2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：一元二次方程的概念和解法 專項(xiàng)練習(xí)

一元二次方程的概念和解法專項(xiàng)練習(xí)

一、課標(biāo)導(dǎo)航

課標(biāo)內(nèi)容課標(biāo)要求目標(biāo)層次

了解一元二次方程的概念，會(huì)將一元二次方程化為一般形式，并指出各

★

項(xiàng)系數(shù)

一元二次方程的概念了解一元二次方程的根的意義★

能由一兀一次方程的概念確定一次項(xiàng)系數(shù)中所含字母的取值范圍★★

會(huì)由方程的根求方程中待定系數(shù)的值★★

理解配方法，會(huì)用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解簡單

★

的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，理解各種解法的依據(jù)

一元二次方程的解法能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭铩?/p>

會(huì)用配方法對(duì)代數(shù)式作簡單的變形

會(huì)解可化為一兀一次方程的方程或方程組

二、核心綱要

1.一元二次方程的概念

⑴一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.

⑵一元二次方程的一般形式■.（ax2+bx+c=O（a,b,c是常數(shù)a豐0）,a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng).

注意：對(duì)于關(guān)于x的方程收+"+c=0,當(dāng)a手0時(shí)，方程是一元二次方程；當(dāng)a=0且b乎0時(shí)，方程是一元一次方程.

2.一元二次方程的解法

⑴直接開平方法

①必=a(a>0)可得:.x=+Va

@(x+a)2=b(b>0)可得：x+a=±VF

(3)(ax+b)2=c(c>0)可得：ax+b=+Vc

④(ax+b)2=(ex+d)2(|a|豐|c|)可得:(ax+b=±(cx+d)

（2）配方法：解形如ad+.+c=0（a,b,c是常數(shù)，a豐0）的一元二次方程.

運(yùn)用配方法解一元二次方程的一般步驟是：

①二次項(xiàng)系數(shù)化1；②常數(shù)項(xiàng)右移；③配方（兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方）；

④化成（（x+mY=n的形式；⑤若n>0,選用直接開平方法得出方程的根.

注：若二次函數(shù)系數(shù)為I,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，通?？紤]用配方法解方程.

（3）公式法

運(yùn)用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c是常數(shù),a/））的一般步驟是：

①把方程化為一般形式；②確定a、b、c的值；③計(jì)算（/-4ac的值；

④若b2-4ac>0,,則代入公式求方程的根；⑤若（b2-4ac<0,則方程無實(shí)數(shù)根.

（4）因式分解法：適用于方程一邊是零，另一邊是一個(gè)易于因式分解的多項(xiàng)式.

注：若/-4ac為完全平方數(shù)（或式）,用十字相乘法解方程比較簡單.

3.一元二次方程解法的靈活運(yùn)用

直接開方法，配方法，公式法，因式分解法.在具體解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)題目的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)慕夥?

（1）因式分解法：適用于右邊為。（或可化為0）,而左邊易分解為兩個(gè)一次因式積的方程，缺常數(shù)項(xiàng)或含有字母系數(shù)的方程用因式

分解法較為簡便，它是一種最常用的方法.

⑵公式法：適用于任何形式的一元二次方程，但必須先將方程化為一般形式，并計(jì)算b2-4ac的值.

(3)直接開平方法：用于缺少一次項(xiàng)以及形如?=七或(x+a)2=b(b>0)或(ax+b)2=(ex+d)?的方程，能利用平方根的

意義得到方程的根.

(4)配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演繹得到的.把一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,

b,c為常數(shù)，a彳0)轉(zhuǎn)化為它的簡單形式((久+m)2=%這種轉(zhuǎn)化方法就是配方.

4.解可化為一元二次方程的方程或方程組

⑴解方程組：通常采用消元或換元進(jìn)行變形.

⑵解分式方程：通常采用去分母或換元進(jìn)行變形.

⑶解高次方程：通常采用因式分解或換元進(jìn)行變形.

本節(jié)重點(diǎn)講解：一個(gè)定義，四種解法，一個(gè)思想(轉(zhuǎn)化)

三、全能突破

基礎(chǔ)演練

1.下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是().

