2024年山西省大同市多校中考一模數(shù)學試題(解析版)

2023—2024中考學科素養(yǎng)自主測評卷（一）

數(shù)學

注意事項：

1.本試卷共6頁，滿分120分，考試時間120分鐘。

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷相應(yīng)的位置。

3.答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷選擇題（共30分）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.下列四個實數(shù)中，無理數(shù)是（）

22

A.3.14B.—C.?D.眄

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查的是無理數(shù)的定義，熟知初中范圍內(nèi)學習的無理數(shù)有：7T,2兀等；開方開不盡的數(shù)；以及

像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)是解答此題的關(guān)鍵.

無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此進行判斷即可.

【詳解】解：A、3.14是有限小數(shù)，屬有理數(shù)不是無理數(shù)，故此選項不符合題意；

22

B、-是分數(shù)，屬有理數(shù)不是無理數(shù)，故此選項不符合題意；

C、”是無理數(shù)，故此選項符合題意；

D、廖=7是整數(shù)，屬有理數(shù)不是無理數(shù)，故此選項不符合題意；

故選：C.

2.“二十四節(jié)氣”是根據(jù)太陽在黃道（即地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道）上的位置來劃分的，是在我國春秋戰(zhàn)國時期

訂立的一種用來指導農(nóng)事的補充歷法，下列四幅“二十四節(jié)氣”標識圖中，文字上方所設(shè)計的圖案是軸對

驚蟄立春

【解析】

【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，對稱軸兩旁的部分能完全重合的圖形是軸對稱圖形.根據(jù)軸對稱的定義

判定即可.

【詳解】解：A.選項中的圖案不是軸對稱圖形，故選項A不符合題意；

B.選項中的圖案是軸對稱圖形，故選項B符合題意；

C.選項中的圖案不是軸對稱圖形，故選項C不符合題意；

D.選項中的圖案不是軸對稱圖形，故選項D不符合題意；

故選：B.

3.下列運算正確的是()

A,a2-C22-4)=-4

Ba3b2+4a2b=_a

4

12

C。7十(號2oa3)，=—_。4D.(a-2b)-a2-2ab+4Z?2

2

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了整式的加法、單項式除以單項式的運算和完全平方公式，熟練掌握運算法則是解本題

的關(guān)鍵.

根據(jù)整式加法法則計算即可判定A；根據(jù)單項式除以單項式法則計算即可判定B、C；根據(jù)完全平方公式即

可判定D.

【詳解】解：A、。2—。2—4)=。2—。2+4=4,故此選項不符合題意；

a3b2^4a2b=Lab,故此選項不符合題意;

B、

?7-C2a3)=-l.a4)故此選項符合題意;

C、

D、(a-2Z?)2=t/2-Aab+4Z?2,故此選項不符合題意;

故選：c.

4.如圖，把一個含30。角的直角三角板48c的直角頂點C放在直尺上，44=30。，Zl=50°,則N2的

度數(shù)是（）

A.10°B.12°C.15°D.20°

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查平行公理推論，平行線性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助

線.

過點8作尸交/C于0,則NC08=N1,在RMBC。中，ZCBD=90°-ZCDB,又在

Rtz\48C中，N/=30°,則NA8C=90°—44,從而求得N4BD=NABC-NCBD,再證明

BD//MN,即可由平行線的性質(zhì)求解.

【詳解】解：過點5作8?！ā晔?C于。，

-;BD//EF,

ZCDB=Z1=50°,

.?.在RtABCZ）中，ZCBD=90°-ZCDB=40°,

在RtZUBC中，44=30°,

ZABC=90°-ZA=60°,

ZABD=ZABC-ZCBD=60°-40°=20°,

?/BD//EF,MN//EF,

：.BD//MN,

：.Z2=ZABD=20°.

故選：D.

5.隨著“雙減”政策的實施和課后延時托管的開展，某學校開設(shè)了四門興趣課程，分別為“繪畫”“聲

樂”“陶藝”和“書法學校規(guī)定每人只能選擇自己喜歡的一門課程學習.小明與小亮對這四門課程都感

興趣，在沒有溝通的情況下，這兩人選擇同一門課程的概率是（）

131

A.B.D.

4832

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有

可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件.用到的知識點為：概曾所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中小明與小亮兩人恰好同時選擇同一門課程的結(jié)果有4種，再由概

率公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)“繪畫”“聲樂”“陶藝”和“書法”這四種課程分別為/、2、C、D.

