“四維四步”：基于思維可視化的小學(xué)計(jì)算深度學(xué)習(xí)范式

【摘要】計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，比較抽象。在小學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)中，教師要借助思維可視化手段，將抽象的計(jì)算表象化，使計(jì)算學(xué)習(xí)過(guò)程外顯。“四維四步”是計(jì)算深度學(xué)習(xí)的思維可視化模型，包含了計(jì)算學(xué)習(xí)算、析、辨、結(jié)四個(gè)過(guò)程和動(dòng)作可視化、圖像可視化、語(yǔ)言可視化、符號(hào)可視化四種策略。四個(gè)維度的思維可視化策略對(duì)應(yīng)計(jì)算學(xué)習(xí)的四個(gè)過(guò)程，但不一一對(duì)應(yīng)。教師可以利用四維思維可視化策略在計(jì)算學(xué)習(xí)過(guò)程中的整體性、階段性和交融性等特征，幫助學(xué)生達(dá)到計(jì)算深度學(xué)習(xí)?！娟P(guān)鍵詞】“四維四步”；思維可視化；小學(xué)計(jì)算；數(shù)與運(yùn)算計(jì)算內(nèi)容占據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的大部分，是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，比較抽象?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)（2022版）》）多次提及數(shù)與運(yùn)算的一致性，旨在將小學(xué)計(jì)算知識(shí)結(jié)構(gòu)化，這也是計(jì)算深度學(xué)習(xí)的最高層次。然而計(jì)算學(xué)習(xí)的過(guò)程較為抽象，學(xué)生大多以計(jì)算結(jié)果正誤的形式體現(xiàn)計(jì)算學(xué)習(xí)的效果，而不能體現(xiàn)計(jì)算過(guò)程，更不能將抽象的計(jì)算思維呈現(xiàn)、梳理和闡明。因此，計(jì)算的學(xué)習(xí)過(guò)程需要可視化的手段來(lái)體現(xiàn)，從而幫助學(xué)生達(dá)到計(jì)算深度學(xué)習(xí)。一、小學(xué)計(jì)算深度學(xué)習(xí)與思維可視化馬云鵬等指出，深度學(xué)習(xí)過(guò)程著眼于學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的整體理解，促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)和方法遷移，并有助于學(xué)生高級(jí)思維的發(fā)展，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中提高核心素養(yǎng)。［1］計(jì)算深度學(xué)習(xí)是指學(xué)生在計(jì)數(shù)單位累加和減少的這一核心知識(shí)主線(xiàn)引領(lǐng)下能夠總結(jié)算法，通透算理，理解計(jì)算的本質(zhì)，建立計(jì)算知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系，從而形成以計(jì)數(shù)單位為核心的計(jì)算大觀(guān)念。計(jì)算深度學(xué)習(xí)重在學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)、明理悟法和構(gòu)建以計(jì)數(shù)單位為知識(shí)主線(xiàn)的計(jì)算知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。小學(xué)生的思維發(fā)展是從形象思維逐步過(guò)渡到抽象思維的。而計(jì)算的深度學(xué)習(xí)是不可見(jiàn)的，憑借計(jì)算結(jié)果的正誤不能夠體現(xiàn)其計(jì)算思維層次。因此，要想讓學(xué)生更加清楚地理解和表征計(jì)算，教師需要引導(dǎo)學(xué)生借助不同的表征方式，將計(jì)算學(xué)習(xí)的過(guò)程外顯，使得計(jì)算學(xué)習(xí)過(guò)程化、可視化。二、“四維四步”：計(jì)算深度學(xué)習(xí)的思維可視化模型建構(gòu)“四維四步”計(jì)算深度學(xué)習(xí)的思維可視化模型以二維表格的形式呈現(xiàn)（見(jiàn)表1）。從學(xué)生的計(jì)算學(xué)習(xí)過(guò)程角度出發(fā)，思維可視化策略有動(dòng)作可視化、圖像可視化、語(yǔ)言可視化和符號(hào)可視化四個(gè)維度。這四個(gè)維度不僅是學(xué)生計(jì)算思維的四種體現(xiàn)，也是計(jì)算思維的發(fā)展過(guò)程。動(dòng)作、圖像可視化的階段中，學(xué)生的計(jì)算思維較為具體和直觀(guān)，而語(yǔ)言可視化將隱性的思考過(guò)程顯性化，最后在符號(hào)可視化中完成計(jì)算思維的抽象過(guò)程。