教師公開招聘考試小學數(shù)學（計算題）模擬試卷5

教師公開招聘考試小學數(shù)學（計算題）模擬試卷5一、計算題(本題共31題，每題1.0分，共31分。)在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手．1、求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；標準答案：設A表示事件“觀眾甲選中3號歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號歌手”，則P(A)=∵事件A與B相互獨立，∴觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為P(A)=P(A)·P()=P(A)．[1－P(B)]=知識點解析：暫無解析2、X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學期望．標準答案：設C表示事件“觀眾丙選中3號歌手”，則P(C)=，∵X可能的取值為0，1，2，3，且取這些值的概率分別為P(X=0)=．P(X=1)=PP(X=2)=PP(X=3)=P(ABC)=∴X的分布列為∴X的數(shù)學期望EX=0×知識點解析：暫無解析已知動圓過定點A(4，0)，且在y軸上截得弦MN的長為8．3、求動圓圓心的軌跡C的方程；標準答案：如圖，設動圓圓心O1(x，y)，由題意，|O1A|=|O1M|，當O1不在y軸上時，過O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中點．∴|O1M|=，又∵|O1A|=，化簡得y2=8x(x≠0)．又當O1在y軸上時，O1與O重合，點O1的坐標(0，0)也滿足方程y2=8x，∴動圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x．知識點解析：暫無解析4、已知點B(－1，0)，設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點．標準答案：由題意，設直線z的方程為y=kz+6(K≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將y=kx+b代入y2=8x中，得k2x22+(2bk－8)x+b2=0，其中△=－32kb+64＞0．由求根公式得，x1+x2=①，x1x2=②，因為x軸是∠PBQ的角平分線，所以，即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0，(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0，2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0③，將①②代入③得2kb2+(k+b)(8—2bk)+2k2b=0，∴k=－b，此時△＞0，∴直線l的方程為y=k(x－1)，即直線l過定點(1，0)．知識點解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=ex，x∈R．5、若直線y=kx+1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切，求實數(shù)k的值；標準答案：f(x)的反函數(shù)為g(x)=lnx．設直線y=kx+1與g(x)=lnx的圖象在P(x0，y0)處相切，則有y0=kx0+1=lnx0，k=g＇(x0)=，解得x0=e2，k=.知識點解析：暫無解析6、設x＞0，討論曲線y=f(x)與曲線y=mx2(m＞0)公共點的個數(shù)；標準答案：曲線y=ex與y=mx2的公共點個數(shù)等于曲線y=與y=m的公共點個數(shù)．令φ(x)=，則φ＇(x)=．∴φ＇(2)=0．當x∈(0，2)時，φ＇(x)＜0，φ(x)在(0，2)上單調(diào)遞減；當x∈(2，+∞)時，φ＇(x)＞0，φ(x)在(2，+∞)上單調(diào)遞增，∴φ(x)在(0，+∞)上的最小值為φ(2)=．當0＜m＜時，曲線y=與y=m無公共點；當m=時，曲線y=與y=m恰有－個公共點；當m＞時，在區(qū)間(0，2)內(nèi)存在x=，使得φ(x1)＞m，在(2,+∞)內(nèi)存在x2=me2，使得φ(x2)＞m．由φ(x)的單調(diào)性知，曲線y=與y=m在(0，+∞)上恰有兩個公共點．綜上所述，當x＞0時，若0＜m＜，曲線y=f(x)與y=mx2沒有公共點；若m=，曲線y=f(x)與y=mx2有－個公共點；若m＞，曲線y=f(x)與y=mx2有兩個公共點．知識點解析：暫無解析7、設a＜b，比較的大小，并說明理由．標準答案：解法－：可以證明．事實上，(b＞a)(*)．令φ(x)=(x≥0)，則φ＇(x)=≥0(僅當x=0時等號成立)，∴φ(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，∴x＞0時，φ(x)＞φ(0)=0．令x=b－a，即得(*)式，結(jié)論得證．解法二：[(b－a)eb-a+(b－a)－2eb-a+2]，設函數(shù)u(x)=xex+x－2ex+2(x≥0)，則u＇(x)=ex+xex+1—2ex，令h(x)=u＇(x)，則h＇(x)=ex+ex+xex－2ex=xex≥0(僅當x=0時等號成立)．