2024年上海高考數(shù)學(xué)講練 函數(shù)的概念與性質(zhì)（講義）含詳解

專題2-1函數(shù)的概念與性質(zhì)

----------------------------'i

內(nèi)容概覽…

01專題網(wǎng)絡(luò)?思維腦圖（含基礎(chǔ)知識(shí)梳理、常用結(jié)論與技巧）

02考情分析?解密高考

03高頻考點(diǎn)?以考定法（五大命題方向+6道高考預(yù)測試卷，高考必考-（4-20）分）

考點(diǎn)一函數(shù)的值域

>高考猜題

考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷

>高考猜題

04倉IJ新好題?分層訓(xùn)練（★精選17道最新名校模擬試卷+9道易錯(cuò)提升）

（ft〉專題網(wǎng)絡(luò)?思維腦圖?

考情分析?解密高考?

真題多維細(xì)目表

考點(diǎn)考向考題

函數(shù)的值域函數(shù)的值域2023秋季高考第5題

函數(shù)奇偶性的函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷2023春季高考第13題

2023秋季高考第18題

性質(zhì)與判斷

高頻考點(diǎn)?以考定泊

考點(diǎn)一函數(shù)的值域

??高考解密<<

典例01(2023?上海)己知函數(shù)，二，則函數(shù)/(x)的值域?yàn)榭冢?00)

［2*,x>0——

【分析】分段求出/(x)的值域，再取并集即可.

【解答】解：當(dāng)用,0時(shí),/(%)=1,

當(dāng)x>0時(shí),/(x)=2A>1,

所以函數(shù)/(X)的值域?yàn)椋?,+00).

故答案為：［1,+O0).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷

??高考解密<<

典伊］01(2023?上海)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

A.y=sinxB.y=cosxC.y=x3D.y=2'

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析判斷即可.

【解答】解：對(duì)于A,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，y=sinx為奇函數(shù)；

對(duì)于5,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，y=cosx為偶函數(shù)：

對(duì)于C,由幕函數(shù)的性質(zhì)可知，y=r為奇函數(shù)；

對(duì)于。，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，y=2'為非奇非偶函數(shù).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查常見函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

典例02(2023?上海)已知a,ceR,函數(shù)/(X)=:+(3"+1)X+C.

x+a

(1)若a=0,求函數(shù)的定義域，并判斷是否存在c使得〃x)是奇函數(shù)，說明理由；

(2)若函數(shù)過點(diǎn)(1,3),且函數(shù)f(x)與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求此時(shí)c的值和a的取值范圍.

【分析】(1)。=0時(shí)，求出函數(shù)f(x)的解析式，根據(jù)函數(shù)的定義域和奇偶性進(jìn)行求解判斷即可.

(2)根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)(1,3),求出c的值，然后根據(jù)/(幻與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分

布進(jìn)行求解即可.

【解答】解：(1)若a=0,則/(x)=<2--'=x+-+l,

XX

要使函數(shù)有意義，則xwO,即/(x)的定義域?yàn)閧x|x*0},

y=x+￡是奇函數(shù)，y=l是偶函數(shù)，

X

函數(shù)/■(x)=x+$+l為非奇非偶函數(shù)，不可能是奇函數(shù)，故不存在實(shí)數(shù)C,使得"X)是奇函數(shù).

X

(2)若函數(shù)過點(diǎn)(1,3),則/(1)J+3"+l+c=3a+2+c=3,得3a+2+°=3+3a,得c=3—2=1,

\+a\+a

此時(shí)f(x)=-+(3"+l)x+l,若數(shù)f(x)與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

x+a

即/(X)=『+(34+DX+I=O,得/+(3“+]?+]=0,當(dāng)x<o時(shí)，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

x+a

設(shè)g*)="?+(3a+l)x+1,

一=(3。+1)2-4〉0

xx=1>0a>-^a<-\

}23。+1>+1<—2.3，即4>L

則《x+x=一(3a+1)<0，得c八，得I

}23〃+1>013

3a4-1八a>——

------<03

2

若x+a=0即x=-a是方程/+(3Q+1)X+1=0的根,

貝！J一(3。+1)。+1=0,BP2a2+iz—1=0,得〃=!或。=—1,

2

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是a>L且awL且aw—1,

32

即2):)D，+8).

322

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的

分布是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

創(chuàng)新好題?分層訓(xùn)練(★精選18道最新名校模擬考試卷+9道易錯(cuò)提升)

A?新題速遞

一、單選題

1.(2023?上海浦東新?統(tǒng)考三模)已知定義在R上的函數(shù)y=/(x).對(duì)任意區(qū)間［。，句和c、e［a,同，若存在開區(qū)間

I,使得ce/［。,可，且對(duì)任意xe/［"㈤()者|5成立/(x)</(c),則稱c為/(x)在［a,句上的?一個(gè)“M

點(diǎn)有以下兩個(gè)命題：

①若/(X。)是“X)在區(qū)間k句上的最大值，則%是〃x)在區(qū)間肉上的一個(gè)M點(diǎn)；

②若對(duì)任意a<b,b都是/(x)在區(qū)間［許句上的一個(gè)M點(diǎn)，則f(x)在R上嚴(yán)格增.