43(x+1)2=2(x+1)B.—-------2=0

C.ax2+bx+c=0D.x2+2x=x2—1

2.方程/=o的根的個(gè)數(shù)是().

A.I個(gè)B.2個(gè)C.0個(gè)D.以上答案都不對(duì)

3.已知x=3是關(guān)于x的方程-2a+1=。的一個(gè)解，則2a的值是().

A.llB.12C.13D.14

4.方程((m+2)/1nl+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為

5.用直接開平方法解下列關(guān)于x的一元二次方程：

(l)2x2-8=0;(2)25-l6x2=0;(3)(1-x)2-9=0;(4)9(x-1)2=16(x+2)2.

6.用配方法解下列關(guān)于x的一元二次方程：

(l)x2+12x=9964;(2)9久2—12x=1.

7.用因式分解法解下列關(guān)于x的一元二次方程：

(l)x2—25=0;(2)(x+I)2=(2x—l)2;(3)x2—2x+1=4;(4)x2=4x.

8.選擇適當(dāng)方法解下列方程：

(1)3(1+x)2=6;(2)(x+3)(x+6)=-8;

(3)x2-4x+1=0;(4)3/-4x-l=0;

(5)3(x-l)(3x+l)=(x-l)(2x+5).

能力提升

9.關(guān)于X的方程((a?_a-2)x2+ax+b=0是一元二次方程的條件是().

A.a齊2且a=lB.ar2C.a聲且a齊1D,a=-l

10.(1)當(dāng)k時(shí)，關(guān)于x的方程。kx2+2X=X2+3是一元二次方程.

(2)若方程(m-1)久2+Vm-x=1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是」

11.(1)已知方程(x-a)(x-3)=0和方程X2-2X-3=0的解相同，則a=__.

(2)三角形的兩邊長分別為3cm和6cm,第三邊是方程x2-6x+8=。的解，則這個(gè)三角形的周長是____.

(3)已知a、3是直角三角形的兩邊，第三邊的長滿足方程x2-9%+20=0,則a的值為

12.解下列關(guān)于x的方程：

(l)fcx2+(3k+l)x+3=0;(2)mx2—(3m+2)x+2m+2=0.

13.(1)已知x、y為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式x2+y2+2x-4y+7的最小值.

(2)已知x2+y2+4x-6y+13=0,x、y為實(shí)數(shù),求x?的值

14.閱讀材料：為解方程(d-I7-5(d-1)+4=0我們可以將(x2-1)看做一個(gè)整體，然后設(shè)(/-1)=y①,，那么原方程可

22222

化為y—5y+4=0,解得yx=l,y2=4.當(dāng)y=1時(shí),x—1=1,x-2,x-±V5;當(dāng)y=4時(shí),x-1=4,x-5,x=

±岔,故原方程的解為久i=V2,x2=-V2,x3=V5,x4=-V5.

解答問題：(1)上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用—法達(dá)到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；

⑵請利用以上知識(shí)解方程x4-x2-6=0.

15.解方程(組):

x2+y2=2,

⑵&=/+丫+1；(3)%4-3%2+2=0.

.久+y=2;

16.(1)已知x=l是一元二次方程ax2+bx-40=。的一個(gè)根，且aWb,求尸?的值.

ZQ-ZD

(2)已知a是方程x2-2013%+1=。的一個(gè)根，求a?-2012a+駕■的值.

17.觀察下列方程和等式，尋找規(guī)律，完成問題：

①方程x2—7%+6=0,%i=1,%2=6,而x2-7x+6=(x-1)(x-6);

22

②方程x-4%-5=0,%i=5,%2=T,而x-4x-5=(x-5)(x+1);

③方程4程-12%+9=0,%1=|,%2=|,而4/-12x+9=4(x-1)(x-|);

④方程3%2+7%+4=0,%i=-=-1而3%2+7%+4=3(%+；)(%+1);

(1)解決問題：根據(jù)上述材料將下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：

①久2—X—2;

@2x2+3久—2.

⑵探究規(guī)律：把關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(aHO，/-4ac>0)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解.

⑶在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解x2-3x+1.

