專題2.1 軸對稱之將軍飲馬模型重難點題型歸納（原卷版）

專題2.1軸對稱之將軍飲馬模型重難點題型歸納【題型1“2定點1動點”作圖問題】【題型2“2定點1動點”求周長最小值問題】【題型3“2定點1動點”求線段最小值問題】【題型4“1定點2動點”-線段/周長最小問題】【題型5“1定點2動點”-角度問題】【題型1“2定點1動點”作圖問題】 【典例1】如圖，點M，N在直線l的同側(cè)，小東同學(xué)想通過作圖在直線l上確定一點Q，使MQ與QN的和最小，那么下面的操作正確的是（）A． B． C． D．【變式1】如圖，河道m(xù)的同側(cè)有M、N兩個村莊，計劃鋪設(shè)一條管道將河水引至M，N兩地，下面的四個方案中，管道長度最短的是（）A． B． C． D．【典例2】如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的三頂點都在格點上，位置如圖，請完成下列問題：（1）分別寫出點A，點B，點C的坐標；（2）畫出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1（注意標出對應(yīng)點字母）；（3）求△ABC的面積；（4）在x軸上找一點P，使AP+BP最小，在圖中畫出點P，并寫出點P坐標．（不限作圖工具，保留作圖痕跡，不寫作法，寫出結(jié)論）．【變式2-1】如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）△ABC的面積為；（2）請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，三個頂點坐標分別A1，B1，C1；（3）在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，請直接寫出點P的坐標（保留痕跡）．【變式2-2】在平面直角坐標系中，直線l過點M（3，0），且平行于y軸．（1）如果△ABC三個頂點的坐標分別是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，3），作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1，△A1B1C1關(guān)于直線l的對稱圖形△A2B2C2，并寫出△A2B2C2的三個頂點的坐標；（2）在直線l上是否存在一點P，使其到A2、C2兩點的距離和最小？如果存在，請求出符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．【題型2“2定點1動點”求周長最小值問題】【典例3】（2023春?龍崗區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面積是24，AB的垂直平分線ED分別交AC，AB邊于E、D兩點，若點F為BC邊的中點，點P為線段ED上一動點，則△PBF周長的最小值為（）A．7 B．9 C．11 D．14【變式3】如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝10，EF垂直平分BC，點P為直線EF上的任一點，則△ABP周長的最小值是．【題型3“2定點1動點”求線段最小值問題】【典例4】（2022春?河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一點，F(xiàn)是腰AB上任一點，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么線段BE+EF的最小值是（）A．5 B．3 C． D．【變式4】（2023春?東港市期中）如圖，等腰△ABC的面積為9，底邊BC的長為3，腰AC的垂直平分線EF分別交AC、AB邊于點E、F，點D為BC邊的中點，點M為直線EF上一動點，則DM+CM的最小值為（）A．12 B．9 C．6 D．3【題型4“1定點2動點”-線段/周長最小問題】【典例4】如圖，直線l1與l2交于點O，P為其平面內(nèi)一定點，OP＝3，M，N分別為l1與l2上的兩動點，連接PM，PN，MN，若∠MON＝30°，則△MPN周長的最小值為．【變式4-1】（2023春?惠安縣期末）如圖，已知∠AOB＝30°，點P是∠AOB內(nèi)部的一點，且OP＝4，點M、N分別是射線OA和射線OB上的一動點，則△PMN的周長的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【變式4-2】（2022秋?應(yīng)城市期末）如圖，∠MON＝50°，P為∠MON內(nèi)一點，OM上有點A，ON上有點B，當△PAB的周長取最小值時，∠APB的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．100°【典例5】如圖，CD是△ABC的角平分線，△ABC的面積為12，BC長為6，點E，F(xiàn)分別是CD，AC上的動點，則AE+EF的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【變式5-1】如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD平分∠BAC，N是AC上一動點（不與A，C重合），M是AD上一動點（不與A，D重合），則CM+MN的最小值為．【變式5-2】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，點M，N分別是線段BD、BC上一動點，AB＞BD且S△ABC＝10，AB＝5，則CM+MN的最小值為．【變式5-3】如圖，在銳角△ABC中，AC＝8，S△ABC＝24，∠BAC的平分線交BC于點D，點M，N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是．【題型4“1定點2動點”-角度問題】【典例6】（2021秋?叢臺區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點M，N，使△AMN的周長最小時，則∠ANM+∠AMN的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．130°【變式6-1】（2022秋?仁懷市期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，點E，F(xiàn)分別為BC和CD上的動點，連接AE，AF．當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為（）A．60° B．90° C．100° D．120°【變式6-2】如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在邊AB，BC上分別找一點E，F(xiàn)使△DEF的周長最小，此時∠EDF＝