2024年浙江嘉興市二模數(shù)學高考模擬試卷試題（含答案）

2024年高三教學測試

數(shù)學試題卷

（2024.4）

本試題卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.

考生注意：

1.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答

題紙規(guī)定的位置

2.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙上的相應位置規(guī)范作答，在本試題卷

上的作答一律無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合M={x|x<0},N={x|—2<x<4},貝?。荩ǖ贛）cN=（）

A.{x|x>-2}B.{X|-2<X<0}C.{x|x<4}D.{x|0x<4}

2.已知函數(shù)/（x）=cos（ox+9）（o〉0）是奇函數(shù)，則。的值可以是（）

7171

A.OB.-C.—D.兀

42

3.設zeC,貝！l“z+亍=0”是“z是純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若正數(shù)友〉滿足——29+2=0,則x+V的最小值是（）

A，V6B.在C.2^2D.2

5.如圖，這是一個水上漂浮式警示浮標，它的主體由上面一個圓錐和卜面一個半球體組成.已知該浮標上面

圓錐的側面積是下面半球面面積的2倍，則圓錐的體積與半球體的體積的比值為（）

6.已知圓C：(x—5)2+(y+2)2=/?！?),z(_6,0),3(0,8),若圓C上存在點P使得PA1PB,則r的

取值范圍為()

A.(O,5]B,[5,15]C.[10,15]D.[15,+CO)

7.6位學生在游樂場游玩4民。三個項目，每個人都只游玩一個項目，每個項目都有人游玩，若/項目必

須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有()

A.180種B.210種C.240種D.360種

8.已知定義在(0,+力)上的函數(shù)/(x)滿足/(x)=(l—x)/(x),且/⑴>0,則()

⑴</。)BJ⑵

</⑵</⑴D./(2)</出”⑴

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知一組數(shù)據(jù)1,3,5,7,9,其中位數(shù)為。，平均數(shù)為亍，極差為b,方差為1.現(xiàn)從中刪去某一個數(shù)，得到

一組新數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為a',平均數(shù)為？，極差為方差為s'?，則下列說法中正確的是()

A.若刪去3,則a<a'

B.若刪去9,則無<丁

C.無論刪去哪個數(shù)，均有6b'

D.若元=￡，貝(I§2<s2

10.已知角a的頂點與原點重合，它的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點定義:

方(0=巴吆對于函數(shù)/(x)=Ti(x),則()

a-b

A.函數(shù)/⑴的圖象關于點卜寸稱

B.函數(shù)/(x)在區(qū)間[；,曰]上單調遞增

C.將函數(shù)/(x)的圖象向左平移;個單位長度后得到一個偶函數(shù)的圖象

D.方程/(x)=(在區(qū)間[0,可上有兩個不同的實數(shù)解

11.拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反

之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.如圖，已知拋物線

Q:/=2px（p＞0）的準線為1,0為坐標原點,在%軸上方有兩束平行于x軸的入射光線4和12,分別經。

上的點幺（西,％）和點3（%，%）反射后，再經。上相應的點。和點￡＞反射，最后沿直線和4射出，且4

與之間的距離等于‘3與14之間的距離?則下列說法中正確的是（）

A.若直線/3與準線/相交于點P，則4P三點共線

B.若直線4與準線/相交于點P，則F萬平分/4PC

-2

C.%歹2=P

7

D.若直線4的方程為y=2夕，貝iJcosN4F5=石

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知平面向量瓦5曰力=卜1,8）石=（6,-I）E是非零向量，且1與扇B的夾角相等，則己的坐標可

以為.（只需寫出一個符合要求的答案）

13.設數(shù)列｛%｝的前〃項和為Sn,等比數(shù)列也｝的前n項和為T,若4=-l,b5=8b2,

(1—2")S,=〃(〃+1)北，則4=.

14.在四面體Z8CD中，BC=2,NABC=NBCD=90°,且ZB與CD所成的角為60°.若四面體Z8CD

的體積為4百，則它的外接球半徑的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

在A48C中，內角4瓦。所對的邊分別是見仇c,已知2＜：052-3?）522=3.

（1）求cosZ的值；

（2）若ANBC為銳角三角形，2b=3c,求sinC的值.

16.（15分）

在如圖所示的幾何體中，四邊形48CD為平行四邊形，平面45CD,P/〃

BC=2AB=2PA=2,ZABC=60°.

（1）證明：平面PCD，平面PNC；

（2）若PQ=20,求平面PC。與平面。。。夾角的余弦值.

17.（15分）

春季流感對廣大民眾的健康生活帶來一定的影響，為了有效預防流感，很多民眾注射了流感疫苗.某市防疫

部門從轄區(qū)居民中隨機抽取了1000人進行調查，發(fā)現(xiàn)其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外沒

注射疫苗的200人中有80人感染流感.醫(yī)學研究表明，流感的檢測結果是有錯檢的可能，已知患有流感的人

其檢測結果有95%呈陽性（感染），而沒有患流感的人其檢測結果有99%呈陰性（未感染）.

