江蘇省南京市玄武2023-2024學年中考數(shù)學仿真試卷含解析

江蘇省南京市玄武2023-2024學年中考數(shù)學仿真試卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.一組數(shù)據(jù)：3,2,5,3,7,5,X,它們的眾數(shù)為5,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.2B.3C.5D.7

2.搶微信紅包成為節(jié)日期間人們最喜歡的活動之一.對某單位50名員工在春節(jié)期間所搶的紅包金額進行統(tǒng)計，并繪

制成了統(tǒng)計圖.根據(jù)如圖提供的信息，紅包金額的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

3

102030501口00金額（元）

A.20,20B.30,20C.30,30D.20,30

3.在AABC中，AB=3,BC=4,AC=2,D,E,F分別為AB,BC,AC中點，連接DF,FE,則四邊形DBEF的周

長是（）

如果向北走6km記作+6km,那么向南走8km記作（

A.+8kmB.-8kmC.+14kmD.-2km

5.在△ABC中，AB=AC=13,BC=24,貝！JtanB等于（

512

13T

6.如圖所示，若將AABO繞點。順時針旋轉180。后得到△AiBiO,則A點的對應點Ai點的坐標是（）

A.(3,-2)B.(3,2)C.(2,3)D.(2,-3)

7.截至2010年“費爾茲獎”得主中最年輕的8位數(shù)學家獲獎時的年齡分別為29,28,29,31,31,31,29,31,則由

年齡組成的這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()

A.28B.29C.30D.31

8.如圖，以O為圓心的圓與直線y=-x+括交于A、B兩點，若AOAB恰為等邊三角形，則弧AB的長度為()

2C加r

A.—71B.713

3

9.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△AiBiG是以點P為位似中心的位似圖形，且頂點都在格點上，則點P的

坐標為()

10.如圖，比例規(guī)是一種畫圖工具，它由長度相等的兩腳AC和BD交叉構成，利用它可以把線段按一定的比例伸長

或縮短.如果把比例規(guī)的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度3的地方（即同時使OA=3OC,OB=3OD）,然后張開兩腳,

使A,B兩個尖端分別在線段a的兩個端點上，當CD=1.8cm時，則AB的長為（）

A.7.2cmB.5.4cmC.3.6cmD.0.6cm

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.已知關于x的方程x2+kx-3=0的一個根是x=-l,則另一根為.

12.如圖，矩形OABC的邊OA,OC分別在x軸，y軸上，點B在第一象限，點D在邊BC上，且NAOD=30。，四

邊形OA，B，D與四邊形OABD關于直線OD對稱（點A，和A,點B，和B分別對應）.若AB=2,反比例函數(shù)y=-（k/0）

x

的圖象恰好經(jīng)過A，，B,則k的值為.

13.親愛的同學們，在我們的生活中處處有數(shù)學的身影.請看圖，折疊一張三角形紙片，把三角形的三個角拼在一起,

就得到一個著名的幾何定理，請你寫出這一定理的結論：“三角形的三個內角和等于1

RF

14.將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則五二的值是

r-L

15.觀察圖形，根據(jù)圖形面積的關系，不需要連其他的線，便可以得到一個用來分解因式的公式，這個公式是

3+?占川

16.如圖,已知圓O的半徑為2,A是圓上一定點,B是OA的中點,E是圓上一動點，以BE為邊作正方形BEFG（B、E、F、

G四點按逆時針順序排列），當點E繞。O圓周旋轉時，點F的運動軌跡是_________圖形

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）為了保障市民安全用水，我市啟動自來水管改造工程，該工程若甲隊單獨施工，恰好在規(guī)定時間內完成；

若由乙隊單獨施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的3倍.若甲、乙兩隊先合作施工45天，則余下的工程甲隊還

需單獨施工23天才能完成.這項工程的規(guī)定時間是多少天？

18.（8分）在眉山市櫻花節(jié)期間，岷江二橋一端的空地上有一塊矩形的標語牌ABCD（如圖）.已知標語牌的高AB=5m,

在地面的點E處，測得標語牌點A的仰角為30。，在地面的點F處，測得標語牌點A的仰角為75。，且點E,F,B,

C在同一直線上，求點E與點F之間的距離.（計算結果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：后1.41,6M.73）

19.（8分）已知AC=DC,AC±DC,直線MN經(jīng)過點A,作DBLMN,垂足為B,連接CB.

