山東省2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)新高考數(shù)學(xué)期末模擬卷（含解析）

2023-2024年山東新高考高二（上）數(shù)學(xué)期末模擬卷

考生注意:

L本場(chǎng)考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.

2.作答前，考生在答題紙正面填姓名、考生號(hào).

3.所有作答務(wù)必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號(hào)對(duì)應(yīng)的區(qū)域，不得錯(cuò)位，在草稿紙、試卷上作答一律不得分.

4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色筆跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）拋物線》=2爐的準(zhǔn)線方程為（)

111

A.y=--B.y二一一C.x=——D.x=——

8282

2.（5分）等差數(shù)列｛%｝中,已知的=3,%=8,則為=()

A.10B.11C.12D.13

3.（5分）已知兩個(gè)平面的法向量分別為%=（0,1,1）,〃=（1,-1,0）,則這兩個(gè)平面的夾角為（）

A.30°B.60°C.60?；?20。D.120°

4.（5分）近年來，部分高校根據(jù)教育部相關(guān)文件規(guī)定開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)（也稱強(qiáng)基計(jì)劃），假設(shè)甲、

乙、丙三人通過強(qiáng)基計(jì)劃的概率分別為￡言，那么三人中恰有兩人通過強(qiáng)基計(jì)劃的概率為（）

B.2「33D.2

A.0C.—

80808040

5.（5分）如圖，已知正方體ABC。-A4GR棱長(zhǎng)為8,點(diǎn)H在棱的上，且9=2,在側(cè)面5CG4內(nèi)作邊

長(zhǎng)為2的正方形瓦GG，尸是側(cè)面BCGg內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)尸到平面COQC距離等于線段P尸的長(zhǎng)，則當(dāng)點(diǎn)P

2

在側(cè)面BCCXBX運(yùn)動(dòng)時(shí)，|HP|的最小值是（）

A.87B.88C.89D.90

6.（5分）已知尸為拋物線C:/=8y的焦點(diǎn)，尸為拋物線。上一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4,3）,則APMF周長(zhǎng)

1

的最小值是（）

A.5+A/15B.5+舊C.9D.5+30

7.（5分）已知點(diǎn)C（2,l）與不重合的點(diǎn)A,3共線，若以A,8為圓心,2為半徑的兩圓均過點(diǎn)￡）（1,2）,則DA-AB

的取值范圍為（）

A.[72,2]B.[-2,-A/2]C.[-8,0）D.[-8,-4J

22

8.（5分）已知橢圓亍+4=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)z，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的下方，若線段尸名的中

點(diǎn)在以原點(diǎn)。為圓心，為半徑的圓上，則直線壁的傾斜角為（）

A.-B.-C.-D.—

6433

二.多選題（共4小題，每小題5分，滿分20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)

的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.（5分）給出下列命題，其中是假命題的是（）

A.若A,B,C,。是空間中的任意四點(diǎn)，貝1|有AB+8C+CD+ZM=0

B.|a|-|b|=|a+b|是。，6共線的充要條件

C.若AB,CZ>共線，則AB//CD

D.對(duì)空間中的任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A,B,C,若0尸=》04+、。8+20。。,%2€氏），則P,A,

B,C四點(diǎn)共面

2V21

10.（5分）已知橢圓C：%—+乙=1內(nèi)一點(diǎn)”（1,一），過點(diǎn)M的直線/與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，且M是線

422

段A8的中點(diǎn)，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,（-2,0）

B.橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4

C.直線M乃與直線的斜率之積為-工

4

D.河…

3

11.（5分）如圖，此形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法.商功》中，后人稱為“三角垛”三

角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，….設(shè)第〃層有g(shù)個(gè)球，從

上往下〃層球的總數(shù)為S“，貝U（）

2

GWO

A.$6=56

Baan

-n+l-n=

C.“2023=1012x2023

D.l+±+l++_L=空

%a2a3a20231012

22

12.（5分）已知曲線C：L+-J=1,工,F?分別為C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且△尸耳月是直角三角

mm-6

形，下列判斷正確的是（）

A.曲線C的焦距為2n

B.若滿足條件的點(diǎn)P有且只有4個(gè)，則切的取值范圍是加＞6且〃z/12

C.若滿足條件的點(diǎn)尸有且只有6個(gè)，則機(jī)=12

D.若滿足條件的點(diǎn)P有且只有8個(gè)，則機(jī)的取值范圍是0＜%＜6

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）若空間向量@=（1,1,1）,6=（1,0,1）,。=（1,2,租）共面，則實(shí)數(shù)加=.

