2021屆四川省瀘州市高三年級下冊三模理科數(shù)學含答案

瀘州市高2021級第三次教學質量診斷性考試

數(shù)學（理科）

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.第I卷1至2頁，第n卷3至4頁.共

150分.考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答

題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題的答案標號涂黑.

3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內，作圖題可先用鉛

筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)

域均無效.

4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知復數(shù)z滿足（2—i）-z=5i,則z±=（）

A.V3B.3C，V5D.5

2.己知集合/={X|X2-2X-3<O},5={0,a},若/C5中有且僅有一個元素，則實數(shù)a的取值范圍為

（）

A.（-1,3）B,（-OO,-1]U[3,+OO）C.（-3,1）D,（^O,-3]U[1,-HX））

3.記S,為等差數(shù)列{aj的前〃項和，已知q=-14,%+%=◎,則5,取最小值時，〃的取值為

（）

A.6B.7C.7或8D.8或9

4.一組數(shù)據(jù)再，馬，…，/滿足%—壬t=2（2Wz.W10）,若去掉再，》后組成一組新數(shù)據(jù)，則

新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列說法正確的是（）

A.極差變大B.平均數(shù)變大C.方差變小D.中位數(shù)變小

5.《九章算術》是一本綜合性的歷史著作，全書總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，標志著中國古代數(shù)學

形成了完整的體系.在書中的《商功》一章里記錄了“方亭”的概念，以下是一個“方亭”的三視圖，則它的側

面積為（）

ME

AUS

A.8A/17B.64C.16V17D.16V15

6.己知點M(4,4)在拋物線c：>2=2必：(P>Q)上，尸為c的焦點，直線“下與c的準線相交于點

25201525

A.—B.-----C.—D.——

3324

7.如圖,高速服務區(qū)停車場某片區(qū)有/至〃共8個停車位(每個車位只停一輛車)，有2輛黑色車和2輛

白色車要在該停車場停車，則兩輛黑色車停在同一列的條件下，兩輛白色車也停在同一列的概率為

(

ABCD

EFGH

111]

A.—B.一C.一D.—

54210

2兀、

8.已知函數(shù)/(x)=sina)x一一—(<y>0)在［0,同有且僅有三個零點，則刃的取值范圍是()

3

8H一811)585號、

A.B.D.

33353,

9.已知函數(shù)/(X)(xG7?)滿足/(%)+7(4—X)=0,若函數(shù)f(x)與八—圖象的交點橫坐標分別

x—2

_n

則WX=()

為玉，x2,..X"，

i=\

AAnB.2HC.nD.O

22

X

10.過雙曲線c：y=1(a>0,b>0)的左焦點尸作圓f+產=/的切線，切點為N,直線9

與C的漸近線在第一象限交于點8,若麗=3可，則C的離心率為()

A.VFB.73C.2D.3

11.己知正方體力比。一4494的棱長為2,P為國的中點，過4B,尸三點作平面。，則該正方體

的外接球被平面。截得的截面圓的面積為(

13%16萬14萬

A.——B.——C.3兀D.——

555

12.已知x>0,d+lny=l,給出下列不等式

(1)x+Iny<0；(2)?！?>>2；(3)Inx+ev<0；(4)x+y>l

其中一定成立的個數(shù)為()

A.lB.2C.3D.4

第H卷(非選擇題共90分)

注意事項：

(1)非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪

出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無效.

(2)本部分共10個小題，共90分.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題紙上).

,、(a)

13.已知函數(shù)/("=并1一1sinx是偶函數(shù)，則實數(shù)。=.

14.已知非零向量B滿足忖=2忖，且(0-3)4=0,貝工與B夾角的大小為.

15.動直線/：加x+y-2加-1=0被圓c：f+y+Zc—25=0截得弦長的最小值為.

16.公比為4的等比數(shù)歹！|{4}滿足：佝=lnqo>O,記北=4%%???丹,則當g最小時，使％三1成立

的最小n值是.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P—中，底面是矩形，48=2，BC=24，4c與BD交于點O,OP_L底

面N8CD,OP=2#)，點、E,尸分別是棱尸工,網的中點，連接。E,OF,EF.

(1)求證：平面OEF//平面PCD；

(2)求二面角N—O的余弦值.

18.（本小題滿分12分）

AZSC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知/=/十°2一48,且A48C的面積為砧.

