河北省2022年高三年級下冊一?？荚嚁?shù)學試題含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知等差數(shù)列｛?！埃?，%+1=8則％+%+%+4+%=()

A.10B.16C.20D.24

2.2019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個合唱隊每場比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數(shù)字為莖，個位

數(shù)字為葉).若甲隊得分的中位數(shù)是86,乙隊得分的平均數(shù)是88,則龍+丁=()

A.170B.10C.172D.12

3.已知數(shù)列，是公比為;的等比數(shù)列，且q〉0,若數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，則4的取值范圍為()

A.(1,2)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)

4.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為(必+y)3=%2y.給出下

列四個結論：

①曲線C有四條對稱軸；

②曲線C上的點到原點的最大距離為工；

4

③曲線C第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為1；

71

④四葉草面積小于一.

4

其中，所有正確結論的序號是()

+

A.①②B.①③C.①③④D.①②④

5.已知。為坐標原點，角a的終邊經(jīng)過點尸(3,加)(〃2<0)且sina=10根，貝!Jsin2c=()

10

4334

A.-B.-C.--D.--

5555

6.偶函數(shù)/(%)關于點(1,0)對稱，當—IWXWO時，f(x)=-x2+l,求“2020)=()

A.2B.0C.-1D.1

7.(x+y)(2x—y)5的展開式中dy3的系數(shù)為()

A.-30B.-40C.40D.50

8.關于函數(shù)了(%)=45皿[：%+3]+4以《13%+5],有下述三個結論：

①函數(shù)/(X)的一個周期為不；

2

jr37r

②函數(shù)/Xx)在上單調(diào)遞增；

_24_

③函數(shù)/(x)的值域為[4,4^].

其中所有正確結論的編號是()

A.①②B.②C.②③D.③

9.下列命題中，真命題的個數(shù)為()

①命題“若」一<」一，則a的否命題；

a+2b+2

②命題“若〉1，則x>0或V〉0”；

③命題“若m=2,則直線x-my=0與直線2%—4y+1=0平行”的逆命題.

A.0B.1C.2D.3

10.要得到函數(shù)y=j^sinX-3的圖象，只需將函數(shù)y=J^sin2x-。圖象上所有點的橫坐標（）

71

A.伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移一個單位長度

4

7T

B.伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖像向左平移一個單位長度

4

1571

C.縮短到原來的不倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移一個單位長度

224

D.縮短到原來的二倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移坐個單位長度

224

11.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若機_1_〃，nila,則加_LaB.若〃2〃，，/3A-a,則加

C.若n.L/3,n.La,則D.若〃z_L〃，nV/3,）3La,則

12.設等比數(shù)列｛4｝的前“項和為S"，貝（）“《］+/<2%”是"2一1<0”的（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知平面向量。與b的夾角為（，（1=（出,-1）,\b\=l,貝！||2a—切=.

17

14.已知點尸是拋物線>=2必的焦點，M,N是該拋物線上的兩點，若|Mb|+|NF|=1,則線段MN中點的縱

坐標為.

x+3y-3<0

15.已知實數(shù)（羽y）滿足X-y+120則點P（尤,y）構成的區(qū)域的面積為,2x+y的最大值為

y>-l

16.已知非零向量4力的夾角為（，且忖="2a—q=則卜/.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

無2

17.（12分）已知函數(shù)=1,

（1）求函數(shù)/（尤）的單調(diào)區(qū)間；

4尤2

（2）當0<機<7時，判斷函數(shù)g（x）=--m，（%>0）有幾個零點，并證明你的結論；

(3)設函數(shù)“(X)=；x--+/(x)-1x---/(x)-c%2,若函數(shù)MX)在(0,+8)為增函數(shù)，求實數(shù)C的取值

范圍.

18.(12分)已知(x+1)"=/+q(x—1)+%(%—1)~+%(x—Ip++<2?(x—1)M,(其中〃eN*)

S==。］+4+%++an-

⑴求s.

⑵求證：當〃上4時，—2）2"+2/.

19.（12分）如圖，在三棱錐P—ABC中，ABLPC,M是AB的中點，點。在上，MD〃平面PAC,平面？AB，

平面PMC,ACPM為銳角三角形，求證:

(2)平面ABC_L平面PMC.

