2024年高中數(shù)學學業(yè)水平考試分類匯編專題04指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)pdf

12023春·福建）已知2m=4，2n=8，則2m+n的值為()【答案】D故選：D22022春·天津）已知2m=3，2n=5，則2m+n的值為()53【答案】D故選：D12023·北京）已知函數(shù)0，則f的最小值是()【答案】D當x≤0時，f0=1，x=0，f有最小值1；當x>0時，f(x)=x2-2x=(x-1)2-1，x=1，f(x)有最小值-1；所以f(x)的最小值是-1.故選：D22023·河北）已知函數(shù)f(x)=2-x-21-2x+a．若函數(shù)f(x)的最大值為1，則實數(shù)a=()【答案】B【詳解】f(x)=2-x-2(2-x)2+a，令t=2-x∈(0,+∞)，2故選：B32023·河北）已知函數(shù)f(x)=2-x-21-2x+a．關(guān)于函數(shù)f(x)的單調(diào)性，下列判斷正確的是()A．f(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞增B．f(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞減【答案】A【詳解】令2-x=t(t>0)，函數(shù)f(x)=2-x-21-2x+a可化為為y=-2t2+t+a(t>0)，因為函數(shù)y=-2t2+t+a(t>0)開口向上當t>時，函數(shù)y=-2t2+t+a(t>0)單調(diào)遞減，又因為y=2-x在R上單調(diào)遞減，由復合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)f(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞增.故選：A.42023·河北）已知函數(shù)f(x)=2-x-21-2x+a．若函數(shù)f(x)有兩個零點x1、x2，給出下列不等式：2>4；②f<0；③f其中恒成立的個數(shù)是()【答案】D【詳解】f(x)=2-x-21-2x+a=2-x-2×(2-x)2+a，令f(x)=0，則2×(2-x)2-2-x-a=0，令t=2-x>0，可得2t2-t-a=0，令g(t)=2t2-t-a，則函數(shù)g(t)有兩個不同的正零點，由題意可知，2-x、2-x是關(guān)于t的二次方程2t2-t-a=0的兩根，2(16,2(16,由韋達定理可得則a=-2×2-故選：D.函數(shù)f的大致圖象是()【答案】A因為f定義域為R，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點成中心對稱，故BC錯誤；當x趨向正無窮時，顯然f的分子增長快于分母增長，y趨向正無窮，故A正確B錯誤.故選：A方米空氣中的含藥量y（單位：mg）與時間t（單位：h）的關(guān)系如圖所示，函數(shù)關(guān)系式為t-a,t>62023春·湖南）為了預防流感，某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒方米空氣中的含藥量y（單位：mg）與時間t（單位：h）的關(guān)系如圖所示，函數(shù)關(guān)系式為t-a,t>4（a為常數(shù)）.據(jù)測定，當室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量降到0.25mg以下時，學生方可進教室.從藥熏開始，至少經(jīng)過t0小時后，學生才能回到教室，則()0000【答案】C令t0.1故選；C72022·北京）已知函數(shù)f(x)=2x，x∈[0,+∞)，則f(x)()A．有最大值，有最小值B．有最大值，無最小值C．無最大值，有最小值D．無最大值，無最小值【答案】C【詳解】f(x)=2x在[0,+∞)上是增函數(shù)，所以最小值為f(0)，沒有最大值.故選：C82022秋·浙江）函數(shù)y=2—x的圖象大致是()【答案】D解：由y=2-x=得函數(shù)y=2-x是以為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，且函數(shù)為減函數(shù)，故D選項符合題意.故選：D.函數(shù)y=的圖象與y軸的交點坐標是()【答案】B令x=0，則y=0=1，故函數(shù)的圖象與y軸的交點坐標是(0,1).故選：B.102021春·河北）已知函數(shù)f(x)=ex-1，則不等式f(x)<1的解集是()【答案】C【詳解】由f(x)<1得，exi-1<1，則eix-1<e0，根據(jù)y=ex在R上單調(diào)遞增，所以x-1<0，解得-1<x<1，即f(x)<1的解集為(-1,1)，故選：C112021春·浙江）已知函數(shù)+ax2，a∈R，則f的圖象不可能是()【答案】D【詳解】f(x)=2x+ax2定義域為R.22=f(x)，所以y=f(x)為偶函數(shù).