專題06 探索勾股定理（五大類型）（題型專練）（解析版）

專題06探索勾股定理（五大類型）【題型1：一直直角三角形的兩邊，求第三邊長(zhǎng)】【題型2：求直接三角形周長(zhǎng)，面積、斜邊上的高等問(wèn)題】【題型3：等面積法求直接斜邊上的高問(wèn)題】【題型4：作無(wú)理數(shù)的線段】【題型5：勾股定理的證明】【題型1：一直直角三角形的兩邊，求第三邊長(zhǎng)】1．（2023春?南寧期末）如圖是課堂上同學(xué)們?cè)谔骄抗垂啥ɡ碛玫降膱D形，已知網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，則線段AB的長(zhǎng)為（）A． B．5 C．9 D．13【答案】A【解答】解：由圖可知：AC＝2，BC＝3，∴AB＝，故選：A．2．（2023春?嘉祥縣期末）在直角三角形中，若股為4，弦為5，則勾為（）A．3 B． C．3或 D．6【答案】A【解答】解：勾＝＝3，故選：A．3．（2023春?無(wú)棣縣期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝7，BC＝4，則AC的值是（）A．3 B．11 C． D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝7，BC＝4，∴AC＝＝＝．故選：D．4．（2023春?豐寧縣期末）四邊形ABCD的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線AC的長(zhǎng)度隨四邊形的形狀改變而變化．當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A．5 B． C． D．4【答案】C【解答】解：若∠BAC＝90°，AC＝＝，∵2+2，∴對(duì)角線AC＝；若∠ABC＝90°，AC＝＝5，∵5＞2+2，∴對(duì)角線AC的長(zhǎng)不符合題意，舍去；若∠ACB＝90°，不存在，故選：C．5．（2023春?東麗區(qū)期末）直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為6，8，則其斜邊上的高為（）A．6 B．8 C．12 D．【答案】D【解答】解：由勾股定理可得：直角三角形斜邊長(zhǎng)為：，∵直角三角形的面積＝×6×8＝×10×斜邊上的高，∴其斜邊上的高為：，故選：D．6．（2023春?老河口市期末）直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為1，3，則斜邊的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：∵一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為1和3，∴它的斜邊的長(zhǎng)＝＝，故選：D．7．（2023春?紅橋區(qū)期末）已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為2和4，則它的斜邊的長(zhǎng)為（）A．4 B． C． D．20【答案】C【解答】解：∵一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為2和4，∴它的斜邊的長(zhǎng)＝＝2，故選：C．8．（2023春?藁城區(qū)期末）已知一個(gè)三角形的最短邊是5，最長(zhǎng)邊是10，要使該三角形是直角三角形，則另一邊的長(zhǎng)是（）A．5 B．5 C．5 D．5【答案】C【解答】解：∵一個(gè)三角形的最短邊是5，最長(zhǎng)邊是10，該三角形是直角三角形，∴另一邊的長(zhǎng)是＝5，故選：C．9．（2023?臺(tái)江區(qū)校級(jí)模擬）以2，3為直角邊的直角三角形斜邊長(zhǎng)為（）A． B． C．4 D．5【答案】B【解答】解：以2，3為直角邊的直角三角形斜邊長(zhǎng)＝＝，故選：B．【題型2：求直接三角形周長(zhǎng)，面積、斜邊上的高等問(wèn)題】10．（2023春?應(yīng)縣期末）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以邊AB，CA，BC向外作正方形，正方形ABIH的面積為25，正方形BDEC的面積為169，則正方形ACFG的面積是（）A．194 B．144 C．122 D．110【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∵正方形ABIH的面積為25，正方形BDEC的面積為169，∴AB2＝25，BC2＝169，∴AC2＝BC2﹣AB2＝169﹣25＝144，∴正方形ACFG的面積＝AC2＝144，故選：B．11．（2023春?新羅區(qū)校級(jí)期中）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是4、5、2、4，則最大正方形E的面積是（）A．15 B．61 C．69 D．72【答案】B【解答】解：由勾股定理可知：SA+SB＝SF，SC+SD＝SG，∴SF＝42+52＝41，SG＝22+42＝20，∴SE＝SF+SG＝41+20＝61．故選：B．12．（2023春?忠縣期末）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6，8，則該直角三角形的周長(zhǎng)為（）A．14 B．24 C． D．24或【答案】D【解答】解：①當(dāng)6和8均為直角邊時(shí)，斜邊＝＝10，則這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是：6+8+10＝24；②當(dāng)6為直角邊，8為斜邊時(shí)，則斜邊為：＝2．故這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是：14+2．故選：D．13．（2023春?白云區(qū)期末）如圖，在直線l上方有正方形①，②，③，若①，③的面積分別為4和16，則正方形②的面積為（）A．24 B．20 C．12 D．