22

14.（5分）已知雙曲線C:=-2=1（。＞0力＞0）的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心、。為半徑的圓與C的一條漸近

ab

線相交于Af,N兩點(diǎn)，若NM4N=120。，則C的離心率為.

15.（5分）斐波那契數(shù)列（RTwraccise曲曲ce）又稱黃金分割數(shù)列，是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的數(shù)列：1,1,2,3,

5,8,13,21,34,....已知在斐波那契數(shù)列｛?！埃?，e=1,%=1,%+2=4+1+““（”€NJ,若07m.=m,

則數(shù)列｛4｝的前2020項(xiàng)和為—（用含機(jī)的代數(shù)式表示）.

16.（5分）如圖,在人鉆€?和41￡尸中，3是EF的中點(diǎn)，AB=2,EF=4,CA=CB=3AB-AE+AC-AF=1,

則EF與BC的夾角的余弦值等于—.

*B

3

四.解答題(共6小題，滿分70分)

17.(10分)已知直線尤-y-2=0經(jīng)過拋物線C:;/=2p尤(p>0)的焦點(diǎn)尸，且與C交于A,3兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)求圓心在x軸上，且過A,5兩點(diǎn)的圓的方程.

18.(12分)已知直線/經(jīng)過兩條直線2x-y-3=0和4尤一3y-5=0的交點(diǎn)，且與直線尤+y-2=0垂直.

(1)求直線/的一般式方程；

(2)若圓C的圓心為點(diǎn)(3,0),直線/被該圓所截得的弦長(zhǎng)為20,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

19.(12分)在“①邑=15,邑=3；②q+%=3,%=4”兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并

解答.

己知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S),，滿足.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛—｝的前w項(xiàng)和Tn.

4

20.(12分)如圖，在三棱錐0-ABC中，OA,OB,OC兩兩垂直，OA=OC=3,08=2.

(1)求點(diǎn)B到直線AC的距離；

(2)求直線。3與平面ABC所成角的正弦值.

21.(12分)已知拋物線C:;/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，過拋物線C上一點(diǎn)M向其準(zhǔn)線作垂線，垂足為N,

當(dāng)NMNF=30°時(shí)，|W|=l.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)直線/與拋物線C交于A,3兩點(diǎn)，與x,y軸分別交于尸，Q(異于坐標(biāo)原點(diǎn)。)，且AP=2M,

若|AP||8P|=X|OP||OQ|,求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

22.(12分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓C］：(x+括)2+y2=16的圓心為點(diǎn)C1,點(diǎn)C2與G關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，C2關(guān)于

直線4的對(duì)稱點(diǎn)c恰在圓G上，直線C。與直線交于點(diǎn)卬，記點(diǎn)卬的軌跡為曲線o.

(1)求曲線。的方程；

(2)設(shè)不經(jīng)過C1的直線/:y=fcc+〃z與曲線。交于兩個(gè)不同點(diǎn)A,5,直線AG，I，BG的斜率依次成等差

數(shù)列，記點(diǎn)C?到直線/的距離為I,直線/上兩點(diǎn)尸，。的縱坐標(biāo)之差為%8,求d+|PQ|的最小值.

8

2023-2024年山東新高考高二(上)數(shù)學(xué)期末模擬卷

答案解析

5

選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）拋物線y=2/的準(zhǔn)線方程為（）

1

A.y=—B.y=—C.x=—D.x=——

8282

【答案】A

【詳解】拋物線方程可化為尤=

24

拋物線y=2x2的準(zhǔn)線方程為v=-￡=--.

■28

故選：A.