畫樹狀圖如下：

開始

ABCD

z/VxzAx

ABCDABCDABCDABCD

共有16種等可能的結(jié)果，其中小明與小亮兩人恰好同時選擇同一門課程的結(jié)果有4種，即44、BB、

CC、DD,

4_1

，小紅和小明兩人恰好同時選擇體育運動（包含輪滑和足球）的概率為

16-4,

故選：A.

6.在數(shù)學課上，同學們用7個相同的小立方體搭成不同形狀的幾何體,下面是四個小組搭成的幾何體，則

下列說法中不正確的是（）

A.圖1和圖2的俯視圖的面積相等B.圖2和圖4的左視圖相同

C.圖3和圖4的俯視圖相同D.圖1比圖3的左視圖的面積小

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了簡單組合體的三視圖，分別畫出相應(yīng)幾何體的視圖再進行判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】解：A.圖1的俯視圖是,圖2的俯視圖是,所以，圖1和圖2的俯視圖的面積相

等，故選項A說法正確，不符合題意;

B.圖2的左視圖是J]]，圖4的左視圖是。|，所以，圖2和圖4的左視圖相同，故選項B說法正

,所以，圖3和圖4的俯視圖相同，故選項C

D.圖1的左視圖是田,圖3的左視圖是田,所以，圖1與圖3的左視圖的面積相等，故選項D

說法錯誤，符合題意,

故選：D

7.如圖，直線>=丘+從左。0）與V=x-6的圖象相交于點幺（見一4）,則關(guān)于工的不等式依+b<x-6

B.x<-4C.x>2D.x<2

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)圖象找到一次函數(shù)了=履+6的圖象在一

次函數(shù)y=x-6的圖象下方時自變量的取值范圍即可得到答案.

［詳解］解：當y=_4時，X—6=—4,得x=2

由函數(shù)圖象可知，關(guān)于x的不等式后c+b<x-6的解集為x>2,

故選：C.

8.如圖，△45。內(nèi)接于半徑為6的。。中、作。。的直徑5。，若乙4=50°,連接。C,則圖中扇形的

面積是（）

1632

A.8兀B.6兀C-歹兀D-不兀

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查圓周角定理，扇形面積公式，求出NC0D=80。是解題的關(guān)鍵.

先由圓周角定理得/8。。=2/4=100。，從而求得/。?！?gt;=80。，即可由扇形面積公式求解.

【詳解】解：.；//=50。，

/.ZBOC=2ZA=100°,

：.ZCOD=180°-ZBOC=80°,

80兀x62

:.S=8兀，

扇形cc?360

故選：A.

9.已知拋物線>=&t2+樂+。的部分值如下表所示:

X2368

y45.54-2

由表格可知，下列結(jié)論中正確的是

A.拋物線開口向上B.該拋物線的最大值為5.5

D.該拋物線與y軸交于點（0，-2）

C.該拋物線的對稱軸為直線x=3

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質(zhì).求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)

鍵.

先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再根據(jù)解析式，由拋物線的圖象性質(zhì)判定即可.

【詳解】解：把（2,4）,（6,4）,（8,-2）分別代入y=ax2+Z?x+c,得

1

a=———

4。+2b+c=42

<36〃+66+。=4,解得:6=4

64a+8b+c=-2c=-2

...拋物線解析式為y=_2y=_；X2+4x-2=-yCx-4）2+6,

?/a=--<0

2，

拋物線的開口向下，故A選項錯誤，不符合題意；

???當x=4時，拋物線的最大值為6,故B選項錯誤，不符合題意;

...該拋物線的對稱軸為直線x=4,故C選項錯誤，不符合題意；

...把x=0代入y=_JX2+4X_2,得y=—2,

,該拋物線與y軸交于點（0，-2）,故D選項正確，符合題意；

故選：D.

10.如圖是由若干個相同的小正三角形組成的圖形，小明在該圖形中建立了平面直角坐標系，并測得點N的

坐標是，43,6）,點8的坐標是（0,—3）,由此可知、點c的坐標是（）

【答案】A

【解析】

【分析】此題考查了點的平移、正三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，求出等邊三角形的邊長，再根據(jù)平移

方式即可求出點C的坐標.

