江蘇省南師大灌云附中灌南二中高三上學(xué)期10月階段性聯(lián)考試題數(shù)學(xué)

20232024學(xué)年度第一學(xué)期高三階段性聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題命題人：審核人：注意事項(xiàng)：1．考試時(shí)間120分鐘，試卷滿分150分.2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.3．請(qǐng)用2B鉛筆和0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上指定區(qū)域內(nèi)作答.一、單選題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.2.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)A. B. C. D.3.袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球．從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為A. B. C. D.14.已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b5.函數(shù)y=的圖象可能是A. B.C. D.6若，則A. B. C.1 D.7.已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（）A.14 B.12 C.6 D.38.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.1二、多選題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)史知識(shí)的積累情況，隨機(jī)抽取150名同學(xué)參加數(shù)學(xué)史知識(shí)測(cè)試，測(cè)試題共5道，每答對(duì)一題得20分，答錯(cuò)得0分．得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測(cè)試成績(jī)百分比分布圖如圖所示，則（）A.該次數(shù)學(xué)史知識(shí)測(cè)試及格率超過(guò)90%B.該次數(shù)學(xué)史知識(shí)測(cè)試得滿分的同學(xué)有15名C.該次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)大于測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)D.若該校共有1500名學(xué)生，則數(shù)學(xué)史知識(shí)測(cè)試成績(jī)能得優(yōu)秀的同學(xué)大約有720名10.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的有（）A.B.函數(shù)在上為增函數(shù)C.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸D.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心11.已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.ab最大值為 B.的最小值為4C.的最大值為1 D.的最小值為312.設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則拋物線C的方程為（）A B. C. D.三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．14.若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)_____.15.過(guò)三點(diǎn)，，圓的方程是______．16.已知雙曲線，直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率等于________．四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求面積的最大值．18.如圖，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求銳二面角的余弦值．19.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)，為C的左，右頂點(diǎn)．P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，與C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．（1）求C的方程；（2）證明：直線MN過(guò)定點(diǎn)．22.某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天需求量X(單位:瓶)的分布列.(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?

20232024學(xué)年度第一學(xué)期高三階段性聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題命題人：審核人：注意事項(xiàng)：1．考試時(shí)間120分鐘，試卷滿分150分.2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.3．請(qǐng)用2B鉛筆和0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上指定區(qū)域內(nèi)作答.一、單選題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合，再利用集合的交集運(yùn)算即可得到結(jié)論．【詳解】，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，考查了一元二次不等式的解法，比較基礎(chǔ)．2.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：，故選A．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．3.袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球．從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由從共有15個(gè)球中任取2個(gè)球，共有種不同的取法，其中所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球，共有種不同的取法，再利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解．【詳解】由題意，從共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，任取2個(gè)球，共有種不同的取法，其中所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球，共有種不同的取法，所以概率為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列、組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b【答案】B【解析】【分析】由題意利用離心率的定義和的關(guān)系可得滿足題意的等式.【詳解】橢圓的離心率,化簡(jiǎn)得,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查.5.函數(shù)y=的圖象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號(hào)，即可判斷選擇.詳解：令，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r(shí)，，所以排除選項(xiàng)C，選D.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．6.若，則A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由，得或，所以，故選A．【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，倍角公式．【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)求值：①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過(guò)相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三角函數(shù)值；②“給值求值”關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系．7.已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（）A.14 B.12 C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.8.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋砸李}可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．故選：B.二、多選題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)史知識(shí)的積累情況，隨機(jī)抽取150名同學(xué)參加數(shù)學(xué)史知識(shí)測(cè)試，測(cè)試題共5道，每答對(duì)一題得20分，答錯(cuò)得0分．得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測(cè)試成績(jī)百分比分布圖如圖所示，則（）A.該次數(shù)學(xué)史知識(shí)測(cè)試及格率超過(guò)90%B.該次數(shù)學(xué)史知識(shí)測(cè)試得滿分的同學(xué)有15名C.該次測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)大于測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)D.