2.（5分）等差數(shù)列｛〃〃｝中，已知%=3,4=8,則q=（)

A.10B.11C.12D.13

【答案】D

【詳解】因?yàn)椋āǎ秊榈炔顢?shù)列，

所以二%士里,

52

所以G=2a5—a3=13.

故選：D.

3.（5分）已知兩個(gè)平面的法向量分別為"2=（0,1,1）,〃=（1,則這兩個(gè)平面的夾角為（）

A.30°B.60°C.60°或120°D.120°

【答案】B

【詳解】cos（m,n）=^-=「廣」,因?yàn)橄蛄繆A角范圍為［0,如，

\m\\n\五x四2

故兩向量夾角為2萬，故兩平面夾角為工，即60。，

33

故選：B.

4.（5分）近年來，部分高校根據(jù)教育部相關(guān)文件規(guī)定開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)（也稱強(qiáng)基計(jì)劃），假設(shè)甲、

乙、丙三人通過強(qiáng)基計(jì)劃的概率分別為之』,』，那么三人中恰有兩人通過強(qiáng)基計(jì)劃的概率為（）

544

A.3B.衛(wèi)C至D.衛(wèi)

80808040

【答案】C

【詳解】甲、乙、丙三人通過強(qiáng)基計(jì)劃的概率分別為,

544

6

/.三人中恰有兩人通過強(qiáng)基計(jì)劃的概率為±x3x(l-2)+dx(l-3)x3+(l-d)X，3=史，

54454454480

故選：c.

5.(5分)如圖，已知正方體A3CO-A4CQ棱長(zhǎng)為8,點(diǎn)〃在棱朋上，且冽=2,在側(cè)面BCC4內(nèi)作邊

長(zhǎng)為2的正方形EFGCI,P是側(cè)面BCCR內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到平面CDDG距離等于線段PF的長(zhǎng)，則當(dāng)點(diǎn)尸

在側(cè)面BCQBi運(yùn)動(dòng)時(shí)，|HP|2的最小值是()

A.87B.88C.89D.90

【答案】B

【詳解】建系如圖，則歹(2,8,6),M(8,8,6),N(0,8,z),

作碗_L88],交8耳于M,連接尸M,則

作PN_LCC「交CG于N,則/w即為點(diǎn)P到平面cr>2G距離,

設(shè)尸(x,8,z),(Qiijc8,噴衣8),則尸N=x,

?點(diǎn)P到平面CDDg距離等于線段PF的長(zhǎng)，；.PN=PF,

由兩點(diǎn)間距離公式可得x=J(x—2)2+(z-6)2,

化簡(jiǎn)得4X-4=(Z-6)2,4x-4..O,:.x.A,.'.W8.

在RtAHMP中，|HP|2=|HM『+|MP|2

=82+(X-8)2+(Z-6)2

=64+(X-8)2+4x—4

=0-6)2+88,(1黜8),

.?.當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)，1"PF的最小值是88.

故選：B.

7

6.(5分)已知F為拋物線C:/=8y的焦點(diǎn)，P為拋物線C上一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-4,3),則APMF周長(zhǎng)

的最小值是()

A.5+A/15B.5+拒C.9D.5+30

【答案】B

【詳解】尸(0,2)為拋物線C:爐=8y的焦點(diǎn)，P為拋物線C上一點(diǎn)，

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-4,3),可得|MF|=J(0+4)2+(2-3)2=拓,

又拋物線的準(zhǔn)線方程為l-.y=-2,

過P作PK，/,垂足為K,由拋物線的定義可得|P/|=|PK|,

\PM\+\PF\=^PM\+\PK\,當(dāng)M,P,K三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|+|PK|取得最小值，且為3-(-2)=5,

所以ARMF的周長(zhǎng)的最小值為5+J萬.

故選：B.