，其圖像關(guān)于y軸對稱，對照四個選項的圖像，只能選D.故選:D122021秋·浙江）不等式2|x—1|<4的解集是()【答案】A【詳解】解：由指數(shù)函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，2x—1<4=22，故選：A.132021春·福建）函數(shù)y=3x的圖象大致為()A.【答案】A【詳解】因為3>1，所以y=3x單調(diào)遞增，且恒過點(0,1)，故A為正確答案.故選：A142021秋·河南）函數(shù)f(x)=的圖象關(guān)于()A．y軸對稱C．坐標原點對稱D．直線y=x對稱【答案】A所以f(一x)=(2一x+2x)=f(x)，函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱.故選：A.152021秋·廣西）函數(shù)y=2x(1≤x≤2)的最大值為()【答案】D【詳解】因為函數(shù)y=2x為增函數(shù)，所以函數(shù)y=2x(1≤x≤2)的最大值為22=4.故選：D.162021·北京）下列各點中，在函數(shù)f(x)=2x一1的圖象上的點是()A0，0）B0，1）C1，0）D1，2）【答案】A【詳解】解：因為f(x)=2x一1，所以f(0)=20一1=0，故函數(shù)過點(0,0).故選：A.172021·北京）已知2a>2b>4，則A．a(chǎn)＞b＞2B．b＞a＞2C．a(chǎn)＜b＜2D．b＜a＜2【答案】A2:a>b>2故選：A182023春·湖南）已知函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的圖象過點(2,4)，則a=.【答案】2【詳解】將(2,4)代入y=ax得a2=4→a=2，故答案為：2f(x1)+2f(x2+m)=13成立，則實數(shù)m的取值范圍為.22202021·貴州）已知函數(shù)f(x)=ax（a>0且a≠1f(1)=2，則函數(shù)f(x)的解析式是.【答案】f(x)=2x(x∈R)故答案為：f(x)=2x(x∈R).212023春·浙江）已知函數(shù)f(x)=2x+1，g(x)=x|x一2a|.(1)若g(x)是奇函數(shù)，求a的值并判斷g(x)的單調(diào)性（單調(diào)性不需證明）；+∞)，使得f(x1)=g(x2)成立，求正實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)a=0，g(x)在R上單調(diào)遞增【詳解】（1）∵g(x)為奇函數(shù)，此時g(x)=x|x|，此時g(x)為奇函數(shù)所以若g(x)為奇函數(shù)，a=0，當x≥0時，g(x)=x2在[0,+∞)上單調(diào)遞增，當x<0時，g(x)=x2在(∞,0)上單調(diào)遞增，又g(x)為定義在R上的連續(xù)函數(shù)，故g(x)在R上單調(diào)遞增.②當2<2a<4時，g(x)在[2,2a]上單調(diào)遞減，在[2a,+∞)上單調(diào)遞增.③當2a≥4時，g(x)在[2,a]上單調(diào)遞增，在[a,2a]上單調(diào)遞減，在[2a,+∞)上單調(diào)遞增.2(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若f(x)為奇函數(shù)，求m的值；(3)當m=4時，不等f(x)≥ke一x在x∈(0,+∞)恒成立，求k的取值范圍.【詳解】（1）依題意可得ex一1≠0，解得x≠0，所以f(x)的定義域為(一∞,0)U(0,+∞).（2）若f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)+f(一x)=0，當m=4時，fxex1當且僅當ex-1=取等，故k的取值范圍為k≤9.(1)若f(2)≤4，求實數(shù)a的取值范圍；(2)證明：函數(shù)f(x)存在唯一零點；(2)證明見解析；(3)證明見解析.因為f=ax+x-由f(2)=a2+2-a≤4，可得a2-a-2≤0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且f(1)=a+1-2a=1-a<0，所以由零點存在定理，得f(x)在(1,2)內(nèi)有唯一零點，即函數(shù)f(x)存在唯一零點；x00-x0又2>0，所以g的圖象開口向上，所以g(a)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，242022秋·福建）已知函數(shù)(1)從f(x),g(x)中選擇一個函數(shù)，判斷其奇偶性，并證明你的結(jié)論；(2)若函數(shù)h(x)=f(x)一ag(x)有零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)若選f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；若選g(x)，則g(x)為偶函數(shù).