2022北京朝陽區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題和答案

2022北京朝陽高一（下）期末數(shù)學(xué)2022.7（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共50分）和非選擇題（共100分）兩部分考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．z=+i)(2?i)1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)A.第一象限（其中i為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.已知向量a(2,1),b(x,2)，且a∥b，則x的值為（==?）?4?2A.4B.C.2D.3.如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論正確是（）A.=CDB.AB+=BDD.AD+BC=0C.AB?AD=DBabc4.中，角ABC所對(duì)的邊分別為，，c==，則是ABcosC（）A.鈍角三角形B.等邊三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形，但不是等腰三角形5.mn是兩條不同的直線，,m,n是兩個(gè)不同的平面，，下列結(jié)論中正確的是（）A.若m∥n，則∥B.若∥D.若∥，則m∥nC.若m與n不相交，則∥，則m與n不相交6.某西瓜種植基地種植了三個(gè)品種的西瓜共計(jì)1200畝，其中A品種畝，B畝，C品種200畝．為了解該西瓜種植基地的西瓜產(chǎn)量，按照各品種的種植畝數(shù)在總體中所占的比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從總體中抽出畝作為樣本進(jìn)行調(diào)查，測(cè)得樣本中A品種總產(chǎn)量為噸，B品種總產(chǎn)量為噸，C品種總產(chǎn)量為噸，則這1200畝西瓜的總產(chǎn)量估計(jì)為（A.1200噸B.3000噸C.3560噸7.兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在射擊測(cè)試中各射靶次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：）D.6480噸甲乙7895778857469106774710用x,x分別表示甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員次射擊成績(jī)的第百分位數(shù)，用s,s分別表示甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員121210次射擊成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）x=x,ssxx,ssx=x,ssxx,ss1212A.B.C.D.121212121212bc8.中，角ABC所對(duì)的邊分別為，，c+1，則角A的取值范圍是a+ca+b（）36,,A.B.C.D.36y|x|和y=2的圖象圍成的封閉平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積為（）9.把32A.B.C.D.42π33ABCD?ABCDBC,1,BB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確110.已知正方體的棱長(zhǎng)為，，G分別為1111的是（）1DAG②直線1①直線③點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等；A.①②B.與直線垂直；與平面AEF平行；9④平面AEF截正方體所得的截面面積為．2C.D.③④第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．z=+i)i（其中iz=________.若復(fù)數(shù)12.在中，角ABC所對(duì)的邊分別為，，cc=2,b=6,B=，C___________=．3=?=??=t=___________，|b=13.已知向量a(4,b(2,t2)，且a(ab)2，則___________．14.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同4個(gè)紅球和n個(gè)綠球，采用有放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球，若4取出的2個(gè)球顏色不同的概率為n的所有可能取值為___________．9AB,AC15.如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺(tái)D．已知濕地夾在公路之間AB,AC長(zhǎng)度均超過4km且BAC60．