廣西桂林、賀州、崇左三市2024屆高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

廣西桂林、賀州、崇左三市2024屆高二上數(shù)學(xué)期末考試試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若工<工<0,則下列結(jié)論不正確的是（）

ab

o°b，

A.4B.-<1

a

ba°

C.-+->2B.ab<b2

ab

2.已知雙曲線C：三-;=1（?！?,6〉0）的離心率為g,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A?y=±——xB?y=±——x

32

C.y=±xD.y=+\（3x

-3

3.已知橢圓加爐+57段2=5的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（_2,0）,貝|加=（）

A.5B.2

3

C.lD.-

2

JI_

4.2kn+—,左eZ"是"tane=l”的（）

4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知下是拋物線丁=8x的焦點(diǎn)，直線/是拋物線的準(zhǔn)線，則歹到直線/的距離為（）

A.2B.4

C.6D.8

6.如圖，在四棱錐P—A6CD中，尸5,平面ABC。，AB±BC,PB=AB=2BC=2,則點(diǎn)C到直線24的距

離為O

p

A.6B.V5

C.0D.2

7.如圖，某圓錐SO軸截面S4C是等邊三角形,點(diǎn)3是底面圓周上的一點(diǎn)，且N3OC=60°,點(diǎn)/是%的中點(diǎn),

則異面直線AB與所成角的余弦值是()

1B/

A.-

34

c

-lD-T

8.過點(diǎn)4(2,1)且斜率為2的直線方程為()

A.2x-y+3=0B.2x-y—3=0

C尤-2y+l=0D.x-2y=0

2

9.若雙曲線C:土—y2=i的焦距為2枝,則雙曲線。的漸近線方程為()

m

A.x±y=0B.2x±y=0

C.x±y/3y=0D.x±y[7y=0

io.如圖，在正方體ABCO—A4G2中，AB=a，AD=b，M若￡為QR的中點(diǎn),產(chǎn)在班)上，且

BF=2FD,則斯等于()

Di

111

B.一a——b7——c

332

111

D.一a——7b+—c

233

11.集合A=jx|x=sin5-,〃eZ）,則集合4的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2個(gè)B.4個(gè)

C.8個(gè)D.16個(gè)

12.已知a=y2,"=』,c=也，則a,b,c的大小關(guān)系為。

2e3

A.b>c>aB.c>b>a

C.b>a>cD.a>b>c

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知球的表面積為36處則該球的體積為.

22

14.如圖，橢圓工+3=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為過橢圓上的點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為Q,若四

ab'

邊形GgPQ為菱形，則該橢圓的離心率為.

15.已知點(diǎn)廠是拋物線爐=分的焦點(diǎn)，點(diǎn)M（1,2）,點(diǎn)尸為拋物線上的任意一點(diǎn)，則歸閘+|P司的最小值為.

4

16.如圖，將一個(gè)正方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截出一個(gè)棱錐，若該棱錐的體積為一，則該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為

3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（X）=2&COS[X+]]COS[X+E；

（1）求"％）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）求"％）在0,1的最大值.

18.（12分）已知橢圓「+工=1（a>72）的左右焦點(diǎn)分別為《，工，點(diǎn)A在橢圓上，與x軸垂直,且

a22

（1）求橢圓的方程;

JT

（2）若點(diǎn)P在橢圓上，且/耳尸耳=§,求△々「心的面積

19.（12分）已知橢圓C:二+[=l（a〉6〉0）的離心率是且，且過點(diǎn)P（2,。.

ab2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),線段A3的中點(diǎn)為。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|。圖=&,求一AO5面積的最

大值.