（1）直接寫出ND與NMAC之間的數(shù)量關系；

（2）①如圖1,猜想AB,BD與BC之間的數(shù)量關系，并說明理由;

②如圖2,直接寫出AB,BD與BC之間的數(shù)量關系；

（3）在MN繞點A旋轉的過程中，當NBCD=30。，BD=0時，直接寫出BC的值.

20.（8分）某校計劃購買籃球、排球共20個.購買2個籃球，3個排球，共需花費190元；購買3個籃球的費用與購

買5個排球的費用相同.籃球和排球的單價各是多少元？若購買籃球不少于8個，所需費用總額不超過800元.請你

求出滿足要求的所有購買方案，并直接寫出其中最省錢的購買方案.

DF的位置關系，并

說明理由.

22.（10分）如圖，甲、乙為兩座建筑物，它們之間的水平距離BC為30m,在A點測得D點的仰角NEAD為45。,

在B點測得D點的仰角NCBD為60。.求這兩座建筑物的高度（結果保留根號）.

23.（12分）如圖，以D為頂點的拋物線y=-x2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C,直線BC的表達式為y=

-x+1.求拋物線的表達式；在直線BC上有一點P,使PO+PA的值最小，求點P的坐標；在x軸上是否存在一點Q,

使得以A、C、Q為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不，存在，請說明理由.

24.如圖，在平行四邊形ABCD中，連接AC,做AABC的外接圓（30,延長EC交OO于點D,連接BD、AD,BC

與AD交于點F分，ZABC=ZADB?

(1)求證：AE是。O的切線；

(2)若AE=12,CD=10,求。。的半徑。

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、C

【解析】

分析：眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，一組數(shù)據(jù)可以有多個眾數(shù)，也可以沒有眾數(shù)；中位數(shù)是指將數(shù)

據(jù)按大小順序排列起來形成一個數(shù)列，居于數(shù)列中間位置的那個數(shù)據(jù).根據(jù)定義即可求出答案.

詳解：,??眾數(shù)為5,；.x=5,J.這組數(shù)據(jù)為：2,3,3,5,5,5,7,...中位數(shù)為5,故選C.

點睛：本題主要考查的是眾數(shù)和中位數(shù)的定義，屬于基礎題型.理解他們的定義是解題的關鍵.

2、C

【解析】

根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)就是眾數(shù)，把一組數(shù)據(jù)按照大小順序排列，中間那個數(shù)或中間兩個

數(shù)的平均數(shù)叫中位數(shù).

【詳解】

捐款30元的人數(shù)為20人，最多，則眾數(shù)為30,

中間兩個數(shù)分別為30和30,則中位數(shù)是30,

故選C.

【點睛】

本題考查了條形統(tǒng)計圖、眾數(shù)和中位數(shù)，這是基礎知識要熟練掌握.

3、B

【解析】

113

試題解析：E、尸分另U為43、BC、AC中點，：.DF=-BC=2,DF//BC,EF=—AB=—,EF//AB,二.四邊形

222

3

O5E歹為平行四邊形，二四邊形ZZBE尸的周長=2(DF+EF)=2x(2+-)=1.故選B.

2

4、B

【解析】

正負數(shù)的應用，先判斷向北、向南是不是具有相反意義的量，再用正負數(shù)表示出來

【詳解】

解：向北和向南互為相反意義的量.

若向北走6km記作+6km,

那么向南走8km記作-8km.

故選：B.

【點睛】

本題考查正負數(shù)在生活中的應用.注意用正負數(shù)表示的量必須是具有相反意義的量.

5、B

【解析】

如圖，等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=24,

過A作AD_LBC于D,貝|BD=12,

在R3ABD中，AB=13,BD=12,則,

AD=VAB2-BD2=5，

,,AD5

故tanB==—.

BD12

故選B.

【點睛】考查的是銳角三角函數(shù)的定義、等腰三角形的性質及勾股定理.

6、A

【解析】

由題意可知，點A與點Ai關于原點成中心對稱，根據(jù)圖象確定點A的坐標，即可求得點Ai的坐標.