在公路AB,AC上分別設(shè)有游客接送點(diǎn)EF，=（AE=AF=2．若要求觀景臺(tái)D，F(xiàn)兩點(diǎn)連線的右側(cè)，并在觀景臺(tái)D與接送點(diǎn)EF之間建造兩條觀光線路DE與DF，EDF=120，則觀光線路DE與DF之和最長(zhǎng)為___________km．=滿足e?b=eb，且xb+yb=e，其中x,yR，且ii1216.e是單位向量，向量bi2)ix+y=1．則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是___________．①xeb+yeb=1；12()1yx+xyb?b=②；22b?b=2③存在x，，使得；12b?bbb=0．④當(dāng)取最小值時(shí)，1212三、解答題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17.為方便，B兩地區(qū)的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集團(tuán)新開通一條快速直達(dá)專線．該線路運(yùn)營(yíng)一段時(shí)間后，為了解乘客對(duì)該線路的滿意程度，從B兩地區(qū)分別隨機(jī)抽樣調(diào)查了名乘客，將乘客對(duì)該線路的滿意程度評(píng)分分成5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)乘客滿意程度評(píng)分，將乘客的滿意程度分為三個(gè)等級(jí)：[50,70)[70,90)[90,100]滿意程度評(píng)分滿意程度等級(jí)不滿意滿意非常滿意（1A地區(qū)隨機(jī)抽取一名乘客，以頻率估計(jì)概率，估計(jì)該乘客的滿意程度等級(jí)是非常滿意的概率；（2A地區(qū)與B地區(qū)各隨機(jī)抽取一名乘客，記事件C為抽取的兩名乘客中，一名乘客的滿意程度等級(jí)為非常滿意且另一名乘客的滿意程度等級(jí)為不滿意，假設(shè)兩地區(qū)乘客的評(píng)分相互獨(dú)立，以頻率估計(jì)概率，求事件C的概率；2（3為從A地區(qū)隨機(jī)抽出的這名乘客的滿意程度評(píng)分的平均數(shù)，B地區(qū)隨機(jī)抽出的這1100名乘客的滿意程度評(píng)分的平均數(shù)，為從AB兩地區(qū)隨機(jī)抽出的這名乘客的滿意程度評(píng)分的平1?2?的大小，并說明理由．均數(shù)，試比較與18.在中，角ABC所對(duì)的邊分別為，，cb（1）求角B：2?c2=a?2ac．2（2）從①C=2B，②bA=aB中選取一個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；1BCD=B,=4，求△BCD的面積．（3D為線段AB上一點(diǎn)，且2ABCD?ABCD中，側(cè)棱1AA1⊥19.如圖，在四棱柱底面ABCDABCD，四邊形為菱形，111AB=BAD=EFAA1,，，分別為的中點(diǎn)．13（1）證明⊥平面，并求點(diǎn)C到平面的距離；11B,F,1,E（2）證明：20.如圖，在四棱錐PABC=90，E是PD的中點(diǎn)．四點(diǎn)共面．1?中，平面⊥平面ABCD,BC∥平面PAD,BC=AD，PAD2（1）求證：∥AD；（2）求證：平面PAB平面⊥PAD；（3M是線段CE上任意一點(diǎn)，試判斷線段AD上是否存在點(diǎn)，使得MN∥平面PAB？請(qǐng)說明理由．A=12BB,B,,BBi1ijn)21.若集合，其中為非空集合，，則稱集n12nB,B,,B為集合nAn合一個(gè)劃分．12（1）寫出集合A=的所有不同的2劃分；（2）設(shè)2為有理數(shù)集Q2劃分，且滿足對(duì)任意B,B1xB，任意yBx，都有2y．則下列1四種情況哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情況請(qǐng)舉出一個(gè)例子，不能成立的情況請(qǐng)說明理由；BB2①②③④中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值；1B1B2中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值；B1B2中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值；B1B2中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．A=，對(duì)于集合A的任意一個(gè)3劃分B,B,B，證明：存在i2,3，存3（3）設(shè)集合12a,bi，使得b?aB在．i參考答案第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】A【解析】z.