20.（12分）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m>0）,直線/不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，/與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段

A5的中點(diǎn)為M

(1)證明：直線0M的斜率與/的斜率的乘積為定值;

vn

(2)若/過點(diǎn)(1,〃?)，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形。4尸3能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)/的斜率，若

不能，說明理由

21.(12分)已知塞函數(shù)/(%)=(〃-1)2——+2在(0,+s)上單調(diào)遞減，函數(shù)—的定義域?yàn)榧螦

4+x

(1)求機(jī)的值;

(2)當(dāng)xe伏,1］次>0時(shí)，“X)的值域?yàn)榧螧,若ie8是xeA成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)左的取值范圍

22.(10分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，已知上4,平面A5CZ>,_ABC為等邊三角形，PA=2AB=2,CD=5

(1)證明：〃平面RLO；

(2)若”是3P的中點(diǎn)，求二面角5—CD—〃的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】由!<?<0得出6<。<0,再利用不等式的基本性質(zhì)和基本不等式來(lái)判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.

ab

【詳解】—<—<0,.\b<a<0.\-b>-a>0:.a2<b2>A選項(xiàng)正確；

ab99

b—b

-=—>lB選項(xiàng)錯(cuò)誤；

a—af

由基本不等式可得2+@22、2.q=2,當(dāng)且僅當(dāng)2=i時(shí)等號(hào)成立，2>i,則等號(hào)不成立，所以2+烏>2,c

ab\abaaab

選項(xiàng)正確；

2

Qb<a<0,:.b>ab9D選項(xiàng)正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查不等式正誤的判斷，涉及不等式的基本性質(zhì)和基本不等式，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】根據(jù)雙曲線的離心率，求出2=走即可得到結(jié)論

a2

【詳解】?.?雙曲線的離心率是立，

2

.c幣即片+尸色丫7

??e=—=——，即一==1+—二:，

a2aa\a)4

即雙曲線的漸近線方程為y=±-=土/％,

a2

故選：B

3、C

514

【解析】根據(jù)題意橢圓焦點(diǎn)在1軸上，且。二2,將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而得出，9=------=-=4,得出答

mmm

案.

【詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,0),則橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且c=2

22

土+匕=5

將橢圓相Y+5加y2=5化為51,則切>0

mm

由2〉工，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(—2,0),則2—工=色=4,解得〃2=1

mmmmm

故選：C

4、A

【解析】由正切函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用定義法判斷條件間充分、必要關(guān)系.

【詳解】當(dāng)9=2左乃+—,keZ,貝!kan6=l,

4

7T

當(dāng)tan6=l時(shí)，0=kn+—keZ.

49

jr

：*e=2k兀+keZ”是“tane=1”的充分不必要條件.

4

故選：A

5、B

【解析】根據(jù)拋物線定義即可求解

【詳解】由/=8x得。=4,所以尸到直線/的距離為。=4

故選：B

6、A

【解析】如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系5-孫z,然后利用空間向量求解即可

【詳解】因?yàn)?3,平面ABC。，ABI平面ABC。，BCu平面ABC。，

所以MLAB,PBLBC,

因?yàn)?c

所以如圖，以3為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系3—孫z,則。(1,0,0),4(0,2,0),P(0,0,2),PC=(1,0,-2),

PA=（0,2,-2）,即PC.PA=4?

PCPA

PC在PA上的投影向量的長(zhǎng)度為尸壺S

22

故點(diǎn)C到直線PA的距離為JPC|-(V2)=73.

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到A3,CM,然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.

【詳解】以過點(diǎn)。且垂直于平面&4c的直線為x軸，直線OC,QS分別為》軸，z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)OC=2,

則根據(jù)題意可得4(0,—2,0),5(Al,0),C(0,2,0),，⑹,

所以AB=(6,3,0),CM=(O,-3,V3),

設(shè)異面直線AB與CM所成角為6,

..A/3X0+3X(-3)+0X^3

貝！Icos0=cos(AB,CM)=------7=------=一?

、/V3+9-V9+34

故選：G

8、B

【解析】利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.

【詳解】由題意可知所求直線的方程為丁―1=2(X—2),即2x—y—3=0.

故選:B.

9、A

【解析】由焦距為2也可得c=后，又儲(chǔ)+廿=,2,進(jìn)而可得7〃=1,最后根據(jù)焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線的漸近線方

b

程為y=±—九即可求解.

a

2

【詳解】解：因?yàn)殡p曲線。:工r—y2=l的焦距為2a，所以°=血，

m

所以a?+/=根+1=(行),解得m=1,所以a=l,Z?=l,

b

所以雙曲線。的漸近線方程為y=±-%=±x,即九土y=0,

a

故選：A.