7.(5分)已知點(diǎn)C(2,l)與不重合的點(diǎn)A,3共線，若以A,3為圓心,2為半徑的兩圓均過點(diǎn)D(l,2),則DA-AB

的取值范圍為()

A.[72,2]B.[-2,-A/2]C.[-8,0)D.[-8,-4]

8

【答案】D

【詳解】設(shè)點(diǎn)Am,6),B(c,d),則以A,3為圓心，2為半徑的兩圓方程分別為(工-。)2+0-6)2=4,

(x-c)~+(y—d)~=4,

因?yàn)閮蓤A過(1,2),

所以(l_q)2+(2_6)2=4和(1一c)2+(2_[)2=4,

所以A(a,6),3(c,d)兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓D:(x-l)2+(y-2)2=4,

因?yàn)辄c(diǎn)C(2,l)與不重合的點(diǎn)A,3共線，所以A5為圓。的一條弦，

所以當(dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，ABLCD,

因?yàn)镮CO|=四，半徑為2,所以弦長(zhǎng)小的最小值為2"2_(版『=2應(yīng),

當(dāng)鉆過點(diǎn)。時(shí)，弦長(zhǎng)鉆最長(zhǎng)為4,

因?yàn)閆M-AB=—AD-AB=-|AO||AB|COSNZMJB=-L|,

2

所以當(dāng)弦長(zhǎng)Afi最小時(shí)，DAAB的最大值為二x(20y=-4,

2

當(dāng)弦長(zhǎng)AB最大時(shí)，D4-AB的最小值為」x42=-8,

2

所以ZM-AB的取值范圍為[-8,-4].

故選：D.

22

8.(5分)已知橢圓'+]■=：!的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的下方，若線段尸區(qū)的中

點(diǎn)在以原點(diǎn)。為圓心，。居為半徑的圓上，則直線時(shí)的傾斜角為()

A.—B.—C.-D.—

6433

【答案】C

【詳解】如圖，

設(shè)線段尸耳的中點(diǎn)為M,連接OM,連接產(chǎn)片，則OM//PE，

9

22

橢圓的方程為土+匕=1,

43

二.[2=4,//=3,。2=。2_〃2=],即4=2,C=1f

\OM\^OF2\=^\FtP\=c,

F2M\=^\PF2|=|（2<7-2c）=a-c=l,

.?.△M巴。是等邊三角形，則4明O=q,即直線尸區(qū)的傾斜角為

故選：C.

二.多選題（共4小題，每小題5分，滿分20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)

的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

9.（5分）給出下列命題，其中是假命題的是（）

A.若A,B,C,。是空間中的任意四點(diǎn)，貝!I有AB+8C+CD+ZM=0

B.舊|-歷|=|4+人是游,6共線的充要條件

C.若AB,CD共線，則AB//CD

D.對(duì)空間中的任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A,B,C,若OP=xOA+yO8+zOC（尤,y,zeR）,則P,A,

B,C四點(diǎn)共面

【答案】BCD

【詳解】由向量的加法運(yùn)算，顯然A是真命題；

若°,6共線，則|a|+|6|=|a+b|（同向）或|⑷一||||=|d+E]（反向），故3是假命題;

只有當(dāng)x+y+z=1時(shí)，P,A,B,C四點(diǎn)才共面，故。是假命題，

若AB,CD共線，則直線AB,CD平行或重合，故C是假命題，

故選：BCD.

x221

10.（5分）已知橢圓C：—+—v=1內(nèi)一點(diǎn)”（1,一），過點(diǎn)M的直線/與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，且M是線

422

段A8的中點(diǎn)，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,（-2,0）

B.橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4

C.直線M尸1與直線"尸2的斜率之積為-工

4

D.四尸江

3

10

22

【答案】【詳解】因?yàn)闄E圓C:土+匕=1,

42

所以。=2,匕=。=后,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為月（-痣,0）,F2（V2,0）,A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

長(zhǎng)軸長(zhǎng)2〃=4,5選項(xiàng)正確；

11

KL最?康=-；，c選項(xiàng)正確.