22【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠DCE，在△ABC與△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴DE＝BC，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，∴②的面積為4+16＝20，故選：B．【題型3：等面積法求直接斜邊上的高問(wèn)題】14．（2023?固鎮(zhèn)縣一模）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，BD⊥AC于點(diǎn)D，則BD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由題意可得，△ABC的面積是：3×4﹣＝，∵BD是△ABC的高，AC＝＝5，∴＝，解得，BD＝，故選：D．15．（2023春?中寧縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求△ABC的面積；（3）求CD的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝25；（2）△ABC的面積＝×BC×AC＝150；（3）由三角形的面積公式可得，×AB×CD＝150則CD＝＝12．16．（2023春?沈北新區(qū)期中）如圖，AD是△ABC的高，AB＝5，BC＝7，AC＝4．①設(shè)BD＝x，用x表示AD2；②求BD長(zhǎng)；③求△ABC的面積．【答案】①AD＝25﹣x2；②BD的長(zhǎng)為3；③14．【解答】解：①∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理可得：AD2＝AB2﹣BD2＝25﹣x2；②∵BD＝x，BC＝7，∴CD＝7﹣x，∵AD⊥BC，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即25﹣x2＝32﹣（7﹣x）2，解得x＝3，即BD的長(zhǎng)為3；③∵AD2＝25﹣x2，∴AD＝，∴S△ABC＝＝＝14．【題型4：作無(wú)理數(shù)的線段】17．（2023春?前郭縣期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是0，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是1，BC⊥AB，垂足為B，且BC＝1，以A為圓心，AC為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的數(shù)為（）A．2.2 B． C． D．【答案】B【解答】解：∵AB＝1，BC＝1，BC⊥AB，∴AC＝AD＝＝＝，∴點(diǎn)D表示的數(shù)為：．故選：B．18．（2022秋?沙河市期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AD在數(shù)軸上，若點(diǎn)A與數(shù)軸上表示數(shù)﹣1的點(diǎn)重合，點(diǎn)D與數(shù)軸上表示數(shù)﹣4的點(diǎn)重合，AB＝1，以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧與數(shù)軸負(fù)半軸交于一點(diǎn)E，則點(diǎn)E表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：在長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AB＝CD＝1，∴，則點(diǎn)A到該交點(diǎn)的距離為，∵點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，∴該點(diǎn)表示的數(shù)為：，故選：D．19．（2023春?開(kāi)封期末）如圖，正方形ABCD的面積為7，A是數(shù)軸上表示﹣2的點(diǎn)，以A為圓心，AB為半徑畫(huà)弧，與數(shù)軸正半軸交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E所表示的數(shù)為（）A．﹣1+ B．1﹣ C．﹣2+ D．2﹣【答案】C【解答】解：∵正方形ABCD的面積為7，∴正方形的邊長(zhǎng)為，∴AE＝，∵A是數(shù)軸上表示﹣2的點(diǎn)，∴E點(diǎn)表示的數(shù)是﹣2+．故選：C．20．（2023春?澄海區(qū)期末）如圖，矩形ABCD的邊AD在數(shù)軸上，若點(diǎn)A與數(shù)軸上表示數(shù)﹣1的點(diǎn)重合，點(diǎn)D與數(shù)軸上表示數(shù)﹣3的點(diǎn)重合，AB＝1，以點(diǎn)A為圓心，以對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧與數(shù)軸負(fù)半軸交于一點(diǎn)E，則點(diǎn)E表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：連接AC，在長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝﹣1﹣（﹣3）＝2，AB＝CD＝1，∴AC＝＝＝，則點(diǎn)A到該交點(diǎn)的距離為，∵點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，∴該點(diǎn)表示的數(shù)為：﹣1﹣，故選：C．21．（2023春?和平區(qū)校級(jí)期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣1，Rt△ABC的直角邊AB落在數(shù)軸上，且AB長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)度，BC長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，若以點(diǎn)A為圓心，以斜邊AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由勾股定理知：AC＝＝＝，所以AD＝AC＝．所以點(diǎn)D表示的數(shù)為﹣1．故選：D．22．（2023春?