（1）求tanZ的值；

萬

（2）若。是NC邊的中點，cosC=-）求8。的長.

14

19.（本小題滿分12分）

隨著全國新能源汽車推廣力度的加大，新能源汽車消費迎來了前所未有的新機遇.某公司生產了48兩種

不同型號的新能源汽車，為了解大眾對生產的新能源汽車的接受程度，公司在某地區(qū)采用隨機抽樣的方式

進行調查，對/、8兩種不同型號的新能源汽車進行綜合評估，綜合得分按照[20,40）,[40,60）,

[60,80）,將0,100]分組，繪制成評估綜合得分的頻率分布直方圖（如圖）：

A型號評估綜合得分頻率分布直方圖B型號評估綜合得分頻率分布直方圖

（1）以調查結果的頻率估計概率，從48兩種不同型號的新能源汽車中各隨機抽取一輛，以X表示這兩

輛中綜合得分不低于80分的輛數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

（2）為進一步了解該地區(qū)新能源汽車銷售情況，某機構根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到該地區(qū)新能源

汽車銷量y（單位：萬臺）關于年份x的線性回歸方程為？=4.7X-9495.2,且銷量的方差￡=50,年份

的方差為f=2.求y與x的相關系數(shù)，并據(jù)此判斷該地區(qū)新能源汽車銷量y與年份x的相關性強弱.

參考公式：

（1）線性回歸方程：y=bx+a＞其中8=上―------------,。=歹一送;

f（蒼-可之

Z=1

（若re[0,0.25],則相關性較弱；若尸目0.30,0.75],則

相關性較強；若re[0.75,l],則相關性很強）.

20.（本小題滿分12分）

22

已知4,2分別是橢圓及=1（6Z>Z?>0）的右頂點和上頂點，橢圓中心O到直線45的距離為

/b2

/7

2?,且橢圓E過點

5

（1）求橢圓E的方程;

（2）若過點P（6）的直線與橢圓￡相交于N兩點,過點M作X軸的平行線分別與直線NB交于

點C,。.試探究M,C,。三點的橫坐標是否成等差數(shù)列，并說明理由.

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/'（x）-1（a>0）,

（1）討論函數(shù)/（x）的零點個數(shù)；

（2）若|/（x）|>x+xlnx恒成立，求函數(shù)/（X）的零點玉）的取值范圍.

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題

計分.

22.（本小題滿分10分）選修47：坐標系與參數(shù)方程.

x=l+cos。

已知曲線q的參數(shù)方程為<（6為參數(shù)），曲線G的直角坐標方程為x+傷一1=0.以原點

y=sin0

。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求曲線q和G的極坐標方程；

（2）若直線/：y=kx（其中左ey,V3）與曲線。，G的交點分別為4B（A,2異于原點），求

|0旬+蘇的取值范圍.

23.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講.

設函數(shù)/（x）=|2x-2|+|x+2|.

（1）解不等式/（x）<6-x；

（2）設函數(shù)/（X）的最小值為T,正數(shù)a,b,c滿足a+6+c=T,證明：

瀘州市高2021級第三次教學質量診斷性考試

數(shù)學（理科）參考答案及評分意見

評分說明：

1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要

考查內容比照評分參考制訂相應的評分細則.

2.對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和

難度.可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如

果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.

3.解答右側所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù).

4.只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分.

、選擇題:

題號123456789101112

答案DBCCCAABBBDC

二、填空題：

兀

13.214.—15.816.17

3

三、解答題:

17.解：（1）因為底面45C。是矩形，4C與AD交于點。，

所以。為ZC中點，

點￡是棱/〃的中點，廠是棱P8的中點，

所以?！隇锳/。0的中位線，。尸為的中位線，

所以//CP,OF//DP，

因為//C平面。。尸,尸Cu平面。CP,

所以〃平面。CP,

因為。尸〃平面。尸u平面。C?,

所以。尸〃平面。CP,

而?！阠。尸=O,OEu平面OEF,OFu平面OEF,

所以平面OEF//平面PCD：

(2)解法一：分別取中點G、H,以。G,04,0尸所在直線為X、V、z軸建立空間直角坐標系，則

(也1)(氏1)

點3(W,1,0),點/(-1,0),點尸(0,0,,點￡—,-73，點廠,y/3,

122J(22J

—.(道1廠)—■1廠、

I22JI22J

設平面O￡9的法向量為應=(x,y,z),則:

設平面R43的法向量為五=(x/,2)，則:

y/3x-y-2小z=0

取為=（2,0,1）,

y[3x+y-2bz=0

m-n2x2-lxl3

所以cos〈肛n)------=一尸一L,

\m\\n\后下5

3

二面角A-EF-0的余弦值為y.

