;(2)sin/=^,sin8=^,sin0=礪

⑶a:bc=sin/:sin6:sinC;

兩個解題意識:1.只要一個等式中有邊有角,應想到邊角互化;

2.一個等式中有4B、,三個角,應想到利用/步憶消掉一個角。

例1.在中,acosA=bcosB,則這個三角形的形狀為.

例2.在銳角中,若C=2A,貝1J,的范圍()

h

A.B.|6.2)C.(0.2)D.(V2.2)

例3.(2019全國一卷17)AABC的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,

設(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求小(2)若J^a+Z?=2c,求sinC.

2

2、也

例4.的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,若cos。=二一,bcosA+acosB=2,則△A6C的外接

圓面積為()

A.4兀B.8兀C.9兀D.36兀

二余弦定理:

1.余弦定理的推導:(法1:向量方法;法2:勾股定理法)

在△Z6C中,若角4B,C所對的邊分別是a,b,c,則-=62+1—26ccos4A2=c2+a2—2cacosB;

c—a+tf—2abcosC

2.余弦定理的基礎應用

應用一:已知兩邊及兩邊的夾角求第三邊

C\[5r],\

例1.(2018?全國II卷)在回中,cos5=5'6-5,則46=()

A.4^/2D.2部

例2.在AABC中,已知角A、B、。所對的邊分別為a、b、c,且a=3,c=8,B=60,則sinA的

值是()

33「3百7

A.—B.c.----

161416

3JI

例3.在中,A=AB=6,4噌,點,在6c邊上,AD=BD,求4?的長.

應用二:已知三邊求三內角

2I222I2j2

b7-vc~ac-va—b

在△28C中,若角4B,。所對的邊分別是a,b,c,則JcosA=-------;cosB=---------

IbcZac

2Ij22

a-vb-c

cosC=--z-;

2ab

例1.在△/比■中,AB=5,47=3,BC=1,則/掰C=()

JIJI2JI5兀

A?飛B-TC,亍D-v

例2.三角形的三邊之比為3:5:7,則其最大角為(

B.全?3

C.—7TD.-n

Ay46

例3.(2014?天津)在△四。中,內角4B,C所對的邊分別是a,b,c.已知

2sin£=3sinC,則cosA的值為.

3

應用三:已知兩邊及一邊的對角求第三邊(注意:能判斷三角形的個數)

2

例1.(2016?全國I卷)△/回的內角4B,。的對邊分別為a,b,c.已知a=也,c=2,cos則

b=()

A.^/2B./C.2D.3

一7E

例2.(2019全國二卷15)AA3C的內角A,B,C的對邊分別為a,4c.若b=6,a=2c,3=—,則

3

AABC的面積為.

例3.在AABC中,角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c,若角A、B、C依次成等差數列,且

1

a=L/?=g,則5Mge=()

A.V2B.V3C.—D.2

2

例4.(2017?全國III卷)△/回的內角48,C的對邊分別為a,b,c,已知sin/+45cosA=0,a=2巾,

6=2.

⑴求c;⑵設2為寬邊上一點,且求△/劭的面積.

三面積定理:

1.面積定理的推導:

2.常用的三角形的面積公式:

S=Jx底x高=1邊x邊x兩邊夾角的正弦,x周長x內切圓半徑=」辿”也£川

2222sinB

注意:已知三邊的三角形的面積的求法:

法1:先求出某角的余弦值,再求出該角的正弦值,最后用面積定理求解。

法2:(海倫公式)S=Jp(p-a)(p-b)(p-c)其中p=;(a+,+c)

例1.三角形有一個角是60°,夾在這個角的兩邊長分別為8和5,則它的內切圓面積為()

A.3nB.6兀C.12兀D,兀

例2.(2014?江西)在△49C中,內角4B,「所對的邊分別是a,b,c.若d=(a—6)?+6,C=~,

o

則△/回的面積是()

4

9m

C.D.3^3

1-2

例3.在△ABC中,內角AB,C所對的邊長分別是a,b,c,如果滿足26=a+c,N5=30。,

3

AABC的為面積為一,那么b等于

2

例4.[2018全國三卷9]"BC的內角[的對邊分別為門,口,口,若的面積為

C.D.

