初中數(shù)學(xué)期末以及中考常考幾何解題模型詳細(xì)梳理

全等變換

平移：平行等線段（平行四邊形）

對稱：角平分線或垂直或半角

旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

1.對稱全等模型：

角平分線模型

過角平分線上的一點(diǎn)往角的兩邊作垂線。

過角分線某點(diǎn)作垂線

往角兩邊截取等線段

【分析】：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長補(bǔ)短或者作邊的垂線，形成對稱全等。兩邊進(jìn)行邊或

者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進(jìn)行對稱全等。

2.對稱半角模型

【分析】：上圖依次是45。、30。、22.5。、15。及有一個角是30。直角三角形的對稱（翻折），翻折成

正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對稱全等。

3.旋轉(zhuǎn)全等模型

半角：有一個角含1/2角及相鄰線段

自旋轉(zhuǎn)：有一對相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等

共旋轉(zhuǎn)：有兩對相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等

中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：倍長中點(diǎn)相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問題

4.旋轉(zhuǎn)半角模型

【分析】：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個二分之一角，通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個和為二分

之一的角拼接在一起，成對稱全等。

5.自旋轉(zhuǎn)模型

構(gòu)造方法：

遇60度旋60度，造等邊三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等

遇中點(diǎn)旋180度，造中心對稱

6.共旋轉(zhuǎn)模型

【分析】：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容。通過“8”字模型可以

證明。

7.模型變形

【分析】：模型變形主要是兩個正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等腰直角三角形與

正方形的混用。

當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時，先找兩個正多邊形或者等腰三角形的公共頂點(diǎn)，圍繞公共頂點(diǎn)

找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。

中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：

【分析】：兩個正方形、兩個等腰直角三角形或者一個正方形一個等腰直角三角形及兩個圖形頂點(diǎn)

連線的中點(diǎn)，證明另外兩個頂點(diǎn)與中點(diǎn)所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長所要證等腰直

角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公

旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)，通過證明旋轉(zhuǎn)全等三角形證明倍長后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。

中點(diǎn)模型

2

??

????

追中點(diǎn)構(gòu)道中QlC8長一邊01中你1用1口邊中

幾何最值模型

對稱最值（兩點(diǎn)間線段最短）

線段和差模型

Ml?1

同M、異例兩找段之和最如模型同側(cè)、舁間兩線段之七最小模型

軸對稱模型

三線段之和過橋模R四邊形同長三角杉周長

?■也型最小模型最小校里

對稱最值

（點(diǎn)到直線垂線段最短）

【分析】：通過對稱進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線距離。

旋轉(zhuǎn)最值

（共線有最值）

【分析】：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個定長線段，定長線段的和為最大值，定長線段的

差為最小值。

簡拼模型

三角形一四邊形

圖11

【分析】：剪拼主要是通過中點(diǎn)的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。

矩形一正方形

【分析】：通過射影定理找到正方形的邊長，通過平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變

正方形+等腰直角三角形一正方形

【分析】：兩個等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個有一個角是300角的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。

推廣：兩個任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律。

相似模型

【分析】：注意邊和角的對應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過等量代換來構(gòu)造相似

三角形的作用。

【分析】：（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式出現(xiàn)的居多。

(2)內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之處。另外，相似、射影定理、

相交弦定理(可以推廣到圓塞定理)之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過等線段、等比值、等乘積進(jìn)

行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。

【分析】：相似證明中最常用的輔助線是做平行，根據(jù)題目的條件或者結(jié)論的比值來做相應(yīng)的平行

線。

A模型一：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等

A模型二：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型相似

⑴THS況

a條件：CD〃/18,將AOCQ旋轉(zhuǎn)至右圖位貿(mào)

A牯論：

a右圖中①AOCAAO488AOXCAOBD,

a②延長"C交8D于點(diǎn)E,必有/-BEC-LBOA

<2）也帆

*條件：CDI/AB,乙1。8?90。，將A0C7）旅轉(zhuǎn)至右圖

位貫

a牯論：右圖中①AOCOsACMBeA0/CAOBD,②

延長4C交BD于點(diǎn)E,必有乙BEC-LBOA；

BDODOB

------■—=tanA.OCD

③/COCOA,@BD1AC

接皿BC,如有■"+8C5+C%⑥X"”（對角蟠相垂直的四硼）

A模型三：對角互補(bǔ)模型

⑴吩

>：①LAOB-LDCE?90。j②0C平分U4)B

a結(jié)論：①CD=CE②12+OE-J2OCf③

SOME.+S皿；層■~0(.

A證郵示：

0乍垂直，如圖，證明ACD"?ACEVj

②￡1點(diǎn)C作b1oc,如上圖（右），證明AOM■A/TJ

a當(dāng)"CE的一邊交乂。的延長線于點(diǎn)。時：

見三作S論：OCD^CE（不變）,

①OE-OD-41OC,③SgFm_2OC

端論if明方法與精種B況致，可自修法

(2)全等型-120°

a條件：①乙408-2LDCE-120°,

A②OC平分乙40%

A結(jié)論：①CD?CE)②()D+OE?OC$%

A利班示：①可普考“全等型-90”證法一；

②如圖：在。3上取一點(diǎn)尸，使。尸=。。，證明ACK尸

為等邊三角形。

《3）全鈿任意角a

①-2a,Z.DCE-180-2a.②CD-CE.

