2024年3月江蘇宿遷高三聯(lián)考一模考試數(shù)學(xué)試卷及答案

2023-2024學(xué)年高三第二學(xué)期學(xué)情調(diào)研考試(二十三)

數(shù)學(xué)

(滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘)

2024.3

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.己知集合A={x|0WxW4,xGN},B^{x\x—3k—l,kGZ},則AC2=()

A.[0,2}B.[2,4}C.{2}D.{1,3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(3+4i)=5,其中i為虛數(shù)單位，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

71714

3.已知a￡(0,兀)，cos(a+1)+cos(Q—a)=—1，則sina的值為()

AIR亞「五口空

33,3?3

4.已知函數(shù)兀0=2，—3二，則不等式八尤+3)的解集為()

A.(-1,3)B.(—8,-1)U(3,+8)

C.(-3,1)D.(—8,-3)U(1,+°O)

5.設(shè)S,是等比數(shù)列{扇}的前"項(xiàng)和，若S3,%，$6成等差數(shù)歹U，ai=-2,則的的值為()

A.-2B.—2C.；D.1

6,已知⑷=2,%=(、3，3),向量。在分上的投影向量為;人則向量。與的夾角為()

7L兀5兀7T__d5JC

A-6B-3CTD-6或不

7.已知橢圓5+母=1(。>6>0)的左焦點(diǎn)為尸，過(guò)原點(diǎn)且斜率為乎的直線與橢圓交于

P，0兩點(diǎn)，若際QF=舌,則橢圓的離心率為()

A近R也1D近

/>..2-D.2Vr-2.L^.3

8.人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：P(A|B)=-九區(qū)---站在了世界中心位置.AI換

臉是一項(xiàng)深度偽造技術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為

0.001.某團(tuán)隊(duì)決定用AI對(duì)抗AL研究了深度鑒偽技術(shù)來(lái)甄別視頻的真假.該鑒偽技術(shù)的準(zhǔn)確

率是0.98,即在該視頻是偽造的情況下，它有98%的可能鑒定為“AI”；它的誤報(bào)率是0.04,

即在該視頻是真實(shí)的情況下，它有4%的可能鑒定為“AI”.已知某個(gè)視頻被鑒定為“AI”，則該

視頻是“AI”合成的可能性為()

A.0.1%B.0.4%C.2.4%D.4%

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)隨機(jī)變量X?N(0,1),犬x)=P(XWx),其中x>0,下列說(shuō)法正確的是()

A.變量X的方差為1,均值為0B.P(因Wx)=l—軟x)

C.函數(shù)7U)在(0,+8)上是單調(diào)增函數(shù)

1

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=4x,A,B為拋物線C上兩點(diǎn).下列

說(shuō)法正確的是()

A.若直線過(guò)點(diǎn)(1,0),則△O4B面積的最小值為2

B.若直線過(guò)點(diǎn)(4,0),則點(diǎn)。在以線段為直徑的圓外

C.若直線42過(guò)點(diǎn)(1,0),則以線段為直徑的圓與直線/：尤=-1相切

D.過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線，若兩切線的交點(diǎn)在直線/：尤=一1上，則直線

48過(guò)點(diǎn)(4,0)

11.已知正方體的棱長(zhǎng)為3,E,RG分別為棱BS，DD{,CG上的點(diǎn)，

且BBi，DF與DDltCG=^CG，若點(diǎn)P為正方體內(nèi)部(含邊界)一點(diǎn),滿足崩=楊

+MF,九〃為實(shí)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.點(diǎn)P的軌跡為菱形AEGP及其內(nèi)部

B.當(dāng)4=1時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為恒

C.4P的最小值為嚼

D.當(dāng)〃=；時(shí)，直線AP與平面ABC。所成角的正弦值的最大值為華

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知(/+%)"的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

13.已知定義在區(qū)間［0,兀］上的函數(shù)yU)=2sin(ox+}~)(。＞0)的值域?yàn)椋?2,?。?則

。的取值范圍是.

14.如圖，在一個(gè)軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)放入一個(gè)與側(cè)面及底面都相切的實(shí)心球后,

再在該圓錐內(nèi)的空隙處放入〃個(gè)小球，這些小球與實(shí)心球、圓錐的側(cè)面以及底面都相切，則

n的最大值為.(取sin17。=為-)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟.

15.(本小題滿分13分)

己知亂為公差不為0的等差數(shù)列{為}的前"項(xiàng)和，且的"=船"+1(*R，力dN*).

(1)求文的值；

(2)若$4=452，求證：'一H----F—'—.

〃2〃3

anan+i2

2

16.(本小題滿分15分)

如圖，在四棱錐PA2C。中，四邊形ABC。為梯形，其中A2〃C￡),ZBC￡>=60°,AB

=2BC=2CO=4,平面PBZ)_L平面ABCD.

(1)求證：AD±PD；

(2)若AB±PD,且PC與平面ABCD所成角的正切值為2,求平面PBC與平面PAD所

成二面角的正弦值.