【詳解】解：由點3的坐標是（0「3）可知，每個小正三角的高是3,如圖，小正三角形△/謝邊長為

a,DH=3,

在RtADHF中，ZFDH=1ZEDF=30°,

：.DF=2HF,

■■■DFI=DHI+HF2,即tn=32+

解得。=2JJ,

即每個小正三角形的邊長為2j￥,

???點C是由點向右平移2J5X3.5=7，J個單位，向上平移3個單位得到的,

.??點C的坐標是《3，9）,

故選：A

第II卷非選擇題（共90分）

二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）

11.計算：痣一jn）一?的結(jié)果為.

【答案】串-6

【解析】

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，先把除法化為乘法運用乘法分配律，再運算減法，即可作答.

【詳解】解:W-g)

JT8xJ_-JT2xJ_

VV6V6

故答案為：V3-V2

12.小明與弟弟玩用棋子探圖案的游戲，小明擺出的圖案具有一定的規(guī)律，第1個圖案用5枚棋子.第2個

圖案用9枚棋子，第3個圖案用13枚棋子，第4個圖案用17枚棋子…，依此規(guī)律，第〃個圖案用

枚棋子（用含〃的代數(shù)式表示）.

第1個第2個第3個第4個

【答案】（4支+1）

【解析】

【分析】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出運算規(guī)律，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

由圖形可知：第1個圖案需3xl+l+l=5枚棋子；第2個圖案需3x2+2+l=9枚棋子；第3個圖案需

3x3+3+1=13枚棋子；…由此得出第〃個圖案需3〃+〃+1=4〃+1個棋子.

【詳解】解：第1個圖案需3xl+l+l=5枚棋子；

第2個圖案需3x2+2+l=9枚棋子；

第3個圖案需3x3+3+1=13枚棋子；

第4個圖案需3x4+4+1=17枚棋子；

由此得出第〃個圖案需3〃+〃+1=（4〃+1）枚棋子.

故答案為：4〃+1.

13.要想富，先修路.為了讓貧困地區(qū)的人們盡早擺脫貧困.我國截至2023年底共建成了約4萬公里的高

鐵營業(yè)里程.高鐵平均每公里的造價約L3億元，那么截至2023年底我國在高佚營業(yè)里程建造的投入約為

元（用科學記數(shù)法表示）.

【答案】5.2x1012

【解析】

【分析】本題主要考查了科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為axiO"的形式，其中1<|a|<1°,〃為

整數(shù)，確定〃的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同,

當原數(shù)絕對值大于等于io時，〃是正數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時〃是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案.

【詳解】解:1.3x108x4x104=5.2x1012,

故答案為：5.2x1012.

14.在物理學中，用電功率表示電流做功的快慢.已知串聯(lián)電路中，電阻消耗的電功率與電阻的比值成正比;

并聯(lián)電路中，電阻消耗的電功率與電阻的比值成反比.如圖1；把阻值不等的兩個電阻R,和R串聯(lián)在符合

條件的電路中，R,與R的電功率的比是3：5.當把它們并聯(lián)在符合條件的電路中.R,的電功率是60W.則

121

R2的電功率是--------------w.

旦

&Ri------|ZZ

----1?1I----------/?2

——EZ

圖1圖2

【答案】36

【解析】

【分析】本題考查了成比例線段，解題的關(guān)鍵是理解“正比”與“反比”的含義.

根據(jù)兩個電阻在串聯(lián)時與其電功率成正比、在并聯(lián)時與其電功率成反比求解即可.

【詳解】根據(jù)題意知，兩個電阻串聯(lián)時，電阻與電功率成正比，則兩電阻之比等于其消耗功率之比.

?R:R=3:5

?12

設(shè)5與1并聯(lián)時，各自的電功率為彳與則彳=60沙，根據(jù)并聯(lián)時電阻與電功率成反比，

?P:P=R:R=3:5

**2112

?P=幺xp=60=36（W）

,,27?i5'

2

即&的電功率為

故答案為:36.

15.如圖，在正方形N8CC中，A8=4,點E在對角線NC上運動，連接8E,點廠在8E上運動，且

ZBCF=ZABE,連接4F,則4F的最小值為:

【答案】2^/5-2##-2+2,/5

【解析】

【分析】本題考查了直角所對的弦是直徑，求一點到圓上的距離的最值問題，根據(jù)題意得出/8/°=90。,

進而可得尸在為直徑的一段弧上運動，勾股定理求得力。，即可求解.

