2024屆吉林省通化市梅河口市五中高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

高三期初考數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合

，，則

Ax3x4Bx24x120

AB（

）A.C.

x2x4x3x2

B.D.

x3x6x6x42.若z

3i1i

，則z（

）A.2iB.12iC.12i3.已知向量a，b滿足a2，ab2，則(a3b)a（

）

D.2iA.2

B.2

C.4

D.44.已知橢圓

x2m2

y216

1(m0)的上焦點(diǎn)為(0,3)，則m（

）A.

5

B.5

C.

7

D.75.設(shè)函數(shù)fxaxalnx(a0且a1)在區(qū)間1,上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A.

e,

B.e2,

C.

2e,

D.ee,

6.第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，為了弘揚(yáng)“奉獻(xiàn)，友愛(ài)，互助，進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個(gè)場(chǎng)館A,B,C開(kāi)展志愿服務(wù)工作．若要求每個(gè)場(chǎng)館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場(chǎng)館A時(shí)，場(chǎng)館B僅有2名志愿者的概率為（

）A.

35

B.

2150

C.

611

D.

347.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，將正方形ABCD繞著邊CD旋轉(zhuǎn)至EFCD,P,Q分別為線段CE,BD上的動(dòng)點(diǎn)，且PQCD，若AF2，則PQ的最小值為（第1頁(yè)/共4頁(yè)

）xxA.

32

B.

22

C.

12

D.

28.已知雙曲線E:

x2a2

y2b2

1(a0,b0)的離心率為2，左?右頂點(diǎn)分別為A1,A2，右焦點(diǎn)為F，B,C是E上位于第一象限的兩點(diǎn)，AB//CF，若CF4a，則tanABA（212

）A.

77

B.

33

C.

3

D.

577二、多選題（每題5分，少選得2分，錯(cuò)選0分）9.下列等式中正確的是（

）A.sin15cos15

14

B.

tan71tan261tan71tan26

1C.2sin222.51

22

D.sin26cos34cos26sin34

1210.已知a0,b0，若a2b1，則（

）A.ab

12

B.ab1C.ab的最大值為

14

D.

2a

1的最小值為8b11.已知雙曲線C:

x2m23

y2m2

1(m0)的漸近線方程為

y

12

x，則下列結(jié)論正確的是（

）A.m1

B.C的離心率為

5C.曲線yln(x1)經(jīng)過(guò)C的一個(gè)頂點(diǎn)12.已知數(shù)列a-21，下列結(jié)論正確的有（n

）

D.y2

x24

1與C有相同的漸近線A.若a12，an1

an1，則a211n20B.若a1，a1

n1

2a1，則a2n1nnC.若

1

nnD.若S為等差數(shù)列n

a的前n項(xiàng)和，則數(shù)列n

Sn為等差數(shù)列n三、填空題（每題5分）第2頁(yè)/共4頁(yè)S=3n+，則數(shù)列a是等比數(shù)列2S=3n+，則數(shù)列a是等比數(shù)列213.已知向量a

1,1,b1,3，則a在b上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____．14.已知函數(shù)fx

x3x22

3在區(qū)間2023,2023上的最大值為M，最小值為m，則Mm______．15.若函數(shù)f(3x2)的定義域?yàn)閇2,3]，則函數(shù)f(2x3)的定義域?yàn)開(kāi)_________．16.已知橢圓C:

x24

y23

1,F,F為C的左?右焦點(diǎn)，P為C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），設(shè)FPF12的外接圓面積為S1，內(nèi)切圓面積為S2，則S12S2的最小值為_(kāi)_________．四、解答題17.已知集合Axa1xa1，Bx0x3.（1）若ABB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若AB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.已知向量a2cosx,sinx，bcosx,2cosx，設(shè)函數(shù)fxab.（1）求fx的最小正周期；π219.2021年秋全國(guó)中小學(xué)實(shí)行“雙減政策”和“5+2”模式．為響應(yīng)這一政策，某校開(kāi)設(shè)了“籃球”“圍棋”等課后延時(shí)服務(wù)課程．甲、乙兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)圍棋后，切磋圍棋棋藝．已知甲先手時(shí)．甲獲勝的概率為