例5.(18,全國I卷改編)△/比?的內角A,B,。的對邊分別為a,b,c.已知AsinC+csin6=4dsin咫in

C,t^+c-a=8,則△/回的面積為()

A.號B.平C.fD.畢

3363

rr

例6.在△ABC中,內角AB,。對邊的邊長分別是a,b,c,已知c=2,C=-.

3

(I)若ZkABC的面積等于6,求a,匕;

(II)若sinC+sinCB—A)=2sin2A,求△ABC的面積.

V5Vio

例7.在AABC中,cosA=y,cosB=i鼠,則

(I)求角口;(II)設,求的面積.

四三角形中常用結論

1.A+B+C=?O?—+—g

/??、A+BCA+B

2.sin(/十⑹=sinC;cos{A+B)=~cosC;sin-~=cos/;cos---,=:s.inc.

5

3.在△/阿中,兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,給必^d>b=sin&sin8=>cos水cosB.

6

4.邊長為。的正三角形:高匚。,面積)一4,外切圓半徑=。,內切圓半徑;y_。

2

5.頂角為120°的等腰三角形三邊之比1:1:73

2I,2_2

6.在△26C中,若甘十欣由cosC=a〈0,可知角。為鈍角,則△/勿為鈍角三角形.

Za。b1°

7.直角三角形中的射影定理:在RtAABC中,ZA=90°,ADLBC,

貝UAB?=BDBC;AC?=CDCB;AD?=BDDC。

8.在RtAABC中,a、b為直角邊,c為斜邊,貝URt△ABC的外接圓半徑R=,內切圓半徑r=,

斜邊上的高為he=,斜邊被垂足分成兩線段之長為;

9.重心:(1)定義:三中線的交點。

(2)分中線所成的比:重心把中線分成2:1兩段。

(3)重心坐標公式:三頂點坐標之和除以3.

(4)中線長公式:補成平行四邊形,利用平行四邊形定理:對角線的平方和等于四邊的平方和。

10.內心:(1)定義:三條角平分線的交點。

(2)角平分線定理1:角平分線上的點到角兩邊距離相等。

(3)角平分線定理2:角平分線分對邊之比等于其夾邊之比。

(4)內切圓半徑的求法:S=!周長x內切圓半徑。了解正三角形和直角三角形內切圓半徑的

2

求法。

11.外心:(1)定義:三中垂線的交點。

(2)中垂線定理:中垂線上的點到線段兩端點的距離相等。

(3)外接圓半徑的求法:正弦定理。了解正三角形和直角三角形外接圓半徑的求法。

12.垂心:定義:三高線的交點。

例1.在AABC中,AB=4,AC=8,6c邊上的中線4?=3,則6C的長是()

A.2V13B.2vHC.2+V31D.2+V13

例2.在△ABC中,B=60°,AB=1,BC=4,則邊BC上的中線AD的長為

例3.在直角三角形中,斜邊上的高為6cm,且把斜邊分成3:2兩段,則斜邊上的中線的長為()

A.§娓cmB.4^/6cmC.546cmD.cm

例4.在AABC中,J=60°,c:6=8:5,內切圓的面積為12m,則△ABC的外接圓半徑為.

五三大定理綜合應用解斜三角形

(一)三大定理的初步綜合:大不了三大定理套

6

例1.在中,cos%=4(a,b,c分別為角4B,C的對邊),則的形狀為()

z2c

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

例2.(2021?全國?高考真題(理))記一ABC的內角46,C的對邊分別為a,b,c,面積為白,8=60。,

a2+(r=3ac,貝!Ib=.

例3.(2022?全國?高考真題)記ABC的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊

長的三個正三角形的面積依次為5,邑,S3,已知d-S2+S3=孚,sin5=g.

(1)求ABC的面積;(2)若sinAsinC,求

3

例4.(2022?全國?高考真題(理))記乙回。的內角A氏C的對邊分別為〃,瓦。,已知

sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).

25一.

⑴證明:2Q2=/+°2;(2)若Q=5,cosA=/,求ABC的周長.