3

17.(本小題滿分15分)

某班欲從6人中選派3人參加學(xué)?；@球投籃比賽，現(xiàn)將6人均分成甲、乙隊(duì)進(jìn)行選拔比

213

賽.經(jīng)分析甲隊(duì)每名隊(duì)員投籃命中概率均為1,乙隊(duì)三名隊(duì)員投籃命中的概率分別為^，

p(O<p<l).現(xiàn)要求所有隊(duì)員各投籃一次(隊(duì)員投籃是否投中互不影響).

(1)若,求甲、乙兩隊(duì)共投中5次的概率；

(2)以甲、乙兩隊(duì)投中次數(shù)的期望為依據(jù)，若甲隊(duì)獲勝，求p的取值范圍.

18.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)4x)=alnx+尹,aGR.

(1)若tz=2e2,求危)的極小值;

(2)若過(guò)原點(diǎn)可以作兩條直線與曲線y=/(x)相切，求a的取值范圍.

4

19.(本小題滿分17分)

已知雙曲線M：/-p=1(40,6>0)的右頂點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)P且與無(wú)軸垂直的直線交

一條漸近線于。(1,2).

(1)求雙曲線M的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)。作直線/與雙曲線M相交于A,B兩點(diǎn)，直線出，尸2分別交直線y=2于C,

。兩點(diǎn)，求為+1萬(wàn)的取值范圍.

YD

5

2023?2024學(xué)年高三第二學(xué)期學(xué)情調(diào)研考試（二十三）（宿遷）

數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1.C2.D3.A4.A5.B6.A7.B8.C9.ACD10.AC11.ABD

12.1013.[|,|]14.10

15.(1)解:設(shè)｛如｝的公差為d(dW0),

由。2〃=2斯+1①，得〃2八+2=2斯+1+1②，

則②—①得。2〃+2一。2及=%(斯+1一斯)，(2分)

即2d=〃,

又dWO,則丸=2.(4分)

注：取〃=1,2求出結(jié)果后需要驗(yàn)證，否則扣1分.

(2)證明：由S4=4S2得4的+64=4(2的+菊,即2g=d,(6分)

所以斯=〃1+(〃-l)d=2〃i〃一的.

又〃2〃=2斯+1,即4〃i九一。1=2(2。1〃一“1)+1,則。尸1,

因此斯=2〃-1,(9分)

川||----4--~-+，?,+=—--+—~—+，??+-----------------------------

〃2〃3dnan+i1X33X5(2n—1)(2n+l)

=2(1—W+3-I+.一++-^+T)=2(1—肅)<2。3分)

16.解：(1)因?yàn)镹BC￡>=60。，BC=CD=2,所以△BCD為等邊三角形，所以A2=2BD

=4,

又四邊形ABC。為梯形，AB//DC,

則NA8D=60。，(1分)

在△A3。中，由余弦定理可知，

AD2=AB2+BD--2ABBDCOSZABD=42+22-2X4X2X1=12,

根據(jù)勾股定理可知，AD2+BD2^AB2,即（2分）

因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,平面PBOn平面ABCD=BD,AOu平面ABCD,

所以AO_L平面PB。，（5分）

又因?yàn)镻Ou平面PBD,所以AO_LPD（6分）

（2）（解法1）由（1）可知AOLP。，

又因?yàn)锳DCiAB^A,所以PO_L平面A8C￡）,

所以NPCD就是PC與平面ABCD所成角，

DP

所以tan/PCD=灰=2,所以尸。=4.（8分）

以｛3,DB,DP｝為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。孫z,

6

則8（0,2,0）,C（一小，1,0）,尸（0,0,4）,

所以筋=（0,-2,4）,BC=（一小，-1,0）,（9分）

設(shè)平面P8C的法向量為"1=（無(wú)，y,z）,

1―2y+4z=0,

則有4取〃i=（—2g，6,3）,

［一弧r―y=0,

由題意得"2=（0，1，0）為平面力。的一個(gè)法向量，（12分）

m、i,、nrn__6___2對(duì)

所以cos5i,“2〉—2一廝—19'

即平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值為瞎.（15分）

（解法2）在平面ABC。內(nèi)，延長(zhǎng)BC與AD相交于點(diǎn)

連接PM,則PM為平面PBC與平面PAD的交線，

在平面PDM內(nèi)，過(guò)點(diǎn)。作EW_LRW,垂足為N,連接2N.（7分）

由（1）得，AD±PD,

因?yàn)锳B±PD,A￡）nAB=A且均在平面ABC。內(nèi)，

所以PD_L平面ABC￡>.（8分）

因?yàn)锽Du平面ABC。，所以PD_L3D

又因?yàn)锳O_LB。，PDLBD,A￡>nPD=。且均在平面B4D內(nèi)，

所以BZ）_L平面PAD,即2。_1_平面PDM.

因?yàn)镽Wu平面P￡）M,所以

因?yàn)镈NLPM,N￡）nBD=。且均在平面BDN內(nèi)，

所以PM_L平面B￡W,由BNu平面BON,所以BN_LRW,（10分）

所以/2N。就是二面角3PMD的平面角.（11分）

又因?yàn)槭?平面ABCD,所以NPCD就是PC與平面ABCD所成角,

DP

所以tanNPCD=灰=2,所以尸0=4.