結(jié)論：①乙40/②O0+OE?2OC'?cosaj

2

③S3=5Ag,+Sg-OC*sina-cosa.

a當(dāng)￡OC￡的一邊交<。的延長線于點(diǎn)。時（如右上圖）：

原結(jié)論變成：①5

②，

③3

可參考上述第②種方法進(jìn)｛亍證明.請思考初始條件微化對模型的影響。

A對龜互木■總結(jié)：4

①常見初始條件：四邊形對角互補(bǔ)3注意兩點(diǎn)：四點(diǎn)共圓及直角三角形斜邊中線；〃

②初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；

③兩矛惟見韓同臟戔作法；（

④注意oc平分乙408時,LCDE-LCED-LCOA?LCO相等如何推導(dǎo)？

A模型四：角含半角模型90。

（D甬含半角模型90°1

GRE

a條件：①正方形ABCD3②LEAF-45%

a牯論：①EF-DF+BE;?AC￡F的周長為正方形48CD周長的一半;

也可以這樣：

a條ff：①正方形ABC%②EF?DF+HE

a結(jié)論：LEAF^45°

（2）角含半角8?W-2/n

a條件：①正方形?孫②“"-45。；力\

a結(jié)論：EF-DF-BE（1\r

E

>WBh綺嚇醐S示：F

（4）角含半角模型90°變形

運(yùn)嗝：逢發(fā)AC《方溫不唯一》

7N/M?""■?!，，???N/“//?4M￡

VN〃W-乙牌V?45????AHNSWE

a條件：①正方形，48。.②LEAF-45°.

A結(jié)論：&〃〃:.為等腰直角三龜形。

七A模型五：倍長中線類模型

<o申

a條件：①^形'BCD§②BD?BE③DF,EF3

a結(jié)論："，CF

模型提?。孩儆衅叫芯€40"8￡j②平行線?睡戔段有中點(diǎn)

可以構(gòu)造“8”字全等MDF?MfEF.

（2）倍長中繩娥型-2

a條件:0)￥行四邊形ABCD,?^C-2AB；③4W-DM?@CE1AD.

a牯論：LEMD-yLMEA

?Mn：料十什.4B//CD.<4?AAM?DM

域長EM,構(gòu)迨&小施MM"?連M(M種

BB

迨號It\EMC,SXKF

通過構(gòu)句8字4號慢段收角的大

小轉(zhuǎn)化

A模型六：相似三角形360。旋轉(zhuǎn)模型

《1》相（隊(duì)三角形（等腰直角）360,旋轉(zhuǎn)模型卷長中線法山絲：足長/?乩艮O.健,6.小.是

⑴*部三覦（等em）360。揭鉞ST隆^

A條件：①A4C￡、ZUBC均為等腹直角三角形3②打'?C/j

A結(jié)論：①D尸,8/；②力產(chǎn)

腦助”：構(gòu)逢呼幡血京&4EG、A.4//C

摘勸慢吟品：杵DF與HPC（i與IH

9財(cái)E：通長BA*，.G,ft.4G-.?.睡食

a新：①AO.ABsAODC§②LOAB-乙OIK?-90°；CD利屯H俵DH=e.，卜全MXiH.

③。

BE.CECK'H構(gòu)it就“幡笈.HitA￡SDEHCG

a牯論：①AE=D￡j?LAED-2LABO

與BH.0.色名”義NJ初

幡購愎：域錄DEtM.itME-￡M,將州

a條件：①AOABSAODC、②a)AB-LODC90°.③/的㈣卜展件外化*注切\(zhòng)M//>凡

BE-CE,為&4.3A.lMAA/1/k,觸債物化為通叨

a結(jié)論：①4￡■。勺②LAED-2LABO

7818A.使用網(wǎng)邊及比尺央向?qū)?/p>

此處卑.a在理5NJAV?N”N）

A模型七：最短路程模型

甚體：以上W圉為常義的“時他具最仙路也問麴.

.后都“化到：”四點(diǎn).之:*N收*歸”3次

特點(diǎn)：①動羯上:②越金?，崢點(diǎn)典三

(2)最短路程1#型二(點(diǎn)到直卷H)

?4l[/11械購建：瘠作0美于。TH0黑。??“先

\p'P^r^PQ.<A"件.WMJX"

正線段踴短O0MH1。.N4-4冊.叱2.5

A條件：①儀,平分&叫②M為⑺上一定點(diǎn)J③P為"上F點(diǎn)；@。為08上一動點(diǎn)；

a求：最d時，凡。的位遇？

(3)蹦1罐般匚(廚1幽$2)|r

?條件：/(0,4),8(-20).P(0,〃)t'JC

PB+曲PA4…

ai福：協(xié)何值時，5最小

cc、nin^.OAC■,

A求解方法:①t軸上取(億叫使5.②過8作80L/C,交F軸于點(diǎn)"即為所求j

tanLEBO-tanLOAC--,、

③2,即演OJ).

8.中點(diǎn)模型

【模型1】倍長

1、倍長中線；2、倍長類中線；3、中點(diǎn)遇平行延長相交

A

【模型2】遇多個中點(diǎn)，構(gòu)造中位線

1、直接連接中點(diǎn)；2、連對角線取中點(diǎn)再相連

【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，ZABC=60°,G是DF的中點(diǎn)，連接GC、GE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時，若AB=10,BF=4,求GE的長；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時，線段GC、GE有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系，寫出你的猜

想；并給予證明；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長線上時，(2)問中關(guān)系還成立嗎？寫出你的猜想，并給予證明.

9.角平分線模型

【模型1】構(gòu)造軸對稱

【模型2】角平分線遇平行構(gòu)造等腰三角形

【例】如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分NBAD交BC邊于E,EF_LAE交CD邊于F,交AD

邊于H,延長BA到點(diǎn)G,使AG=CF,連接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE,則GF的長為

手拉手模型

OA=OB,OC=OD,ZAOB=Z.COD

【結(jié)論】QCm4OBD；NAEB=NOAB=NC。。（即;OE平分44￡