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解z=+i)(2?i)=3+i【詳解】解：，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()，位于第一象限.故選：A.2.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)閍(2,1),b(x,2)，且a∥b，==?所以2(?2)?x=0x=4.，解得故選：B.3.【答案】C【解析】【分析】利用相等向量可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量的加法可判斷選項(xiàng)；利用平面向量的減法可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，=，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，AB+=，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，AB?AD=DB，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，+=2D錯(cuò).故選：C.4.【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理得tanA=tanB=tanC，進(jìn)而得到AsinAsinBsinC==BC，即可求解.==，則tanAtanBtanC，又,B,C為三角形內(nèi)角，==【詳解】由正弦定理得ABcosC則A故選：B.5.【答案】D=B=C，則是等邊三角形.【解析】【分析】根據(jù)面面平行的判定定理和性質(zhì)定理對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】若m∥n，則,可能平行、可能相交，故A不正確；若∥m,n，則可能平行、可能異面，故B不正確；若m與n不相交，則,也不一定平行，故C不正確；，故D正確若m與n不相交，則∥故選：D.6.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)抽樣方法是按照各品種的種植畝數(shù)在總體中所占的比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣即可求解.【詳解】解：根據(jù)題意這1200畝西瓜的總產(chǎn)量估計(jì)為1200(++)=10850203560噸，60故選：C.7.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)和方差的定義計(jì)算求解即可.【詳解】將甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別從小到大排列：甲：，45，，，7，9，，10乙：，66，，，7，8，，109+98+8因?yàn)?080%=8，所以x=1=9，2==8.224+4+5+7+7+7+8+9+9+10x==7，甲的平均數(shù)乙的平均數(shù)1105+6+6+7+7+7+7+8+8+10x=2=7.1，10(4?7)2+(4?7)2+(5?7)2+?7)2+?7)2+?7)2+?7)2所以1==2，10s=1.32同理可得.xxss1所以，.122故選：D.8.【答案】A【解析】bc1+1化簡(jiǎn)得b2+?A【分析】先由c2a2bc，再由余弦定理得cosA≥，即可求得角a+ca+b2值范圍.bc+1可得b(a+b)+c(a+c)(a+b)(a+c)，整理得b2+?2abc，【詳解】由c2a+ca+bb2+cbc2?a212=AA()A由余弦定理得A，則，又，則.33故選：A.9.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓柱和圓錐的體積公式即可求解.【詳解】解：由題意，該幾何體可以看作一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)完全相同的圓錐，1323所以所得幾何體的體積為V=224?2222=，3故選：A.10.【答案】C【解析】【分析】由AFC即為直線與直線1D所成的角，即可判斷①；對(duì)于②，連接,DF,，由11線面平行的判定即可判斷②；由平面AEF不過CG的中點(diǎn)即可判斷③；先找出截面，再計(jì)算面積即可判斷④.ABCD?ABCD1D//1，則AFC1D與直線所【詳解】解：對(duì)于①，由正方體成的角，得即為直線1111連接AC，而1⊥平面ABCD，所以，所以在△中，則AFC不可能是直角，直線與直線1D不垂直，故①不正確；,DF,AG1D//BC//EFAD1AG平面AEF，平面1對(duì)于②，連接，則，所以11111FAG平面AEF，所以1AEF，∥平面AEF，故②正確；對(duì)于③，若點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等，則平面AEF必過CG的中點(diǎn)，連接CG交EF于H，且H不是CG的中點(diǎn)，則平面AEF不過CG的中點(diǎn)，即點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離不相等，③不正確；=1FAEFD即為平面AEF截正方體所得的截面，1對(duì)于④，因?yàn)锳D1∥，，所以等腰梯形?2322則=22,=2,=DF=5，AD1,之間的距離為2?