34

，乙先手時(shí)，乙獲勝的概率為

710

，每局無(wú)平局，且每局比賽的勝負(fù)相互獨(dú)立，第一局甲先手．（1）若每局負(fù)者下一局先手，兩人連下3局，求乙至少勝兩局的概率；（2）若每局甲都先手，勝者得1分，負(fù)者得0分，先得3分者獲勝且比賽結(jié)束，比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)者的積分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．20.設(shè)

nn

S

2S3S4

SS

213

．S（1）求數(shù)列n的通項(xiàng)公式；an（

2）已知a11，設(shè)nannn

S

n

n2

1．第3頁(yè)/共4頁(yè)12（2）當(dāng)x0,時(shí)，求函數(shù)fx的最小值.S為數(shù)12（2）當(dāng)x0,時(shí)，求函數(shù)fx的最小值.S為數(shù)列a的前n項(xiàng)和，已知n為等比數(shù)列，且anbn1，記T為數(shù)列b的前n項(xiàng)和，證明：T2na21.已知正項(xiàng)數(shù)列n是公差為2的等差數(shù)列，且a,9,a成等比數(shù)列.12（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.22.已知函數(shù)fx(lnx)2a(x1)2,aR．（1）當(dāng)a1時(shí)，求fx的單調(diào)區(qū)間；（2）若x1是fx的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍．第4頁(yè)/共4頁(yè)3n3n高三期初考數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合

，，則

Ax3x4Bx24x120

AB（

）A.C.

x2x4x3x2

B.D.

x3x6x6x4【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，由交集的概念即可求解.【詳解】因?yàn)锽xx24x120x2x6，所以ABx2x4.故選：A.2.若z

3i1i

，則z（

）A.2i

B.12i

C.12i

D.2i【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念即可得解.【詳解】因?yàn)閦

3i1i

3i1i1i1i12i，所以z12i.故選：C.3.已知向量a，b滿足a2，ab2，則(a3b)a（

）A.2

B.2

C.4

D.4【答案】A【解析】【分析】由向量數(shù)量積公式計(jì)算即可得.【詳解】因?yàn)閍2，ab2，所以(a3b)aa23ab462.故選：A.第1頁(yè)/共18頁(yè)xx4.已知橢圓

x2m2

y216

1(m0)的上焦點(diǎn)為(0,3)，則m（

）A.

5

B.5

C.

7

D.7【答案】C【解析】【分析】由焦點(diǎn)概念以及平方關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以a4，bm．因?yàn)閏2a2b2，所以3242m2，所以m故選：C.

7.5.設(shè)函數(shù)fxaxalnx(a0且a1)在區(qū)間1,上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A.

e,

B.e2,

C.

2e,

D.ee,

【答案】A【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得fxaxlna

ax

0在1,上恒成立，進(jìn)而即可求解.【詳解】依題意，fxaxlna

ax

0在1,上恒成立，記gxfxaxlna

ax

，則g(x)ax(lna)2

ax2

0在1,上恒成立，fx在1,上單調(diào)遞增，所以只需alnaaalna10，解得ae，故選：A．6.第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，為了弘揚(yáng)“奉獻(xiàn)，友愛(ài)，互助，進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個(gè)場(chǎng)館A,B,C開(kāi)展志愿服務(wù)工作．若要求每個(gè)場(chǎng)館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場(chǎng)館A時(shí)，場(chǎng)館B僅有2名志愿者的概率為（

）A.

35

B.

2150

C.

611

D.