【詳解】（1）解：若選f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，證明如下：因為f且定義域為R，所以f(x)為奇函數(shù)；若選g(x)，則g(x)為偶函數(shù)，證明如下：因為g(一x且定義域為R，所以g(x)為偶函數(shù)；（2）解：因為函數(shù)h(x)=f(x)一ag(x)有零點，A100B．100C2D．2【答案】D故選：D.【答案】D故選：D32021春·天津）已知lg2=a，l【答案】D故選：D.42021秋·浙江）log318-log32=()【答案】B故選：B.52021秋·貴州）log28=(【答案】B故選：B62023·山西）若f（10xx，則f（5）=.【答案】lg5【詳解】試題分析：令10x＝t，則x=lgt，∴f(t)=lgt，∴f（5）＝lg572023春·新疆）已知函數(shù)f(x)={,≤>00，則f(4)=.【答案】2因為f，所以f=log24=2.故答案為：282022春·遼寧）計算log33+log3的值為.【答案】0【詳解】解：log33+log3=log33+lo故答案為：092021秋·青海）已知lgx=2，則x=.【答案】100【詳解】由lgx=2，則x=102=100故答案為：1001(64,5102023春·浙江）計算(|27)|-3=，lg2-lg1(64,5【答案】1-5(5,.5(5,.故答案為112023·北京）將函數(shù)y=log2x的圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y=f(x)的圖象，則f(x)=()2x【答案】B【詳解】將函數(shù)y=log2x的圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y=1+log2x.故選：B.22023·河北）已知函數(shù)f(x)={l[o,(),x>0，則f(x)的最小值是()【答案】C【詳解】當x≤0時，函數(shù)f(x)=1-x在(-∞,0]上單調(diào)遞減，所以當x=0時，函數(shù)f(x)=1-x有最小值為f(0)=1，當x>0時，函數(shù)f(x)=log2(x+2)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)>f(0)=log22=1，綜上，當x=0時，函數(shù)f,x>0有最小值為1.故選：C32023·江蘇）已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)=log3(2x+1)，則f(-1)=()【答案】A【詳解】因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)=log3(2x+1)，所以f(-1)=-f(1)=-log3(2+1)=-1.故選：A.42023春·浙江）函數(shù)f(x)=log2(x+3)+(x+2)0的定義域是()【答案】B【詳解】由題意知→x>-3且x故函數(shù)f(x)的定義域為(-3,-2)(-2,+∞).故選：B.52023春·福建）圖象中，最有可能是y=log2x的圖象是()A【答案】C【詳解】函數(shù)y=log2x的定義域為(0,+∞)，因此函數(shù)y=log2x的圖象總在y軸右側(cè)，選項ABD不滿足，C滿足.62023·廣東）已知函數(shù)0，若a=f的值是()【答案】D故選：D.72022·北京）函數(shù)f(x)=log2(x—3)的定義域為()【答案】A故選：A82022·山西）函數(shù)y=lg(x+1)的圖像是()【答案】A【詳解】由于函數(shù)y=lg(x+1)的圖象可由函數(shù)y=lgx的圖象左移一個單位而得到，函數(shù)y=lgx的圖象與x軸的交點是(1,0)，故函數(shù)y=lg(x+1)的圖象與x軸的交點是(0,0)，即函數(shù)y=lg(x+1)的圖象與x軸的公共點是(0,0)，顯然四個選項只有A選項滿足.故選：A.92022秋·浙江）若log2(2x—1)—x<log2(λ.2x+3λ)對任意x∈(0,+∞)恒成立，則λ的取值范圍是()【答案】A【詳解】由log2(2x—1)x<log2(λ.2x+3λ)，可得log2(2x1)log22x<log2(λ.2x+3λ)，所以log22(λ.2x+3λ)，因為函數(shù)y=log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以上恒成立，令t=2x，則上恒成立，令取等號，所以λ>.