2222

設(shè)A(xi,yi),B(冗2,y2),貝U遼+"=1,—+—=1,

4242

兩式相減并化簡(jiǎn)得—2=匹，1=2LZA=_1,2O=—i,

4否+々X]一121西一九22國(guó)一x2

即直線A8的斜率為-1,直線AB的方程為一^=一G一1),y=-x+|,

-3

y=-x+5

由《,,得6x2-12x+l=0,

二+"=1

142

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得玉+9=2,xrx2=-,

所以根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得：|幽=J1+（一1）2X#2_4x署卷,所以。選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

11.（5分）如圖，此形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法.商功》中，后人稱為“三角垛”.“三

角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，….設(shè)第〃層有冊(cè)個(gè)球，從

上往下〃層球的總數(shù)為S"，貝|（）

A.S6=56

Ban

-??+l-n=

C.a2o23=1012x2023

「11112023

%a2a3%O231012

11

【答案】ACD

【詳解】由題意得4=1,%—%=2,%—42=3,…，an—冊(cè)_]=幾，

由以上式子累加得％=1+2+…+〃=及詈（*2）,

e=1滿足上式，.?““=誓D

由I_i矢口a?=3,a?=6,a，=10,。5=15,。6=21,

=q+a?+/+%+“5+4=1+3+6+10+15+21=56,A；

an-an_x=n,則a〃+i-4=〃+l,故5錯(cuò)誤;

2023x2024=]0]2x2023,故。正確;

由通項(xiàng)公式得%）23

2

12

-)，

ann(n+1)〃+1

4+:+…+42(1-…+11"2"七）=焉’故。正疏

2023-2024

故選：ACD.

22

12.（5分）已知曲線C:土+-L=1,月，F(xiàn),分別為C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，且△尸月凡是直角三

mm-6

角形，下列判斷正確的是（）

A.曲線C的焦距為2#

B.若滿足條件的點(diǎn)P有且只有4個(gè)，則機(jī)的取值范圍是切>6且〃ZW12

C.若滿足條件的點(diǎn)尸有且只有6個(gè)，則m=12

D.若滿足條件的點(diǎn)P有且只有8個(gè)，則機(jī)的取值范圍是0<優(yōu)<6

【答案】AC

【詳解】A.當(dāng)C表示橢圓時(shí)，因?yàn)橄?gt;根-6>0,所以C的焦點(diǎn)在x軸上，且m>6,

所以,2=機(jī)-（加一6）=6,即c=?,所以焦距為2#；

當(dāng)C表示雙曲線時(shí)，因?yàn)椤?（〃Z-6）<0,即0<m<6,所以C的焦點(diǎn)在x軸上,

所以/=根+（6-加）=6,即。=灰，所以焦距為2^/^；故A正確;

3.若滿足條件的點(diǎn)尸有且只有4個(gè),則C表示橢圓，如圖1,以為直徑的圓。與C沒有公共點(diǎn)，所以6>c,

即〃-6>#,所以機(jī)的取值范圍是相>12,故5錯(cuò)誤；

C.若滿足條件的點(diǎn)尸有且只有6個(gè)，則C表示橢圓，如圖2,以為直徑的圓。與C有2個(gè)公共點(diǎn)，所

12

以b=c,即—6=,所以機(jī)的取值范圍是根=12,故C正確;

D.若滿足條件的點(diǎn)P有且只有8個(gè)，則當(dāng)C表示橢圓時(shí)，如圖3,以月月為直徑的圓。與C有4個(gè)公共點(diǎn),

所以。＜c,BPyfin—6＜y/6,所以機(jī)的取值范圍是6＜zn＜12；

當(dāng)C表示雙曲線時(shí)，如圖4,以月月為直徑的圓。與C恒有8個(gè)公共點(diǎn)，所以0＜優(yōu)＜6,

綜上，機(jī)的取值范圍是6＜根＜12或0＜加＜6；故。錯(cuò)誤.

圖3

故選：AC.

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）若空間向量。=（1,1,1）,6=（1,0,1）,c=（l,2,租）共面，則實(shí)數(shù)根=

【答案】1

【詳解】由題可知，c=Xa+〃b,故(1,2,in)=A(1,1,1)+〃(1,0,1),

丸+〃=14=2

有，2=2,解得＜〃=T

A+〃=mm=l

13

故答案為：1.

22

14.（5分）己知雙曲線斗=1（。>0,6>0）的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心、。為半徑的圓與C的一條漸近

ab

線相交于M,N兩點(diǎn)，若NM4N=120。，則C的離心率為

【答案】.