34【答案】B【解析】【分析】首先得甲去場(chǎng)館B或

2C的總數(shù)為150100，進(jìn)一步由組合數(shù)排列數(shù)即可得所求概率.3第2頁(yè)/共18頁(yè)

3

C2C252【詳解】不考慮甲是否去場(chǎng)館A，所有志愿者分配方案總數(shù)為C53A3150，【詳解】不考慮甲是否去場(chǎng)館A，所有志愿者分配方案總數(shù)為C53A3150，A23甲去場(chǎng)館A,B,C的概率相等，所以甲去場(chǎng)館B或C的總數(shù)為150甲不去場(chǎng)館A，分兩種情況討論，情形一，甲去場(chǎng)館B，場(chǎng)館B有兩名志愿者共有C1C1A224種；432情形二，甲去場(chǎng)館C，場(chǎng)館B場(chǎng)館C均有兩人共有C1C212種，43場(chǎng)館B場(chǎng)館A均有兩人共有C26種，所以甲不去場(chǎng)館A時(shí)，4

23

100，場(chǎng)館B僅有2名志愿者的概率為

24126100

42100

2150

.故選：B．7.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，將正方形ABCD繞著邊CD旋轉(zhuǎn)至EFCD,P,Q分別為線段CE,BD上的動(dòng)點(diǎn)，且PQCD，若AF2，則PQ的最小值為（

）A.

32

B.

22

C.

12

D.

2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線線垂直可證明線面垂直，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求解ADE120，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由于CDDE,CDAD,DEADD,AD,DE平面ADE，所以CD平面ADE，CD//EF,EF平面ADE，由于AF2,EF1，則AE3，在VADE中，利用余弦定理可得cosADE

AD2DE2AE22ADDE

1132

1,2所以ADE120，第3頁(yè)/共18頁(yè)過(guò)P作CD的垂線，垂足為M，由PQCD，PQIPMP,PQ,PM平面PMQ，所以CD平面PMQ，又QM平面PMQ，所以QMCD，所以PMQ120，不

妨

設(shè)

PMx，

則

QM1x，

所

以

由

余

弦

定

理

得

，PQx

2

x1x(1x)2

2

122

34

32

，故選：A．8.已知雙曲線E:

x2a2

y2b2

1(a0,b0)的離心率為2，左?右頂點(diǎn)分別為A1,A2，右焦點(diǎn)為F，B,C是E上位于第一象限的兩點(diǎn)，AB//CF，若CF4a，則tanABA（212

）A.

77

B.

33

C.

3

D.

577【答案】D【解析】【分析】由題意CF4a，F(xiàn)1F4a,F1C6a，余弦定理得cosCFF1，得tanBA2F，由tanBAFtanBAF3，求tanBAF，最后由tanABAtanBAFBAF求值即可.1211221【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為2c，左焦點(diǎn)為F，離心率1

ca

2，第4頁(yè)/共18頁(yè)xx1xxx1x則F1F2c4a,F1C4a2a6a，由余弦定理得cosCFF1

(4a)2(4a)2(6a)224a4a

1

1又A2B//CF，所以tanBA2F37，設(shè)Bx0,y0，則tanBA1F

0

y

0

tanBAF2

0

y0所以tanBAFtanBAF12

y20x2a20

b2a2

e213，所以tanBAF1

17

，tanABAtanBAFBAF1221

tanBAFtanBAF211+tanBAFtanBAF21

3713

17

57，7故選：D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：雙曲線與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理余弦定理和PF1PF22a，CFF1中利用余弦定理得cosCFF1，可求得tanBA2F，點(diǎn)B坐標(biāo)滿足雙曲線方程，可得tanBA1FtanBA2F3，可求tanBA1F，利用A1BA2BA2FBA1F計(jì)算即可．二、多選題（每題5分，少選得2分，錯(cuò)選0分）9.下列等式中正確的是（

）A.sin15cos15

14

B.