故選：A102022·湖南）函數(shù)曲線y=logax+1恒過定點()【答案】C【詳解】因為對數(shù)函數(shù)y=logax恒過點(1,0)，所以函數(shù)曲線y=logax+1恒過點(1,1).故選：C112021·貴州）函數(shù)y=log2(x+1)的圖象經(jīng)過()A0，1）B1，0）C0，0）D2，0）【答案】C【詳解】解方程得.所以函數(shù)y=log2(x+1)的圖象過定點(0,0).故選：C.122021秋·貴州）函數(shù)y=log3x的圖象大致()【答案】A【詳解】因為3>1，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象可得A正確.故選：A.132021秋·青海）函數(shù)f(x)=lnx+·的定義域為()【答案】D【詳解】由題意得{[x>0，解得0<x≤4，所以定義故選：D14多選2022春·浙江）若函數(shù)f(x)=ln(x2—ax+1)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增，則下列實數(shù)可以作為【答案】CD則需g(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增，且g(x)>0在[2,+∞)上恒成立，故選：CD.152022·山西）已知函數(shù)f(x)=log2(x2+a)，若f(3)=1，則a=.【答案】-72【答案】2【詳解】因為函數(shù)f(x)是定義在[—2,2]上的奇函數(shù)，所以f(0)=log1a=f(0)=log1a，即log1a=0，解得a=1.2222故答案為：2172021春·福建）函數(shù)f(x)=ln是（填寫“奇”或“偶”）函數(shù).【答案】奇>0，解得-1<x<1，即f定義域關(guān)于原點對稱.=-ln即函數(shù)f(x)為奇函數(shù).故答案為：奇182021秋·河南）函數(shù)f(x)=log2x+x(x∈[1,4])的值域是.【詳解】因為函數(shù)y=log2x和y=x在(0,+∞)上都是增函數(shù)，所以f(x)=log2x+x在(0,+∞)上是增函數(shù)，所以f(x)max=f(4)=log24+4=6，f(x)min=log21+1=1，函數(shù)值域為[1,6].【答案】-2-22故答案為：-2202023春·新疆）已知函數(shù)=log2(1)求f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性.(2)f(x)為奇函數(shù).【詳解】（1）對于函數(shù)f(x)，有>0，可得(x+1)(x-1)>0，解得x<-1或x>1，所以，函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,-1)(1,+∞).（2）函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,-1)(1,+∞)，=-log2故函數(shù)f(x)為奇函數(shù).212021秋·福建）已知四個函數(shù)=x2+4.(1)從上四個數(shù)選擇一個函數(shù)，判斷其奇偶性，并加以證明；(2)以上四個中，是否滿足其圖象與直線y=3有且僅有一個公共點的函數(shù)?若存在，寫出滿足條件的一個函數(shù)，并證明；若不存在，說明理由.【答案】(1)答案見解析；存在f3滿足條件，理由見解析.=-x+=-f1且定義域為{x|x≠0}，f1(x)為奇函數(shù)；=-f2且定義域為R，f2(x)為奇函數(shù)；=-ln=-f3且定義域為R，f3(x)為奇函數(shù)；f4(-x)=(-x)2+4=x2+4=f4(x)且定義域為R，f4(x)為偶函數(shù).（2）對于f1(x)：當x>0時，f1(x)在(0,1)上遞減，(1,+∞)上遞增且最小值f1(1)=2，而當x<0時函數(shù)值恒為負數(shù)，故其與y=3有兩個公共點，不合題設(shè)；對于，易知f2在R上遞增且值域為(-1,1)，故其與y=3沒有公共點，不合題設(shè)；對于f3(x)：根據(jù)對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性知：f3(x)在R上遞增且值域為(-∞,+∞)，故其與y=3有且僅有一個公共點，符合題設(shè)；對于f4(x)：f4(x)=x2+4≥4，故其與y=3沒有公共點，不合題設(shè)；綜上，存在符合要求的函數(shù)222021·湖北）關(guān)于函數(shù)f(x)=xln(1+x)有以下三個結(jié)論:（1）f(x)是偶函數(shù)；（2）f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù)；（3）f(x)有兩個零點．