2023北京石景山高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京石景山高二（下）期末數(shù)學(xué)本試卷共8頁，共分．考試時長分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．Ax2x4=?B=2,3,4,5，A1.設(shè)集合，則（）22,33,4C.2,3,4D.A.B.1f(x)=x3?,2.設(shè)函數(shù)則f(x)（）x3A.是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增C.是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減D.是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減43.某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是51696256625A.B.C.D.625625(?)5=ax5ax4ax3ax2axa，則+++++a+a+a+a+a=4.若x2A.?32（）5432101C.）2345B.?D.325.設(shè)x，則x?21是R“”“x2+x?20”的（A.充分而不必要條件C.充要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件6.某班級要從4名男士、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為A.14B.C.D.48g(x)=?x2+2lnx的圖象大致是（）7.函數(shù)A.B.C.D.是等差數(shù)列下列結(jié)論中正確的是an8.設(shè).a+a0a+a0a+a0a+a0，則12A.若，則B.若D.若122313C.若01aaaaa0(a2?)(?)20a1a，則，則221313，若x=a為函數(shù)f(x)=a(x?a)(x?b)的極大值點(diǎn)，則（）29.設(shè)a0A.abB.abC.aba2D.aba2=a=1；②b1；③c10.若集合{a,b,c,d}2,3,4,且下列四個關(guān)系：①；④d4有且只有一個是正(a,,c,d)確的，則符合條件的有序數(shù)組的個數(shù)是（）A.7B.6C.5D.4第二部分（非選擇題共60分）二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．1235()=()=，PAP(B|A)，則等于______．已知PAB?x1,x12()=fx，則使得()成立的的取值范圍是fx2x________.12.設(shè)函數(shù)12,x1x13.若隨機(jī)變量X的分布列為X0121313Paa=D(X)1nD(X)=為隨機(jī)變量X的方差，則______則______，)x?nN*的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n可以為______14.二項(xiàng)式x即可）15.已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足Sn=n=．給出下列四個結(jié)論：anaS9(nnn①的第23；②為等比數(shù)列；aann1③為遞減數(shù)列；④中存在小于的項(xiàng)．a(chǎn)ann其中所有正確結(jié)論的序號是__________．三、解答題共5小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．()=(?)xfxx1e16.已知函數(shù)（1）判斷函數(shù)()的單調(diào)性，并求出()的極值；fxfxy=fx()的大致圖像；（2）在給定的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)（3）討論關(guān)于x的方程f(x)?a=0(aR)的實(shí)根個數(shù)．的前項(xiàng)和為，=，，anSnS318，且1a2a4成等比數(shù)列．17.已知公差不為0的等差數(shù)列n（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；an1n的前項(xiàng)和T．n（2）求數(shù)列Sn18.某同學(xué)參加甲、乙、丙3門課程的考試，設(shè)該同學(xué)在這3門課程的考試中取得優(yōu)秀成績的概率分別為231,,，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨(dú)立．342（1）求該同學(xué)這3門課程均未取得優(yōu)秀成績的概率．（2）求該同學(xué)取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)X的分布列和期望．1()=，()．fxxgx=1?19.設(shè)x0，x（1）分別求函數(shù)()，()在點(diǎn)()處的切線方程；gx1,0fx（2）判斷()與()的大小關(guān)系，并加以證明．gxfx20.100名學(xué)生，他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示．（I）求合唱團(tuán)學(xué)生參加活動的人均次數(shù)；（II）從合唱團(tuán)中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率．（III）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望E．參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】B【分析】利用交集的定義可求AB.AB=3，【詳解】由題設(shè)有故選：B.2.【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域?yàn)閤x，利用定義可得出函數(shù)()fx為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性法則，即可解出．1f(x)=x3?xx0(?)=?