20.（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：一的右準線方程為x=2,且兩焦點與短軸的一

三十三=?（二）二>0）

個頂點構成等腰直角三角形.

（1）求橢圓C的方程;

（2）假設直線/：二二二二.與橢圓C交于A,B兩點.①若A為橢圓的上頂點，M為線段AB中點，連接OM并

延長交橢圓C于N,并且，求OB的長；②若原點O到直線I的距離為1,并且右云一-P當.，

OJ

6N=#6MAOB-戶口打

時，求AOAB的面積S的范圍.

JT]

21.（12分）如圖，在正四棱錐尸—A5CD中，AB=2,ZAPC=-f"為必上的四等分點，即3M=—5尸.

34

p

(1)證明：平面平面PBC；

(2)求平面PDC與平面AMC所成銳二面角的余弦值.

22

22.(10分)如圖，在平面直角坐標系中，已知圓C：(%-3)2+/=1,橢圓E：=+==1(a>Z>>0)的

ab"

右頂點A在圓C上，右準線與圓C相切.

(1)求橢圓E的方程；

12

(2)設過點A的直線/與圓C相交于另一點與橢圓E相交于另一點M當AN=亍AM時，求直線，的方程.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到/+4=8=2%,再計算得到答案.

【詳解】

已知等差數(shù)列｛4｝中，%+4=8=2%=>%=4

生+。4++%=5%=20

故答案選C

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.

2.D

【解析】

中位數(shù)指一串數(shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?，處在最中間的那個數(shù)，平均數(shù)指一串數(shù)據(jù)的算術平均數(shù).

【詳解】

由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為80+x=86,故無=6；

乙的平均數(shù)為

7+82+80+V+89+91+93+97=88

7

解得>=6,所以x+y=12.

故選：D.

【點睛】

本題考查莖葉圖的應用，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識，是一道容易題.

3.D

【解析】

先根據(jù)已知條件求解出｛4｝的通項公式，然后根據(jù)｛4｝的單調(diào)性以及4〉0得到用滿足的不等關系，由此求解出％的

取值范圍.

【詳解】

因為4〉0,數(shù)列｛凡｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

]______1______

所以%〉4〉。，則（工―

（1H1

化簡得0<-―1-<——1,所以0<q<l.

故選：D.

【點睛】

本題考查數(shù)列通項公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍，難度一般.已知數(shù)列單調(diào)性，可根據(jù)為,%+1之間的大

小關系分析問題.

4.C

【解析】

①利用演y之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；③將面積轉化為龍。的

關系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)國丁滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關系，從而判斷出面

積是否小于！.

4

【詳解】

①：當x變?yōu)閞時，卜2+?。?=%2,2不變，所以四葉草圖象關于y軸對稱；

當V變?yōu)?丁時，（x2+y2）3=x2y2不變，所以四葉草圖象關于X軸對稱；

當y變?yōu)閄時，（Y+y2）3=x2y2不變，所以四葉草圖象關于y=x軸對稱；

當y變?yōu)?X時，（x2+y2）3=x2y2不變，所以四葉草圖象關于y=-X軸對稱；

綜上可知：有四條對稱軸，故正確；

/22f

②：因為（V+y2y=犬,2,所以（必+'2）3=X2,2<*十，,

所以k+丁〈工，所以wL,取等號時犬=2=1，

428

所以最大距離為二,故錯誤；

2

③：設任意一點P（羽y）,所以圍成的矩形面積為孫，

因為（必+力3=必'2,所以^^^/+產(chǎn)了之仁孫7，所以孫三,

取等號時x=y=在，所以圍成矩形面積的最大值為-，故正確；

,48

④：由②可知必+產(chǎn)〈工，所以四葉草包含在圓爐+9=_1的內(nèi)部，

44

141T

因為圓的面積為：S=7V1=丁，所以四葉草的面積小于一，故正確.

444

故選：C.

【點睛】

本題考查曲線與方程的綜合運用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用，難度較難.分析方程所表示曲

線的對稱性，可通過替換方程中％。去分析證明.