試分別判斷這三個結(jié)論是否正確，并說明理由.【答案】（1）錯誤2）正確3）錯誤；理由解析.【詳解】（1）由1+x>0，解得x>-1，所以函數(shù)的定義域為{x|x>-1}，不關(guān)于原點對稱，所以f(x)不是偶函數(shù)；因為f,≥0，在上成立，所以f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù)，故正確；所以f(x)有一個零點，故錯誤.【答案】C∵指數(shù)函數(shù)f(x)=2x在R上單調(diào)遞增，且值域為(0,+∞)，又∵對數(shù)函數(shù)g(x)=log0.5x在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)遞減，故選：C.22023·山西）設(shè)a=1.70.3，b=log43.1，c=log0.73，則a，b，c的大小關(guān)系為()【答案】A【詳解】解：因為y=1.7x在R上單調(diào)遞增，且0.3>0，因為y=log0.7x在(0,+∞)上單調(diào)遞減，且3>1，故選：A【答案】A31322322故選：A42023春·湖南）設(shè)a=log32，【答案】D故選：D52023春·新疆）若a=log32,b=,c=log12，則a,b,c的大小關(guān)系為()3【答案】C,33故選：C.62023·云南）已知a=log20.3,b=2【答案】A【詳解】函數(shù)y=log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞故選：A【答案】B3(2,83:a<3(2,8故選：B.【答案】C500.5:c<b<a,故選：C已知a=log34,b=log32,c【答案】D2故選：D.【答案】B故選：B.112021秋·吉林）已知a=log32，b=log42，c=log52【答案】D【詳解】解：如下圖，作函數(shù)y=log2x,y=log4x,y=log5x的圖象故選：D.122021春·福建）已知a=30.5，b=9，c=log30.2，則【答案】B30.23故選：B.【答案】C=2，又y=2x在定義域上遞增，故選：C.142021秋·廣東）已知a=0.23，b=0.32，c=0.33，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜c＜bB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a(chǎn)＜b＜c【答案】A【詳解】解：因為y=0.3x在定義域上單調(diào)遞減，所以0.32>0.33，又y=x3在定義域上單調(diào)遞增，所以0.33故選：A152021秋·廣西）下列數(shù)中最大的是()【答案】D2729故選：D.162021·貴州）下列各式錯誤的是()【答案】C【詳解】對A,因為y=3x為增函數(shù),故30.8>30.7正確.對B,因為y=log0.5x為減函數(shù),故log0.50.4>log0.50.6正確對C,因為y=0.75x為減函數(shù),故0.75一0.1>0.750.1,故C錯誤.對D,因為y=lgx為增函數(shù),故lg1.6>lg1.4正確故選C52，則a，b，c的大小關(guān)系()【答案】A5254故選：A.12023·北京）函數(shù)f(x)=x一1的零點是()【答案】C故選：C.【答案】C令=0，即f一2t轉(zhuǎn)化為與y=2t+的交點，畫出圖像如圖所示：∈(2,3)，所以函數(shù)f(x)=t1=0有一個解，故選：C故選：C32023春·新疆）函數(shù)f(x)=2x一1的零點是()【答案】C故函數(shù)f(x)=2x一1的零點是0.故選：C42022春·天津）函數(shù)f(x)=ex+x一4的零點所在的區(qū)間是【答案】B【詳解】因為y=ex為R上的增函數(shù)，y=x一4為R上的增函數(shù)，故f(x)=ex+x一4為R上的增函數(shù).又52022秋·福建）函數(shù)f(x)=2x+3x一4的零點所在的區(qū)間是()【答案】B所以函數(shù)f(x)=2x+3x一4的零點所在的區(qū)間是(0,1)，故選：B.62022·湖南）函數(shù)f(x)=lnx+x一2的零點所在的一個區(qū)間是()【答案】B根據(jù)零點存在性定理知f(x)=lnx+x一2的零點在區(qū)間(1,2)內(nèi).故選B72021春·天津）函數(shù)f(x)=lnx+2x一3的零點所在的區(qū)間是()【答案】B【詳解】函數(shù)y=lnx是(0,+∞)上的增函數(shù),y=2x一3是R上的增函數(shù),故函數(shù)f(x)=lnx+2x一3是(0,+∞)上的增函數(shù).則x∈(0,1)時,f(x)<0;x因為f(1).f(2)<0,所以函數(shù)f(x)=l