=，11121232292(22+2=AEFD則面積為，故④正確.1故選：C.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．【答案】1i??【解析】z【分析】由復(fù)數(shù)乘法法則計(jì)算出后可得其共軛復(fù)數(shù)．z=+i)i=?1+i【詳解】由已知得，，則z=1?i故答案為：1i．??12.【答案】6【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得出答案，注意大邊對(duì)大角.c=2,b=6,B=【詳解】解：因?yàn)椋?bc=又正弦定理得，sinBsinC32csinB12所以sinC=2，==b6=6，得CB2b由c=，所以C=.6故答案為：.6①.3②.2913.【答案】【解析】t【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求出a?b，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出，再根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式即可求出|b|.【詳解】解：因?yàn)閍(4,b(2,t2)，=?=?所以a?b=(2,?1?t)，a(ab)831t?=?(??)=2，解得t=?3，則所以b(2,，=?所以|b=4+25=29.故答案為：3；29.14.2或8【解析】【分析】先求出取出2個(gè)球顏色不同的概率，再解方程求解即可.4nn449+=【詳解】由題意知，取出的2個(gè)球顏色不同的概率為，(+)(+)(+)(+)n4n4n4n4化簡(jiǎn)得n2?10n160，解得+=n=2或8.故答案為：2或8.15.【答案】4【解析】【分析】利用余弦定理得到關(guān)于DE與DF的方程，借助基本不等式求的最大值.+【詳解】在△AEF中，23；=,=n==DE2+DF?2DEDFcosEDF，2在中，設(shè)，由余弦定理可得：EFmn，即12=(m+n)2=2+n2+2?，即：12m(m+n)2(m+n)2，所以(m+n)2?12m+n4，，因?yàn)閙n44當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時(shí)，故答案為：4.m+n取到最大值4，即DE與DF之和最長(zhǎng)為4.16.【答案】①③④【解析】【分析】由xb+yb=e結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算得xeb+yeb=1；又由x+y=1，求得xb?b=eb，1221212()1yb?b=ebyx+xyb?b=1b?b2進(jìn)而得；結(jié)合基本不等式求得；進(jìn)而得到121212b+b=e，同時(shí)平方即得bb=0.1212()【詳解】由xb+yb=e可得xb+ybe=ee=1，即xeb+yeb=1，①正確；121212()又xb+yb=e且x+y=1，則xb1xb+(?)=e，即xb?b=e?bxb?b=e?b，所以，1221212122e?2=ebxb?b=e?b=ebyb?b=e?b=eb，同理，1211又則由，則21222()1yxb?b+xyb?b=yeb+xeb=1yx+xyb?b=1，②錯(cuò)誤；2，即121221()1x+y=1知x,y至少一正，若x,y一正一負(fù)，則yx+xy=0，顯然不滿足yxxyb2=1，+?x+y2211x,y=y=+=均為正，則yxxy22=x故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則221b?b=2，12+yxxy1x=y=xyb1?2=2當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則存在，，使得，③正確；21()1+2=4b?bx=y=xb+yb=eb+b=e當(dāng)取最小值2時(shí)，，由，則，1212122()即b?b+bb=4，則bb=0，④正確.121212故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于由xeb+yeb=1結(jié)合x+y=1得到xb?b=eb，yb?b=eb進(jìn)而12112122()1yx+xyb?b=1b?b2b+b=e，最后由平方即可求解.12得，再結(jié)合基本不等式求得212三、解答題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17.）0.2；?=?