∴u＇(x)單調(diào)遞增，∴當x＞0時，u＇(x)＞u＇(0)=0．∴u(x)單調(diào)遞增．當x＞0時，u(x)＞u(0)=0．令x=b－a，則得(b－(x)eb-a+(b－a)－2eb-a+2＞0，∴知識點解析：暫無解析某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．8、從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；標準答案：所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3，邊界上的作物株數(shù)為12．從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株的不同結(jié)果有C31C121=36種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8種．故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為知識點解析：暫無解析9、從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學期望．標準答案：先求從所種作物中隨機選取的一株作物的年收獲量Y的分布列．因為P(Y=51)=P(X=1)，P(Y=48)=P(X=2)，P(Y=45)=P(X=3)，P(Y=42)=P(X=4)，所以只需求出P(X=k)(k=1，2，3，4)即可．記nk為其“相近”作物恰有尼株的作物株數(shù)(k=1，2，3，4)，則n1=2，n2=4，n3=6，n4=3．由P(X一k)=P(X=1)=，P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)=故所求的分布列為所求的數(shù)學期望為E(Y)=5l×=46.知識點解析：暫無解析已知a＞0，函數(shù)f(x)=10、記f(x)在區(qū)間[0，4]上的最大值為g(a)，求g(a)的表達式；標準答案：當0≤x≤a時，f(x)=；當x＞a時，f(x)=因此，當：x∈(0，a)時，f＇(x)=＜0，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減；當x∈(a，+∞)時，f＇(x)=＞0，f(x)在(a，+∞)上單調(diào)遞增．①若a≥4，則f(x)在(0，4)上單調(diào)遞減，g(a)=f(0)=②若0＜a＜4，則f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，4)上單調(diào)遞增．所以g(a)=max{f(0)，f(4))．而f(0)一f(4)=，故當0＜a≤1時，g(a)=f(4)=；當1＜a＜4時，g(a)=f(0)=．綜上所述，g(a)=知識點解析：暫無解析11、是否存在a，使函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0，4)內(nèi)的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直?若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．標準答案：由(Ⅰ)知，當a≥4時，f(x)在(0，4)上單調(diào)遞減，故不滿足要求．當0＜a＜4時，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，4)上單調(diào)遞增．若存在x1，x2∈(0，4)(x1＜x2)，使曲線y=f(x)在(x1，f(x1))，(x2，f(x2))兩點處的切線互相垂直，則x1∈(0，a)，x2∈(a，4)，且f＇(x1)·f＇(x2)=－1，即=－1．亦即x1+2a=(*)．由x1∈(0，a)，x2∈(a，4)得x1+2a∈(2a，3a)，.故(*)成立等價于集合A={x|2a＜x＜3以)與集合B=的交集非空．因為＜3a，所以當且僅當0＜2a＜1，即0＜a＜時，A∩B≠．綜上所述，存在a使函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，4)內(nèi)的圖象上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直，且a的取值范圍是(0，).知識點解析：暫無解析過拋物線E：x2=2py(p＞0)的焦點F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1+k2=2，l1與E相交于點A，B，l2與E相交于點C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N(M，N為圓心)的公共弦所在直線記為l．12、若k1＞0，k2＞0，證明：＜2p2；標準答案：由題意，拋物線E的焦點為F，直線l1的方程為y=k1x+得x2－2pk1x—P2=0．設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個實數(shù)根．