解法二：取48中點G,連接？G交班于點〃，連接O〃,OG,

因為PA=PB，所以尸G,48,即PH,即，

因為?！?工尸40斤=,尸3,所以。￡=。尸，

22

所以防，

ZOHG是二面角A-EF-0的平面角，

因為OP=2C,OG=0，所以&=JB，

所以0〃

2

3

在AOT/G中，cos/O//G=

5

2x

3

所以二面角A-EF-0的余弦值為y.

18解(1)由題意‘邑施=9則必=66

所以僅加14=2/§，

△48。中，由余弦定理，有:

62+02_42+。2―/卜1948siih4

cosA=

2bc2bcsinA24c

colw0,所以tark4

(2)在△4BC中，由(1)知：taiL4=—，

2

則sin4=叵,cosZ=垃，

77

rp.sr萬、/yr；r；|.「3A/21

因為cosC二——，所h以smC=----，

1414

所以sinS=sin(4+C)=sin4cosc+cosNsinC

_V|I772V73V21_V3

一〒?瓦i^-T，

c_b

由正弦定理，有3VH一耳,所以2=0

--------------c3

142

又慶?號■=12百，所以加>二12g，

解得：b=2-\/7,c=6>

所以BD=J+(近)2—26幣.當~=5.

19.解：(1)由頻率分布直方圖可知,

A種型號的新能源汽車評估綜合得分不低于80分的概率為:

0.010x20=0.2,

B種型號的新能源汽車評估綜合得分不低于80分的概率為：

0.005x20=0.1,

所以X的所有可能值為0,1,2,

所以=0）=0.8X0.9=0.72,

P（X=1）=0.2x0.9+0.8x0.1=0.26,

P（X=2）=0.2x0.1=0.02

所以X的分布列為:

X012

p0.720.260.02

故X的數(shù)學期望石（x）=0x0.72+1x0.26+2x0.02=0.3；

（2）相關系數(shù)為：

可（凹-歹）

1=1

之（“可（％-刃元）2

斗（七一可②/百（4一歹『

'斗（上一J7）,

=石垣=濫

^亞

所以「=4.7xj2=4.7x』=0.94>0,75,故>與X線性相關很強.

\505

20.解：⑴依據(jù)題意，直線48的方程為二+上=1，即以+即-仍=0,

ab

a—2

b=l

橢圓月的方程為土+/=1；

4

（2）解法1：M,C,D三點的橫坐標成等差數(shù)列，理由如下：

由題意知，直線MV的斜率存在且不為0,直線過點2（2,1）,

所以設直線"乂：廣1=左（》—2）,

聯(lián)立方程組<可得：（l+4k2）x2+8k（l-2k）x+16k2-16k=0,

A=[8]（1—2左）]2—4（1+4左2）（16左2—16左）=64左>0,

設M（XI，M）N（X2，E），

2

n?16k-8k16左2—16左

則：x,+x?=---------.xx.=------------，

勺21+4-121+4左2

因為&:%+29一2=0,所以。(2-2%,%)，

(83、(43、

當為=0時，lBN\x—Q,此時點M坐標為，點C坐標為-9-

15Jj57

?兩足％+Xp~；

y_]

當天w0時，因為/.：歹=以一1K+1，

x2

令》=另可得：%=5，

V2T

因為+令》=另可得：X。=5一牛,

尤2歹2-1

下面證明：xi+xD-2xc,

即證：Xi+（.T）/=4—4%,即證:

V2T

演（＞2T）+（必-1）/=（4-4yJ（E-1）,

整理可得即證：（8左2+2左）（再+%2）-（4左2+2左卜1%2=16左2,（*）

由于（8左2+2左）（再+々）一（4左2+2左）再入2，

=（如+2u*彩]-（它+2分爺者

64左彳+16左2

=16左2，

1+4左2

所以上式（*）成立，原式得證.