【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線C的一條漸近線y=2x的傾斜角為6,

a

由題意可得|OA|=|AN|=|A"|=a,所以N與O重合,

所以NM4O=120。，所以。=30。,

故答案為：竿.

15.（5分）斐波那契數(shù)列（反力owccisewe〃ce）又稱黃金分割數(shù)列，是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的數(shù)列：1,1,2,

11

3,5,8,13,21,34,....已知在斐波那契數(shù)列｛?“｝t,q=1,a2=i,an+2=an+l+an(ji&N+),若

徇m=m，則數(shù)列｛風(fēng)｝的前2020項(xiàng)和為（用含機(jī)的代數(shù)式表示）.

【答案】m-l

【詳解】因?yàn)椋?%=1，%+2=%+1N+）9々2022=m，

所以數(shù)列｛%｝的刖2020項(xiàng)和為J4+%+。3+“4+…+。2020=(%+q)+出+。3+。4+…+%020—%

^^3+^^2+^^3+^^4+■■■+^^2020^^2^^4+^^3+^^4+■,?+^^2020^^2

^^5+^^4+■,,+^^2020^^2^^6+^^5+^^6+???+^^2020^^2^^2022^^21?

故答案為：m—1.

14

16.(5分)如圖，在AABC和AAEF中，3是防的中點(diǎn)，AB=2,EF=4,CA=CB=3AB-AE+AC-AF=1,

則EF與BC的夾角的余弦值等于

6

【詳解】由題意得：

-22.2

BC=9=(AC-AB)2=AC+AB—2ACAB=9+4—2ACAB,

ACAB=2,

ABAE+ACAF=7f

AB(AB+BE)+AC-(AB+BF)

-2--

=AB+ABBE+ACAB+ACBF+AB(-BF)+2+ACBF

=6+BF(AC-AB)

=6+-EFBC,

2

二.EF?BC=2,..4x3xcos<EF,BC>=2,

EF與BC的夾角的余弦值為cos<BF,BC>=-.

故答案為：--

6

四.解答題（共6小題，滿分70分）

15

17.(10分)已知直線x-y-2=0經(jīng)過拋物線C:：/=2p無(0>0)的焦點(diǎn)尸，且與C交于A,8兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)求圓心在x軸上，且過A,3兩點(diǎn)的圓的方程.

【答案】(1)〃=8x；(2)(x-10)2+y2=96

【詳解】(1)依題意，拋物線C的焦點(diǎn)%,0)在直線x-y-2=0上，

則"-2=0,解得p=4,

2

所以C的方程為y2=8x.

(2)由(1)知，拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-2,

設(shè)A?,%),B(X2,y2),4?的中點(diǎn)為M(尤0,%),

由[2'>消去y得爐-12x+4=0,

[y=8x

則工+尤，有為=y=Xg-2=4,即

2=12'：=6,0M(6,4),

因此線段AB的中垂線方程為y-4=-(x-6),即y=-》+10,

令y=0,得x=10,設(shè)所求圓的圓心為E,則E(10,0),

又AB過C的焦點(diǎn)廠，

則有|AB|=|.|+|3月|=%+2+%+2=16,

設(shè)所求圓的半徑為廠，則/"2=(-1)2+|“E/=千+不+42=96,

故所求圓的方程為(x-10)2+y2=96.

18.(12分)已知直線/經(jīng)過兩條直線2尤一y-3=0和4x-3y-5=0的交點(diǎn)，且與直線x+y-2=0垂直.

(1)求直線/的一般式方程；

(2)若圓C的圓心為點(diǎn)(3,0),直線/被該圓所截得的弦長(zhǎng)為2友,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】(1)x-y-l=0；⑵(x-3)2+y2=4

【詳解】⑴由題意知卜廠3：0解得I：

出-3y-5=0[y=l

直線2%—y—3=0和4x—3y—5=0的交點(diǎn)為(2,1)；

設(shè)直線I的斜率為k,/與直線x+y-2=0垂直，.?.左=1；

16

直線I的方程為y—1=(x—2),

化為一般形式為％-丁-1=0；

(2)設(shè)圓。的半徑為，則圓心為。(3,0)到直線/的距離為

|3_0—1]

d==0，

^/^+T

由垂徑定理得』2+T明)、(何+j2回』,

解得r=2,

.?.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-2=4.

