2024年河南省名校高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月模擬聯(lián)考試卷附答案解析

年河南省名校高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月模擬聯(lián)考試卷全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知某學(xué)校高三年級(jí)甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)人數(shù)分別為40，30，50，學(xué)校計(jì)劃采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法在三個(gè)班級(jí)中評(píng)選優(yōu)秀學(xué)生，已知乙班分配到的優(yōu)秀學(xué)生名單為6人，則高三年級(jí)三個(gè)班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為（

）A．16 B．30 C．24 D．183．已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．4．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在橢圓上，若的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（

）A．3 B．4 C．1 D．25．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．4 B．8 C． D．6．若，且，則（

）A． B． C． D．7．設(shè)，則（

）A． B． C． D．8．已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為左支上的點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，若，則可能是（

）A． B． C． D．10．已知為函數(shù)的極值點(diǎn)，則（

）A．B．是偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞增11．已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1，2，高為，為下底面圓的一條直徑，為上底面圓的一條弦，且，則（

）A．圓臺(tái)的體積為B．圓臺(tái)的母線與下底面所成角為C．當(dāng)，，，不共面時(shí)，四面體的外接球的表面積為D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中，的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）13．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，若為中點(diǎn)，則．14．已知函數(shù)點(diǎn)，在曲線上（在第一象限），過(guò)，的切線相互平行，且分別交軸于，兩點(diǎn)，則的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15．已知函數(shù)，且在處的切線方程是．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．16．甲、乙兩個(gè)班級(jí)之間組織乒乓球友誼賽，比賽規(guī)則如下：①兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行3場(chǎng)單打比賽，每場(chǎng)單打比賽獲勝一方積2分，失敗一方積0分；②若其中一隊(duì)累計(jì)分達(dá)到6分，則贏得比賽的最終勝利，比賽結(jié)束；③若單打比賽結(jié)束后還未能決出最終勝負(fù)，則進(jìn)行一場(chǎng)雙打比賽，雙打比賽獲勝一方積2分，失敗一方積0分．已知每場(chǎng)單打比賽甲班獲勝的概率為，每場(chǎng)比賽無(wú)平局，不同場(chǎng)次比賽之間相互獨(dú)立．(1)求進(jìn)行雙打比賽的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量為比賽場(chǎng)次，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．17．如圖，在四棱錐中，平面平面，且．