（1）估計該市流感感染率是多少？

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，判斷是否有99.9%的把握認為注射流感疫苗與預防流感有關；

（3）已知某人的流感檢測結果呈陽性，求此人真的患有流感的概率.（精確到0.001）

n(ad-be)”

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸①>k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

18.(17分)

已知雙曲線C:二—==1（。〉01〉0）的虛軸長為4,浙近線方程為y=±2x.

a~b~

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）過右焦點廠的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別交于點48,點M是線段48的中點，過點尸且

與/垂直的直線/'交直線（W于點P,點。滿足聞=強+而，求四邊形R4Q5面積的最小值.

19.（17分）

（m、

已知集合2=（22勺0<o2<-??<????,.GN^,定義：當加=/時，把集合/中所有的數(shù)從小到大排

I/=1>

列成數(shù)列加?）“},數(shù)列抄（。“}的前〃項和為S。）“例如」=2時,

223

/2)]=2°+2]=3,〃2)2=2°+2=5,6(2)3=2*+2=6,6(2%=2°+2

5(2)4=Z>(2),+/2)2+/2)3+/2)4=23.

(1)寫出仇2)51(2)6,并求S(2)io；

(2)判斷88是否為數(shù)列抄(3).｝中的項.若是，求出是第幾項；若不是，請說明理由;

(3)若2024是數(shù)列出()｝中的某一項“辦)〃。,求辦,〃。及5(0)“。的值.

2024年高三教學測試

數(shù)學參考答案

(2024.4)

一、單選題(40分)

1-8DCBADBCD

/(x)一礦(x)f(x)-xf'(x)_x

第8題：由切'(x)=(l-x)/(x)變形得=X,從而有

/(x)/⑺/(X)'

xxx

XxXXke-kx-c_ke(1-x)

所以加=k-e,所以/(x)=，則〃x)=

/(x)“X)'k-exk2ex

又/(1)〉0,所以/(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+力)單調遞減，所以/

3

/⑵=二43

又/，又e3>2,3它19.7>16，所以c05，、r4，所以

I2ky[eke2辰2

/⑵</')</⑴,故選D.

二、多選題(18分)

9.ACD10.AB11.ACD

第11題：對于選項A,因為直線NC經過焦點，設直線/C:x=W+與，與拋物線/=2.聯(lián)立得

J?-2pty_,2=0,%+%=2pt,yy=-p-,

、x3

由題意得尸—，z，%，％=一一~

)P

2p_2p_2J

kAO=3

一2

必￡_p，所以k°p—k/o,

乃

即4。、尸三點共線,A正確;

對于選項B,因為N4PF=NCPF,NCFP=/CPF,

所以/APF=/CFP,所以4P〃C下，與4P和"相交于4點矛盾，B錯誤;

對于選項c,4與4距離等于4與乙距離，則%一%=%一％=一旦+2=22?2nL

y>y2必必

所以必必=夕2,C正確;

25P2

16

三、填空題(15分)

12.5=(X,X),XN0均可13.2〃14.3

第14題：依題意，可將四面體N8CD補形為如圖所示的直三棱柱Z3E-/CD,因為與CD所成的角

為60°，所以/。。9=60°或120°，設CD=x,CR=y,外接球半徑記為R,

外接球的球心如圖點O.

=；?8C邑⑺尸=；x2x（；xysin60。］=,孫=4石，得Q=24,

3312）6

DF)1,

在必AOCQ中，R2=OC2=OO/+CO^1+=1+-DF2

IsmZDCF)3

所以當/￡>C尸=60°時，外接球的半徑會更小.

在△CDR中，由余弦定理得次爐=/+了2—中，

所以火2=i+g（x2+j?—◎）2i+g肛=9,所以凡m=3.

D

四、解答題（77分）

15.（13分）

解析：（1）2COS/-3（2COS2/-1）=3,即3cos^Z-cosZ=0，解得cosZ=§或cosZ=0；

（2）解法一：由正弦定理得2b=3c,2sin5=3sinC,2sin（/+C）=3sinC,

1o

2sirk4cosC+2sinCcosZ=3sinC,因為cosA=—,所以siih4=-----；

33

COSC+—sinC=3sinC>解得tanC=:亞，所以sinC=.

3379

]j~+C~—Cl~1_i.—n~

解法二：由余弦定理得cosZ=3^-土=上，因為2b=3c,所以41242,

2bc3-------------=-c=—a2,c=-a

℃'3c2393

又cosZ='，所以sirk4=，所以sinC=2sirt4=生旦.

3339

16.（15分）

解析：（1）解法一：?.?8C=2/B,/Z8C=60°,

PA1底面ABCD,PALCD,

:.CD±平面PAC,-：CDcz平面PCD，

平面PCD,平面PNC.