【詳解】解：???NBC尸=MBE,ZCBF=90°-ZABE=90°-ZBCF,

即NFSC+NECB=90°

...ZSFC=90°

...廠在8。為直徑的一段弧上運動，

如圖所示，設(shè)。為8。的中點，連接則BO=2,ao=［ABz+BOz=2G

二當廠在。4上時，/廠取得最小值，最小值為26-2,

故答案為：275-2.

三、解答題(本大題共8個小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟)

16.(1)計算：(?！?.14?義［一?］一卜1—7|；

3x+1〉x—1,

(2)解不等式組：bx-3x-2并把解集表示在數(shù)軸上

-2-101234

【答案】(1)-81

(2)—l<x<3,數(shù)軸表示見解析.

【解析】

【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，解不等式組，零指數(shù)累，在數(shù)軸上表示不等式解集.

(1)先計算乘方，并化簡絕對值，再計算乘法，最后計算加減即可.

(2)先分別求出不等式組中每一個不等式解集，再確定出不等式的公共解集，然后在數(shù)軸上表示不等式解

集即可..

［詳解［解：(1)原式=lx［_1)_8

r8

=w；

3x+l>x-1,①

(2)\2x-3x-2小

〉②

I62

解不等式①，得x>—1.

解不等式②，得x<3.

所以，原不等式組的解集為—l<x<3.

把這個不等式組的解集表示在數(shù)軸上如答圖，

_1__lilt-J：——

-2-101234

17.如圖，已知直線/上有一點/,直線/外有一點P.

P

*

---------------------1

A

(1)根據(jù)下列步驟.利用尺規(guī)完成作圖，并解決相關(guān)的問題：

①連接4尸，作/尸的垂直平分線交直線/于點2,交/P于點0；

②在直線“乂上截取線段。。，使0。=08(點0與點8不重合)；

③作直線尸。.

(2)判斷并說明直線尸。與直線/的位置關(guān)系；

(3)若PQ=P4=6,直接寫出線段8。的長.

【答案】(1)作圖見解析；

(2)直線產(chǎn)。II直線/(或00〃/)；

⑶63

【解析】

【分析】(1)根據(jù)作法的語言描述，作出圖形即可.

（2）證明△OPQ0AO48（SAS）,得/尸。。=/48。，再根據(jù)平行線的判定即可得出結(jié)論.

（3）由△OPQ也△0/8,得0P=CU,OB=OQ,求得0P=3,再由勾股定理求得

0Q=>jPQi-OPi=3,/3,即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖所示，此圖即為所求；

【小問2詳解】

解：直線P?！ㄖ本€/（或P0〃/）.

理由如下：

...〃乂是/尸的垂直平分線，

OP=OA.

在△OP0和△Q48中，

OQ=OB

<NPOQ=ZAOB

OP=OA

；,AOPQ^AOAB（SAS）.

APQO=ZABO.

二直線PQII直線/.

【小問3詳解】

解：?：△OPQdOAB,

：.OP=OA,OB=OQ,

OP=lpz=1x6=3,

22，

是NP的垂直平分線，

ZPOQ=90°,

OQ=JPQ-on=762-32=3p

；.BQ=OB+OQ=2OQ=6>/3.

【點睛】本題考查尺規(guī)基本作圖-作線段垂直平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，

平行線的判定，勾股定理.掌握尺規(guī)基本作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股

定理是解題的關(guān)鍵.

18.某電器商場經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)某品牌甲、乙兩種節(jié)能冰箱深受消費者喜歡，電器商場決定購進這兩種節(jié)

能冰箱銷售.已知甲種節(jié)能冰箱的進價比乙種節(jié)能冰箱的進價貴2400元，分別用3.6萬元購進這兩種節(jié)能

3

冰箱時，甲種節(jié)能冰箱的數(shù)量是乙種節(jié)能冰箱數(shù)量的5.

(1)求甲、乙兩種節(jié)能冰箱的進價分別是多少；

(2)該電器商場準備用20萬元購進甲、乙兩種節(jié)能冰箱共40臺，求最多購進甲種節(jié)能冰箱多少臺.