那么()

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題D.①、②都是假命題

【答案】D

【分析】舉出反例，得到①②錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于①，設(shè)/(力=1,滿足/(為)是f(x)在區(qū)間句上的最大值,但與不是“X)在區(qū)間句上的一個(gè)

M點(diǎn),①錯(cuò)誤：

對(duì)于②，設(shè)f(x)={2"nx'€二O，對(duì)于區(qū)間［。，句，令b為有理數(shù)，滿足對(duì)任意可都成立

u,x比Q

“X)<Fe)，故b為區(qū)間［a,句上的一個(gè)M點(diǎn),

但/(x)在R上不是嚴(yán)格增函數(shù).

故選：D

【點(diǎn)睛】舉出反例是一種特殊的證明方法，它在證明"某命題''不成立時(shí)，可達(dá)到事半功倍的效果.

2.(2023?上海閔學(xué)校考二模)已知定義在R上的函數(shù).f(x),對(duì)于給定集合A,若

當(dāng)占一々e4時(shí)都有〃芭)-/(電)eA,則稱是“A封閉”函數(shù).已知給定兩個(gè)命題：

P:若“X)是”{1}封閉”函數(shù),則/(x)一定是“{%}封閉”函數(shù)(keN，)；

Q：若/(x)是“［〃,可封閉“函數(shù)eN*),則/(x)不一定是“{，儂封閉”函數(shù).

則下列判斷正確的為()

A.P對(duì)，。對(duì)B.P不對(duì)，。對(duì)C.P對(duì)，。不對(duì)D.P不對(duì)，。不對(duì)

【答案】C

【詳解】對(duì)命題P：對(duì)于集合{l},VawwR使X一&W{1},則%=%+1,而F3是“⑴封閉”函數(shù)，

則/(9+1)—/(xj=1,即Wx€R都有/(x+1)=/(x)+l,

r

對(duì)于集合伙},VX],%GR^^-XJe{k},則X[=x2+k,ke^,

ifn/(-^+^)=/(x2+A:-l)+l,/(x2+^-l)=/(x2+^-2)+l,...,/(x2+l)=/(x,)+l,

所以/(々+左)+/(&+%_1)+...+/(々+1)=/(々+%_1)+/(々+々_2)+...+/(々)+%_[,

即/(&+%)=/(幻+h故/(9+內(nèi)―/(毛)=女/(幻一定是“伙}封閉”函數(shù)伏。)尸正確；

對(duì)命題2,其逆否命題為，若Ax)是“{知封閉”函數(shù)，則Ax)不是“口⑸封閉”函數(shù)(a/eN"),

只需判斷出其逆否命題的正誤即可，\/占,々€1^使王-々=浦，則〃為)-〃毛)=必，

ab>a

若彷則,"Kb,由次?WZ?解得因?yàn)閍wN",所以。=1,

a<b

即Vx15x2GR-^2=ah=be[a,b],則/(5)一/(七)=扇=6w[a,勿,

滿足/(X)是勿封閉”函數(shù)(〃為wN*),

所以命題。的逆否命題為假命題，則原命題也為假命題，。錯(cuò)誤.

故選：C

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)性質(zhì)及命題真假判斷，根據(jù)給定條件可得VxeR都有f(x+l)=/(x)+l,VxeR都有

,f(x+a)=f(x)+b,再利用遞推關(guān)系及函數(shù)新定義判斷正誤即可.

3.(2023?上海普陀?曹楊二中校考模擬預(yù)測)若存在實(shí)數(shù)上和6,使得函數(shù)"X)和g(x)對(duì)其公共定義域上的任意

實(shí)數(shù)x都滿足：g(x)M"+b《/(x)恒成立，則稱此直線y=fcr+%為f(x)和g(x)的“隔離直線”.有下列命題：①

/。)=工2和8。)=26山”之間存在唯一的“隔離直線"丫=2幾-6；②f(x)=f和g(x)=勺x<0)之間存在“隔離直

線”，且方的最小值為-1,貝I()

A.①、②都是真命題B.①、②都是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①是真命題，②是假命題

【答案】D

【分析】命題①，/(》)=/和8。)=26山》有公共點(diǎn)(五,6),故隔離直線過該點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)斜式，結(jié)合二次函數(shù)性

質(zhì)對(duì)參數(shù)分類討論，即可求解；

命題②，設(shè)隔離直線為丁=h+3則：「"一["：對(duì)任意XV。恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)對(duì)參數(shù)分類討論，即可

kx-4-Zzr-l<0

求解;