tan71tan261tan71tan26

1C.2sin222.51

22

D.sin26cos34cos26sin34

12【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：

1sin15cos15sin302

14

，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：

tan71tan261tan71tan26

tan7126tan451，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：2sin222.5112sin222.5cos45

第5頁(yè)/共18頁(yè)

22

，故C錯(cuò)誤；，所以tanCFF37，8xa，xa，，所以tanCFF37，8xa，xa，對(duì)于選項(xiàng)D：sin26cos34cos26sin34sin2634sin60故選：AB.10.已知a0,b0，若a2b1，則（-21）

32

，故D錯(cuò)誤；A.ab

12

B.ab1C.ab的最大值為

14

D.

2a

1的最小值為8b【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于AB：根據(jù)題意消去a，結(jié)合b的取值范圍分析求解；對(duì)于C：根據(jù)基本不等式運(yùn)算求解；對(duì)于D：根據(jù)“1”的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式分析求解.對(duì)于選項(xiàng)AB：因?yàn)閍b12bb1b，

12

，所以ab

12

，ab1，故AB正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閍b

224

a2b

18當(dāng)且僅當(dāng)a2b

12

時(shí)，等號(hào)成立，所以

1ab的最大值為，故C錯(cuò)誤；8對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?/p>

2a

1b

21ab

4ba

ab

42

4baab

8，當(dāng)且僅當(dāng)

4ba

ab

，即

a2b

12

時(shí)，等號(hào)成立，所以

2a

1的最小值為8，故D正確；b故選：ABD.11.已知雙曲線C:

x2m23

y2m2

11(m0)的漸近線方程為yx，則下列結(jié)論正確的是（2

）A.m1

B.C的離心率為

5C.曲線yln(x1)經(jīng)過(guò)C的一個(gè)頂點(diǎn)

D.y2

x24

1與C有相同的漸近線第6頁(yè)/共18頁(yè)【詳解】因?yàn)閍0,b0，a2b1，則a12b0，可得b0,11a2b【詳解】因?yàn)閍0,b0，a2b1，則a12b0，可得b0,11a2b2，a2b4【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程求出m即可判斷A；根據(jù)雙曲線的離心率公式即可判斷B；求出雙曲線的頂點(diǎn)即可判斷C；求出雙曲線y2

x24

1的漸近線方程即可判斷D.【詳解】雙曲線C:

x2m23

y2m2

1(m0)的漸近線方程為

y

mm23

12所以

mm23

12，解得

m1（m1舍去），故A正確；雙曲線C:

x24

y21，所以C的離心率為

412

52

，故B錯(cuò)誤；雙曲線C:

x24

y21的頂點(diǎn)為2,0，因?yàn)閘n210，所以曲線yln(x1)經(jīng)過(guò)C的一個(gè)頂點(diǎn)2,0，故C正確；對(duì)于D，令y2

x24

0，則y

12

x，即y2

x24

1的漸近線方程為y

12

x，故D正確.故選：ACD.12.已知數(shù)列an

，下列結(jié)論正確的有（

）A.若a2，a1n1

an1，則a211n20B.若a1，a1

n1

2a1，則a2n1nn1C.若S=3n+，則數(shù)列ann

是等比數(shù)列D.若

nn

S【答案】ABD【解析】第7頁(yè)/共18頁(yè)xx，2S為等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和，則數(shù)列n為等差數(shù)列nxx，2S為等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和，則數(shù)列n為等差數(shù)列n【分析】直接利用累加法可判斷選項(xiàng)A項(xiàng)；構(gòu)造{an1}為等比數(shù)列可判斷B項(xiàng)；利用Sn與an的關(guān)系可求得an通項(xiàng)公式即可判斷C項(xiàng)；利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及定義法判斷等差數(shù)列即可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由an

1

an1，得ann1

an1，n則a20a20a19a19a18a18a17a2a1a120191822

19(202)2

2211，故A項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由an12an+1，(an11)2(an1)，所以{an1}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為a112，公比為2，所以a122n12n，所以a2n1，故B項(xiàng)正確；nn對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?/p>