【答案】(1)甲種節(jié)能冰箱的進價是6000元/臺，乙種節(jié)能冰箱的進價是3600元/臺；

(2)最多購進甲種節(jié)能冰箱23臺

【解析】

【分析】本題考查分式方程與不等式的應(yīng)用.找出等量關(guān)系與不等量關(guān)系列出方程與不等式是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)乙種節(jié)能冰箱的進價是x元/臺，則甲種節(jié)能冰箱的進價為G+2400)元/臺，根據(jù)分別用3.6萬元

3

購進這兩種節(jié)能冰箱時，甲種節(jié)能冰箱的數(shù)量是乙種節(jié)能冰箱數(shù)量的,，列出方程，求解即可.

(2)設(shè)購進甲種節(jié)能冰箱了臺，則購進乙種節(jié)能冰箱Go->)臺，根據(jù)購進兩種節(jié)能冰箱的總金額汪睛或

等于20萬元，列出不等式求解即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)乙種節(jié)能冰箱的進價是X元/臺.

3.6x100003.6x100003

根據(jù)題意,得-----------------------X—

x+2400x5

解，得x=3600.

經(jīng)檢驗：x=3600是原方程的解.

x+2400=6000.

答：甲種節(jié)能冰箱的進價是6000元/臺，乙種節(jié)能冰箱的進價是3600元/臺.

【小問2詳解】

解：設(shè)購進甲種節(jié)能冰箱了臺.

根據(jù)題意，#6000v+3600(40-j)<20x10000.

70

解，得

???V取最大的正整數(shù)，

.??>=23.

答：最多購進甲種節(jié)能冰箱23臺.

19.為響應(yīng)黨的二十大報告中提出的要“深化全民閱讀活動''的號召，貫徹教育部《關(guān)于完善中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文

化教育指導綱要》等政策精神，某校開展了“書香浸潤心靈閱讀點亮人生”讀書系列活動.某校語文組開

展了閱讀我國“四大古典名著”的活動，“四大古典名著”是指《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅

樓夢》.語文組為了了解學生對“四大古典名著”的閱讀情況，就“四大古典名著你讀完了幾部”的問題在

全校學生中進行了抽樣調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖）.

“四大古典名著“閱讀情況條形統(tǒng)計圖四大古典名著”閱讀情況扇形統(tǒng)計圖

「人數(shù)/人

21

188

1515

12

9

6

3

0

->

0123數(shù)最/部

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是部，中位數(shù)是部；

（2）請將以上條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）扇形統(tǒng)計圖中“1部”所在扇形的圓心角的度數(shù)為;

【答案】（1）2,2；

（2）見解析；（3）72°.

【解析】

【分析】（1）先求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再分別求出讀一本、四本的數(shù)量，再根據(jù)眾數(shù)的定義解答，取排序后

的數(shù)值取中間位置，即為中位數(shù)；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)合，作圖補充條形統(tǒng)計圖，即可作答.

（3）用360。乘上讀1部的所占的百分比，即可作答.

【小問1詳解】

解：調(diào)查的總?cè)藬?shù)：15+25%=60（人）

讀4部的人數(shù)：60x20%=12（人）

讀1部的人數(shù)：60-3-18-15-12=12（人）

本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2部;

排在30,31位的即為中位數(shù)，2+12=14<30,14+18=32>31

...中位數(shù)是2部；

故答案為:2,2；

【小問2詳解】

解：由（1）知讀4部的人數(shù)：60x20%=12（人）

讀1部的人數(shù)：12（人）

條形統(tǒng)計圖補充如下：

“四大古典名著”閱讀情況條形統(tǒng)計圖

21

18

I5

12

9

6

3

0

???扇形統(tǒng)計圖中“1部”所在扇形的圓心角的度數(shù)為72。.

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)，求扇形統(tǒng)計圖的圓心角，中位數(shù)和眾數(shù)的定義,

正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

20.閱讀與思考

下面是小明在數(shù)學筆記本上記錄的父親工廠里實際出現(xiàn)過的一個問題，請認真閱讀，并幫助小明解答小明

父親給的以下任務(wù)：

小明父親的工廠里加工一款紀念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進行銷售，售價

不得低于成本價且利潤率不高于80%.銷售一段時間后市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y

（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表所示：

任務(wù)一：要解決小明父親提出的問題，主要運用的數(shù)學思想是;

A.公理化思想B.統(tǒng)計思想C.函數(shù)思想D.分類思想

任務(wù)二：請幫助小明解決相關(guān)的3個問題.