若該校共有1500名學(xué)生，則數(shù)學(xué)史知識(shí)測(cè)試成績(jī)能得優(yōu)秀的同學(xué)大約有720名【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用扇形圖的數(shù)據(jù)得到及格率，B選項(xiàng)先求出滿分所占百分比，進(jìn)而求出滿分學(xué)生人數(shù)；C選項(xiàng)，求出中位數(shù)和平均數(shù)，比出大??；D選項(xiàng)先求出抽取的學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀率，再估算出數(shù)學(xué)史知識(shí)測(cè)試成績(jī)能得優(yōu)秀的同學(xué)人數(shù)【詳解】由圖知，及格率為，故A正確．該測(cè)試滿分同學(xué)的百分比為，即有名，B錯(cuò)誤．由圖知，中位數(shù)為80分，平均數(shù)為分，故C正確．由題意，1500名學(xué)生成績(jī)能得優(yōu)秀的同學(xué)有，故D錯(cuò)誤．故選：AC10.已知函數(shù)的最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的有（）A.B.函數(shù)在上增函數(shù)C.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸D.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)降冪公式和輔助角公式化一，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性逐一判斷即可.【詳解】，則，所以，故A正確；所以，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上為增函數(shù)，故B正確；因?yàn)?，所以直線不是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故D正確.故選：ABD.11.已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.ab的最大值為 B.的最小值為4C.的最大值為1 D.的最小值為3【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式即可判斷AC；根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可判斷BD.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以ab的最大值為，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為3，故D正確.故選：ABD.12.設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則拋物線C的方程為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】結(jié)合拋物線的定義求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，求得，由此求得拋物線的方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€C的方程為，所以焦點(diǎn)，設(shè)，由拋物線的性質(zhì)知，得．因?yàn)閳A心是MF的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得圓心的橫坐標(biāo)為，由已知得圓的半徑也為，故該圓與y軸相切于點(diǎn)，故圓心的縱坐標(biāo)為2，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4，即，代入拋物線方程，得，解得或．所以拋物線C的方程為或．故選：AC三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得．【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案：．14.若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)_____.【答案】.【解析】【分析】求出球的半徑即可.【詳解】解：因?yàn)檎襟w的頂點(diǎn)都在同一球面上，所以球的直徑為正方體的對(duì)角線，所以，所以，故球的表面積：.故答案為：.15.過(guò)三點(diǎn)，，的圓的方程是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓心經(jīng)過(guò)弦的中垂線可先求得圓心的坐標(biāo)，再根據(jù)圓心到圓上的點(diǎn)的距離為半徑求解即可【詳解】由題，設(shè)，，，則的中垂線方程為，又和的中點(diǎn)為，且直線的斜率為，故直線的中垂線斜率為1，故直線的中垂線方程為，即，故圓心的坐標(biāo)為與的交點(diǎn)，半徑，故圓的方程為故答案為：16.已知雙曲線，直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率等于________．【答案】##【解析】【分析】將代入雙曲線方程可求，將代入雙曲線可求，根據(jù)，得出的齊次式，從而可求離心率.【詳解】將代入，得，即，解得，所以，將代入，得，即，解得，所以，因?yàn)椋?，即，所以，所以雙曲線C的離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合三角形得內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可得解；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最大值，再結(jié)合三角形的面積公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，又，所以，即，又，則，所以，又因，所以；【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即面積的最大值為．18.如圖，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）【解析】【分析】（1）利用中位線定理證得，再利用線面平行的判定定理即可證得；（2）易證，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出面的法向量與面的法向量，進(jìn)而求出，故得到銳二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】連結(jié),交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)樵谥比庵?，面是矩形，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?平面,所以平面；【小問(wèn)2詳解】由，可知,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，,,,，設(shè)是平面的法向量，則，即，可??；同理，設(shè)是平面的法向量，則，即，可取，從而，所以銳二面角的余弦值為.19.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）．【解析】【詳解】分析：（1）利用與關(guān)系式即可求出；（2）裂項(xiàng)相消法求和.詳解：（1）由，知.兩式相減，得，即.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，解得（舍去）?所以是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為.（2）由可知.∴.點(diǎn)睛：利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等．20.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值．【答案】(1)f(x)＝x＋；(2)證明見(jiàn)解析【解析】【詳解】(1)解f′(x)＝a－，解得或因?yàn)閍，b∈Z，故f(x)＝x＋.(2)在曲線上任取一點(diǎn)，由f′(x0)＝1－知，過(guò)此點(diǎn)的切線方程為y－＝[1－](x－x0)．令x＝1，得y＝，切線與直線x＝1的交點(diǎn)為(1,)；令y＝x，得y＝2x0－1，切線與直線y＝x的交點(diǎn)為(2x0－1,2x0－1)；直線x＝1與直線y＝x的交點(diǎn)為(1,1)，從而所圍三角形的面積為|2x0－1－1|＝2.所以，所圍三角形的面積為定值2.21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)，為C的左，右頂點(diǎn)．P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，與C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．（1）求C方程；（2）證明：直線MN過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程，求得，即可得到C的方程；（2）根據(jù)題意，分別得到的坐標(biāo)，然后分直線的斜率存在以及不存在分別討論，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意可設(shè)雙曲線方程為，左焦點(diǎn)為，則，離心率為，則，則，，則C的方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，為C的左，右頂點(diǎn)，P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，所以，設(shè)，，則直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，消去可得，方程兩根為，由韋達(dá)定理可得，所以，，即；設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，消去可得，方程兩根為，由韋達(dá)定理可得，則，，即；由對(duì)稱性可知，若直線過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)