【詳解】

由題意可知，點A與點Ai關于原點成中心對稱，

??,點A的坐標是（-3,2）,

點A關于點O的對稱點A，點的坐標是（3,-2）.

故選A.

【點睛】

本題考查了中心對稱的性質及關于原點對稱點的坐標的特征，熟知中心對稱的性質及關于原點對稱點的坐標的特征是

解決問題的關鍵.

7、C

【解析】

根據(jù)中位數(shù)的定義即可解答.

【詳解】

解：把這些數(shù)從小到大排列為：28,29,29,29,31,31,31,31,

29+31

最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)是：——=30,

2

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是30；

故本題答案為：C.

【點睛】

此題考查了中位數(shù)，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平

均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

8、C

【解析】

過點。作

Vy=-X+A/3,

AD(V3,0),C(0,V3),

ACOD為等腰直角三角形，ZODC=45°,

OE=OD-sin450=V3--.

22

???△Q鉆為等邊三角形，

，Z(MB=60°,

“。=上=如4=0.

sin6002g

AB=2TI-r=2J^7t?—=n.故選C.

360063

9、A

【解析】

延長AiA>BiB和CiC,從而得到P點位置，從而可得到P點坐標.

【詳解】

如圖，點P的坐標為(-4,-3).

故選A.

【點睛】

本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣

的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.

10、B

【解析】

，，—上「人―、TdCDOC”1.81

【分析】由已知可證△ABOsCDO,故=---，即=—.

ABOAAB3

【詳解】由已知可得，AABO^CDO,

b,,CDOC

所以，--=

ABOA

sr1-81

所以，---=二，

AB3

所以，AB=5.4

故選B

【點睛】本題考核知識點：相似三角形.解題關鍵點：熟記相似三角形的判定和性質.

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

11、1

【解析】

設另一根為X”根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得出-1?X2=-1,即可求出答案.

【詳解】

設方程的另一個根為X2,

則-1XX2=-1,

解得：X2=l,

故答案為1.

【點睛】

b

本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系：如果X“X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(awo)的兩根，那么xi+xz=-—,

a

c

X1X2=—.

a

12、逋

3

【解析】

解：；四邊形ABCO是矩形，AB=1,

.,.設B(m,1),.*.OA=BC=m,

:四邊形OA，B，D與四邊形OABD關于直線OD對稱，

，OA，=OA=m,ZAfOD=ZAOD=30°

，ZA,OA=60°,

過A，作A，E_LOA于E,

/.OE=—m,A,E=^-m,

22

.,.Ar(~m,走m),

22

?.?反比例函數(shù)V=A(k/0)的圖象恰好經(jīng)過點A，，B,

13、1

【解析】

本題主要考查了三角形的內角和定理.

解：根據(jù)三角形的內角和可知填：1.

14、2

3

【解析】

試題分析：VZBAC=ZACD=90°,AAB/7CD.

BEAB

AAAABE^AADCE....—=——.

ECCD

?.?在RtAACB中NB=45。，/.AB=AC.

AC/-

■:在RtACD中，ZD=30°,:.CD=------=，3AC.

tan30°

.BE_AB_AC73

"EC_CD-^AC_T'

15->(a+b)——ci~+2ab+b~

【解析】

由圖形可得:(a+^)2=cr+2ab+b2

16、圓

【解析】

根據(jù)題意作圖，即可得到點F的運動軌跡.

【詳解】

如圖，根據(jù)題意作下圖，可知F的運動軌跡為圓。O，.

【點睛】

此題主要考查動點的作圖問題，解題的關鍵是根據(jù)題意作出相應的圖形，方可判斷.

三、解答題（共8題，共72分）

17、這項工程的規(guī)定時間是83天

【解析】

依據(jù)題意列分式方程即可.

【詳解】

設這項工程的規(guī)定時間為x天，根據(jù)題意得

紇匕+石J+三

解得x=83.

檢驗：當x=83時，3x#0.所以x=83是原分式方程的解.

答：這項工程的規(guī)定時間是83天.

【點睛】

正確理解題意是解題的關鍵，注意檢驗.