【答案】任務(wù)一：C；任務(wù)二：（1）y=-2x+160（30<x<54）

（2）當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤是1248元.

（3）銷售單價應(yīng)定為50元.

【解析】

【分析】本題考查一次函數(shù)，一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式

和一元二次方程.

任務(wù)一：根據(jù)（1）的問題“y與x的函數(shù)關(guān)系式”，以及后面的最大利潤問題，得知要解決小明父親提出的

問題，主要運用的數(shù)學思想是函數(shù)思想，即可作答.

任務(wù)二：（1）設(shè)每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關(guān)系式為了=丘+6,用待定系數(shù)法

可得y=-2x+16。；

（2）設(shè)每天獲利w元，得w=-2（x-55?+1250,由二次函數(shù)性質(zhì)可得當銷售單價為54元時，每天獲

利最大，最大利潤，1248元.

（3）根據(jù)題意得把攻=1200代入w=-2（x-551+1250中，解方程并由銷售單價不低于成本且不高于54

元，可得銷售單價應(yīng)定為50元；

【詳解】解：任務(wù)一：依題意，得主要運用的數(shù)學思想是函數(shù)思想，

故選：C

任務(wù)二：（1）設(shè)每天的銷售數(shù)量）（件）與銷售單價x（元/件）之間的關(guān)系式為了=丘+6,

把（35,90）,（40,80）代入得:

35k+b=90

,40左+b=80'

解得

'k=-2

工=160，

y=-2x+160；

j=-2x+160（30<x<54）

（2）設(shè)每天獲利墳元.

根據(jù)題意，得w=G—30）J2X+16Q）

整理，得w=-2（x-55?+1250.

2<0,

二拋物線開口向下，有最大值，對稱軸是直線x=55.

又：售價不得低于成本價且利潤率不高于80%,

.?.x?30且x<30(l+80%).

解，得30WxW54.

.?.x=54時，w取最大值,w=-2x(54-55>+1250=1248.

max

答：當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤是1248元.

(3)把w=1200代入w=-2(x-551+1250中，

得-2(x-55》+1250=1200

解，得%]=50,%=60.

?；30<x<54,

/.x=50.

答：銷售單價應(yīng)定為50元.

21.在清明節(jié)來臨之際，王亮的父親帶王亮自駕車回老家祭拜先祖.用如圖所示的方式表示他們回老家的兩

條路線.設(shè)王亮家在/處，老家在。處.第一條是從家出發(fā)先向東行駛21km到達2處，再沿2處的北偏

東37。方向行駛到達老家。處；第二條是從家向正北方向行駛63km到達c處，再沿C處的北偏東53。方

4

向到達老家。處.已知車速相同，請說明選擇哪條路能更快回到老家.(參考數(shù)據(jù)：sm53°?_,

.34

cos53°?_tan53°~—)

53

【答案】選擇第一條路能更快回到老家，理由見解析.

【解析】

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，。港盅交NC的延

長線于點￡,過點3作BRLDE交DE于點尸，證明四邊形48EE是矩形，得至四廠=48=21km,

45

AE=BF=AC+CE=63+CE.設(shè)。尸=xkm,再解直角三角形得彝P=,5D=_xkm,

「廠3x+631「八5x+lO543x+63

CE=___km,CD=___1km,進而建立方程可》=63+__—,解得x=135,由此分別求出

兩條路線的長度即可得到答案.

【詳解】解：選擇第一條路能更快回到老家，理由如下：

如圖，過點。作。交NC的延長線于點￡,過點3作5F_LDE交DE于點足

/DEC=ZDFB=90°

由題知//=90。，

二四邊形/AFE是矩形.

：.EF=AB=21km,AE=BF=AC+CE=63+CE.

設(shè)DF=xkm.

在Rt△取小中，/DBF=37。,ZDFB=90°,

：.4FDB=90°-/DBF=53。.

BF4DF3

??tan/FDB=_=_cos/FDB=_=_

'DF3'BD55

,BF=—xkmBD=_xkm

33

在RtVOCE中，/DEC=90。，O￡=G+21)km,ZECD=53°,

「八DE4.DE4

,"tanZAC/9=___=_sinZACD=___=_

'CE3'CD5'

3x+635x+105

：.CE=km,CD=km

~1~~1~

?.?AE=BF=63+CE,

3x+63

—x=63+

34

解得x=135.

?==1x135=225km

33

二第一條路：AB+BD=21+225=246km.