例5.(2019?鄭州二模)在回中,4B,。的對邊分別為2b,c若2cos2-^——cos2C=1,

4sin夕=3sinA,a-b=l,則。的值為()

A.713B.巾C.y[37D.6

例6.在△力回中,a,b,。分別是內角4B,。的對邊,且分為銳角,若一一sinB=^~,Sw

sin8Zb4

=平,則6的值為.

例7.在△46。中,角4B,。的對邊分別為a,b,c,若/=《,至Uk|=2sin/sin8,

3cosC

且6=6,貝Uc=()

A.2B.3C.4D.6

例8.在AABC中,已知a2-c2=2"且sinB=4cosAsinC,求b.

7

例9.已知△力6c的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,a-ab~21j^.

JI2兀

(1)若方=*7~,求/,C;(2)若。=一丁,c=14,求Sk腕.

63

JT

例10.【2018天津卷15】在ZkABC中,內角4夕,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsin4=

(I)求角8的大小;(H)設爐2,爐3,求6和sin(2A—5)的值.

例H.(2014?浙江)在△/回中,內角4B,。所對的邊分別為a,b,c.已知a豐b,°=小,cos2A-cos2B

=^/3sinAcos4—,^sin比osB.

4

(1)求角。的大小;(2)若sinA=-,求△/a1的面積.

5

2

例12.(2017?全國I卷)△力加的內角4B,。的對邊分別為a,b,c,已知△/6C的面積為「二二

3sinA

(1)求sin5sinC;(2)若6cosBcosC=l,a=3,求的周長.

(二)多個三角形問題和四邊形中的三角形問題:

把已知條件轉化到一個三角形中,然后在該三角形內利用正弦、余弦定理求解.或者尋找各個三

角形之間的聯系,交叉使用公共條件,求出結果,求解時要靈活利用平面幾何的性質,將幾何性質與正

弦、余弦定理有機結合起來.

A

例1.(2018?福州模擬)如圖,在△26C中,已知點,在回邊上,ADVAC,sinABAC

=平,AB=3y[2,AD=3,則劭的長為.BDC

例2.(2022?全國?高考真題(理))已知.ABC中,點,在邊況上,NAT出=120。,AD=2,8=28。.當

會AT取得最小值時,BD=.

例3.在△/8C中,〃為8c邊上一點,DC=2BD,AD=y[2,ZADC=45°.若AC=^AB,則初等于()

A.2+小B.4C.2+/D.3+^5

8

例4.(2021?全國?高考真題)記ABC是內角A,B,C的對邊分別為。,b,c.已知〃=改,點

。在邊AC上,BDsmZABC=asinC.

(1)證明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos/ABC.

例5.(15年全國卷II)MBC中,D是BC上的點,AD平分NBAC,MBD是AVDC面積的2倍。

⑴求然(II)若A£)=l,OC=正求和AC的長.

2

例6.【2018全國一卷17】在平面四邊形ABCD中,ZADC=90,NA=45,AB=2,BD=5.

(1)求cosZADB;(2)若DC=2日求3c.

例7.如圖,在△48C中,BD-sinB^CD-sinC,Bg2DC=2pAD=2,

則△/8C的面積為()

A.B.3yC.3^3D.3小

(三)實際問題中的三角形問題

1.仰角和俯角

在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線上方叫仰角,目標視線在水

平視線下方叫俯角(如圖1).

2.方向角:正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角,如南偏東30°,北偏西45。等.

3.坡度:坡面與水平面所成的二面角的正切值.

例1.江岸邊有一炮臺高30米,江中有兩條船,由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°,而且兩

條船與炮臺底部連線成30°角,則兩條船相距()

A.10米B.100米C.30米D.20米

例2.(必修5Pli例1改編)如圖所示,設48兩點在河的兩岸,一測量者在/所在的同側河岸邊選定一點

C,測出AC的距離為50m,N//=45°,/。6=105°后,就可以計算出46兩點的距離為()

A.50^2mB.50^3mC.25-\f2mD.-~~m

例3.(2019?雅禮中學月考)如圖,兩座燈塔4和8與海岸觀察站C的距離相等,

塔/在觀察站南偏西40°,燈塔6在觀察站南偏東60°,則燈塔/在燈塔方的(

A.北偏東10°B.北偏西10°C.南偏東80°D.南偏西80°

例4.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到4處時測得公路北

側一山頂,在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達6處,測得此山頂

在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度切=m.