10、B

【解析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算推導(dǎo)即可.

［詳解］EF=DF-DE=^DB-^DDX=|(AB-

故選：B.

11、c

【解析】取〃=123,4,再根據(jù)％=sin；-的周期為4,可得A={-1,O,1},即可得解.

flTTT-.2..萬(wàn)..-4

【詳解】因?yàn)閤=sin——，所以—7一.

25

..71

〃=1時(shí)，x=sm—=1,

2

〃=2時(shí)，x=sin——=sin?=O,

2

〃=3時(shí)，x=sin—=-1,

2

4萬(wàn)

〃=4時(shí)，x=sin——=0,

2

所以集合人={—1,0,1},

所以A的子集的個(gè)數(shù)為23=8，

故選：C.

12、A

Inx

【解析】根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)/(%)=」(九Ne),再探討其單調(diào)性并借助單調(diào)性判斷作答.

x

【詳解】令函數(shù)/(x)=g(xNe),求導(dǎo)得/(幻=匕處，當(dāng)％>e時(shí)，f'(x)<0,

XX

于是得/(*)=叱在［e,+8)上單調(diào)遞減，而e<3<4,則/(e)>/(3)>/(4),即工>也>吧=2,

xe342

所以Z>>c>a,

故選：A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、367r

【解析】設(shè)球半徑為R,由球表面積求出R=3,然后可得球的體積

【詳解】設(shè)球半徑為R,

?.?球的表面積為36?,

4兀尺2=36萬(wàn)，

:.R=39

4o4o

該球的體積為v=—兀尺3=—X7TX33=36%

33

故答案為36乃

【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時(shí)由條件求得球的半徑后可得所求結(jié)果

14、二T

2

【解析】根據(jù)題意可得P（2c,匕，—與），0（0,號(hào)）,利用耳Q2=。42+OQ2推出4e4—8e2+l=0,進(jìn)

而得出結(jié)果.

22

【詳解】由題意知，F(xiàn)1F2=PQ=2C,將x=2c代入方程1+9=1中，

因?yàn)槎?=。月2+。。2,所以4c2=02+〃（1一號(hào)）,

a

整理，得3a2c2=（〃—02）（6—4,2）,又e=￡,

a

所以4e。8e2+l=0,由0<e<l,解得e=1二1.

2

故答案為：史二1

2

15、3

【解析】根據(jù)拋物線的定義可求最小值.

【詳解】如圖，過P作拋物線準(zhǔn)線y=-l的垂線，垂足為Q,連接MQ,

^\PM\+\PF\^\PM\+\P^>|W|>2+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)M,P,Q共線時(shí)等號(hào)成立,

故歸M+|P目的最小值為3

故答案為：3.

16、2G.

【解析】先根據(jù)棱錐的體積求出正方體的棱長(zhǎng)，進(jìn)而求出正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

【詳解】如圖，連接A。，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為。，則％TBC='XSABC==

所以，體對(duì)角線IAC1=7AC；+CC：=俄+6+4=扃=.

故答案為：26.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

、11,57r7

17、(1)k,7TH—,kjiH----,keZ

L88J

(2)3

【解析】(D利用兩角和的余弦公式以及輔助角公式可得/(x)=-J5sin[2x+(]+l,再由正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間，整

體代入即可求解.

(2)根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【小問1詳解】

“X)=2夜cos"泊卜=2行.(-sinx)]n.兀

cosxcos----smxsm—

44

=-sinx(2cosx—2sinx)

——sin2x+1—cos2x——y/^2,sinJ+1,

2k7i+—<2x+—<2k兀+包-,kGZ,

242

冗STT

解得k"——<x<k兀?----,kGZ,

88

jr57r

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為k7r+-,k.7r+—,keZ

oo

【小問2詳解】

TTTTTT

由(1)2k7i----<2xd——<2k/c-\——,keZ,

242

37r7i

解得kn----<x<k7r-\——,keZ

88

3兀7t

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為kn--—,k7r+—,keZ,

oo

jr\TCTC

所以函數(shù)在0,-上單調(diào)遞減，在石上單調(diào)遞增，

/(0)=0,/^=3,所以函數(shù)的最大值為3.