中江縣期中）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，AB在數(shù)軸上，點(diǎn)A在原點(diǎn)，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)1，以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑逆時(shí)針畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)AD＝1，∴AC＝，∴AE＝AC＝，∵點(diǎn)E在原點(diǎn)的左邊，∴點(diǎn)E所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為﹣，故選：C．【題型5：勾股定理的證明】23．（2022秋?屯留區(qū)期末）閱讀與思考閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)：趙爽“弦圈”與完全平方公式三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)建了一幅“弦圖”，利用面積法給出了勾股定理的證明．實(shí)際上，該“弦圖”與完全平方公式有著密切的關(guān)系，如圖2，這是由8個(gè)全等的直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c的三角形拼成的“弦圖”．由圖可知，1個(gè)大正方形ABCD的面積＝8個(gè)直角三角形的面積+1個(gè)小正方形PQMN的面積．任務(wù)：（1）在圖2中，正方形ABCD的面積可表示為（a+b）2，正方形PQMN的面積可表示為（a﹣b）2．（用含a，b的式子表示）（2）根據(jù)S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2之間的關(guān)系為（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2．（3）根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，解決問(wèn)題：已知a+b＝5，ab＝4，求（a﹣b）2的值．【答案】（1）（a+b）2；（a﹣b）2；（2）（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2；（3）9．【解答】解：（1）∵大正方形邊長(zhǎng)為（a+b），小正方形邊長(zhǎng)為（a﹣b），∴大正方形面積為（a+b）2，小正方形面積為（a﹣b）2；故答案為：（a+b）2；（a﹣b）2．（2）根據(jù)S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得，故答案為：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2．（3）∵a+b＝5，ab＝4，∴52＝4×4+（a﹣b）2，∴（a﹣b）2＝9，∴（a﹣b）2的值為9．24．（2022春?隆陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到大正方形ABCD與小正方形EFGH．設(shè)直角三角形的較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，斜邊為c，若（a+b）2＝26，大正方形的面積為17，求小正方形的邊長(zhǎng)．【答案】．【解答】解：∵（a+b）2＝26，∴a2+2ab+b2＝26，∵大正方形的面積為17，即c2＝17，∴a2+b2＝c2＝17，∴2ab＝26﹣17＝9，∴四個(gè)全等的直角三角形的面積的和為，∴小正方形的面積為17﹣9＝8，∴小正方形的邊長(zhǎng)為．25．（2022春?廣漢市期中）勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法．（1）請(qǐng)你根據(jù)圖1填空；勾股定理成立的條件是直角三角形，結(jié)論是a2+b2＝c2（三邊關(guān)系）（2）以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請(qǐng)你利用圖2，驗(yàn)證勾股定理；【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）勾股定理指的是在直角三角形中，兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方．故答案是：直角；a2+b2＝c2；（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC，又∵∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°．∵S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴．整理，得a2+b2＝c2．26．（2022秋?南海區(qū)月考）一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法．如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD倒下到AEFG的位置，連接CF，此時(shí)∠FAC＝90°，AB＝a，BC＝b，AC＝c．請(qǐng)利用直角梯形BCFG的面積證明勾股定理：a2+b2＝c2．【答案】見(jiàn)解析．【解答】證明：∵S梯形BCFG＝S△AFG+S△AFC+S△ACB＝ab+ab+c2＝ab+c2，S梯形BCFG＝?（FG+BC）?BG＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，∴ab+c2＝a2+ab+b2，整理得：a2+b2＝c2．27．（2022春?玉山縣月考）“趙爽弦圖”是四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的大正方形．趙爽利用幾何圖形的截、割拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，在驗(yàn)明勾股定理，為中國(guó)古代以形證數(shù)形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范．（1）如