18、7.3米

【解析】

：如圖作FH_LAE于H.由題意可知NHAF=NHFA=45。，推出AH=HF,設AH=HF=x,貝！JEF=2x,EH=g'x,在

RtAAEB中，由/E=30。，AB=5米，推出AE=2AB=10米，可得x+S"x=10,解方程即可.

【詳解】

解：如圖作FH_LAE于H.由題意可知NHAF=NHFA=45。,

/.AH=HF,設AH=HF=x,貝！|EF=2x,

在RtAAEB中，,:ZE=30°,AB=5米，

.?.AE=2AB=10米，

,*.X+73X=10,

.\x=5yf2~5，

/.EF=2x=10/3-10-7.3米，

答：E與點F之間的距離為7.3米

【點睛】

本題考查的知識點是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，解題的關鍵是熟練的掌握解直角三角形的應用-仰角俯角問

題.

19、(1)相等或互補；(2)①BD+AB=&BC；②AB-BD=及BC；(3)BC=g+l或者—1.

【解析】

(1)分為點C,D在直線MN同側和點C,D在直線MN兩側，兩種情況討論即可解題，

(2)①作輔助線，證明△BCD絲AFCA,得BC=FC,NBCD=NFCA,NFCB=90。,即△BFC是等腰直角三角形，即可

解題，②在射線AM上截取AF=BD,連接CF,證明△BCD^^FCA,得△BFC是等腰直角三角形，即可解題，

(3)分為當點C,D在直線MN同側，當點C,D在直線MN兩側，兩種情況解題即可，見詳解.

【詳解】

解：(1)相等或互補；

理由：當點C,D在直線MN同側時，如圖1,

VAC±CD,BD±MN,

...NACD=NBDC=90。，

在四邊形ABDC中，ZBAD+ZD=3600-ZACD-ZBDC=180°,

*.?ZBAC+ZCAM=180°,

；.NCAM=ND；

當點C,D在直線MN兩側時，如圖2,

VZACD=ZABD=90°,ZAEC=ZBED,

，NCAB=ND,

,:ZCAB+ZCAM=180°,

.,.ZCAM+ZD=180°,

即：ND與NMAC之間的數(shù)量是相等或互補;

(2)①猜想：BD+AB=V2BC

如圖3,在射線AM上截取AF=BD,連接CF.

又,.,/□=NFAC,CD=AC

/.△BCD^AFCA,

.,.BC=FC,ZBCD=ZFCA

；AC_LCD

.\ZACD=90°

BPZACB+ZBCD=90°

.\ZACB+ZFCA=90°

即NFCB=90°

：.BF=?BC

VAF+AB=BF=V2BC

--.BD+AB=V2BC?

M

B

圖3

D

②如圖2,在射線AM上截取AF=BD,連接CF,

又,，ND=NFAC,CD=AC

/.△BCD^AFCA,

/.BC=FC,ZBCD=ZFCA

；AC_LCD

.\ZACD=90°

即NACB+NBCD=90°

/.ZACB+ZFCA=90°

即NFCB=90°

???BF="BC

；AB-AF=BF=Vig。

；.AB-BD=yfiBC；

D

(3)①當點C,D在直線MN同側時，如圖3-1,

由(2)①知，AACF^ADCB,

；.CF=BC,ZACF=ZACD=90°,

；.NABC=45。，

VZABD=90°,

；.NCBD=45。，

過點D作DGLBC于G,

在RtABDG中，ZCBD=45°,BD=夜，

.?.DG=BG=1,

在RtACGD中，ZBCD=30°,

/.CG=73,DG=G

.,.BC=CG+BG=73+1,

②當點C,D在直線MN兩側時，如圖2-1,

過點D作DGLCB交CB的延長線于G,

同①的方法得，BG=1,CG=g",

/.BC=CG-BG=73-1

即：BC=73+1或6—1,

本題考查了三角形中的邊長關系，等腰直角三角形的性質，中等難度,分類討論與作輔助線是解題關鍵.