從而x1+x2=2pk1，y1+y2=k1(x1+x2)+p－2pk12+p.所以點M的坐標為(pk1，pk12+)，=(pk1，pk12)·同理可得點N的坐標為(pk2，pk22+),=(pk2，pk22)．于是=P2(k1k2+k2k22)．由題設，k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜k1k1＜=1．故＜p2(1+12)=2p2．知識點解析：暫無解析13、若點M到直線l的距離的最小值為，求拋物線E的方程．標準答案：由拋物線的定義得|FA|=y1+，|FB|=y2+，所以|AB|=y1+y2+P=2pk12+2p．從而圓M的半徑r1=pk12+p，故圓M的方程為(x—pk1)2+(y－pk2－)2=(pk12+p)2．化簡得x2+y2－2pk1x—p(2k12+1)y－p2=0．同理可得圓N的方程為x2+y2－2pk2x—P(2k22+1)y－p2=0．于是圓M，圓N的公共弦所在直線l的方程為(k2－k1)x+(k22－k12)y=0．又k2－k1≠0，k1+k2=2，則l的方程為x+2y=0．因為P＞0，所以點M到直線l的距離d=故當k1=－時，d取最小值由題設，，解得p=8．故所求的拋物線E的方程為x2=16y．知識點解析：暫無解析設f(x)=，其中a為正實數(shù)．14、當a=時，求f(x)的極值點；標準答案：對f(x)求導得f＇(x)=ex①當a=時，若f＇(x)=0，則4x2－8x+3=0，解得x1=，x2=,結(jié)合①，可知所以，x1=是極小值點，x2=是極大值點．知識點解析：暫無解析15、若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．標準答案：若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f＇(x)在R上不變號，結(jié)合①與條件a＞0，知ax2－2ax+1≥0，在R上恒成立，因此△=4a2－4a=4a(a－1)≤0，由此并結(jié)合a＞0，知0＜a≤1．知識點解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R)．16、求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；標準答案：f＇(x)=(1－x)e-x．令f＇(x)=0，解得x=1．當x變化時，f＇(x)，f(x)的變化情況如下表：所以f(x)在(一∞，1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1，+∞)內(nèi)是減函數(shù)．函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)，且f(1)=知識點解析：暫無解析17、已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，證明當x＞1時，f(x)＞g(x)．標準答案：由題意可知g(x)=f(2－x)，得g(x)=(2－x)ex-2．令F(x)=f(x)－g(x)，即F(x)=xe-x+(x－2)ex-2．于是F＇(x)=(x－1)(e2x-2－1)e-x．當x＞1時，2x－2＞0，從而e2x-2－1＞0．又因為e-x＞0，所以F＇(x)＞0，從而函數(shù)F(x)在[1，+∞)上是增函數(shù)．又F(1)=e-1－e-1=0，所以x＞1時，有F(x)＞F(1)=0，即f(x)＞g(x)．知識點解析：暫無解析已知函數(shù)f(x)=(a+1)1nx+ax2+1．18、討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；標準答案：f(x)的定義域為(0，+∞)，f＇(x)=.當a≥0時，f＇(x)＞0，故f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞增；當a≤－1時，f＇(x)＜0，故f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞減；當－1＜a＜0時，令f＇(x)=0，解得x=．則當x∈(0，時，f＇(x)＞0，x∈(，+∞)時，f＇(x)＜0，故f(x)在(0，)單調(diào)遞增，在(，+∞)單調(diào)遞減．知識點解析：暫無解析19、設a＜－1．如果對任意x1，x2∈(0，+∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，求a的取值范圍．標準答案：不妨假設x1≥x2．而a＜－1，由(Ⅰ)知f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞減，從而x1，x2∈(0，+∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，等價于x1，x2∈(0，+∞)，f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1①．令g(x)=f(x)+4x，則g＇(x)=+2ax+4．等價于g(x)在(0，+∞)單調(diào)遞減，即+2ax+4≤0．從而a≤－2．