1S=3n+，n當(dāng)n1時(shí)，a31

12

72

，當(dāng)n2時(shí)，aSSnn

n1

3n3n123n1，將n1代入a23n1，得a2n1

72

，7,n1a223n1,n2

，所以數(shù)列an不是等比數(shù)列，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)等差數(shù)列的公差為

d，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得Snn

na1

n(n1)2n

d

a1

(n1)2

d

d2

na1

d，2所以

Sn1n1

Snn

d2

(n1)

d2

n

d2

與n無(wú)關(guān)，所以數(shù)列

S{n}為等差數(shù)列，故D項(xiàng)正確.n故選：ABD.三、填空題（每題5分）13.已知向量a1,1,b1,3，則a在b上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____．,【解析】第8頁(yè)/共18頁(yè)得2所以n26【答案】55得2所以n26【答案】55【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得ab,b，進(jìn)而結(jié)合投影向量的定義運(yùn)算求解.r【詳解】由題意可得：ab134,b21910，ab所以a在b上的投影向量的坐標(biāo)為r2bb

1055

26

,

.14.已知函數(shù)fx______．【答案】6【解析】

x3x22

3在區(qū)間2023,2023上的最大值為M，最小值為m，則Mm【分析】設(shè)gx【詳解】設(shè)gx

x3x22x3x22

，分析可知gx為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性分析求解.，則gx的定義域?yàn)镽，且連續(xù)不斷，由gxgx

x3x22

x3x22

0，可知gx為奇函數(shù)，設(shè)gx在2023,2023上的最大值為gx0，由奇函數(shù)的對(duì)稱性可知gx在2023,2023上的最小值為gx0gx0，則函數(shù)fxgx3在區(qū)間2023,2023上的最大值為Mgx03，最小值為m=-g(x)+3，0所以Mmgx03gx036.故答案為：6.15.若函數(shù)f(3x2)的定義域?yàn)閇2,3]，則函數(shù)f(2x3)的定義域?yàn)開(kāi)_________．112

【解析】第9頁(yè)/共18頁(yè)rrr2rrrrr41,3,.26rrr2rrrrr41,3,.26故答案為：55【答案】,2【分析】首先得f(x)的定義域?yàn)閇8,7]，進(jìn)一步列不等式組即可得解.【詳解】因?yàn)?x3，所以83x27，所以f(x)的定義域?yàn)閇8,7]，要使f(2x3)有意義，需滿足82x37，解得

112

x2，所以函數(shù)

112

112

16.已知橢圓C:

x24

y23

1,F,F為C的左?右焦點(diǎn)，P為C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），設(shè)FPF12的外接圓面積為S1，內(nèi)切圓面積為S2，則S12S2的最小值為_(kāi)_________．【答案】2π【解析】【分析】當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)1PF2最大，進(jìn)而求出的范圍，由正弦定理得外接圓的半徑R

1sin

，再利用余弦定理和三角形面積公式化簡(jiǎn)得到

FPF的面積S3tan12

2

，由三角形內(nèi)切圓的半徑公式可得F1PF2的內(nèi)切圓半徑rtan

2

1，化簡(jiǎn)可得S12S2=π2

14tan2

2

9tan24

，利用基本不等式2求出最值即可.【詳解】由于

x24

y23

1，所以a2，b3，故F1F22，設(shè)F1PF2，當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)F1PF2為等邊三角形，所以0

π3

，設(shè)F1PF2外接圓半徑為R，則

2sin

2R，即R

1sin

，第10頁(yè)/共18頁(yè)f(2x3)的定義域?yàn)?2.故答案為：,2.12f(2x3)的定義域?yàn)?2.故答案為：,2.12由余弦定理得：FF12