解法2：M,c,。三點的橫坐標成等差數(shù)列，理由如下:

設直線MN:X=/HV+〃，因為直線過點P（2,l）,所以根+〃=2,

x=my+n（

聯(lián)立方程組44/=4可得：（加2+4）/+2mny+/一4=0,

A=4m2n2-4（m2+4）（722-4）=16（m2-/72+4）＞0,

-2mnn2-4

設以不乂）,N（X2，%），貝I：%+為=“+4，必%—病+4

因為&:%+29一2=0,所以。（2—2%,乂）,

,%—1]（必-1）為2

因為/?v:.工X+1，令》=乂可得：=

%—1

3、（43、

當X,=0時，：%=0

IRN，此時點M坐標為-9-，點c坐標為

155J155J

y兩足Aj+—2￥c；

當毛W0時，因為：＞=1」x+l（x2/0）,

'2

令》=y可得：XD=

%一1

下面證明：xi+xD-2xc,

（%T）Z

即證：須+=4-4%,

.V2T

即證：（期+〃）（%—1）+（必—1）/=（4—4凹）（％—1）,

整理可得即證：（2加+4）“％+（”—加—4）（弘+%）—2“+4=0,

力2-4/八-2mnc/八

即證：（2m+4）——+（n-m-4）一；-----2〃+4=0,

i'W2+4i7W2+4

整理可得即證：4m2+8mn+4n2-8（m+n）=0,

即證：（加+”）2—2（加+”）=0,

因為加+〃=2,所以上式成立，原式得證

解法3：M,C,。三點的橫坐標成等差數(shù)列，理由如下:

設M（X1,必）,N（%2,%）（歹尸I%A1），因為地〃3軸,

所以。（工。,%）,。（2,%），

設直線GM+”（.V—1）=1,因為直線乙四過點?（2』），

所以2加=1.m=—

2

mx+z?（y-1）=0z

由方程組224可得:

x+44y=4

2

X

當yW1時,+8m--——F4+8〃=0,

y-1y—i

再?/

所以=-8m=-4,

%T%T

又因為8,。，N三點共線，所以』

y2Tyt-i

-^-+^—=-4,即芯+芍=^（必—1）,

所以

JI-1弘t

因為點C（Xc，％）在直線48：］+〉=1上，

所以，-i=一寸，

fx、

c

尤1+程一x-4-,即可+芍=4,

\2/

所以M,C,D三點的橫坐標成等差數(shù)列.

解法4：M,C,。三點的橫坐標成等差數(shù)列，理由如下:

設直線M"：*=切”〃，因為直線過點2(2,1),所以加+〃=2,

x=my-\-n（2

聯(lián)立方程組44/=4可得：（川+4）「+2mny+?-4=0,

設M(西,必)川(%2，%乂歹產1，%W1)，

-2mnn2-4

則：%+%=

E2m2+4

小內云2=為（了2-1）+-丫25T）=-8（加+〃）=

Ji-18T5T）（為T）（%+〃）

又B,D,N三點共線，

即1+?=-4=3=2.9,

所以

y2T凹t%T%T七B%T

所以西+%=2%,所以M,C,。三點的橫坐標成等差數(shù)列.

21.解：⑴因為+,

由/'(x)>0得x〉—l,所以/(X)在(—00,1)上單減，在(T,+")上單增，

/(T)=一色-1，

e

又當％—時，/(x)-T;xf+oo時，

所以函數(shù)/(x)有唯一寫點；

(2)由⑴知/(X)在(0,對上存在唯一零點，且曲科一1=0,

①當xe(O,Xo)時，/(x)<0,

由x+xlnx得：-axex+1>x+x\nx，

—X—

即一Qe,*H----1Inx>0f設^g(%)=~CIQH----1lux,

xx

則g，(x)=—Qe》--------<0,

x

g(x)在(0,%)上單減，所以g(x)>g(%)=-ae°+—-l-lnx0=-l-liw0...0,

解得0〉％o”—；

e

②當]￡卜+。)時，由|/(x)|>x+xlnx得：axex-1>x+xlnx,

即cicx----1—Inx>0

xf

設/z(x)=aex---1-Inx,

則〃'(x)=ae“H----,因為axe"-l〉O,

xx

所以1(X)>O,所以人(力在[%,+8)上單增,

所以力(x)…h(huán)(x。)—qe"-----1IHXQ=-1—InXg>0,

xo

解得0</<—；

e

(n

綜上知：工的取值范圍是0,-1

Ie7

X=