19.(12分)在“①邑=15,邑=3；②四+生=3，%=4”兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并

解答.

已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛見｝的前〃項(xiàng)和為"，滿足.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛”｝的前"項(xiàng)和

%

【答案】見解析

【詳解】(1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛為｝的公比為以4>0)，

選①：

因?yàn)?4=15,S2=3,

所以/+。4=514—4^2=12,

又q+%=3,

兩式相除得，如=4,則4=2,代入上式中可得q=1,

所以《=2〃、

選；②q+%=3，/=4，

a+%q=3

則x解得q=1,q=2,

%q—4

所以4=2〃T；

(2)由(1)可知，4=2〃T,

17

所以4=二="*

為2-1

所以7；=l+2x(1)'+……+〃x(g)"T

111,1,1

23

-7；,=1X-+2X(_)+3X(-)+……+f，

兩式相減得,15(5+(3+(9+=2-(w+2)x(；)"，

所以=4一("+2)*g)"T.

20.(12分)如圖，在三棱錐。-ABC中，。4,OB,OC兩兩垂直，0A=OC=3,OB=2.

(1)求點(diǎn)8到直線AC的距離；

(2)求直線與平面ABC所成角的正弦值.

【詳解】(1)以03,OC,0A方向分別為X,y,z軸正方向，建系如圖，則根據(jù)題意可得:

A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0),

AB=(2,0-3),AC=(0,3-3),OB=(2,0,0),

設(shè)—。=-"=*(/2,0,-3)、,一u=-A^C-=吟當(dāng),

|AC|

-2--3^2

貝Ia=13,a-u=----

2

???點(diǎn)3到直線AC的距離為~-(〃?〃)—=^13^^=—；

(2)設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為7=(無,y,z),

.n-AB=2x-3z=0

則｛_____,?。?(3,2,2),

n?AC=3y—3z=0

18

設(shè)直線OB與平面ABC所成角為0,

63歷

貝(Ising=|cos/OB,ri)|=|"一|=

'/\OB\-\n\2x717-17

/.直線OB與平面ABC所成角的正弦值為MI.

17

21.(12分)已知拋物線=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，過拋物線C上一點(diǎn)M向其準(zhǔn)線作垂線，垂足為N,

當(dāng)NMNF=30。時(shí)，|ACV|=1.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)直線/與拋物線C交于A,3兩點(diǎn)，與x,y軸分別交于P,Q(異于坐標(biāo)原點(diǎn)。)，且AP=2尸3,

^\AP\\BP\=A\OP\\OQ\,求實(shí)數(shù)『的取值范圍.

【答案】(1)y2=3x；(2)Z.1

【詳解】(1)如圖：設(shè)準(zhǔn)線與無軸交點(diǎn)為T,

由題意知ZMNF=ZNFO=30°,

由拋物線的定義可知AWVb為等腰三角形，所以ZMNF=ZMFN=30。,ZNMF=120°,

由|MV|=1得，|“尸|=1,在AMNF中由余弦定理得INF|=6，

33

在RtANTF中，|7F|二|NF|COS3()O=5，貝！||7F|=p=/,

19

故拋物線方程為V=3x；

（2）設(shè)直線方程為x=+，（相wO）,A（xr,H）,B（x2,%），尸。,。），顯然，wO,

聯(lián)立]:=約+'，消X得/一3的一3”0,

[y=3x

所以M+%=3m.......①，丫戊=一3%.........②

因?yàn)锳PuZ尸3,所以Q—芭，—yx)=2(X2—tJ%)，可得M=—2%，

將乂=一2%代入①式得一%=3根③，

將M=-2%代入②式得-2%2=-3/.......④，

將③式平方代入④得，=6瘍，

由題意可得，IAP|=，1+切2|y