18、(1)—+^=1；(2)氈

323

【解析】(1)由橢圓的性質(zhì)求出。，進(jìn)而得出方程；

(2)由歸國(guó)+歸閭=2。=2百，結(jié)合余弦定理求出|P4||P用=|,再由面積公式得出三角形的面積.

【詳解】解：⑴b2=2,與x軸垂直，卜周=孚,2=￥，."二百

22

???橢圓的方程為土+乙=1

32

(2)由(1)知|尸耳|+|尸居|=2a=2止，|耳磯=2c=2

???"P4Y，閨用「=附「+歸月「-2|%|PE|cos4Pg

：.^=\PF^+\PF^-\PF^PF^PF\+\PF^-3\PF^PF^=n-3\PF\\PF^

.\|Pf；||P^|=|,.*.4卬區(qū)的面積為11尸工IsinZfJPF,=子

Q

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問題二的關(guān)鍵在于利用余弦定理結(jié)合完全平方和公式求出歸娟歸引=丁進(jìn)而得出面積.

22

19、(1)----1-^—=1；

82

(2)2.

【解析】(1)根據(jù)已知條件列出關(guān)于“、從c的方程組即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵直線/和x軸垂直時(shí)，根據(jù)已知條件求出此時(shí)AAOB面積；直線1和x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程為點(diǎn)斜式y(tǒng)=fcr+f,

代入橢圓方程得二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)10Ml=也得左和f關(guān)系，表示出△408的面積，結(jié)合基本不等式

即可求解三角形面積最值.

【小問1詳解】

—+—=1\a2=8

a2h2

由題知「，解得〃=2,

3A

?21

22

二橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)+匕=1.

82

【小問2詳解】

當(dāng)ABLx軸時(shí)，加位于x軸上，且QWLAB,

由10Ml=也可得=&，此時(shí)SAA0B=^\OM\-\AB\=下)；

當(dāng)A3不垂直x軸時(shí)，設(shè)直線A3的方程為丁=履+乙與橢圓交于4(%,%),3(%衛(wèi))，

4/—8

玉+%2='=正藐

—4-ktt

從而M

1+4左2“+4左2

已知|。0|=力，可得/,2（1+4.）.

1+16左2

—SktI.4r-8

1+42

???=1-4x--------

1+481+4左2

/，、:16(8左2—產(chǎn)+2

=(1+/)二--------

I)(1+4左2丫

產(chǎn)

設(shè)。到直線A3的距離為d,則/

1+F

20+4/r)化簡(jiǎn)得

結(jié)合『=

1+16左2

2

12左2+4F+1

1

S&B=小小2

2<16x^------------=4

2吃2

(1+16Z:)-

此時(shí)AO5的面積最大，最大值為2.

當(dāng)且僅當(dāng)12左2=4左2+1即左2=：時(shí)取等號(hào),

8

綜上，AOB的面積的最大值為2.

20、（1）證明見解析

（2）能為平行四邊形；斜率為4—g或4+5

【解析】（1）設(shè)A,3兩點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)差法證明

（2）求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由平行四邊形的幾何性質(zhì)判斷

【小問1詳解】

設(shè)4（%,%）,5（%2，%），/的斜率為左，

9x；+y；=病,9x1+y；=〃/

兩式相減可得9（后—月）+短_^=0,即（"二義）（二+為）=-9

X］一九2再+九2

板kk0M=-9

【小問2詳解】

QH7

由(1)得的直線為丁=——%,直線/方程為y—相二左(九—一)

k3

9

y=——x

52版(左一3)

聯(lián)立，解得

y-m-女(％-g)

9

y=——xkm

聯(lián)立k解得%=±i,

9x2+J=病3^+9

若四邊形。4P5為平行四邊形，則對(duì)角線互相平分

km2km(k-