【詳解】對(duì)于命題①，函數(shù)和g(x)=2elnx的圖像在片正處有公共點(diǎn),

若存在，(x)和g(x)的隔離直線，那么該直線過這個(gè)公共點(diǎn)(五,e),

設(shè)隔離直線的斜率為Z,則隔離直線方程為y-e=Z(x-血)，即y=6+e

由70：)2區(qū)一%正+6(》>0)恒成立，即Y-Ax+Z五一e20(x>0)恒成立，

(i)當(dāng)k=0時(shí)，則x2ze(x>0)不恒成立，不符合題意；

lk

(ii)當(dāng)％<0時(shí)，4?(x)=x2-Ax+A：Ve-e(x>0),對(duì)稱軸》=萬<0,

“(x)在(0,五)上單調(diào)遞增，且“(血)=0,故左<0不恒成立，不符合題意；

(iii)當(dāng)左>0時(shí)，令〃(X)=J?-fcr+Z正一e(x>0),對(duì)稱軸x=g>0,

貝L(x)=仲/+々&_=("2甸2只有五，即直線y=2五x-e

\/minI2J44

下面證明^(x)=2eInx<25/ex-e,令G(x)=2V^x-e-2elnx,

求導(dǎo)G'(X)=26(X_^)，令G，(X)=0,得乂=&,

X

當(dāng)x?0,五)時(shí)，G(x)<0,函數(shù)G(x)在區(qū)間僅，人)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(忘+oo)時(shí)，G'(x)>0,函數(shù)G(x)在區(qū)間(而+8)單調(diào)遞增；

故當(dāng)x=正時(shí)，函數(shù)G(x)取得極小值，也是最小值，故G(x)20,即g(x)426x-e

所以，(尤)=f和g(x)=2eInx之間存在唯一的隔離直線y=2y/ex-e.

對(duì)于命題②，設(shè)/(%)=X2和g(x)=L(x<0)的隔離直線為y=kx+h,

X

x2>kx+b

_kx—Z?N0

則1對(duì)任意xv0恒成立，即72J八對(duì)任意XV。恒成立,

—<kx+hkj^+bx-\t<Q

、x

由依2+法_14o恒成立，得k40

(i)當(dāng)k=0時(shí)，則匕=0符合題意;

(ii)當(dāng)《<0時(shí)，則V—丘-6W0對(duì)任意x<0恒成立，令力(x)=J?—履—b(x<0),

對(duì)稱軸x=g<0,需△=公+4匕40,即左24-4/),故匕40

令〃(犬)=&+區(qū)一1(》<0),對(duì)稱軸x=-卷40,^S=b2+4kb<0,

BPb2<-4k，所以64-64左，故~44%<0

同理可得力4416公V-648,即T46<0,故

故命題①正確，命題②錯(cuò)誤；

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的新定義“隔離直線”，解題中理解“隔離直線”的定義，注意利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

的單調(diào)性及最值時(shí)解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于難題.

4.（2023?上海崇明?統(tǒng)考一模）若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)xe[0,l],使得不等式％3-機(jī)Wox+8Wd+w恒成立，

則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是（）

A.*，+8）B.^^'+8C.冬+8D.

【答案】A

【分析】不等式d—機(jī)<奴+?！?3+加等價(jià)于卜丁+6+44加，原命題等價(jià)于存在實(shí)數(shù)。，h,對(duì)任意實(shí)數(shù)

xe[0,l]不等式卜丁+奴%恒成立，等價(jià)于存在實(shí)數(shù)a,b,不等式卜丁+如+可”"4"成立，分別討論

a<0,0<a<l,l<a<3,的情況，先求出卜儲(chǔ)+以+可皿，再求出+公+比、[仙即可解決問題.

【詳解】不等式/一機(jī)4依+6與丁+加等價(jià)于T/JW-V+ar+b4%即卜丁+奴+闿4m,

原命題等價(jià)于存在實(shí)數(shù)a,b,對(duì)任意實(shí)數(shù)xe[0,l]不等式卜丁+依+力歸〃?恒成立，

等價(jià)于存在實(shí)數(shù)。，b,不等式kV+4機(jī)成立，

i己/(x)=-x3+ax+b,則f\x)=-3x2+a,

（1）當(dāng)〃W0時(shí)，對(duì)任意工￡[0內(nèi)，恒成立，即/⑴在[0,1]上單調(diào)遞減

①當(dāng)a+b—1+匕20,即629時(shí)，|/(X)L=6,

②當(dāng)a+匕一l+b<0,即6<寧時(shí)，|/(x)L=-?-/?+1,

.、\-a

b>---

b2

從而當(dāng)aWO時(shí)，gS）=

-a-b+\.\-a

b<---

2

則gS）在（7,1黑）上單調(diào)遞減，在詈,+0。上單調(diào)遞增,

ZL\J-]_q1

所以gS)min=g(—^-)=~Y~~2；

（2）當(dāng)0<“<3時(shí)，令尸（力=0,解得x=

/（X）在區(qū)間0,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

f(o)=b,f,f(l)=a+b-\,

①當(dāng)0<aVl時(shí)a+IWb,此時(shí)〃+6-14/(%)嚀t+6,

。)當(dāng)“+。一1+與,+6<0即/7<3-(“一'|,時(shí),|/U)|?BX--a-b+\,

0當(dāng)。+。―1+年汽+匹。即/在;一:"三汽時(shí)'\f(x)\nm+'