計(jì)算學(xué)習(xí)過(guò)程可以分為四個(gè)步驟：算——遷移舊知探究新知；析——幾何直觀(guān)解析算理；辨——正誤對(duì)比鞏固模型；結(jié)——構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。算是學(xué)生獨(dú)立遷移舊知嘗試計(jì)算，初步探索計(jì)算的過(guò)程；析是學(xué)生借助幾何直觀(guān)深入解析算理，將分解的計(jì)算過(guò)程與幾何直觀(guān)一一對(duì)應(yīng)的過(guò)程；辨是對(duì)比與化錯(cuò)的過(guò)程，教師借助學(xué)生在計(jì)算學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤引發(fā)問(wèn)題，讓學(xué)生在逐步化錯(cuò)中進(jìn)一步明理悟法；結(jié)是對(duì)于新知學(xué)習(xí)過(guò)程的總結(jié)，是引導(dǎo)學(xué)生從理性層面總結(jié)算理算法，構(gòu)建計(jì)算知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的過(guò)程。由表1可知，思維可視化策略與計(jì)算學(xué)習(xí)過(guò)程對(duì)應(yīng)起來(lái)，但并不是每一種可視化的策略都能適合計(jì)算學(xué)習(xí)的每一步。算的過(guò)程較為抽象，是符號(hào)可視化。析的過(guò)程一定要具體，可以借助動(dòng)作、圖像和語(yǔ)言可視化中的一種或幾種。辨的過(guò)程需要借助語(yǔ)言講清道理，讓辨析的過(guò)程得以外顯。結(jié)要以計(jì)算模型、算法總結(jié)、計(jì)算知識(shí)結(jié)構(gòu)體系等形式呈現(xiàn)，屬于符號(hào)可視化，抽象程度較高。三、計(jì)算思維可視化的四維策略分類(lèi)在考慮了思維可視化類(lèi)別后，教師可以借助思維可視化的手段，通過(guò)直觀(guān)操作、借助圖示和數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述等方式，讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀(guān)到抽象，借助動(dòng)作、圖像、語(yǔ)言等形式表達(dá)算理的過(guò)程，進(jìn)而感悟數(shù)與運(yùn)算的一致性（如圖1）。1.動(dòng)作可視化皮亞杰認(rèn)為，認(rèn)識(shí)起源于動(dòng)作，認(rèn)識(shí)是從動(dòng)作開(kāi)始的，動(dòng)作在兒童的智力和認(rèn)知發(fā)展中起著重要的作用。［2］肢體動(dòng)作是兒童最初學(xué)習(xí)計(jì)算的輔助手段，幼兒園甚至剛進(jìn)入小學(xué)的學(xué)生喜歡通過(guò)數(shù)手指來(lái)計(jì)算加減法，其實(shí)是將抽象的計(jì)算轉(zhuǎn)化為肢體動(dòng)作來(lái)解答。如學(xué)生在最初計(jì)算5+4時(shí)，會(huì)先伸出5根手指，再伸出4根手指，通過(guò)數(shù)數(shù)得出5+4=9。在此過(guò)程中，學(xué)生借助數(shù)手指將抽象的計(jì)算加法的過(guò)程外顯，借助肢體動(dòng)作將最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)內(nèi)容與最原始的計(jì)數(shù)方法相結(jié)合。動(dòng)作可視化的過(guò)程在小學(xué)階段主要集中于一、二年級(jí)，其能夠幫助學(xué)生突破最基礎(chǔ)的10以?xún)?nèi)加減法或5以?xún)?nèi)的乘法等內(nèi)容，是學(xué)生數(shù)感形成的必經(jīng)之路。2.圖像可視化皮亞杰將人的認(rèn)知發(fā)展分為四個(gè)階段：感知運(yùn)動(dòng)階段、前運(yùn)算階段、具體運(yùn)算階段和形式運(yùn)算階段。大部分小學(xué)生的思維處于具體運(yùn)算階段，這個(gè)階段的學(xué)生在物體之上進(jìn)行運(yùn)算，也就是要借助一些具體的實(shí)物、圖示、結(jié)構(gòu)化的學(xué)具等進(jìn)行運(yùn)算。圖像可視化是小學(xué)階段計(jì)算學(xué)習(xí)最常用的方法，從小學(xué)一年級(jí)的5以?xún)?nèi)加法開(kāi)始就一直伴隨著學(xué)生。因此，在小學(xué)計(jì)算的學(xué)習(xí)中，圖像可視化是一個(gè)十分重要的手段。借助具體的圖像，學(xué)生將抽象的計(jì)算過(guò)程與直觀(guān)的表象相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合。在數(shù)形結(jié)合的計(jì)算學(xué)習(xí)中，抽象的數(shù)與直觀(guān)的圖具有一致性，抽象的數(shù)能夠讓圖像所表示的計(jì)算過(guò)程更簡(jiǎn)潔，豐富的圖像能夠讓抽象的數(shù)更加具體、可視。3.