18.觀察下列方程：

①2x2-27x+91=0;②2x2-23x+66=0;③2x2-j9x+45=0;?2x2-l5x+28=0;⑤2x?-1lx+15=0;...上面每一個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)都是2,各個(gè)方

程的解都不同，但每個(gè)方程/-4ac的值均為1.

⑴請你寫出兩個(gè)方程，使每個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)都是2,且每個(gè)方程的/-4ac的值也都是1,但每個(gè)方程的解與已知的5個(gè)方

程的解都不相同.

2222

⑵對(duì)于一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(aH0,/_4ac>0),能否作出一個(gè)新方程ax+b'x+c'=0,使b-4ac與b'

-4ac'相等？若能，請寫出所作的新的方程(b，,d需用a,b,c表示),并說明理由；若不能，也請說明理由.

19.已知1是關(guān)于x的一元二次方程(?n-l)x2+x+l=。的一個(gè)根，則m的值是().

A.lB.-1C.OD.無法確定

20.用配方法解方程/-2久-1=0時(shí)，配方后所得的方程為().

A.(x+I)2=08.(x-1)2=0C.(x+l)2=2D.(x-1)2=2

21.對(duì)于實(shí)數(shù)a、b,定義運(yùn)算“*”:(a*b=潴:加列如4*2,因?yàn)?>2,所以4*2=M-4X2=8..若xx,x?是一元二次方程V

-5x+6=0的兩個(gè)根，則Xi*x2=__.

22.解關(guān)于x的方程.ax2+bx+c=0.

巔峰突破

23.若/-|2x-1|-4=0,,則滿足該方程的所有根之和為__.

2

24.已知:xjxl是關(guān)于x的方程aEx-4aEx+4aB-n=0(或>皿+1)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x0<x'?,其中n為正整數(shù)，且。ax=1.

(l)x'i-Xi的值為____.

(2)當(dāng)n分別取1、2、…、2013時(shí)，相對(duì)應(yīng)的有2013個(gè)方程，將這些方程的所有實(shí)數(shù)根按照從小到大的順序排列，相鄰兩數(shù)

的差恒為(的，-打)的值,則%，2013—%2012=--------.

1.A2.B3.C4.2

5.(l)%i=2,&=-2,(2)%i=|,x2=一7七(3)%1=4,%2=-2;(4)%i=-11,%2=一］

2+V52—Vs

6.(l)%i=94,%=—106;(2)%i=-

2----3--->-%22=3-

-

7.(1)%1=5,x2=-5,(2)%i=0,%22=2,(3)%1=3,%2=1(4)%1=0,%2=4.

8.(1)%1=-1+V2,%2=-1-四(2)無實(shí)數(shù)根；

(3)%i=2+V3,x2=2—V3;

(4)%i=(5)%1=lfx2=

能力提升

9.C10.(1)^1(2)m>0B.m^l

ll.(l)-l(2)13cm(3)/7.5.4,/34.

12.⑴當(dāng)k=0時(shí),x=-3;當(dāng)k#0時(shí),%i=-3,X2=-p

(2)當(dāng)m=0時(shí),x=l;當(dāng)m#0時(shí),x±=l,x2=

3.(I)%2+y2+2.x—4y+7=(%+l)2+(y-2)2+2之2,???最小值為2

(2)vx2+y2+4%-6y+13=0.??(%+2)2+(y-3)2=0.Ax=-2.y=3.Axy=(-2)3=-8.

14.⑴換元

(2)設(shè)%2=y,那么原方程可化為y2-y-6=0,

解得月=3,、2=-2

當(dāng)y=3時(shí),%2=3,:.x=±V3.

當(dāng).y=-2時(shí)％2=_2(舍去).

二?原方程的解為：％1=V5,%2=-V3

15.⑴y~(2)經(jīng)檢驗(yàn)，原方程的解為X1=-2,X2=1(3)%1=-1,%2=1,%3=V2,xt=-V2.

16.(l)Vx=l是一元二次方程ax2+b%-40=0的一個(gè)根，.??a+b-40=0.

。2-匕2_（。+匕）（。一匕）_a+b

2a-2b2(a-b)2

(2)由已知得a2=2013a-l.

則原式=(2013a-1)-2。12a+而昔