—2a—h+Sb<---a——.l^-

?23V3

從而當(dāng)0<〃41時(shí);gS)={2a[a

TV3

則g(b)在區(qū)間卜8,J?上單調(diào)遞減，在區(qū)間11

—a匕單調(diào)遞增,

2U*3+8

13記g)=9#+產(chǎn),

=----r2+r3

22

則”(/)=3/-3。=3，。-1),

4⑺<0恒成立,

即MJ)在區(qū)間0,J1上單調(diào)遞減,即力Q)m,“

即gS)min~~Y；

②當(dāng)l<a<3時(shí)。+6—1>6,此時(shí)/(x)<y^1+/?,

a)當(dāng)匕+4g+6<0即匕時(shí)，|/(x)L=-b,

協(xié)當(dāng)"等患+b"即b冶祗時(shí),W]祗+從

\-b

—3V3

從而當(dāng)l<a<3時(shí)，gib)=\2a[a,j—，

+b

-3TV\h3,bi>、——aJ—a

3V3

則gS)在區(qū)間-8,-1,)上單調(diào)遞減，在區(qū)間卜三器,+8上單調(diào)遞增,

(3)當(dāng)aN3時(shí),對(duì)任意xe3,1],/'(x)N0恒成立，即，㈤在[0J上單調(diào)遞增,

b<f(x)<a+b-\

①當(dāng)a+8—1+Z?之()，即人之一--時(shí)，=〃+/?-1,

②當(dāng)〃+匕一1+6<0,即6<寧時(shí)，|/(刈3=一6,

卜＞l-a

2a+b-8'-2

從而當(dāng)時(shí)，g(b)=

-b,\-a"

出＜丁

則g?在(-8,寧)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

1—a(11

所以8(”而=8(與一)=-^21；

綜上所述，g(6)1nhi=,，

所以加之也.

9

故選：A

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化:

一般地，已知函數(shù)丁=〃無),工￡[。,句，y=g(x),x￡[c,d]

(1)若Vx,w[a,b],在小,可，總有了(占)<8仇)成立，故/&)1mx；

(2)若％w[a,b],切十/],有〃玉)<8(/)成立,故/(5)皿<8仇)1rax;

t

(3)若叫e[a,可,Hx2e[c,J],有〃xj<g(w)成立，故/(石)而11Vge2)一；

(4)若向不回,叫w[c,d],有“x)=g(w),則〃x)的值域是g(x)值域的子集.

二、填空題

5.(2023?上海崇明?統(tǒng)考二模)若函數(shù)y=je—*龍>0的圖像上點(diǎn)A與點(diǎn)8、點(diǎn)C與點(diǎn)O分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，除此

ax2,x<0

之外，不存在函數(shù)圖像上的其它兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】[

【分析】由題意將問題轉(zhuǎn)化為了(X)在(-8,0)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后與(0,+8)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即轉(zhuǎn)化為方程

m=-"在(0，+8)上有兩根，孤立參數(shù)為-"力在(0,+8)上有兩根，求導(dǎo)確定函數(shù)y=三的單調(diào)性與取值情

ecc

況，作出大致圖象，即可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】若/(X)有兩組點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則/(X)在(-8,0)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后與(0,+8)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).

由x<0時(shí)，/(x)=or2；得其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后的解析式為y=-ax2.

問題轉(zhuǎn)化為尸二與y=-/在(0,+o))上有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程J=-ax2有兩根,

化簡得-a=5,即y=-a與y=j在(o,y)上有兩個(gè)交點(diǎn).

Y1—X1—Y

對(duì)于>=-7，求導(dǎo)y'=一1，令y'=——>0,解得：%<1,

eee

即：當(dāng)x?0,l)時(shí)，y=(■單調(diào)遞增；

令歹=一<0,解得：x>\.

e

即：當(dāng)X?L”)時(shí)，)，==單調(diào)遞減，

二x=l為其極大值點(diǎn)，y=-,xf+?:時(shí)，yfo；畫出其大致圖像:

milxe

欲使尸、與丁=己在X>0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，則-即

6.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)“X)在R上非嚴(yán)格遞增，滿足/(尤+l)=/(x)+l,g(x)=若存在

符合上述要求的函數(shù)及實(shí)數(shù)3,滿足g5+4)=g(M)+l,則。的取值范圍是.

【答案】(T一2)(2,4)

【分析】根據(jù)題意整理可得：對(duì)V〃eN*,則/(x+〃)=/(x)+〃，分類討論看,q+4的取值范圍，分析運(yùn)算.

【詳解】V/(x+l)=/(x)+l,即f(x+l)_f(x)=l

對(duì)V“eN",則/(x+/)=[/(x+〃)―/(x+〃-l)]+[/(x+〃_l)_/(x+”-2)]+...+[/(x+l)-f(x)]+/(x)

=1+1+…+l+/(x)="+/(x),

故對(duì)X7〃eN*，則/(了+小=/口)十〃，

：g(巾+4)=g(毛)+1,則有：

1.當(dāng)X。4-12時(shí)，則與+44-8,

可得/(毛+4-4)=/(%-。)+4=/(%-。)+1,不成立；

2.當(dāng)一12<%)K-8時(shí)，貝ij-8<%)+4W—4,

可得了(%+4)=/(%>)+4=/($—a)+l,則/(七一a)=/(%)+3,

若—a=3,解得。=一3,符合題意；

特別的：^imf(x)=k,xe[k,k+l),keZ,取A0G{-11,—10,-9,—8},則34-。<4,解得~4<a4-3；

例如/(x)=A,xe(A,k+l],/reZ,取毛e{-ll,-10,-9,一8},則2<-a43,解得-4<a<-2；

故-4<aM-3：

3.當(dāng)一8</<4時(shí)，則一4<%+4<8,

可得/(/+4)=〃為)+4=〃毛)+1,不成立；

4.當(dāng)44/<8時(shí)，則84題+4<12,

可得，(％+4-&)=/(%-a)+4=/(%)+l,則/(七)=/(不一。)+3,

若”=3,解得a=3,符合題意；

特別的：例如/(%)=如XW[&,1+1),AGZ,取$w{4,5,6,7},則34a<4；

例如/(x)=A,xe(k,Z+l],%eZ,取用w{4,5,6,7},貝i」2<a43；

故34。<4；

5.當(dāng)飛28時(shí)，則%+4*12,

可得/(為+4-。)=/(%—a)+4=〃x°-q)+l,不成立；

綜上所述：。的取值范圍是(Y,-2)(2,4).