2

PF2PF12

2

2PFPFcosPFPF1212

2

12整理可得PFPF12

61cos

，所以F1PF2的面積S

12

PFPFsin12

3sin1cos

6sincos212cos2

2

23tan2

，故F1PF2的內(nèi)切圓半徑r

2SPFPFFF1212

tan

2，所以S12S2πR22r2

1sin2

2tan2

2

2sincos2sin2cos222

2tan21tan2

2所

以12

(1tan2)224tan22

12tan2π22

14tan2

2

9tan24

1π22

14tan2

2

9tan24

2π，當(dāng)且僅當(dāng)

14tan2

2

=

9tan24

2

，即tan2

2

13

，即

π3

時(shí)取等號(hào)，所以S12S2的最小值為2π．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓焦點(diǎn)三角形的面積以及內(nèi)切圓和外接圓的半徑問(wèn)題，常用以下結(jié)論：(1)橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)l2a2c；(2)橢圓焦點(diǎn)三角形的面積Sb2tan

2

；(3)三角形外接圓的半徑公式：

asinA

bsinB

csinC

2R；(4)三角形內(nèi)切圓的半徑公式：

r

2Sl

(其中S為三角形面積，l為周長(zhǎng))四、解答題17.已知集合Axa1xa1，Bx0x3.（1）若ABB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若AB

，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）1a2（2）1a4.第11頁(yè)/共18頁(yè)2PFPF1cos，1π，因?yàn)閟in2，S2S=π222PFPF1cos，1π，因?yàn)閟in2，S2S=π22【解析】【分析】（1）依題意可得AB，即可得到不等式組，解得即可；（2）依題意可得0a13或0a13，即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)锳BB，所以AB，a10所以

，即1a2；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)锳B

，所以0a13或0a13，所以1a4.18.已知向量a2cosx,sinx，bcosx,2cosx，設(shè)函數(shù)fxab.（1）求fx的最小正周期；π2【答案】（1）π（2）1【解析】

2【分析】（1）結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出

π4π2

π4

π5π

，根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由向量a

2cosx,sinx，bcosx,2cosx，可得fxab2cos2x2sinxcosx1cos2xsin2x22

cos2x

22

sin2x2cos2x

π4所以函數(shù)fx的最小正周期為T

2π2

π.【小問(wèn)2詳解】第12頁(yè)/共18頁(yè)a13（2）當(dāng)x0,時(shí)，求函數(shù)fx的最小值.fxa13（2）當(dāng)x0,時(shí)，求函數(shù)fx的最小值.fx2cos2x1，即可得出最小正周期；（2）x0,時(shí)，可得2x44,121，由（1）知

π4π2

π4

π5π

，所以當(dāng)2x

π4

π時(shí)，即x

3π8

，函數(shù)fx的最小值為1

2.19.2021年秋全國(guó)中小學(xué)實(shí)行“雙減政策”和“5+2”模式．為響應(yīng)這一政策，某校開(kāi)設(shè)了“籃球”“圍棋”等課后延時(shí)服務(wù)課程．甲、乙兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)圍棋后，切磋圍棋棋藝．已知甲先手時(shí)．甲獲勝的概率為

34

，乙先手時(shí)，乙獲勝的概率為

710

，每局無(wú)平局，且每局比賽的勝負(fù)相互獨(dú)立，第一局甲先手．（1）若每局負(fù)者下一局先手，兩人連下3局，求乙至少勝兩局的概率；（2）若每局甲都先手，勝者得1分，負(fù)者得0分，先得3分者獲勝且比賽結(jié)束，比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)者的積分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）

1340（2）分布列見(jiàn)解析，E

99128【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意可得的所有可能結(jié)果為0、1、2，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)事件A為乙至少勝兩局，則乙有負(fù)勝勝，勝負(fù)勝，勝勝負(fù)，勝勝勝四種情況，所以PA