語(yǔ)言可視化在小學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生不僅要會(huì)算，會(huì)借助動(dòng)作或圖像來(lái)表征計(jì)算，還要能夠描述計(jì)算的過(guò)程，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言解析算理、概括算法。語(yǔ)言可視化是指對(duì)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行描述、分析、比較、推理和概括，即學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算的過(guò)程中，要借助語(yǔ)言將計(jì)算過(guò)程、分析算理、比較方法、數(shù)學(xué)推理和算法概括等過(guò)程描述出來(lái)，使思維過(guò)程得以外顯。對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)比較困難，需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的訓(xùn)練。學(xué)生在訓(xùn)練中逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)和交流計(jì)算的習(xí)慣，從而提升用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)思考過(guò)程的能力。4.符號(hào)可視化按照布魯納的表征理論，數(shù)學(xué)對(duì)象的第三個(gè)表征階段是符號(hào)性表征。［3］數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，它能夠?qū)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思考的過(guò)程描述出來(lái)。在小學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)中，符號(hào)可視化主要體現(xiàn)為計(jì)算的橫式模型建構(gòu)、豎式模型建構(gòu)和數(shù)與運(yùn)算的一致性表達(dá)。符號(hào)可視化較為抽象，大多是對(duì)于計(jì)算原理、方法、規(guī)律的描述。在符號(hào)可視化的過(guò)程中，學(xué)生在橫式與豎式模型建構(gòu)過(guò)程中，借助計(jì)數(shù)單位這一數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行說(shuō)理，感悟數(shù)是對(duì)于具體數(shù)量的抽象，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔性。四、四維思維可視化策略的特點(diǎn)基于數(shù)與運(yùn)算一致性的小學(xué)計(jì)算思維可視化策略是一個(gè)整體，其中動(dòng)作、圖像和語(yǔ)言的發(fā)展隨著學(xué)生年級(jí)的升高，使用頻率有所變化，而符號(hào)可視化的思維層次較高。動(dòng)作可視化、圖像可視化和語(yǔ)言可視化能使抽象的計(jì)算思維具體化，讓學(xué)生借助肢體動(dòng)作、圖像和語(yǔ)言等方式來(lái)表征計(jì)算，使得計(jì)算過(guò)程清晰呈現(xiàn)，抽象的算理外顯。符號(hào)可視化的過(guò)程是借助計(jì)數(shù)單位來(lái)將具體的可視化過(guò)程進(jìn)一步數(shù)學(xué)化。學(xué)生借助計(jì)數(shù)單位這一數(shù)學(xué)符號(hào)深入計(jì)算的本質(zhì)，感悟計(jì)算與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)的聯(lián)系。在計(jì)算教學(xué)的過(guò)程中，教師要打破原有的著重教算法的常規(guī)教學(xué)觀(guān)念，從計(jì)算思維可視化的角度重構(gòu)學(xué)生課堂學(xué)習(xí)策略，讓學(xué)生在課堂中經(jīng)歷遷移舊知探究計(jì)算，借助幾何直觀(guān)分析算理，對(duì)比正誤計(jì)算方法鞏固模型和構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的學(xué)習(xí)過(guò)程。1.整體性基于一致性的小學(xué)計(jì)算思維可視化策略具有整體性。在計(jì)算學(xué)習(xí)過(guò)程中，語(yǔ)言可視化通常用來(lái)描述動(dòng)作可視化和圖像可視化的過(guò)程，將實(shí)踐過(guò)程表述出來(lái)。符號(hào)可視化是對(duì)動(dòng)作可視化、圖像可視化和語(yǔ)言可視化進(jìn)行抽象。此外，小學(xué)計(jì)算思維可視化策略的整體性還體現(xiàn)為小學(xué)一年級(jí)至六年級(jí)的計(jì)算學(xué)習(xí)都離不開(kāi)這四種方法，它們與整體的計(jì)算相關(guān)聯(lián)，貫穿于小學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)的全過(guò)程。