故答案為：(7,-2)(2,4).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

(1)對(duì)〃x+l)=/(x)+l,結(jié)合累加法求得/(x+〃)=/(x)+〃；

(2)對(duì)于分段函數(shù)，一般根據(jù)題意分類討論，本題重點(diǎn)討論/+4與±8的大小關(guān)系；

(3)對(duì)特殊函數(shù)的處理，本題可取〃x)=%,xe[Z,/+l),AwZ和f(x)=k,x&(k,k+l],k&Z.

三、解答題

7.(2022?上海長寧.統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,也)，若存在常數(shù)7>0,使得對(duì)任意x?0,田)，

都有/(笈)=〃x)+T,則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(T).

⑴若函數(shù)〃x)具有性質(zhì)P(2),求/⑵的值

⑵設(shè)〃x)=log“x,若0”<1,求證:存在常數(shù)T>0,使得/(x)具有性質(zhì)P(T)

(3)若函數(shù)/(x)具有性質(zhì)P(T),且/(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，求證：函數(shù)/(x)在(0,+司上存在零點(diǎn).

【答案】(1)〃2)_/(￡|=4

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】⑴對(duì)任意x?O,M),都有〃2x)=/(力+2,代入x=2和x=；即可得出答案；⑵設(shè)

g(x)=logux-x,利用零點(diǎn)存在性定理即可證得結(jié)論；(3)先轉(zhuǎn)化為/(T"x)="x)+〃T,然后令x=l得,

f(T")=f^+nT,分情況利用零點(diǎn)存在性定理證得結(jié)論.

【詳解】⑴函數(shù)“X)具有性質(zhì)尸(2),

所以對(duì)任意xe(O,M),都有〃2x)=〃x)+2,

令x=2,得〃2)=〃1)+2,

令A(yù)*得〃1)=嗎)+2,

所以/(2)-/(￡]=4.

(2)證明：函數(shù)/(“具有性質(zhì)P(T)的充要條件為

存在T>0,使得log“(7k)=log?x+T,即log?T=T,

設(shè)g(x)=log“x-x,

因?yàn)間⑴=T<0，g(a)=l-a>0,

所以在區(qū)間(a,1)上函數(shù)g(x)存在零點(diǎn)%,

取7=與，則logoTnT,

得函數(shù)〃x)具有性質(zhì)P(T).

(3)設(shè)MN*,因?yàn)?(7k)=/(x)+T,

所以/(T"x)=〃x)+〃T,

令x=l得，f(T")=f(l)+nT,

①若〃1)=0,則函數(shù)“X)存在零點(diǎn)

若J⑴<0,當(dāng)%>-型時(shí),")>0,

所以此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上存在零點(diǎn)

②因?yàn)椤╔)=/陶+"

所以

若/(1)>0,當(dāng)/>平時(shí)，/(廠'")<0,

所以此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上存在零點(diǎn).

綜上，函數(shù)/(x)在(0,也)上存在零點(diǎn).

8.(2022.上海閔行.統(tǒng)考二模)對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)y=/(x),若存在實(shí)數(shù)。使得/(x+a)+/(x)=2對(duì)任意

xwR恒成立，則稱函數(shù)y=/(x)具有尸⑷性質(zhì).

⑴判斷函數(shù)工(x)=V與/(x)=l+sinx是否具有P(a)性質(zhì)，若具有尸⑷性質(zhì)，請(qǐng)寫出一個(gè)。的值，若不具有P(a)

性質(zhì)，請(qǐng)說明理由；

⑵若函數(shù)y=/(x)具有P(2)性質(zhì)，且當(dāng)xw[0,2]時(shí)，/(x)=|x-l|,解不等式"x"?

(3)已知函數(shù)y=/(x),對(duì)任意xeR,〃x+l)=/(x)恒成立，若由“y=/(尤)具有「思性質(zhì)”能推出“小)恒等

于1”，求正整數(shù)”的取值的集合.

