專題07 雙等腰旋轉(zhuǎn)模型（解析版）

專題07雙等腰旋轉(zhuǎn)模型【模型說(shuō)明】【例題精講】例1．（基本模型）在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=度；（2）設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段BC上移動(dòng)，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)點(diǎn)在直線BC上（線段BC之外）移動(dòng)，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．【答案】（1）90；（2），見(jiàn)解析；②或【詳解】解：（1）∵，∴，∵AB=AC，AD=AE，∴，，∵，∴，在和中∴，∴（2）或．理由：①∵，∴．即．在和中，∴．∴．∴．∴．∵，∴．②如圖：∵，∴．即．在和中，∴．∴．∵，，，．綜上所述：點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)，α+β＝180°或α＝β．例2．（坐標(biāo)系綜合）已知：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B在第二象限，將OB繞O點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)60°至OA．（1）如圖1，試判定△ABO的形狀，并說(shuō)明理由．（2）如圖1，若點(diǎn)E為y軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEG，延長(zhǎng)GA交x軸于點(diǎn)P，問(wèn)：AP與AO之間有何數(shù)量關(guān)系，試證明你的結(jié)論．（3）如圖2，若BC⊥BO，BC＝BO，作BD⊥CO，AC、DB交于E，補(bǔ)全圖形，并證明：AE＝BE+CE．【答案】（1）等邊三角形，理由見(jiàn)解析；（2）AP＝2AO，證明見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【詳解】解：（1）如圖1，△AOB為等邊三角形，理由是：∵將繞OB繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至OA∴∠AOB=60°，∵AO＝AB∴△AOB為等邊三角形；（2）AP＝2AO，理由為：證明：∵△AOB與△BGE都為等邊三角形，∴BE＝BG，AB＝OB，∠EBG＝∠OBA＝60°，∴∠EBG+∠EBA＝∠OBA+∠EBA，即∠ABG＝∠OBE，在△ABG和△OBE中，∴△ABG≌△OBE（SAS），∴∠BAG＝∠BOE＝60°，∴∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°，∵∠GAO為△AOP的外角，且∠AOP＝90°，∴∠APO＝30°在Rt△AOP中，∠APO＝30°，則AP＝2AO．（3）補(bǔ)全圖形，在AC上截取AM＝EC，連接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，∵△AOB為等邊三角形，△BOC為等腰直角三角形，∴∠OBC＝90°，∠ABO＝60°，∵D為CO的中點(diǎn)，∴BD平分∠OBC，即∠CBD＝∠OBD＝45°，∴∠ABD＝105°，∠ABC＝150°，∴∠BAC＝∠BCA＝15°，∴∠AEB＝15°+45°＝60°，在△ABE和△CBM中，∵∴△ABE≌△CBM（SAS），∴BM＝BE，∴△BEM為等邊三角形，∴BE＝EM，∴AE＝AM+EM＝CE+BE；例3．（培優(yōu)綜合）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請(qǐng)你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請(qǐng)你直接寫出△ADE的面積．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見(jiàn)解析；（3）72或2【詳解】解：（1）如圖1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案為AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如圖2中，結(jié)論：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如圖3中，結(jié)論：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如圖2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB12×12＝72．如圖3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED?AD?EB2×2＝2．【課后作業(yè)】1．如圖，在中，，點(diǎn)D在內(nèi)，，，點(diǎn)E在外，．(1)的度數(shù)為_______________；(2)小華說(shuō)是等腰三角形，小明說(shuō)是等邊三角形，___________的說(shuō)法更準(zhǔn)確，并說(shuō)明理由；(3)連接，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)小明，理由見(jiàn)解析；(3)5【解析】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，∴△DBC是等邊三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．在△ADB和△ADC中，

，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB=∠ADC

，∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°．（2）解：小明的說(shuō)法更準(zhǔn)確，理由如下：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（ASA），∴AB=BE．∵∠ABE=60°，∴△ABE是等邊三角形．（3）解：連接DE，如圖所示，∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，∴∠EDC=30°，∴．∵△ABD≌△EBC，∴．2．[發(fā)現(xiàn)]：（1）如圖1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，求證：AH=BC．[拓展]：（2）如圖2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)D、B、C在同一條直線上，AH為△ABC中BC邊上的高，連接CE．則∠DCE的度數(shù)為________，同時(shí)猜想線段AH、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．[應(yīng)用]：（3）在圖3、圖4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，請(qǐng)求出點(diǎn)A到BP的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）∠DCE的度數(shù)為90°，CE+2AH=CD，理由見(jiàn)解析；（3）或．【詳解】解：發(fā)現(xiàn)：（1）證明：∵AH⊥BC，∠BAC=90°，∴∠AHC=90°=∠BAC．∴∠BAH+∠CAH=90°，∠BAH+∠B=90°．∴∠CAH=∠B，在△ABH和△CAH中，，∴△ABH≌△CAH．（AAS）．∴BH=AH，AH=CH．∴AH=BC．拓展：∠DCE的度數(shù)為90°，線段AH、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系為：CE+2AH=CD，理由如下：∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠EAC，∵AD=AE，AB=AC，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD=135°，∴∠DCE=90°；∵D、B、C三點(diǎn)共線，∴DB+BC=CD，∵DB=CE，AH=BC，∴CE+2AH=CD．應(yīng)用：點(diǎn)A到BP的距離為：或．理由如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BP于點(diǎn)H，連接AP，作∠PAD=90°，交BP于點(diǎn)D，∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，∵∠BDA=∠APC=90°+∠APD，∴△APC≌△ADB（AAS），∴BD=CP=1，∴DP=BP-BD=6-1=5，∵AH⊥DP，∴AH=DP=；如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BP于點(diǎn)H，作∠PAD=90°，交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，∵∠BAC=90°，∠BPC=90°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ACP=∠ABD，∵AB=AC，∴△APC≌△ADB（AAS），∴BD=CP=1∴DP=BP+BD=6+1=7．∵AH⊥DP，∴AH=DP=．綜上所述：點(diǎn)A到BP的距離為：或．3．在中，，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)（不與、重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上，如果，則______度．（2）設(shè)，．①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．②如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）90；（2）①，理由見(jiàn)解析；②，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案為：90；（2）①．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB=β，∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；②當(dāng)點(diǎn)在射線的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，．理由如下：∵，∴，在△ABD與△ACE中，，∴，∴，∵，，∴，，∴，即．4．（1）如圖①，在直角中，，，點(diǎn)D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），連接，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，那么之間的位置關(guān)系為__________，數(shù)量關(guān)系為__________；（2）如圖②，在中，，，D，E（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)B，C重合）為上兩動(dòng)點(diǎn)，且．求證：．（3）如圖③，在中，，，，，D，E（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)B，C重合）為上兩動(dòng)點(diǎn)，若以為邊長(zhǎng)的三角形是以為斜邊的直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）CE⊥BD；CE=BD；（2）見(jiàn)解析；（3）．【詳解】解：（1）CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD，數(shù)量關(guān)系是CE=BD∵繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到∴∴，∴∵BA=CA，AD=AE∴∴且CE=BD∵∴，即CE⊥BD故答案為：