()fxfx，【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，其關(guān)于原點(diǎn)對稱，而x3所以函數(shù)()為奇函數(shù)．fx又因?yàn)楹瘮?shù)y=x3在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，1==x?3在y而上單調(diào)遞減，x31f(x)=x3?3所以函數(shù)故選：A．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增．x【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意，播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽即4次獨(dú)立重復(fù)事件恰好發(fā)生2次，由n次獨(dú)立重復(fù)事件恰好發(fā)生k次的概率的公式可得，41596()=2422=P2C()()45625故選B．4.【答案】C【分析】利用賦值法可求出結(jié)果.(?)【詳解】在x25=++++ax5ax4ax3a2x2axa中，543+10令x=1，得1=01a23a4+a++++，5令x=0，得?32=a，0a+a+a+a+a=?1+32=31所以.12345故選：C5.【答案】A【分析】求絕對值不等式、一元二次不等式的解集，根據(jù)解集的包含關(guān)系即可判斷充分、必要關(guān)系.x?21，可得1x3x；【詳解】由，即x2+x?2=(x?x+2)0，可得x<?2或x1，即x(?,2)+)；由∴是(?,2)+)的真子集，x?21”是“x2+?故“x20”的充分而不必要條件.故選：A6.【答案】A【詳解】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男兩種情況，故不同的選派方案種數(shù)為．故選A.法二：從4男2女中選4人共有種選法，4名都是男生的選法有種，故至少有1名女生的選派方案種數(shù)為7.【答案】C-=15-1=14．故選A2【詳解】試題分析：由題：g(x)=?x+2lnx，求導(dǎo)得：g(x)=2x+(x0)，即：2x2x+22=g(x)(x0)x?2x2+2x?10,12()為增區(qū)間，+)g=1，得圖為為減區(qū)間．令：C考點(diǎn)：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).8.【答案】Ca=a=?a=?4a+a0a+a0【詳解】先分析四個答案，A舉一反例，而，A錯誤，B舉1231223a=a=?a=?4a+a0a+a0，B錯誤，同樣反例，，而1231312a?a=d,a?a=?d,(a?a)(a?a)=?d故D錯，2D選項(xiàng)，21322132下面針對C進(jìn)行研究，是等差數(shù)列，若01aa，則1設(shè)公差為d，則，數(shù)列各項(xiàng)均為d0an2a22?aa=(a+d)2?a(a+2d)=a21+21d+d2?12?2d=d202a131正，由于，則13111aaa，113故選C.考點(diǎn)：本題考點(diǎn)為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體，考查不等關(guān)系問題，重點(diǎn)是對知識本質(zhì)的考查.9.【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對進(jìn)行分a,b所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).類討論，畫出圖象，即可得到【詳解】若a=b，則fxaxa為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故a()=(?)3.fx()x=a有x=a和x=b兩個不同零點(diǎn)，且在xb=左右附近是不變號，在左右附近是變號的.意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在x=a的圖象如下圖所示：左右附近都是小于零的.()fxf(x)當(dāng)0時，由xb，0，畫出由圖可知ba，0，故aba2當(dāng)a0時，由xb時，f(x)0，畫出()的圖象如下圖所示：fx由圖可知b，a0，故aba2.a綜上所述，aba2成立.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.10.【答案】B【分析】因?yàn)棰賏；②b1；③c；④d4中有且只有一個是正確的故分四種情況進(jìn)行討論分別,,分析可能存在的情況即可.【詳解】若僅有①成立,則a=1必有b1成立,故①不可能成立；若僅有②成立,則a1,b1,c2,d成立,此時有(2,4),4)兩種情況；若僅有③成立,則a1,b=1,c,d成立,此時僅有4)成立；若僅有④成立，則a1,b=1,c2,d4成立此時有2),2)三種情況，,(a,,c,d)綜上符合條件的所有有序數(shù)組的個數(shù)是6個，故選：B第二部分（非選擇題共60分）二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．56【答案】【分析】直接根據(jù)條件概率公式求解可得結(jié)果.1235()=()=PA，PAB【詳解】因?yàn)椋?P(AB)P()5623PB|A=所以()==.55故答案為：.6(,412.【答案】f(x)2【分析】分x1和x1兩種情況討論從而解不等式即可.【詳解】當(dāng)x1時，由f(x)2x?11，又因?yàn)閤1，所以x1；，得2x12，所以f(x)212當(dāng)x1時，由，得，所以x4，又因?yàn)閤1，所以1x4.x2所以滿足f(x)2(,4成立的的取值范圍為x.故答案為：(,4.12313.【答案】①..3a【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出，根據(jù)方差公式求出D(X).1113++a=1a=，得.【詳解】由題意得3311313E(X)=0+1+2=1，3111323D(X)01=(?)2+(?)11221+(?)2=.33123故答案為：；.3n14.