5x+1055x135+105

CD==195km.

~1~~1~

，第二條路：AC+CD=63+195=258km.

?7246<258,

二選擇第一條路能更快回到老家.

22.綜合與實踐

問題情境

如圖1,在中，4c5=90。，/C="BC,點。在上運動，于點瓦探究圖形中存在

的數(shù)量關(guān)系.

備用圖?

操作探究

(1)如圖2,當〃=1時，則線段3。與CE的數(shù)量關(guān)系是；圖1中，線段5。與CE的數(shù)量

關(guān)系是(用含〃的代數(shù)式表示);

拓展探究

(2)把V/DE繞點/順時針旋轉(zhuǎn)得到圖3,連接8。和C￡,猜想8。和C￡的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)把V/DE繞點/順時針旋轉(zhuǎn)，當點C,E和。在同一條直線上，AC=8,〃=2,N￡=8C時，直

接寫出線段CD的長，

【答案】(1)BD=&CE,BD=6+lCE；

n

(2)結(jié)論：BD=^n2+1CE,理由見解析;

n

(3)4出+2或4出-2.

【解析】

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合,

分類討論的思想，證明三角形相似.

(1)根據(jù)勾股定理求出與5c的關(guān)系，根據(jù)正切值以及勾股定理求出4。與。E的關(guān)系，進而求出線

段8。與CE的數(shù)量關(guān)系即可;

AB_BD

(2)先證明,再證明△48Z)SANCE,得到即可得出結(jié)論;

~AC~~CE

(3)分E在C,。之間和。在CE之間，兩種情況進行討論求解即可.

【詳解】解：（1）當"=1時，

/.AC=BC,

?：44c3=90。，

ZA=NB=45。,

：.AB=&AC,

?;DELAC,44=45。，

；.AE=DE,AD=^2AE,

:.CE=AC—AE,BD=AB-AD=&（AC-AE）,

：.BD="CE；

?；AC=nBC,

：.AB=y/AC2+BC2=/nBC》+BC2=加+TBC,

BCDE\

：.tanA=----=-----=—

ACAEri'

：.AE=nDE,

/.AD=yjAEi+DEi=?DE》+DE2=J〃2+1DE,

:.CE=AC-AE=n（BC-DE）,BD=AB-AD=，〃2+l（BC-DE）,

：.BD=^2tLcE；

n

故答案為：BD=^.CE,8。=，〃2+10E；

n

（2）結(jié)論：AD='""ICE.

n

理由如下：...旋轉(zhuǎn),

???ZCAB=ZEAD7,ZCAE=ABAD，

于點及4cB=90。，

ZAED=ZACB=9Q°.

?/NEAD=ZCAB,

7.AAEDSAACB.

AD_AE

??布一記’

AD_AB

"~AE~7C

ZCAE=ABAD

：,“ABDfACE,

AB_BD

：'^C=~CE'

在中，AC=nBC,4cB=90。，

由勾股定理，得AB={AC2+BC2=gBC>+B屬=〃2+IBC.

.ABy/m+1BC+1

"ACnBCn

二.CE

n

(3)①當E在CD之間時，如圖:

VAC=S,n=2,AE=BC,

：.AE=BC=4,

■：AEYDE,

：.ZAEC=90°,

：.CE=(AC2-AE2=4^/3,

tanABAC=tan/LEAD,

BCDE

??/一近一爹，

/.DE=-AE—2

2，

：,CD=CE+DE=40+2；

②當。在C,E之間時，如圖：

E

同法可得：CD=CE-DE=4p-2

綜上：的長為4JJ+2或4#—2.

23.綜合與探究

1c,

如圖，拋物線歹=—2x—6與％軸交于點z和瓦點z在點8的左側(cè),交y軸于點C,作直線8C.

八o\/At\0/r

圖1備用圖

(1)求點8的坐標及直線BC的表達式;

DE5

(2)當點。在直線8。下方的拋物線上運動時，連接交5。于點￡,若=求點。的坐標;

OE12

(3)拋物線上是否存在點尸.使得/83=15。？若存在，直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理

由.

【答案】⑴點5的坐標是(6,0),直線2C的表達式是V=%-6；

(2)點。的坐標是

12+273

(3)存在，點廠的坐標是+2/4型或

【解析】

【分析】(1)令y=0和x=0,解方程即可求得點8和點C的坐