20、（1）籃球每個50元，排球每個30元.（2）滿足題意的方案有三種：①購買籃球8個，排球12個；②購買籃球9,

排球11個；③購買籃球2個，排球2個；方案①最省錢

【解析】

試題分析：（1）設籃球每個x元，排球每個y元，根據(jù)費用可得等量關系為：購買2個籃球，3個排球，共需花費190

元；購買3個籃球的費用與購買5個排球的費用相同，列方程求解即可；

（2）不等關系為：購買足球和籃球的總費用不超過1元，列式求得解集后得到相應整數(shù)解，從而求解.

試題解析：解：（D設籃球每個x元，排球每個y元，依題意，得：

2x+3y=190

3x=5y

答：籃球每個50元，排球每個30元.

(2)設購買籃球機個，則購買排球(20-m)個，依題意，得：

50m+30(20-/n)<1.

解得：

又,.,，論8,.*.8</n<2.

?.?籃球的個數(shù)必須為整數(shù)，.只能取8、9、2.

,滿足題意的方案有三種：①購買籃球8個，排球12個，費用為760元；②購買籃球9,排球11個，費用為780元;

③購買籃球2個，排球2個，費用為1元.

以上三個方案中，方案①最省錢.

點睛：本題主要考查了二元一次方程組及一元一次不等式的應用；得到相應總費用的關系式是解答本題的關鍵.

21、(1)見解析；(1)見解析.

【解析】

(1)由全等三角形的判定定理AAS證得結論.

(1)由(1)中全等三角形的對應邊相等推知點E是邊DF的中點，Z1=Z1；根據(jù)角平分線的性質、等量代換以及等

角對等邊證得DC=FC,則由等腰三角形的“三合一”的性質推知CE1DF.

【詳解】

解：(1)證明：如圖，???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC.

又?.?點F在CB的延長線上,

，AD〃CF.

AZ1=Z1.

?.?點E是AB邊的中點，

/.AE=BE,

Z1=Z2

V在小ADE與4BFE中，＜NDEA=ZFEB,

AE=BE

/.△ADE^ABFE(AAS).

(1)CE±DF.理由如下：

如圖，連接CE,

由(1)知，△ADE四△BFE,

/.DE=FE,即點E是DF的中點，Z1=Z1.

VDF平分NADC,

?*.Z1=Z2.

/.Z2=Z1.

/.CD=CF.

ACE1DF.

22、甲建筑物的高AB為(30出一30)m,乙建筑物的高DC為30

【解析】

如圖，過A作AFLCD于點F,

在RtABCD中，NDBC=60。，BC=30m,

CD

,:——=tanNDBC,

BC

.\CD=BC?tan60o=3073m,

，乙建筑物的高度為30Gm；

在RtAAFD中，ZDAF=45°,

/.DF=AF=BC=30m,

，AB=CF=CD-DF=(3073-30)m,

???甲建筑物的高度為（306-30）m

912

23、(1)y=-x2+2x+l；(2)P(-,—)；(1)當Q的坐標為(0,0)或(9,0)時，以A、C、Q為頂點的三角形與

77

△BCD相似.

【解析】

(1)先求得點B和點C的坐標，然后將點B和點C的坐標代入拋物線的解析式得到關于b、c的方程，從而可求得b、

c的值；(2)作點O關于BC的對稱點O，，則O，(l,1),則OP+AP的最小值為AO,的長，然后求得AO,的解析式,

最后可求得點P的坐標；(1)先求得點D的坐標，然后求得CD、BC、BD的長，依據(jù)勾股定理的逆定理證明△BCD

為直角三角形，然后分為AAQC^ADCB和小ACQ^ADCB兩種情況求解即可.

【詳解】

(1)把x=0代入y=-x+l,得：y=l,

AC(0,1).

把y=0代入y=-x+1得：x=l,

,*.B(1,0),A(-1,0).

—9+3Z>+c=0

將C(0,1)、B(1,0)代入y=-x?+bx+c得：〈，解得b=2,c=l.

c=3

.??拋物線的解析式為y=-x2+2x+l.

(2)如圖所示：作點O關于BC的對稱點O，，則O,(1,1).

與。關于BC對稱，

/.PO=PO,.

...OP+AP=OT+AP<AOf.

AOP+AP的最小」值=O，A=卜一了+（3-0）2=2.

33

O，A的方程為y=-x+-

44

9

-33x=—

y——x—7

P點滿足44解得：<

12

y=-x+3