5.C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出m=-1,得出尸(3,-1),得出sin。和cosa,再利用二倍角的正弦公式，即可求出結

果.

【詳解】

mJlO

根據(jù)題意，sina=,-=----m,解得m=-1,

冊2+910

所以。P=(3,—1),

/W?回3A/10

所以sina=-----,costz=-----，

1010

3

所以sin2tz=2sincrcostz.

故選：C.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)定義的應用和二倍角的正弦公式，考查計算能力.

6.D

【解析】

推導出函數(shù)y=/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由此可得出/(2020)=/(0),代值計算即可.

【詳解】

由于偶函數(shù)y=/(x)的圖象關于點(1,0)對稱，則〃f)=/(x),/(2+x)+/(-x)=0,

/(x+2)=-/(-x)=-/(x),則/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以，函數(shù)y=/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

由于當一IWXWO時，/(X)=—三+1,貝!1/(2020)=/(4義505)=/(0)=1.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)的對稱性和奇偶性求函數(shù)值，推導出函數(shù)的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于

中等題.

7.C

【解析】

先寫出(2x-y)5的通項公式，再根據(jù)dy3的產(chǎn)生過程，即可求得.

【詳解】

對二項式(2x-y)5,

其通項公式為4+i=C；(2尤廣'(-y)'=Cg25f(-l)r產(chǎn)了

(x+y)(2x—丁了的展開式中x3y3的系數(shù)

是(2x-丁丫展開式中x2/的系數(shù)與x3y2的系數(shù)之和.

令r=3,可得Jy3的系數(shù)為Cj22(-1)3=-40；

令r=2,可得凸2的系數(shù)為或23(-Ip=80；

故(x+y)(2x-y)5的展開式中d寸的系數(shù)為8?！?0=40.

故選：C.

【點睛】

本題考查二項展開式中某一項系數(shù)的求解，關鍵是對通項公式的熟練使用，屬基礎題.

8.C

【解析】

3JT17JT17TT(1\

①用周期函數(shù)的定義驗證.②當％￡y時，—^+-e'/(x)=4v2sin—x+--,再利用單調(diào)性

判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)++的值域等價于函數(shù)

g(x)=4sing1n

x+4COS-X的值域，而g(x+〃)=g(x),當xe[0,i]時，g(x)=4V2sin-x-\——再求值域.

223

【詳解】

因為小+f7C=4sin入+曰+43&1+葛77r171+4sinf|x+^j^/(x),故①錯誤;

=4cos—XH------

2212212

n3萬InVin，所以/'(x)=4sin&x+g)—4cos1兀171

當工￡時，-x+-e—XH——=4^/2sin|—x+—

23122423212

|JTTT1\rrTT3萬

了石所以/⑴在萬彳上單調(diào)遞增,故②正確;

函數(shù)/(%)=4sin(1gx+d71+4cosf^-x+y的值域等價于函數(shù)g(%)=4sin；x+4cos；x的值域，易知

23

g(x+i)=g(x),故當xe[O,捫時，g(x)=40sin[；x+g]e[4,4jl],故③正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

9.C

【解析】

否命題與逆命題是等價命題，寫出①的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價命題，寫出②的逆否命題后，

利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗證正確；寫出③的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.

【詳解】

①的逆命題為“若。＞6,則」一＜」一”，

a+2b+2

令a=-1,b=-3可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；

②的逆否命題為“若且＞＜0,則才”《1"，該命題為真命題，故②為真命題；

③的逆命題為“若直線％-7肛=0與直線2x-4y+l=0平行，則m=2"，該命題為真命題.

故選：C.

【點睛】

本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路：

⑴判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結構，即它的條件和結論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關的知識進行判

斷.

⑵當一個命題改寫成“若0,則4”的形式之后，判斷這個命題真假的方法：

①若由“。”經(jīng)過邏輯推理，得出“4”，則可判定“若0,則4”是真命題；②判定“若0,則4”是假命題，只需舉一反

例即可.

10.B

【解析】

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象關系進行判斷即可.

詳解：將函數(shù)丁=忘垣[2》-0]圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，

再將得到的圖象向左平移-個單位長度得到y(tǒng)=技譏(x--+-)=加(x,

43412

故選B.

點睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，結合。和9的關系是解決本題的關鍵.

11.C

【解析】

根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關系相關定理依次判斷各個選項可得結果.

【詳解】

對于A,當加為a內(nèi)與“垂直的直線時，不滿足加，4錯誤；

對于3,設。(3=1,則當加為a內(nèi)與/平行的直線時，mlip,但根ua,3錯誤；

對于C,由/九_L，，知：mlIn,又"J_a,C正確；

對于。，設。B=l,則當根為￡內(nèi)與/平行的直線時，mHa,。錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題考查立體幾何中線面關系、面面關系有關命題的辨析，考查學生對于平行與垂直相關定理的掌握情況，屬于基礎

題.

12.A

【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足4+?3<2a2,S21<0的基本量，根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.

【詳解】

{4}為等比數(shù)列，

若6+%<2%成立，有q(7-2q+l)<0,

因為d—2q+120恒成立，

故可以推出q<0且

若S2,T<0成立，

當q=l時，有q<0,

當qwl時，有止2_2<0,因為與匚〉0恒成立，所以有。［<0,

1-ql-q

故可以推出q<0,qeR,

所以y+%<2a2”是“邑,1<0”的充分不必要條件.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解，充分必要條件的集合關系，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.V13

【解析】

根據(jù)已知求出利用向量的運算律，求出『即可.

【詳解】

由a=(6,—1)可得|a|=7(A/3)2+(-1)2=2，

JI

則a?b=|a|?屹|(zhì)cosy=1,

所以|2a—切=J(2a—b)2=4a/+『=>/13-

故答案為:而

【點睛】

本題考查向量的模、向量的數(shù)量積運算，考查計算求解能力，屬于基礎題.

14.2

【解析】

運用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離，然后求解結果.

【詳解】

2

拋物線丫=2爐的標準方程為：x=-y,則拋物線的準線方程為丁=-』，設M(x”，為)，N(xN,yN),貝!!

28

\MF\+\NF\=yM+^+yN+^=^,所以則線段"N中點的縱坐標為必要上=2.

8842

故答案為：2

【點睛】

本題考查了拋物線的定義，由拋物線定義將點到焦點距離轉化為點到準線距離，需要熟練掌握定義，并能靈活運用,

本題較為基礎.

15.811

【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結合求得區(qū)域面積以及目標函數(shù)的最值.

【詳解】

不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：

數(shù)形結合可知，可行域為三角形，且底邊長BC=8,高為2,

故區(qū)域面積S=^x8x2=8；

2

令2=2x+y,變?yōu)閥=-2x+z,

顯然直線y=—2x+z過冬6,-1）時，z最大，故乙山=2x6—1=11.

故答案為：8；11.

【點睛】

本題考查簡單線性規(guī)劃問題，涉及區(qū)域面積的求解，屬基礎題.

16.1

【解析】

由已知條件得出4a2—4|a|.|b|.cos<a*〉+占2=3,可得-1。|-1=0,解之可得答案.

【詳解】

向量a,匕的夾角為,且|2a—切=若，|6|=1,可得：4。2一4|a|.g|.cos<a,6>+戶=3,

可得21al2—|。|一1=0,解得|。|=1,

故答案為:L

【點睛】

本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運算求向量的模，關鍵在于將所求的向量的模平方，利用向量的數(shù)量積化簡求解即可，屬

于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)單調(diào)增區(qū)間(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(—8,0),(2,+8)；(2)有2個零點，證明見解析；(3)c<-《

【解析】

(1)對函數(shù)〃尤)求導，利用導數(shù)/'(%)的正負判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間即可；

2

(2)函數(shù)g(x)=二-機,(x20)有2個零點.根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理即可證明；

ex

[21

(3)記函數(shù)F(x)=/(%)-(%--)=—-x+-,%>0，求導后利用單調(diào)性求得尸⑴?F(2)<0,由零點存在性定理及單

調(diào)性知存在唯一的/e(l,2),使E(%)=0,求得力(龍)為分段函數(shù),求導后分情況討論：①當X〉/時，利用函數(shù)的單

調(diào)性將問題轉化為2cW"⑺血的問題;②當0<x<x°時，當cWO時,〃(x)>0在(0,%)上恒成立，從而求得c的取

值范圍.

