專(zhuān)題03 全等三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題（原卷版）

專(zhuān)題03全等三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題初中數(shù)學(xué)中，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是學(xué)習(xí)的重、難點(diǎn)，在三角形、矩形等一些幾何圖形上，設(shè)計(jì)一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究全等三角形存在性問(wèn)題，該類(lèi)題目具有較強(qiáng)的綜合性。解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題常見(jiàn)的答題思路是：1.注意分類(lèi)討論；2.仔細(xì)探究全等三角形對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角的變化；3.利用時(shí)間表示出相應(yīng)線(xiàn)段或邊的長(zhǎng)度，列出方程求解.【典例解析】【例1－1】（2020·周口市月考）如圖，CA⊥AB，垂足為點(diǎn)A，AB=8，AC=4，射線(xiàn)BM⊥AB，垂足為點(diǎn)B，一動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以2厘米/秒的速度沿射線(xiàn)AN運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D為射線(xiàn)BM上一動(dòng)點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持ED=CB，當(dāng)點(diǎn)E離開(kāi)點(diǎn)A后，運(yùn)動(dòng)______秒時(shí)，△DEB與△BCA全等．【例1－2】（2020·江陰市月考）已知：如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，AD=6．延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=2，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC－CD－DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)?shù)闹禐開(kāi)____秒時(shí)，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【變式1－1】（2020·無(wú)錫市月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD為AB邊上的高．點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿直線(xiàn)BC以2cm/s的速度移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線(xiàn)交直線(xiàn)CD于點(diǎn)F.(1)試說(shuō)明：∠A＝∠BCD；(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，CF＝AB.請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1－2】（2020·河北靈壽期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣3|+＝0，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線(xiàn)AO勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)求OA、OB的長(zhǎng)；(2)連接PB，設(shè)△POB的面積為S，用t的式子表示S；(3)過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)，垂足為D，直線(xiàn)PD與x軸交于點(diǎn)E，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△EOP≌△AOB？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例2】（2020·惠州市月考）如圖，點(diǎn)C在線(xiàn)段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿A→C→E向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以3cm/s的速度從E開(kāi)始，在線(xiàn)段EC上往返運(yùn)動(dòng)（即沿E→C→E→C→…運(yùn)動(dòng)），當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)P，Q分別作BD的垂線(xiàn)，垂足為M，N．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等時(shí)，t的值為_(kāi)____．【變式2－1】（2020·江陰市月考）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿C→B→C作勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）試證明：AD∥BC．（2）在移動(dòng)過(guò)程中，小芹發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取某個(gè)值時(shí)，有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn)，請(qǐng)你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取哪些值時(shí)，△DEG與△BFG全等．【變式2－2】（2020·重慶巴南月考）如圖（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上以1的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，并判斷此時(shí)線(xiàn)段PC和線(xiàn)段PQ的位置關(guān)系；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，是否存在實(shí)數(shù)，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式2－3】（2020·江蘇興化月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線(xiàn)AC—CB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿折線(xiàn)BC—CA以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別過(guò)P、Q兩點(diǎn)作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）：（1）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，求t的值；（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求CP的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)△PEC與△QFC全等時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的CQ的長(zhǎng)．【例3】（2020·惠州市月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，∠B=∠C，AD＝2BD．如果點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上以2cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)2s后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？（3）若點(diǎn)Q以（2）中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？【變式3－1】（2019·山西太原月考）如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=CD=5cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABP≌△DCP？．（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以vcm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的v值，使得某時(shí)刻△ABP與以P，Q，C為頂點(diǎn)的直角三角形全等？若存在，請(qǐng)求出v的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式3－2】（2020·四川成都）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，點(diǎn)E為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上以3厘米秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為_(kāi)____厘米/秒時(shí)，能夠使△BPE與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等．【習(xí)題精練】1．（2020·江蘇東臺(tái)月考）如圖，有一個(gè)直角三角形ABC，∠C＝90°，AC，BC，線(xiàn)段PQAB，點(diǎn)Q在過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線(xiàn)AX上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，沿射線(xiàn)CA以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，問(wèn)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)___________