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值．18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)（不位于軸左側(cè)）到軸的距離為．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)若圓與點(diǎn)的軌跡有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求的最大值；(3)在（2）的條件下，當(dāng)取最大值，且時(shí)，過(guò)作圓的兩條切線，分別交軸于兩點(diǎn)，求面積的最小值．19．已知為單調(diào)遞增的正整數(shù)數(shù)列，給定整數(shù)，若存在不全為0的，使得，則稱為階維表示數(shù)．(1)若，求的通項(xiàng)公式，判斷2024是否為3階3維表示數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)已知，是否存在，使得同時(shí)是0階維表示數(shù)，1階維表示數(shù)，…，階維表示數(shù)．若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和一元二次不等式的解法求出集合，然后由集合的并集運(yùn)算可得.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的值域可得，解不等式得，所以.故選：B．2．C【分析】利用分層隨機(jī)抽樣及已知，求出三個(gè)班級(jí)分配到的優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)即得.【詳解】甲、乙、丙三個(gè)班級(jí)人數(shù)比為，由分層隨機(jī)抽樣，三個(gè)班級(jí)優(yōu)秀學(xué)生名額分別為8，6，10，所以高三年級(jí)三個(gè)班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為人.故選：C3．A【分析】根據(jù)半徑求底面周長(zhǎng)，由弧長(zhǎng)公式可得母線長(zhǎng)，然后可得側(cè)面積.【詳解】因?yàn)榈酌姘霃?，所以底面周長(zhǎng)，又圓錐母線長(zhǎng)，所以圓錐側(cè)面積．故選：A．4．D【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)得到關(guān)于的方程組，解之即可得解.【詳解】依題意，橢圓短軸長(zhǎng)為，得，則，又的最大值是最小值的3倍，即，所以，所以，則其焦距為.故選：D5．B【分析】根據(jù)的關(guān)系可得遞推公式，利用遞推公式可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，整理得，所以.故選：B．6．D【分析】利用正弦的差角公式結(jié)合弦切關(guān)系分別計(jì)算，再根據(jù)和角公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，則，所以，故.故選：D7．A【分析】利用正余弦函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判定與c的大小即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，又定義域上單調(diào)遞增，所以，而在上單調(diào)遞減，所以，所以.故選:A8．A【分析】利用給定條件結(jié)合余弦定理得到齊次方程，求解離心率即可.【詳解】如圖，設(shè)的焦距為，則，由，可知，設(shè)的右焦點(diǎn)為，則，由余弦定理得，整理得，所以，離心率為，故A正確.故選：A．9．ACD【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及幾何意義可得，再結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示分析求解.【詳解】設(shè)，則，可知，即，若，則，整理得所以或，對(duì)比選項(xiàng)可知ACD正確，B錯(cuò)誤.故選：ACD．10．ABC【分析】由是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，可得判斷A選項(xiàng)；由解析式判斷奇偶性判斷選項(xiàng)B；利用函數(shù)對(duì)稱性的特征判斷選項(xiàng)C；由正弦型函數(shù)的單調(diào)性判斷選項(xiàng)D.【詳解】為函數(shù)的極值點(diǎn)，，由可得，A選項(xiàng)正確；由于，所以是偶函數(shù)，B選項(xiàng)正確；，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，C選項(xiàng)正確；由于的正負(fù)未知，所以在區(qū)間的單調(diào)性不確定，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：ABC．11．ACD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，直接套用公式計(jì)算即可，對(duì)于B選項(xiàng)，先做出圓臺(tái)的軸截面進(jìn)行判斷，對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)與異面時(shí)，外接球的軸截面大圓剛好是圓臺(tái)軸截面的外接圓，根據(jù)幾何關(guān)系確定圓心即可計(jì)算判斷，對(duì)于D選項(xiàng)，需要建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)行用坐標(biāo)法計(jì)算取值范圍.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，圓臺(tái)體積為，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)和C選項(xiàng)，先做出軸截面：根據(jù)幾何關(guān)系，可知圓臺(tái)的母線與下底面所成角為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，當(dāng)與異面時(shí)，外接球的軸截面大圓剛好是圓臺(tái)軸截面的外接圓，由幾何關(guān)系得出，即下底面圓心剛好為四面體的外接球球心，則外接球半徑為2，表面積為，C選項(xiàng)正確.對(duì)選項(xiàng)D，需建立空間直角坐標(biāo)系，由，可知，不妨設(shè)，，則，所以，所以，D選項(xiàng)正確.故選：ACD12．6【分析】因式分解得，分別由和通項(xiàng)相乘得，根據(jù)可得.【詳解】，的展開式通項(xiàng)為，的展開式通項(xiàng)為，，令，得，所以的系數(shù)為．故答案為：613．【分析】根據(jù)余弦定理可得，即可利用向量的模長(zhǎng)求解.【詳解】由余弦定理，，將代入解得，因?yàn)?，所以，所以．故答案為?4．【分析】利用給定條件得到，再把目標(biāo)式化為一元函數(shù)，求導(dǎo)研究最值即可.【詳解】易知，設(shè)，則，設(shè)切線斜率為，則，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以的最小值為．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)，解題關(guān)鍵是利用給定條件得到，然后把目標(biāo)式表示為，求導(dǎo)得到單調(diào)性，再求最值即可．15．(1)，(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程組，解得即可；（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又在處的切線方程為，所以，，解得，．（2）由（1）可得定義域?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則在處取得極小值，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，因此極小值為，無(wú)極大值．16．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可求解；（2）的可能取值為3，4，求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）設(shè)進(jìn)行雙打比賽為事件A，甲班前3場(chǎng)獲勝2場(chǎng)為事件，乙班前3場(chǎng)獲勝2場(chǎng)為事件，所以，所以，所以．所以進(jìn)行雙打比賽的概率為；（2）的可能取值為3，4，，由（1）可知，，的分布列為：34，所以的數(shù)學(xué)期望為．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先由線段關(guān)系證，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)判定線線垂直，利用線線垂直證線面垂直；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算面面角即可.【詳解】（1）由題意，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）如圖，以A為原點(diǎn)，分別為軸，軸正方向，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的正弦值為．18．(1)(2)2(3)32【分析】（1）設(shè)，利用兩點(diǎn)距離公式及點(diǎn)線距離計(jì)算即可；（2）聯(lián)立圓與C方程計(jì)算即可；（3）設(shè)坐標(biāo)，含參表示圓的切線方程，利用直線與圓的位置關(guān)系及同解方程得，利用三角形面積公式結(jié)合基本不等式計(jì)算最小值即可.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，兩邊平方可得，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程C為；（2）依題意，聯(lián)立圓與，可得，解得或，由于僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，解得，所以的最大值為2；（3）不妨設(shè)，顯然，則直線，直線，依題意直線PA與圓相切，所以，整理可得，同理可得，顯然，所以a，b為關(guān)于的一元二次方程的兩根，所以，則，則面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最小值為32．

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第三問(wèn)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用斜截式表示圓的切線方程，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出同解方程，消元轉(zhuǎn)化再結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.19．(1)，2024是3階3維表示數(shù)，理由見(jiàn)解析(2)當(dāng)時(shí)，不存在不全為0的使結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)，【分析】（1）利用給定遞推關(guān)系求出，在利用給定定義判斷3階3維表示數(shù)即可.（2）利用給定定義結(jié)合分類討論思想求解即可.【詳解】（1）由于，因此的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)