【詳解】

/、￡，，、2x-e-x-ex(2-x)力士人丁

(1)由題意知,/(%)=,八2=%，列表如下：

(e)e

X(-°o,0)0(0,2)2(2,+8)

/'(x)—0+0—

/(尤)極小值T極大值

所以函數(shù)/(%)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(—8,0),(2,+8).

Y

(2)函數(shù)g(%)=--%(尤20)有2個零點.證明如下:

ex

44

因為0<根<E時，所以冢2)二萬一相>0,

ee

因為g⑴==⑹,所以g(X)〉。在(0,2)恒成立,g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,

由g(2)>0,g(0)=-〃z<0,且g?)在(0,2)上單調(diào)遞增且連續(xù)知,

函數(shù)g(x)在(0,2)上僅有一個零點,

由⑴可得轉0時,⑺1rax,

V24

即土K；<1,故了之0時，/>必，

/e2

由人>必得師〉臼，平方得e赤〉所以g(2)<0,

mm7m

因為g'(x)=Mj：x),所以g'(x)<0在(2,-+W)上恒成立，

44

所以函數(shù)g(x)在(2,轉)上單調(diào)遞減，因為0<根</,所以赤〉2,

由g(2)>0,g(靠)<0,且g(x)在(2,一)上單調(diào)遞減且連續(xù)得

g(x)在(2,+8)上僅有一個零點，

V2...

綜上可知：函數(shù)g(x)=-----冽,(％20)有2個零點.

ex

1X21

(3)記函數(shù)/(%)=/(%)—(%—七)=二—］+±,%>0,下面考察方(%)的符號.

xexx

求導得尸(x)=xQ：x)—1_3,%>0.

ex-

當了22時廣(x)<0恒成立.

當0v%v2時，因為x(2—x)〈［正03f=i,

2

所以/(X)="2x)一］一_一_L<0.

exex"xx

：.「(無)<。在(0,+8)上恒成立，故F(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

143

VF(l)=->0,F(2)=—-2<o,F(l)-F(2)<0,又因為尸(x)在［1,2］上連續(xù),

ee2

所以由函數(shù)的零點存在性定理得存在唯一的不￡(1,2),使/(不)=0,

:.xG(0,x0),F(x)>0;xe(x0,+oo),F(x)<0,

因為忸㈤=%----/(%)，所以。(%)=<x

x2.

---CX,X>XQ

1H---2cx,0<xV/

X

：.h'(x)=<

x(2-%)0

-------------2cx,x>xQ

1y2

因為函數(shù)Kx）在（0,+8）上單調(diào)遞增,F（x0）=x0---------r=0,

xoe

所以/z'（x）＞0在（0,%0）,（乙,+8）上恒成立.

x（2—x）2—x

①當X〉不時，一上—2x20在（x°,+8）上恒成立，即2cv—i在⑺什⑹上恒成立.

exe

記"(x)=——,x>x0,貝！Ju'(x)=——,x>x0,

當x變化時，M(x),"(x)變化情況如下表：

X(%o,3)3(3,+8)

/(%)—0+

u{x}極小值T

”（X）min=獲（4極小="（3）=—/，

故2cVM（X）min=一/，即'w一

②當0＜%＜不時，h{x）=\+\-2cx,當cWO時，〃'（%）＞0在（0,%）上恒成立.

X

綜合（1）（2）知，實數(shù)c的取值范圍是c＜-

【點睛】

本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值和利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點個數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)

的取值范圍;考查轉化與化歸能力、邏輯推理能力、運算求解能力;通過構造函數(shù)歹（%），利用零點存在性定理判斷其零

點，從而求出函數(shù)例＞）的表達式是求解本題的關鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.