，理由見解析（2）0.1；（）12【解析】）先由頻率和為1解出a=0.02，再求是非常滿意的概率即可；（2）分別求出AB地區(qū)非常滿意和不滿意的概率，再由獨(dú)立事件乘法公式求解即可；,1，進(jìn)而求出，計(jì)算求解即可.（3）由頻率分布直方圖求得【小問1詳解】2由頻率分布直方圖知，(0.005+0.015+0.03+0.03+a10=1)，解得a=，則估計(jì)該乘客的滿意程度等級(jí)是非常滿意的概率為0.0210=0.2；【小問2詳解】從A地區(qū)隨機(jī)抽取一名乘客，該乘客的滿意程度等級(jí)是非常滿意的概率為0.0210=0.2，是不滿意的概率為(0.005+0.01510=0.2；)從B地區(qū)隨機(jī)抽取一名乘客，該乘客的滿意程度等級(jí)是非常滿意的概率為0.015=，是不滿意的概率為(0.015+0.0210=0.35；)則P(C)=0.20.35+0.20.15=0.1；【小問3詳解】?=?=550.05+650.15+750.3+850.3+950.2=79.5，1，理由如下：122=550.15+650.2+750.3+850.2+950.15=75，112因則，B兩地區(qū)人數(shù)比為1:1，則=+=77.25，1221?=2.25，2?=2.25，則?=?.1218.）B=4（2）見解析（）4【解析】）利用余弦定理即可得解；（2）選①，根據(jù)C=2B結(jié)合（）求出C,A，可得AB，則有=tanA=tanB，再根據(jù)正弦定理化角為邊即可得證；選②，利用正弦定理化邊角，再結(jié)合（）即可得出結(jié)論；（3）利用正弦定理求得，再利用三角形的面積公式結(jié)合誘導(dǎo)公式及倍角公式即可得出答案.【小問1詳解】解：因?yàn)閎所以b2?c2=a?2ac，22=a2+c2?2ac=a2+c?2acB，22所以B=，2B0,()，又B=所以；4【小問2詳解】證明：選①，因?yàn)镃=2B，B=，4所以C=,A==B，24sinAsinB所以tanA=tanB，即所以bA=aB；=，AB選②，因?yàn)閎A=aB，所以sinBA=sinAB，sinBcosA?sinAcosB=sinB?A=0，所以(),B0,()，則?()BA,，又所以B?A=0，A=B=即，4所以C==2B；2【小問3詳解】1BCD=B=，則=解：由（）得，288BCCD==42sin因?yàn)?，所以sinBDCsinB81S=BCCDsinBCD2=82sinsin88=82sin88=42sin=4，4所以△BCD的面積為．19.）證明見解析，距離為（2）證明見解析；；3【解析】⊥⊥AC,交于OCO；設(shè)）由ACBD及⊥即可證得平面，即為點(diǎn)C到11平面的距離，再由三角形知識(shí)求解即可；11D中點(diǎn)GAGFBAG1，進(jìn)而證得，即可（2，先證得四邊形為平行四邊形，得到證得結(jié)論.【小問1詳解】AA⊥ABCD，AC底面ABCD因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，又側(cè)棱1⊥底面，則平面1，DD1∥AA1⊥DDBD=DDD1,BD，所以1⊥又，所以，又，平面11；1AC,交于OAB=BAD=的距離，又設(shè)，則CO即為點(diǎn)C到平面，則13CO=AO=AB=3，6即點(diǎn)C到平面的距離為3；1【小問2詳解】AG,FG,BF,1E，易得GF=ABAGFB1D中點(diǎn)G取，連接，則四邊形B,F,1,E，所以四點(diǎn)共面．為平行四邊形，則AG，又1E，則120.）見解析（）見解析（3N為AD中點(diǎn)時(shí)，MN∥平面PAB.【解析】）由線面平行的性質(zhì)定理即可證明.（2）由面面垂直的性質(zhì)定理證得BA平面⊥PAD，又因?yàn)锽A平面PABPAB⊥，所以平面平面PAD.（3AD的中點(diǎn)N，連接CN,EN，由線面平行的判定定理證明CNEEN∥平面PAB，CN平面PAB，所以平面【小問1詳解】平面PAB，再由面面平行的性質(zhì)定理可證得MN∥平面PAB.PAD,BCABCD,ABCD=平面PAD平面,∥平面平面所以∥AD.【小問2詳解】⊥ABCD,PADABCD=平面，因?yàn)槠矫鍼AD平面平面⊥，所以BA⊥平面PAD，又因?yàn)锽A平面PAB，所以平面PAB平面⊥PAD.【小問3詳解】取AD的中點(diǎn)N，連接CN,EN，E,NPD,EN∥PA的中點(diǎn)，所以，分別為ENPAB，PA平面平面PAB，所以EN∥平面PAB，1BC=AD∥AD又因?yàn)?，，所以四邊形ABCN為平行四邊形，2所以CN∥，CN平面PAB，AB平面CNNE，所以平面CNE平面PAB，又因?yàn)榫€段AD上存在點(diǎn)N，使得MN∥平面PAB.，所以CN平面PAB，PAB平面CNE，所以MN∥平面PAB.1,2,3,3,2,2,3,121.）（2）①可能成立，例子見解析；②可能成立，例子見解析；③可能成立，例子見解析；④不可能成立，證明過程見解析；（3）證明過程見解析.【解析】）根據(jù)題意寫出含有3個(gè)元素的2劃分即可；（2）①②③可以舉出反例，④可以利用反證法進(jìn)行證