因?yàn)镈C//AB,所以黑席=1，

所以AO=Z）M=2V§.

在Rt^PND中，ON=程PDD等MPDDM_4A/21

y）PD2+DM2一7

、出

在RtABND中，tanZBND=2L^~,（14分）

所以平面P8C與平面出。所成二面角的正弦值為曙.（15分）

17.解：（1）記“甲、乙兩隊(duì)共投中5次”為事件A,

則可以是甲隊(duì)投中3次，乙隊(duì)投中2次或者甲隊(duì)投中2次，乙隊(duì)投中3次.（1分）

7

2131132113511Q

則P(A)=(§>5X?彳X4+2Xq)2]+Ci(3)2X^X5XQ)2=石+g=發(fā)，

(5分)

io

答：甲、乙兩隊(duì)共投中5次的概率為制.(寫(xiě)出一種情況給2分)(6分)

(2)記甲、乙兩隊(duì)投中次數(shù)分別為X,Y,

22

則X?8(3,T),所以E(X?=3Xg=2；(8分)

y的取值為0,1,2,3,

則尸(y=o)=Tx1(1-P)=F，

143P

X-

P(Y=l)=jX；(1—p)+；x!4-P-8

p(y=2)=Tx1(i-p)+；x|p+jx|P=^-，

133

P(Y=3)=］p=gp,

所以丫的分布列為

Y0123

4一3〃3+p3

Pl-p

8888^

(12分)

r11—P,4―3p?3+p?3.5

則E(y)=0X-+1X——+2X-^—+3Xg〃=p+a,

53

由E(Y)〈E(X)得p+a<2,所以p的取值范圍是(0,4).(15分)

2e222e2%2—2八

18.斛：(1)/(%)=三一r=-p—，(1分)

令［(x)<0得0<x(,則/(x)在(0,F)上單調(diào)遞減，

令［(x)>0得,則於)在(巳,+8)上單調(diào)遞增，

則於)的極小值為R)=2e21nI+e?=—e?.(5分)

(列表也可)

zj2CLJ3"-2

(2)/(%)=-一/=爐一,設(shè)切點(diǎn)分別為(尤1，加1)),(X2,加2)),

_2

則“X)在X=X1處的切線方程為y—K%1)=區(qū)七一(X—X1),

7._Q

又切線過(guò)原點(diǎn)，所以0—(0—X1),

8

即*+a(\nxi—1)-0,(7分)

33

同理適+〃(lnX2—1)=0，所以％i，刀2為方程7+〃(lnx—1)=0兩個(gè)不同的根.(9分)

3

設(shè)g(%)=J+a(\nx-l)f

EI“、6.a—6+加

則g(%)=—R+-=-p-，

若〃W0,，(X)〈0,

則g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，不符合題意；(10分)

若4>0,令，(%)<。，得x￡(o,AJI)，g(x)在。)上單調(diào)遞減，

令gXx)>0,得％￡(\器,+°°),g(x)在(\聆,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)min=g(y|)=f+〃(ln-1)，(12分)

若g(x)min2o，即,

.3..,

此t時(shí)方程7+〃(lnx—1)=0沒(méi)有兩個(gè)不同的根，不符合題意;

G2

若g(x)min<0，即a>-,g(e)=/>0,(14分)

因?yàn)?，所以J一號(hào)」/<0，所以!<A/|,g(\)=a(3a-lna-l),

令/z(〃)=3〃一ln〃一1(4>§),

則砥〃)=3—5>0,所以/z(a)在哈，+8)上單調(diào)遞增，h(a)>h(^)>0,

即g(()=a(3a~\na~1)>0,

3

又g(%)=/+〃(lnx—1)的圖象是不間斷的曲線，

所以存在的，％2滿足:<X1<、:<X2<e使得g(Xl)=g(X2)=0,

C4,\/

所以。的取值范圍是a*.(17分)

19.解：(1)因?yàn)殡p曲線M：^5—]=1的漸近線方程為〉=±彳尤,

4=1,

a=l,

所以<b.解得

一=b=2,

a2,

所以雙曲線M的方程為x2—：=1.(4分)

(2)由題知,直線AB的斜率存在,設(shè)AS方程為>=左(%一1)+2,A(xi，y。,B(xi，yi),

9

[y=k(x—1)+2,

聯(lián)立｛r得(4--%—2)x—R+4左一8=0,

14%2—/—4=0,

2k(%—2)——/+4左——8

貝U4—於W0且/>0,所以左<2且％#—2,xi+x2=-―4—二~，xiX2=---4—二---.(7

分）

因?yàn)锽4的方程為Q—1），由題意得力/0，則上W1，

所以｛川M2且左片一2,左W1｝.(8分)

.2(xi-1),TB2(%2—1).

令y=2得C(---------+1,2),同1理。(----1----+1,2),

bir2(即-1)