【答案】(1)工(力=人不具有P(a)性質(zhì),理由見解析；力(x)=l+sinx具有性0)性質(zhì),a=n(只要滿足

a=(2《+l);r(/:eZ)即可)

■42~lz、

(2)4A-§，4Z-§(左b)

(3){4+12幺8+12%,12+12?(左eN)

【分析】⑴根據(jù)工(2+。)+/(2)24可知工(%)=會(huì)不具有P(a)性質(zhì);當(dāng)。=(2%+1)萬(壯Z)時(shí)，結(jié)合誘導(dǎo)公式

可知」(x+a)+&(x)=2,可得力(x)=l+sinx具有P(a)性質(zhì)；

(2)由〃x+2)+〃x)=2可推導(dǎo)得到f(x)是以4為周期的周期函數(shù)；分別在xe[(),2]和xe[-2,0]的情況下，解

不等式，根據(jù)周期性可得到結(jié)論；

(3)由/(x+l)=/(x)可知只需研究14〃412(〃eN*)的情況；當(dāng)”=4k46次eN*)、〃=2、〃=6和

”=10時(shí)，通過反例可知不合題意；當(dāng)〃=12、〃=8和”=4時(shí)，結(jié)合〃x+a)+〃x)=2可推導(dǎo)得到〃x)=l,由

此可得取值集合.

【詳解】(1)/(x)=V不具有P(a)性質(zhì)，理由如下：

對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,/(2+a)+,力(2)=(2+a『+424,即工(2+。)+力⑵工2,

=f不具有pg)性質(zhì)；

人(x)=l+sinx具有P(a)性質(zhì)，

若a=(2k+l)乃(ZeZ),貝!|f2(x+a)+yj(x)=l+sin(x+(2々+l)%)+l+sinx=2-sinx+sinx=2；

???a的一個(gè)取值為力(只要滿足a=(2左+1)乃(AwZ)即可).

(2)由〃x+2)+〃x)=2得：/(x+4)+/(x+2)=2,.-./(x+4)=/(x),

\/(x)是以4為周期的周期函數(shù)；

當(dāng)xe[0,2]時(shí)，/(x)=|x-l|>|,不等式無解；

當(dāng)xe[-2,0]時(shí),x+2e[0,2],則f(x+2)=|x+l|,

?■?/(?^)=2-/(X+2)=2-|X+1|>|,解得：-<x<―；

5「42-

綜上所述：當(dāng)xe[-2,2]時(shí)，”x)z|的解集為；

??.〃刈之；的解集為4k--Ak--(ZeZ).

(3)/(x+l)=/(x),.?J(x+Z)=/(x)(AeZ),則只需研究14〃412("eN*)的情況;

①當(dāng)，?=2%-104Z46,keN*)時(shí),

0,04x<—,、

令/(x)=(,[且dx+、|=/(x)對(duì)于任意xwR恒成立,

2,-L<X<1I6J

I126

此時(shí)“X)滿足〃x+l)=/(x)，并具有「⑶性質(zhì)，但“X)不恒等于1;

②當(dāng)〃=2時(shí)，導(dǎo)/當(dāng)〃=6時(shí)，對(duì);當(dāng)〃=10時(shí),W；

0,0Wx<—

6且/(x+g)=/(x)對(duì)于任意

令f(x)=<x$R恒成立,

2c,—1<x<1—

63

n

此時(shí)〃力滿足/。+1)=〃力,并具有P性質(zhì)，但)不恒等于

n“X1;

③當(dāng)”=12時(shí)，/(x+l)=/(x),/(x+l)+/(x)=2,;./(x)=l,滿足題意；

④當(dāng)"=8時(shí)，|+|)+〃x)=2,.?.《x+g)+f[x+|)=2,

二/1+3=〃力，又f(x+l)=/(x),.?./(x+l)=/(x+3，?,?/(x+￡|=〃x)，

則小+[)+/(*)"0+g)+f(x)=2/(x)=2,”(x)=l,滿足題意；

⑤當(dāng)〃=4時(shí)，/(x+g)+/(x)=2,；./(x+|)+/(x+g)=2,

???/(x+g)=/(x)，又/(x+l)=/(x),.?.f(x+|)=f(x+1),.?./(X+；)=〃X),

貝(1/(X+￡|+/(X)=2/(X)=2,.-./(X)=1)滿足題意；

綜上所述：當(dāng)14〃412(〃eN*)時(shí)，滿足題意的〃的取值集合為｛4,8,12｝,

滿足題意的正整數(shù)"的取值的集合為｛4+12%,8+12%,12+12"(ZeN).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)中的新定義運(yùn)算問題；解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知抽象函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)得到函數(shù)

的周期性，進(jìn)而根據(jù)周期性可將所研究的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)關(guān)系式的求解問題.

9.(2023?上海寶山?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(力=*2一奴_“，aeR.

⑴判斷函數(shù)的奇偶性；

(2)若函數(shù)F(x)=r/(x)在x=l處有極值，且關(guān)于x的方程F(x)=加有3個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍；

⑶記g(x)=-e'(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若對(duì)任意小々e[0,e]且百＞當(dāng)時(shí)，均有|/(百)一〃々)|＜卜(5)-8(*2)|

成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(l)a=0時(shí)，f(x)為偶函數(shù)；axO時(shí)，f(x)為非奇非偶函數(shù)

⑵[-*1；

⑶[21n2-2,l].

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及奇偶函數(shù)的定義，即可判斷；

(2)根據(jù)極值，求出a=l,得到/(為二X3-/-》，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，判斷尸(幻=機(jī)有3個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，機(jī)的

取值范圍；

(3)根據(jù)g(x)的單調(diào)性，問題轉(zhuǎn)化為gGAgGk/GA/HkgGFga)，整理得，

/(X)4-￡(X.)＜f(X)+g(X)

[[2一0,分別判斷函數(shù)/a)+g(x)和函數(shù)/a)-g(x)在[oe上的單調(diào)性，根據(jù)不等式恒成立

的性質(zhì)，分離參數(shù)，即可求出。的取值范圍.