37333733333410444104444

1340

；【小問(wèn)2詳解】解：依題意可得的所有可能結(jié)果為0、1、2，3

3

134

716

，P

33

334

1

2

334

24

32134

27128

，所以的分布列為第13頁(yè)/共18頁(yè)fx2cos2x1，當(dāng)x0,時(shí)，可得2x44,1111fx2cos2x1，當(dāng)x0,時(shí)，可得2x44,11111則P04+=1C113+C131=45，4444128P2C24+C4=P

0716

145128

227128所以E0

716

1

45128

2

27128

99128

；20.設(shè)S

n

為數(shù)列

nSS

43

1．S（1）求數(shù)列n的通項(xiàng)公式；ana1，設(shè)

S

n

n

n2

1．San（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由

2S3S4

SS

213

，得

S42a4

SS3n3n（2）由Sn與an的關(guān)系，求出bn的通項(xiàng)，通過(guò)放縮法證明不等式.【小問(wèn)1詳解】S為數(shù)列a的前n項(xiàng)和，nn

2SS

3

SS

21

，4

3則有

2SaSa44SS43

S42a4

SS3n3n又

S11a1

S，所以n2n1；an【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）知，S2n1a，當(dāng)n2時(shí)，Snn

n1

2n2a

n1

，所以aSSnn

n1

2

n1

a2n

n2

a

n1

，所以

anan1

2n22n11

,n2，第14頁(yè)/共18頁(yè)a的前n項(xiàng)和，已知Sn為等比數(shù)列，且2S3S2an（2）已知1bn1，記T為數(shù)列b的前n項(xiàng)和，證明：Ta的前n項(xiàng)和，已知Sn為等比數(shù)列，且2S3S2an（2）已知1bn1，記T為數(shù)列b的前n項(xiàng)和，證明：T2nannn【答案】（1）n2n1a，等比數(shù)列a的首項(xiàng)為1公比為2，可得通項(xiàng)；331，所以a，等比數(shù)列a的公比為2，n

S

n

2nan1an

12n1122n1

1

2n1

2

1

2n1

12

，因此Tbbb20212n1n12n

n2

n2n1．2a21.已知正項(xiàng)數(shù)列n是公差為2的等差數(shù)列，且a,9,a成等比數(shù)列.12（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.（1【解析】a,a的兩個(gè)方程，聯(lián)立93212是等差數(shù)列得通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求得.

212

a，解出a1，從而再由{3n}a詳解：（1）因?yàn)閿?shù)列n是公差為2的等差數(shù)列，所以3n

a232

a12，3則a23a118，又a1,9,a2成等比數(shù)列，所以a1a2a13a11892，aa3或a9，因?yàn)閿?shù)列n為正項(xiàng)數(shù)列，所以a3.11所以

an3n

33

2n12n1，故an2n13n.（2）由（1）得Sn133322n13n，所以3Sn1323332n13n1，所以Sn3Sn3232333n2n13n1，第15頁(yè)/共18頁(yè)則bn1a2n13n【答案】）an2n則bn1a2n13n【答案】）an2n13n；（2）Snn13n13aa【詳解】分析：（1）利用已知條件可列出1aa81解得13n即2S32n

323n32n13n13n1612n3n122n3n16，13故Snn13n13.點(diǎn)睛：解決數(shù)列求和問(wèn)題首先要掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，其次要掌握一些特殊數(shù)列的求和方法，設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，則數(shù)列{anbn}用分組求和法求和，數(shù)列{anbn}用錯(cuò)位相減法求和，數(shù)列{

1aa

}用裂項(xiàng)相消法求和.nn122.已知函數(shù)fx(lnx)2a(x1)2,aR．（1）當(dāng)a1時(shí)，求fx的單調(diào)區(qū)間；（2）若x1是fx的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）fx在0,上單調(diào)遞減（2）a,1【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)gxlnxx2x，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性即可求解，（2）求導(dǎo)，結(jié)合分類討論求解函數(shù)的單調(diào)