【答案】3（答案不唯一，為3的倍數(shù)的正整數(shù)均可）x【分析】在通項(xiàng)公式中，令的指數(shù)為0，可求出結(jié)果k13n?k【詳解】T=Cknxn?k?=(?kCknx2，k=，k1x3n?k=02n=knn，因?yàn)閗為整數(shù)，為正整數(shù)，所以k為偶數(shù)，為3的倍數(shù)的正整數(shù).令，得2n故答案為：3（答案不唯一，為3的倍數(shù)的正整數(shù)均可）.15.【答案】①③④99a=n?a1a、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性2【分析】推導(dǎo)出，求出nn1的定義可判斷③.0，【詳解】由題意可知，nN，an當(dāng)n=1時，a21=9，可得a1=3；9999S=nS=a=?當(dāng)n2時，由可得，兩式作差可得n，n1nan1nn1999=?a?2=3+2?9=0a22所以，，則，整理可得，nan1an235?3a02=3，①對；因?yàn)?，解?22981假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則q=1a，即=，ana223S21S31+q)a，可得121+q+q2)S22=1S22=1q=0，解得，不合乎題意，所以，3故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；an(?)999aa0，可得nn1，所以，數(shù)列a為遞減數(shù)列，③對；na=n?=n1n當(dāng)n2時，anan1anan111假設(shè)對任意的nN，an，則S100000=1000，100100991a=所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.1000100故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在推斷②④的正誤時，利用正面推理較為復(fù)雜時，可采用反證法來進(jìn)行推導(dǎo).三、解答題共5小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)(,0)+，單調(diào)遞減區(qū)間為?；極小值為1，無極大16.1）函數(shù)值（2）圖象見解析3）答案見解析）由導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性以及極值；y=f(x)的大致圖像；（2）由單調(diào)性畫出函數(shù)（3）畫出函數(shù)()與函數(shù)y=a的簡圖，由圖像得出方程根的個數(shù).fx【小問1=x+?x=xf(x)e(xex0f(x)0x0f(x)0，即函數(shù)()的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+)，單調(diào)遞減區(qū)間為(?,0)fx極小值為f(0)=1，無極大值.【小問2當(dāng)x0時，f(x)0；當(dāng)x→時，f(x)→f=0，且y=f(x)的大致圖像，如下圖所示結(jié)合單調(diào)性，可畫出函數(shù)【小問3畫出函數(shù)()與函數(shù)y=a的簡圖，如下圖所示fx由圖可知，當(dāng)a?1時，方程f(x)?a=0aR()沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)a=?1或a0()?=()只有一個實(shí)數(shù)根；fxa0aR時，方程當(dāng)1a0時，方程f(x)?a=0aR()有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；a=nn17.1）2n(+)3n1=（2）n）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)與等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可；an1n（2）根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，再裂項(xiàng)求和求解即可Sn【小問1設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由S=18，得1+d=183，即a+d=61，由，aa1aa，成等比數(shù)列，4n2(+)2=(+)++=+a=d1a=3=，d3，故數(shù)1得adaad，即a2121dd2121d，又d0得，所以111列的通項(xiàng)公式為a=nn．a(chǎn)n【小問2(+)(+)12211nn3nn1a=nn==?==，由，得Sn，所以Snn(n+)3nn+122111211111+n=++1S2Sn3223nn121n+12n(+)3n1=1?=．3118.1）242312（2）分布列見解析；期望為）由獨(dú)立事件的乘法公式代入即可得出答案.（2）X的可能取值為【小問12,3，分別求出其對應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望.2311?1?11?=該同學(xué)這3門課程均未取得優(yōu)秀成績的概率.342【小問2X的可能取值為2,3，所以2313421(=0)=??1?=，PX112312312313423423421(=)=PX1??+?=?+?1?1111142312312111134234234224(=)=?+?+1?=，PX211231=)==14(PX2，342該同學(xué)取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)X的分布列：XP012311112412444111112312()=+++=EX0123.期望244244()處的切線方程為??=，()在點(diǎn)()處的切線方程為1,0xy10gx1,019.1）f(x)點(diǎn)x?y?1=0；f(x)g(x)（2），證明見解析.）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果；（2）作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證結(jié)論成立.【小問11f(x)=xf(x)=f1f=