例5.(2021?全國?高考真題(理))魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是有關測量的數學著作,其中第

一題是測海島的高.如圖,點E,H,G在水平線AC上,DE和尸G是兩個垂直于水平面且等高的

測量標桿的高度,稱為“表高”,EG稱為“表/朱大,'一

距",GC和E”都稱為“表目距”,GC與EHj—y

的差稱為''表目距的差”則海島的高AB=::°

()

.表高x表距表高x表距表高x表距表高x表距一

A,表目距的差一表回表目距的差一表問表目距的差一表距表目距的差表距

例6.(2021?全國?高考真題(理))2020年12月8日,中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程

為8848.86(單位:m),三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個

示意圖,現有48c三點,且48,C在同一水平面上的投影A',2',C滿足NA,C6=45。,

ZAB'C'=6O°.由C點測得8點的仰角為15°,BB'與CC的差為100;由8點測

得力點的仰角為45。,則4。兩點到水平面A'B'C'的高度差A4'-CC'約為

一一二廠十

(6*1.732)()'「4”

A.346B.373C.446D.473

例7.如圖,測量河對岸的塔高時可以選與塔底8在同一水平面內的兩個測點C

與D,測得,/BDC=30°,切=30,并在點。測得塔頂力的仰角為

60°,則塔高等于()

A.5#B.15^/3C.5$D.15m

例&一艘海輪從4處出發(fā),以每小時40海里的速度沿南偏東40。的方向直線航

行,30分鐘后到達6處,在。處有一座燈塔,海輪在4處觀察燈塔,其方向是

南偏東70°,在8處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么6,C兩點間的距

離是()

A.10鎘海里B.海里C.28\伺海里D.20鏡海里

例9.(2019?深圳模擬)一架直升飛機在200m高度處進行測繪,測得一塔頂與塔底的俯角分別是30°

和60°,則塔高為()

40040M200A/3200

A.~~z~mB.—mC.—mD.~~r~m

0000

(四)求相關量的范圍

1.已知一邊及邊的對角,求所求量的范圍

3

例1.在AABC中,sinA=—=則邊長c的取值范圍是()

4

B.(10,+oo)C.(0,10)D釁]

例2.(14年全國卷I)已知a,b,c分別為AABC的三個內角C的對邊,a=2,且

(2+/7)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則A43C面積的最大值為.

例3.(17年全國卷I).在AABC中,角A,B,C成等差數列且/>,則AABC的外接圓面積為—

例4.(2018?大理模擬)在△/灰中,角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足asin6=/ZTCOSA.

若a=4,則△成周長的最大值為.

例5.設AABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosC+—c=b.

2

(I)求角A的大??;(II)若”=1,求AABC的周長/的取值范圍.

11

例6.(2022?成都測試)在△板中,AB=2,0=看,則〃+/%的最大值為()

A.巾B.2^7C.3小D.4小

例7.在△46。中,三個內角4B,。的對邊分別為a,b,c,若(gb-sinC)cosA=sinAcosC,且女

=2事,則△極7面積的最大值為.

例8.已知a,b,c分別是內角Z,B,。的對邊,且滿足(d+6+c)(sin6+sin。-sin/)=6sin

⑴求角力的大??;(2)設a=/,S為△/8C的面積,求S+/cosBcosC的最大值.

例9.(2022?太原調研)設△/6C的內角A,6,C的對邊分別為a,b,c,己知△/回的外接圓面積為16n,

且cos'C—cosZjnsinM+sin/sinC,則a+c的最大值為.

2.結合已知條件,畫出圖形的草圖,通過圖形的動態(tài)變化確定所求量的范圍

(上面的例1,例2,例7用畫圖法再做一遍)

例1.AABC中,若46=1,BC=2,則NC的取值范圍是.

例2.(15年全國卷I)在平面四邊形ABCD中,ZA=ZB=ZC=75°,BC=2,則AB的取值范圍是

A+C

例3.(2019全國三卷18)2\力比1的內角/、B、C的對邊分別為a、b、c,已知asin-----=Z?sinA.

2

(1)求8;(2)若△46C為銳角三角形,且右1,求△力固面積的取值范圍.