在計(jì)算學(xué)習(xí)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生用可視化的手段將抽象的計(jì)算具體化，幫助學(xué)生理解計(jì)算的算理、算法和本質(zhì)。2.階段性《課標(biāo)（2022版）》指出，核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現(xiàn)。［4］《課標(biāo)（2022版）》將小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)分為三個(gè)學(xué)段，一、二年級(jí)為第一學(xué)段，三、四年級(jí)為第二學(xué)段，五、六年級(jí)為第三學(xué)段。隨著年齡的增加，學(xué)段的升高，學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、抽象能力、理解能力、計(jì)算能力都有所提升。因此，對(duì)于第一學(xué)段的學(xué)生來(lái)說(shuō)，動(dòng)作可視化過(guò)程尤其重要，學(xué)生需要親身感知和參與計(jì)算的全過(guò)程。第二學(xué)段的學(xué)生普遍借助圖像可視化來(lái)分析計(jì)算，借助圖像呈現(xiàn)計(jì)算步驟，從而提升總結(jié)。第三學(xué)段的學(xué)生的抽象能力較強(qiáng)，學(xué)生在感悟出計(jì)算的本質(zhì)后可以脫離幾何直觀(guān)，借助計(jì)數(shù)單位來(lái)描述計(jì)算，發(fā)展符號(hào)化能力。3.交融性四維思維可視化策略的使用具有交融性。雖然動(dòng)作可視化、圖像可視化、語(yǔ)言可視化和符號(hào)可視化都指向計(jì)算的本質(zhì)，但這四種可視化路徑不是順向而行，而是反復(fù)交融的。學(xué)生可以借助語(yǔ)言可視化描述圖像可視化的過(guò)程，也可以在語(yǔ)言可視化中逐漸歸納、形成符號(hào)可視化。如此，通過(guò)多種表征來(lái)促進(jìn)對(duì)計(jì)算的深度理解。此外，算、析、辨、結(jié)的過(guò)程也不是按順序進(jìn)行的。在課堂學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以先進(jìn)行計(jì)算嘗試，再進(jìn)行算理分析，也可以先進(jìn)行算理分析，再進(jìn)行計(jì)算嘗試。五、小學(xué)計(jì)算深度學(xué)習(xí)的四步模型算、析、辨、結(jié)是小學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，這四個(gè)環(huán)節(jié)在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的安排沒(méi)有固定的順序。學(xué)生可以根據(jù)不同的內(nèi)容，反復(fù)調(diào)用四個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)學(xué)習(xí)新內(nèi)容（如圖2）。1.算——遷移舊知探究新知算是符號(hào)可視化的過(guò)程，貫穿于每一節(jié)計(jì)算課。原有教學(xué)模式中，教師一般引入新課后就借助模型引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用學(xué)具操作推導(dǎo)計(jì)算方法。這種方式其實(shí)沒(méi)有關(guān)注到學(xué)生原有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生沒(méi)辦法主動(dòng)進(jìn)行知識(shí)遷移。實(shí)際上，在每一個(gè)計(jì)算新知識(shí)學(xué)習(xí)前，學(xué)生都有一定的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，這些經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蚪o學(xué)生的計(jì)算學(xué)習(xí)帶來(lái)正遷移或負(fù)遷移。教師可以直接或進(jìn)行改組后幫助學(xué)生進(jìn)行新知識(shí)學(xué)習(xí)，使他們更快地接受新知。如在學(xué)習(xí)“表內(nèi)乘法”前，學(xué)生已經(jīng)有了相同加數(shù)連加的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生理解乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，促進(jìn)學(xué)生對(duì)乘法意義的建構(gòu)；在學(xué)習(xí)“除法豎式”前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了加法、減法和乘法的豎式計(jì)算，但除法豎式與前面的學(xué)習(xí)不同，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)除法豎式模型，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固和區(qū)分除法豎式。