【詳解】(1)f(x)=x2-cix-a,因?yàn)?(元)的對(duì)稱軸為x=T，故當(dāng)。=0時(shí)，/⑴的對(duì)稱軸為y軸，此時(shí)/")為

偶函數(shù)；。時(shí)，f(x)為非奇非偶函數(shù).

(2)廠=在x=l處有極值，因?yàn)槭?%)=%3一辦2一GX,則/(無)=3/一2以一。，故

Fr(l)=3—2a—a=0,得白=1；

F(X)=X3-X2-X,此時(shí)，F(xiàn)(x)=3x2-2x-1=(x-l)(3x+1),

故xe(ro,—3和(1，"°)上，尸(x)單調(diào)遞增，xe(-l1)±,尸。)單調(diào)遞減，

因?yàn)殛P(guān)于x的方程尸(x)=加有3個(gè)不同的實(shí)根，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)F⑴4機(jī)4尸(-；)時(shí)，滿足題意，得

,故"？

2727

(3)g(x)=-e*,g(x)單調(diào)遞減,對(duì)任意A、%e［O,e］且西>w時(shí),

g(七)-g(七)>0,g(X1)-g(X2)<0,

則對(duì)任意玉、々《O,e］且%時(shí)，均有(xj<|g(%)-g(x2)|成立，

轉(zhuǎn)化為,對(duì)任意玉、we［O,e］且%>七時(shí)，均有g(shù)(5)-8(%2)<“玉)-/(旦<8(馬)-g&)成立,即

|/(占)+g區(qū))</(々)+g?)

1/U|)-)>f^2)-g(x2)'

所以，函數(shù)/(x)+g(x)在［O,e|上單調(diào)遞減，函數(shù)/(x)-g。)在［O,e|上單調(diào)遞增，

①函數(shù)/(x)+g(x)在［0,e］上單調(diào)遞減，即f'(x)+g'(x)<0在10,e］上恒成立，

又因?yàn)?，f(x)=x2-ax-a,g(x)=—e",故/(x)+g，(x)=2x-a-e*W(),

得2x-e*4a在［0，e］上恒成立，令/J(X)=2x-e*,/?'(%)=2-ev,令"'(x)=0,得x=ln2,所以，〃(無)在［0,In2)上

單調(diào)遞增，在(In2,e］上單調(diào)遞減，故版x)2=〃(ln2)=21n2-2,故心21n2—2：

②函數(shù)/(x)-g(x)在［0,e|上單調(diào)遞增，即f\x)-g0)》0在［0,e|上恒成立，

又因?yàn)椋琭(x)=x2-ax-a,g(x)=—e",故((x)-g，(x)=2x-a+e*20,得

2x+e，”在［0,e］上恒成立,因?yàn)楹瘮?shù)y=2x+e、在［0,e］上為單調(diào)遞增函數(shù),故/n=1,此時(shí)，a<l：

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為：［21n2-25.

10.(2023?上海徐匯?南洋中學(xué)?？既?設(shè)函數(shù)/(》)=12+以+04卜*,其中。為常數(shù).對(duì)于給定的一組有序

實(shí)數(shù)(人,加),若對(duì)任意4、/eR,都有的-0(/)+間?&2-/(X2)+間20,則稱出⑼為/(x)的“和諧數(shù)組”.

(1)若a=0,判斷數(shù)組(0,0)是否為."X)的"和諧數(shù)組”，并說明理由；

(2)若a=4&，求函數(shù)，(x)的極值點(diǎn)；

(3)證明：若伏，㈤為f(x)的“和諧數(shù)組”,則對(duì)任意xeR,都有履-/(x)+〃?40.

【答案】⑴是/")的“和諧數(shù)組”，理由見解析；

⑵x=-2-2收為函數(shù)/(x)的一個(gè)極大值點(diǎn),x=-20為“X)的一個(gè)極小值點(diǎn).

(3)見解析

【分析】(1)代入有.f(x)=x2e',根據(jù)指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)性質(zhì)可得/(xhde'NO,再將％=帆=0代入

[kXy-/(^)+?].[^-/(%2)+?]即可證明；

(2)代入。值有/(力=任+4夜》+8卜',直接求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為0即可得到其極值點(diǎn);

(3)假設(shè)存在x°eR,使得5-/(引+加>0,通過和諧數(shù)組定義轉(zhuǎn)化得對(duì)任意xwR,心:-/(可+%20恒成立，設(shè)

2x

F(x)=(x+ax+^2ay-kx-m,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明假設(shè)不成立.

【詳解】⑴是f(x)的“和諧數(shù)組”，理由如下：

2

當(dāng)“=0時(shí),外力=Y爐.根據(jù)基函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),對(duì)任意xeR，都有/(x)=xe'20.對(duì)任意外x2eR，代入

k=rn=OM：[kxi-f(xl)+m]-[kx2-f(x2)+m]=f(xl)-f(x2)>Q.