18.(1)3"-2"(2)見解析

【解析】

⑴取X—19則％=2〃；取x=2,則。0+%+%+/++。〃=3",

Sn=。]+%+/++an=3"-2〃；

2

⑵要證sn>(n-2)2"+2”2,只需證3">(n-l)2"+2n,

當”=4時，81>80；

假設當〃=左(左24)時，結論成立，即3*〉(4—1)2/+2/,

兩邊同乘以3得：3A1>3](Z—+—

而伏一3)2/+4/—4k—2=(左一3)2"+4(父—左—2)+6=(左一3)2"+4伏-2)伏+1)+6>0

3A+1>((k+1)-1)21+2/+Ip,即九=左+1時結論也成立，

...當時,3">(〃-1)2"+2〃2成立.

綜上原不等式獲證.

19.(1)證明見解析；(2)證明見解析；

【解析】

(1)推導出又。/〃咒,由以是AB的中點，能證明。是有中點.

(2)作QV，/3似于點N,推導出CNL平面？A5,從而CNLAB,由ABLPC,能證明AB,平面PMC,由

此能證明平面ABC±平面PMC.

【詳解】

證明：(1)在三棱錐P—A5C中，

MD〃平面PAC,平面ALBc平面Q4C=PA,

"Du平面

:.MD//PA,

在AR45中，加是AB的中點，二。是有中點.

(2)在三棱錐P-ABC中，ACBM是銳角三角形，

.,.在ACPM中，可作CNLPM于點N,

平面？A3,平面PMC,平面QABc平面=

CNu平面PMC,C7V_L平面R4B,

?.AB±PC,CNPC=C,

.?.AB，平面PMC,

ABu平面C4B,平面ABC，平面PMC.

【點睛】

本題考查線段中點的證明，考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算

求解能力，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題.

20.⑴一；⑵①加②m

-r+?=/Qu=—F-r.-H

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到a?,b2；

(2)聯(lián)立直線和橢圓，利用弦長公式可求得弦長AB,利用點到直線的距離公式求得原點到直線1的距離，從而可求

得三角形面積，再用單調(diào)性求最值可得值域.

【詳解】

(1)因為兩焦點與短軸的一個頂點的連線構成等腰直角三角形'所以二=.；：：，

又由右準線方程為二=：'得到-

解得21=<所以-

所以，橢圓-的方程為一

?+Da=J

⑵①設二(二口?而口(01)，貝L二.

.^9*二"+

因為點二二都在橢圓上，所以

_,將下式兩邊同時乘以再減去上式，解得，

藥+口：=/-1=」

313*j

U?m3一

所以_________r-_-—

□O=^C/+D/=J7+^=T

②由原點二到直線-的距離為:，得_，化簡得：；--二=二.

岳7

所以

J-C

的面積

因為—-_廠、在.?為單調(diào)減函數(shù),

并且當時，「，當.時,

C/T1J

所以----的面積-的范圍為.

L,?,I

【點睛】

圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖

形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法：若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)

的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構造不等關系，從而確定參數(shù)

的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取

值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.

21.(1)答案見解析.(2)叵

7

【解析】

(1)根據(jù)題意可得PB=PZ)=R4=PC=20，在ZWIM中，利用余弦定理可得AM_LF5,然后同理可得

CMLPB,利用面面垂直的判定定理即可求解.

ULUU

(2)以。為原點建立直角坐標系，求出面PDC的法向量為4,的法向量為〃2,利用空間向量的數(shù)量積即可

求解.

【詳解】

(1)由AB=2nAC=20

由ZAPC=^^PA=PC=AC=2A/2

因為是正四棱錐，故PB=PD=PA=PC=2血

于是BM=也,PM=-42

22

由余弦定理，在△243中，設NAP5=e

尸發(fā)+PB?-AB?3

cos61=

2PAPB-4

再用余弦定理，在Zk/XM中，

7

AM2=+PM2-2PAPMcos3=~

2

71

AM2+MB2=-+-=4=AB2

22

，/AMB是直角，AM±PB

同理CMLPB,而P5在平面P5C上，

:.平面AMC±平面PBC

(2)以。為原點建立直角坐標系，如圖:

z

y

則D(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),P(l,l,巫),BQ,2,0)

uuu

設面PDC的法向量為4,AMC的法向量為%

則%=PDxDC=(0,276,-2)

nJ/PB,取巧=尸8=(1,1,_廂

于是，二面角。的余弦值為：cose=