初步探索算的過(guò)程就是遷移舊知、構(gòu)建新知的過(guò)程，這里的遷移不僅是算法的套用，更是對(duì)新算理的推理。2.析——幾何直觀(guān)解析算理析是借助動(dòng)作可視化、圖像可視化與語(yǔ)言可視化來(lái)解釋符號(hào)可視化的過(guò)程。以往的計(jì)算學(xué)習(xí)中，學(xué)生只學(xué)習(xí)算的方法，忽視了說(shuō)理，更沒(méi)有結(jié)合幾何直觀(guān)等手段來(lái)說(shuō)理。目前的小學(xué)計(jì)算學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)將算法與算理的學(xué)習(xí)相結(jié)合，借助算理來(lái)明晰算法，實(shí)現(xiàn)以理馭法。分析計(jì)算過(guò)程是學(xué)生說(shuō)算理的重要環(huán)節(jié)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從計(jì)數(shù)單位、四則運(yùn)算的意義、運(yùn)算之間的關(guān)系等角度來(lái)理解計(jì)算。如在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以借助點(diǎn)子圖、格子圖來(lái)分析乘法豎式中的幾個(gè)一、幾個(gè)十和幾個(gè)百；在“小數(shù)加減法”的學(xué)習(xí)中，教師可以借助“米、分米、厘米”或“元、角、分”等設(shè)置生活情境，引導(dǎo)學(xué)生理解相同單位上的數(shù)相加減的道理。借助幾何直觀(guān)，學(xué)生更容易描述計(jì)算，形成計(jì)算思維的語(yǔ)言可視化。3.辨——正誤對(duì)比鞏固模型辨的過(guò)程要借助語(yǔ)言可視化，比較抽象，一般需要正誤方法的對(duì)比分析。由于抽象程度較高，學(xué)生對(duì)于模型的建構(gòu)普遍比較困難，通常都是記住模型，而不理解每一步計(jì)算的具體含義，因此會(huì)出現(xiàn)學(xué)過(guò)一段時(shí)間后就忘記怎樣計(jì)算的情況。深度學(xué)習(xí)不是死記硬背，而是透析知識(shí)本質(zhì)的學(xué)習(xí)。因此，學(xué)生可以在辨析中深入分析計(jì)算算理與算法，以理馭法，讓模型的建構(gòu)更加牢固。如在教學(xué)“小數(shù)位數(shù)不同的小數(shù)加減法”中，教師可以出示末尾對(duì)齊的豎式與小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊的豎式，讓學(xué)生在辨析中說(shuō)理，使學(xué)生明白不同的計(jì)數(shù)單位不能相加減。如此，在正誤對(duì)比中，學(xué)生可以將簡(jiǎn)單的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行深入說(shuō)理。辨的過(guò)程分布于計(jì)算學(xué)習(xí)的全過(guò)程，學(xué)生可以在初次計(jì)算后通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)不同，也可以在說(shuō)理過(guò)程中逐漸對(duì)錯(cuò)誤方法進(jìn)行調(diào)整，還可以在建構(gòu)正確模型后再與錯(cuò)誤方法做對(duì)比，鞏固模型建構(gòu)。4.結(jié)——構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)體系數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)上是一個(gè)從具體到抽象的過(guò)程。在小學(xué)階段，學(xué)生經(jīng)歷了從借助具體的動(dòng)作、實(shí)物、幾何直觀(guān)等來(lái)描述計(jì)算，到借助抽象的計(jì)數(shù)單位來(lái)計(jì)算的過(guò)程。因此，每節(jié)課中，學(xué)生都要對(duì)計(jì)算知識(shí)體系進(jìn)行總結(jié)與延伸。對(duì)于小學(xué)階段的“數(shù)與運(yùn)算”主題，學(xué)生需要在理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)意義的同時(shí)，理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)基于計(jì)數(shù)單位表達(dá)的一致性。如在小數(shù)除法復(fù)習(xí)課中，學(xué)生要借助計(jì)數(shù)單位來(lái)分析小數(shù)除法的通法、通理，并勾連整數(shù)除法，建構(gòu)統(tǒng)一豎式模型進(jìn)行說(shuō)理。雖然分?jǐn)?shù)除法與小數(shù)除法、整數(shù)除法的外在形式不同，但學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中也要從計(jì)數(shù)單位（分?jǐn)?shù)單位）