.??(0,0)是〃x)的“和諧數(shù)組”.

(2)當(dāng)。=4及J(x)=12+4&x+qe"'，

.?./(力=卜+(2+4&卜+8+4&卜=1+2⑹(x+2+2?e”于是可列表如下：

X（f,-2-2近）-2-2V2（-2-2夜2應(yīng)）-272卜2夜,+8)

/(X)+0—0+

/(X)/極大值、極小值JI

.?.x=-2-20為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn),x=-20為“X)的一個(gè)極小值點(diǎn).

(3)反證法:假設(shè)存在xoeR，使得kx0-f(x0)+m>0,則對(duì)任意xoeR，都有[白)-f(%)+%]?[壇>-f(%)+叱]20.

對(duì)任意xeR,去一/(x)+mN0恒成立.令F(X)=儼+以+逝。卜*-日-機(jī)，則*x)M0在R上恒成立，

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，必存在t<>>0使得當(dāng)x>%吐f+依+億>0恒成立，且此時(shí)e'>1,

...當(dāng)時(shí)有尸(x)=(x?+ax+-Jla^ex-kx-m>x1+ax+\[la-kx-m,

2

a-k七互+缶一小

其中％2+辦+yf2a-kx—m=x+------

24

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，必存在內(nèi)>4使得當(dāng)X>不時(shí)，F(xiàn)(x)>x2+ax+>j2a-kx-m>0.

這與F(x)40在R上恒成立矛盾.

???對(duì)任意xeK都有kx-f(x)+m<0

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第3問的關(guān)鍵是運(yùn)用反證法，首先假設(shè)存在x°eR,使得依。-/(玉)+機(jī)>0,根據(jù)和諧數(shù)組

的定義轉(zhuǎn)化得存在x°eR,使得/(%)+〃?>(),設(shè)尸(月=任+如+夜。卜一米-〃?，通過二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的

圖象與性質(zhì)即可推理出與假設(shè)矛盾的結(jié)論，最后即得到證明.

11.(2023?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預(yù)測)設(shè)y="X)是定義在R上的奇函數(shù).若y=/⑷。>0)是嚴(yán)格

X

減函數(shù),則稱為“。函數(shù)”.

⑴分別判斷y=Tx|和y=sinx是否為。函數(shù)，并說明理由：

(2)若y=J■二-《是。函數(shù)，求正數(shù)。的取值范圍；

⑶已知奇函數(shù)y=Rx)及其導(dǎo)函數(shù)y=F'(x)定義域均為R.判斷“y=F(x)在(0,+時(shí)上嚴(yán)格減”是“y=F(x)為。

函數(shù)”的什么條件，并說明理由.

【答案】(l)y=—是。函數(shù),y=si3不是。函數(shù)，理由見解析

(2)0<a<l

(3)“y=F'(x)在(0,+切上嚴(yán)格減”是“y=F(x)為。函數(shù)”的充分非必要條件，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)“。函數(shù)”的定義結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性判斷即可：

(2)令g(x)=^j^r句=1x(1+“,)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性即可求解；

(3)先用特殊函數(shù)丫=怠作為反例說明"y=F'(x)在(0,+8)上嚴(yán)格減，，不是“y=F(x)為。函數(shù)”的必要條件，

再構(gòu)造"(x)=xF'(〃)-F(x),〃>。，G(x)=x,F(x)-xF(x,),利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、最值的關(guān)系證明

叢義<￡應(yīng)，根據(jù)單調(diào)性定義即可證明"y=F'(x)在(。,+8)上嚴(yán)格減”是“y=F(x)為。函數(shù)”的充分條件.

占X]

【詳解】(1)設(shè)，(尢)=-x|R,4(x)=sinx,

所以/(-x)=布=T(x),2(-x)=-sinx=-2(x),

所以丁=「￥可和丁=sinx均為定義在R上的奇函數(shù).

當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=*=-x嚴(yán)格減，故y=-x|R是。函數(shù).

X

ciny

而當(dāng)X=7T和X=2兀時(shí)，二一=0,不是。函數(shù).

1112優(yōu)+11優(yōu)—1

(2)y=

優(yōu)+122(優(yōu)+1優(yōu)+15.優(yōu)+1

設(shè)皿加^高,定義域?yàn)镽’

5」J—U…,

2a~x+\2\+ax

所以"看一；是定義在R上的奇函數(shù).

y=六一;=°不是°函數(shù)'下設(shè)awl.

當(dāng)a=1時(shí),

令8(加兀,+1_121\-ax

當(dāng)x>0時(shí),=2^+*,

一優(yōu)(1+優(yōu))X1M-(1一優(yōu))(1+優(yōu)+xax\na)_/2xax\na

則g，(/力\=不1

/(1+優(yōu))~2元2(1+優(yōu)丫

再設(shè)/z(x)=crx-1-2xax\na,則//(x)=2a2'Ina-2ax\na-2xax(lna)2=2a"Ina(優(yōu)一1一xlna).

設(shè)"(x)=e*-1-x,n'(x)=ex-1,

所以當(dāng)x<0時(shí)，〃'(x)<0,函數(shù)”(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>0時(shí)，nr(x)>0,函數(shù)”(x)單調(diào)遞增,

所以"(x)=e