故a的取值范圍為(－∞，－2]．知識點解析：暫無解析在五面體ABCDEF中，AB∥DC，∠BAD=，CD=AD=2，四邊形ABFE為平行四邊形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，F(xiàn)C=3，ED=√7．20、求直線AB到平面EFCD的距離；標準答案：因為AB∥DC，DC平面EFCD，所以直線AB到平面EFCD的距離等于點A到平面EFCD的距離，如右圖，過點A作AG⊥FD于G，因∠BAD=，AB∥DC，故CD⊥AD；又因為FA⊥平面ABCD，由三垂線定理知CD⊥FD，故CD⊥平面FAD，知CD⊥AG，故AG為所求的直線AB到平面EFCD的距離．在Rt△FDC中，F(xiàn)D=，由FA上平面ABCD，得FA⊥AD，從而在Rt△FAD中，F(xiàn)A==1，所以AG=.知識點解析：暫無解析21、二面角F—AD—E的平面角的正切值．標準答案：由已知FA上平面ABCD，得FA上AD，又由∠BAD=，知AD⊥AB，故AD⊥平面ABFE，從而AD⊥AE．所以∠FAE為二面角F—AD—E的平面角，記為θ，在Rt△EAD中，AE=由四邊形ABFE為平行四邊形，得FE∥BA，從而∠EFA=，在Rt△EFA中，EF=故tanθ==√2．知識點解析：暫無解析22、設a∈R，f(x)=cosx(asinx—cosx)+cos2(－x)滿足f(－)=f(0)，求函數(shù)f(x)在上的最大值和最小值．標準答案：f(x)=asinxcosx—cos2x+sin2x=sin2x—cos2x．由f(－)=f(0)得－=－1，解得a=2√3．因此f(x)=√3sin2x—cos2x=2sin(2x－)．當x∈時，2x－，f(x)為增函數(shù)，當x∈時，2x－,f(x)為減函數(shù)，所以f(x)在上的最大值為f()=2．又因為,故f(x)在上的最小值為知識點解析：暫無解析如圖正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，F(xiàn)A=FE，∠AEF=45°．23、求證：EF⊥平面BCE；標準答案：因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF，所以BC⊥EF．因為△ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°．又因為∠AEF=45°，所以∠FEB=45°+45°=90°，即EF⊥BE．因為BC平面BCE，BE平面BCE．BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE．知識點解析：暫無解析24、設線段CD、AE的中點分別為P、M，求證：PM∥平面BCE；標準答案：取BE的中點N，連結(jié)CN，MN，則MNPC．所以PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN．因為CN在平面BCE內(nèi)，PM不在平面BCE內(nèi)，所以PM∥平面BCE．知識點解析：暫無解析25、求二面角F—BD—A的大小．標準答案：由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知EA⊥平面ABCD．作FG⊥AB，交BA的延長線于G，則FG∥EA．從而，F(xiàn)G⊥平面ABCD．作GH⊥BD于H，連結(jié)FH，則由三垂線定理知，BD⊥FH．因此，∠FHG為二面角F—BD—A的平面角，因為FA=FE，∠AEF=45°，所以∠AFE=90°，∠FAG=45°．設AB=1，則AE=1，AF=，F(xiàn)G=AF·sin∠FAG=.在Rt△BGH中，∠GBH=45°，BG=AB+AG=l+，GH=BG·sin∠GBH=．在Rt△FGH中，tan∠FHG=．故二面角F—BD—A的大小為arctan.知識點解析：暫無解析ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．26、證明：直線BC∥EF；標準答案：證明：設G是線段DA與線段EB延長線的交點，由于△OAB與△ODE都是正三角形，所以OBDE，OG—OD=2，同理，設G＇是線段DA與線段FC延長線的交點，OG＇=OD=2，又由于G和G＇都在線段DA的延長線上，所以G與G＇重合．在△GED和△GFD中，由OBDE和OCDF，可知B，C分別是GE和GF的中點，所以BC是△GEF的中位線，故BC∥EF．知識點解析：暫無解析27、求棱錐F—OBED的體積．標準答案：由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知SEOB=，而△OED是邊長為2的正三角形，故SEOB=√3，所以SOBED=SEOB+SOED=，過點F作FQ⊥DG于點Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐F—OBED的高，且FQ=√3，所以VF-OBED=FQ·SOBED=.知識點解析：暫無解析如圖，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，點N是BC的中點，點M在CC1上，設二面角A1－DN—M的大小為θ．28、當θ=90°時，求AM的長；標準答案：建立如圖所