解法二：BC=2AB,ZABC=60°,，AB1AC.

如圖建立空間直角坐標系，尸(0,0,1),4(0,0,0),

c(o,道1,6,0),則方=(o,o,—1),

PC=(0,A/3,-1J,CD=(-1,0,0)

設％=(x,y,z)是平面PNC的法向量，貝!J

〃1.PA=0

=>y=z=0,取〃i=(l,0,0),

ncPC=Q

設〃2=(。,仇c)是平面PC。的法向量，則

n2-CD=0

n^-PC=Q

所以屋點=0,所以平面PCD,平面R4C.

/。

/4.1

Z

(2)解法一：在直角梯形ADQP中，解得QD=3,

過C,尸作C￡,P￡分別平行于4P,4C,連結作

F戶，。。交QC于廠點，連結斯，

■.■AC1CD,AC±QD,AC1平面CDQE,

PE//AC,PE1平面CDQE,

■：PF±QC,:.EF±QC,

ZPFE為平面PCQ與平面DCQ的夾角，

PE=43,在APC。中解得小=t=,

sin/PFE=—=%,cosNPFE=~^==—

PFV31而31

（2）解法二：在直角梯形/OQP中，解得QD=3,

如圖建立空間直角坐標系，P（O,O,1）,C（O,^,O）,

g（-l,V3,3）,D（-1,^,0）,

平面QCQ的法向量為E=AC=（0,V3,0）,

西=（-1,0,3）,而=（o,-6』），

設平面PCQ的法向量為0=（%,%，Z2），

?n2=0

CP-n2=0

,3

cos8=COS(〃1，〃2

行同一31

即平面PCQ與平面DCQ夾角的余弦值為叵.

31

17.（15分）

220+80

解析：（1）估計流感的感染率P==0.3.

1000

（2）列聯(lián)表：

流感情況

疫苗情況合計

患有流感不患有流感

打疫苗220580800

不打疫苗80120200

合計3007001000

1000(220xl20-580x80)2

根據(jù)列聯(lián)表，計算犬2=-

7jf)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)800x200x300x700

因為11.9〉10.828,所以有99.9%的把握認為注射流感疫苗與流感發(fā)病人數(shù)有關.

（3）設事件/為“一次檢測結果呈陽性”，事件8為“被檢測者確實患有流感”，

由題意得/（3）=0.3,尸（豆）=0.7,P（/|5）=0.95,P（45）=0.01,

P（AB）=P（B）-P（A\B）=0.3x0.95=0,285,

由全概率公式得P（/）=P⑻（削S）+P（S）-P（^|5）=0.3x0.95+0.7x0.01=0.292,

0.285

“㈤二常-97.6%,所以此人真的患有流感的概率是97.6%.

0.292

18.（17分）

解析：（1）易知雙曲線的標準方程為——匕=1.

4

x=my+J~5

（2）設/（X],必）,8）2，%），河（飛，歹0），/3:》=my+正聯(lián)立方程《得

4x2-j2=4

（4m2-1）/+8括叼+16=0,A=320冽2-64（4m2-1）=64（m2+1）,

且y=%+%=_4&+亞=__V5_

為24病-1'°74m2-1

由。,MP三點共線得,;胡①,

由？尸_1_48得凝尸?的B=一1，

’14m'

由①②解得尸

由聞=蘇+而可知，四邊形P4QB是平行四邊形，所以5川”=2S/，B=盛，|48|，

3

8（/+l）32（/+i）5

所以SPAQB

V5|4m2-l|-y/5|4m2-l|

令Z=4/—l，濟=(，則

令:⑹")1則/，(：)：3(Z+5)2/J(+5)3?+5)2尸0)

135

所以/(/)在(0,10)上單調遞減，(10,+e)上單調遞增，所以/?)min=/(10)=丁,

所以(5加時)1mli=*x，5=6jL當且僅當7=10,即加=土平時取等號?

19.(17分)

解析：(1)因為加=2,此時/={2叫+2叼0<%<a?,。”%eNJ,

3132

Z>(2)5=2+2=10,6(2)6=2+2=12,

1234

S(2)10=4(2°+2+2+2+2)=124.

(2)當加=3時，4={2%+2%+2"，|0K6<a,<%,%,%,%eN},

88=26+24+23,/.88是數(shù)列抄(3)〃}中的項，

2fl3

比它小的項分別有2%+20+2,0<a1<a2<a3<5,ax,a2,a3GN,C羨個,

有2%+2"z+2‘,0<q<%<3,%,4eN,C：個,

46

有2%+2+2,0<a1<2,a1eN，G個，

所以比88小的項共有2+C：+G=29個，故88是數(shù)列抄(3)“}的第30項.

(3)2024=210+29+28+27+26+25+23,.-.2024是數(shù)列抄⑺“}中的項,故1=7,

則當〃？=7時，4