3.要利用三大定理,己知條件不夠,引入一個中間量,所求量用中間量表示出來

例1.(2014?江蘇)若的內角滿足sin/+,Lin6=2sinC,則cosC的最小值是.

例2.已知△4%的內角/、B、C對的邊分別為a、b、c,sin/+q^sin6=2sinC,6=3,當內角C最大

時,△/回的面積等于()

A9+3第D6+3四劍2乖一由3乖-3乖

A.AD..L..1)..

12

例3.【2018江蘇卷13】在△ABC中,角A氏。所對的邊分別為Zz4BC=120°,NABC的平分

線交AC于點〃且瓦)=1,則4〃+。的最小值為

cosAsinIB

例4.(2022?全國?高考真題)記.ABC的內角46,C的對邊分別為a,b,c,已知

1+sinA1+cos25

⑵求心三的最小值.

(1)若C=y求民

C

4.建系

例1.若AB=2,AC=y[2BC,則以胸的最大值

解斜三角形:知識梳理

一正弦定理

1.正弦定理的推導:(法1:面積相等;法2:外接圓中找直徑;)

在△/6C中,若角4B,。所對的邊分別是a,b,c,〃為△48C外接圓半徑,則

abc

-----=-----=-----=2R.

sinAsinBsinC

2.正弦定理的基礎應用

應用一:已知兩角及一邊求三角形

注意:[△/6C中,已知兩角,則第三角也就已知了;

2.已知某角的一個三角函數的值,該角也就已知了,只不過不是特殊角而已。

…JIJI

例1.(2018?沈陽質檢)已知△A5C中,A=—,B=~,a=l,則6等于()

b4

A.2B.1C.73D.72

答案D

ab得一^b

解析由正弦定理

sinAsinE兀

sin-sin-

64

.?.]=',b=^2.

22

,兀1

例2.在中,若6=5,B=q,sinA=—,貝Ua

T:O

5V2

答案:

例3.(16年全國卷若

13

答案:

應用二:已知兩邊及一邊的對角求另一邊的對角(注意:應判斷三角形的個數)

法1:幾何法:在△力6c中,已知a,b邊以及A角,解斜二角形

A為銳角A為鈍角或直角

圖形r□u□

關系式a=6sinAZ?sinA〈水ba>b

解的個數一解兩解一解一解無解

法2:代數法:在△47C中,已知氏。邊以及A角,解斜三角形

第一步:由一^=,^出5旭3的值;

smAsinB

第二步:看sin3的值是否比1大,若比1大,則這樣的三角形不存在;

第三步:若sin3的值等于1,這樣的三角形只有一個

第三步:若sin3的值小于于1,看a之。是否成立,若成立,這樣的三角形只有一個;若a<6成

立,則這樣的三角形有兩個。

例1.在AABC中,。=1力=2,8=45°,若三角形有兩解,則x的取值范圍是:

答案:2<x<2后

例2.在中,已知a=2,b=y[6,4=45°,則滿足條件的三角形有()

A.1個B.2個C.0個D.無法確定

答案:B

解析:VAsin4=/木,.'"sinA〈a〈b.

???滿足條件的三角形有2個.

例3.AABC中,已知。=5亞,。=10,4=30"則C=()

A.[C.D.

14

答案:D

例4.(2017?全國III卷)△49C的內角4B,。的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=乖,c=3,

則A=

答案:75。

Acjnr

解析:由正弦定理,得sinB——-

c32

結合伙c得8=45°,則/=180°-5-<7=75°.

例5.(2017?全國I卷)△/回的內角4B,。的對邊分別為ab,c.已知sin8+sin/(sinC—cos6)

=0,a=2,c=y[2f則。=()

JIitJIJI

A——R——r—D.—

1264

答案:B

解析:由題意得sin(/+0+sinZ(sin61—cos0=0,

.'.sinAcosC+cosZsinC+sin/sinC—sinAcosC=0,

則sinC(sinZ+cosA)=y[2sin氏in(/+^j=O,

因為?!?0,兀),所以sin今0,所以sin0+T")=O,

JI3JI

又因為de(0,n),所以/+丁=m,所以

由正弦定理二得—

sinAsm63兀sin6

sin丁

1n

貝Hs?na-J\-

u12JIZc=6

應用三:邊

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