秒時(shí)t，才能使△ABC≌△QPA全等．2.（2020·江蘇泰州月考）如圖，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P點(diǎn)從B向A運(yùn)動(dòng)，每分鐘走1m，Q點(diǎn)從B向D運(yùn)動(dòng)，每分鐘走2m，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)_______分鐘后△CAP與△PQB全等．3．（2020·常州市月考）如圖，ADC中．∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm．AD⊥AC，AB＝PQ，P、Q兩點(diǎn)分別在AC、AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AQ＝_____時(shí)，△ABC才能和△APQ全等．4.（2020·江西新余期末）如圖，中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)和分別以每秒和的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，分別過(guò)和作于，于.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，要使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形全等，則的值為_(kāi)_____.5.（2020·武城縣月考）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，點(diǎn)E為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上以3厘米秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPE與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等？6.（2020·鹽城市鹽都區(qū)月考）如圖，有一個(gè)直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一條線(xiàn)段PQ=AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC和過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線(xiàn)AX上運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：當(dāng)AP=________時(shí)，才能使以點(diǎn)P、A、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等．7.（2020·四川青羊期中）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4cm，BC＝8cm，直線(xiàn)CM⊥BC，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)C開(kāi)始沿射線(xiàn)CB方向以每秒3厘米的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E也同時(shí)從點(diǎn)C開(kāi)始在直線(xiàn)CM上以每秒1厘米的速度向遠(yuǎn)離C點(diǎn)的方向運(yùn)動(dòng)，連接AD、AE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出CD、CE的長(zhǎng)度（用含有t的代數(shù)式表示）：CD＝cm，CE＝cm；（2）當(dāng)t為多少時(shí)，△ABD的面積為12cm2？（3）請(qǐng)利用備用圖探究，當(dāng)t為多少時(shí)，△ABD≌△ACE？并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．8．（2020·鄭州市月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別A（m，0），B（0，n），且|mn3|0，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線(xiàn)AO勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求OA、OB的長(zhǎng)；（2）連接PB，若△POB的面積不大于3且不等于0，求t的范圍；（3）過(guò)P作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)，垂足為D，直線(xiàn)PD與y軸交于點(diǎn)E，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△EOP≌△AOB?若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9.（2020·宜興市月考）如圖，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．（1）求證：AF＝AM；（2）當(dāng)t取何值時(shí)，△DFE與△DMG全等；（3）求證：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不管t取何值，都有．10.（2020·江蘇工業(yè)園區(qū)期末）如圖①，將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線(xiàn)剪成兩個(gè)全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．現(xiàn)將△ABC和△EDF按如圖②的方式擺放（點(diǎn)A與點(diǎn)D、點(diǎn)B與點(diǎn)E分別重合）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以2cm/s的速度向點(diǎn)C勻速移動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)，沿射線(xiàn)ED以acm/s（0＜a＜3）的速度勻速移動(dòng)，連接PQ、CQ、FQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為ts（0≤t≤5）．（1）當(dāng)t＝2時(shí)，S△AQF＝3S△BQC，則a＝；（2）當(dāng)以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BQC全等時(shí)，求a的值；（3）如圖③，在動(dòng)點(diǎn)P、Q出發(fā)的同時(shí)，△ABC也以3cm/s的速度沿射線(xiàn)ED勻速移動(dòng)，當(dāng)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△EFQ全等時(shí)，求a與t的值．11.（2019·江蘇期末）如圖①，在中，cm，cm，過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以3cm/s的速度沿勻速移動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以cm/s的速度沿勻速移動(dòng)．點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止移動(dòng)．連接、，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為(s)．(1)點(diǎn)、從移動(dòng)開(kāi)始到停止，所用時(shí)間為s；(2)當(dāng)與全等時(shí)，①若點(diǎn)、的移動(dòng)速度相同，求的值；②若點(diǎn)、的移動(dòng)速度不同，求的值；(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)、開(kāi)始移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿向點(diǎn)勻速移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后立刻以原速度沿返回．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、、同時(shí)停止移動(dòng)．在移動(dòng)的過(guò)程中，是否存在與全等的情形?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．圖①圖②12.如圖，中，，，，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)，點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)，點(diǎn)M和N分別以每秒2cm和3cm的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，分別過(guò)M和N作于E，于F設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，要使以點(diǎn)M，E，C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)N，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形全等，則t的值為_(kāi)_______．13.（2019·湖北襄州）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，5），B（12，0），在y軸負(fù)半軸上取點(diǎn)E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直線(xiàn)CO交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．（1）根據(jù)題意，可求得OE＝；（2）求證：△ADO≌△ECO；（3）動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿E﹣O﹣B路線(xiàn)運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，到B點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā)沿B﹣O﹣E運(yùn)動(dòng)速度為每秒3個(gè)單位，到E點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng)．二者同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)才能停止．在某時(shí)刻，作PM⊥CD于點(diǎn)M，QN⊥CD于點(diǎn)N．問(wèn)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間△OPM與△OQN全等？14.（2019·福建省惠安期中）如圖，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿線(xiàn)段BC以4cm/s的速度連續(xù)做往返運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿線(xiàn)段AG以2cm/s的速度向終點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)G時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，EF與AC交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（1）分別寫(xiě)出當(dāng)0≤t≤2和2＜t≤4時(shí)線(xiàn)段BF的長(zhǎng)度（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)BF＝AE時(shí)，求t的值；（3）若△ADE≌△CDF，求所有滿(mǎn)足條件的t值．15.（2020·無(wú)錫市月考）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C