人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步練習(xí) 第二十七章 相似（章末測(cè)試）（原卷版+解析）

第二十七章相似

一、單選題：

1.若乙ABCs^DEF,且AB=10cm,BC=12cm,Z）E=5cm,則EF的長(zhǎng)度為（）.

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

2.如圖，如果NA4D=NC4E,那么添加下列一個(gè)條件后，仍不能確定△A。石與△ABC相似的是（）

ABDEABAC

A.B=ZDB.ZC=ZAED

3.如圖，把二ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到VAD。當(dāng)點(diǎn)。剛好落在5C上時(shí)，連接CE,設(shè)AC、DE相交于點(diǎn)方,

則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（）.

A.3對(duì)B.4對(duì)C.5對(duì)D.6對(duì)

4.如圖，在AABC中，DE〃BC,NADE=/EFC,AD:BD=5:3,CF=6,則OE的長(zhǎng)為（）

A.6B.8C.10D.12

5.為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識(shí)，小明在書房里掛了一張視力表.由于書房空間狹小，他想根據(jù)測(cè)試距離為5機(jī)的

大視力表制作一個(gè)測(cè)試距離為3m小視力表.如圖，如果大視力表中的高度是3.5m,那么小視力表中

相應(yīng)的高度是（）

H-3m-?

v----5m

A.3cmB.2.5cmC.23cmD.2.1cm

6.如圖，D、E分別是△ABC的邊A3、5C上的點(diǎn)，DE//AC,若S』BDE：SACDE=\：4,貝(及SAADC

的值為()

A.1：16B.1：18C.1：20D.1：24

-3),以原點(diǎn)。為位似中心，相似比為;,

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-3,6)、8(-9,

把△A3。縮小，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是()

A.(-3,-1)B.(-1,2)

C.(-9,1)或(9,-1)D.(-3,-1)或(3,1)

8.如圖，正方形ABC。中，M為8c上一點(diǎn)，MELAM,ME交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若AB=12,BM=5,

9.如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是48的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接AC,BD交于點(diǎn)E,則卡等

BE

C.1-理丁-1

2-2

10.如圖，將矩形ABC。沿AE折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在BC上點(diǎn)尸處，過點(diǎn)尸作FG〃CZ),連接斯，DG,

下列結(jié)論中正確的有（）

?ZADG=ZAFG；②四邊形。EFG是菱形；?D^^AE-EG；④若AB=4,AD=5,貝!]CE=1.

A.①②③④B.①②③C.①③④D.①②

二、填空題：

11.已知△ABCSZ^D￡F,且面積比為9：4,貝UABC與DEF的對(duì)應(yīng)角平分線之比為.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABC。與正方形BEFG是以原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，且位

似比為:?點(diǎn)A、B、E在x軸上，若正方形BEFG的邊長(zhǎng)為6,則C點(diǎn)坐標(biāo)為.

13.如圖，8。平分/ABC,AB=4,BC=6,當(dāng)BD=時(shí)，AABD^^DBC.

14.如圖所示，把沿DE平移到A5c的位置，它們重合部分的面積是面積的|,若AB=而,

則此三角形移動(dòng)的距離AD是.

15.如圖，..,ABC與ADB中，ZABC=ZADB=90°,ZC=ZABD,AC=5cm,AB=4cm,的長(zhǎng)為.

c13

BF2FC

16.如圖，平行四邊形ABC。中，E是邊3C上的點(diǎn)，A石交8D于點(diǎn)尸，如果-=彳，那么言=______

FD3BE

17.如圖，在AABC中，AB=9,AC=6,BC=12,點(diǎn)M在AB邊上，且AM=3,過點(diǎn)M作直線MN與AC邊

交于點(diǎn)N,使截得的三角形與原三角形相似，則MV=.

A

18.如圖，D是BC上一點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，AD、CE交于點(diǎn)P,且AE：EB=3：2,CP：CE=5：6,那

么DB:CD=.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABC。的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)￡＞的坐標(biāo)為（0,2）

延長(zhǎng)CB交無軸于點(diǎn)4，作正方形4B/GC；延長(zhǎng)GS交x軸于點(diǎn)4，作正方形A282c2。，…按這樣的規(guī)

律進(jìn)行下去，第2018個(gè)正方形的面積為.

20.如圖，在RtA4BC中，AB=BC,NABC=90。，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，連結(jié)C。，過點(diǎn)8作3GLCD,分

別交8、C4于點(diǎn)E、F,與過點(diǎn)A且垂直于A3的直線相交于點(diǎn)G,連結(jié)DF.給出以下五個(gè)結(jié)論：①

當(dāng)=名；?ZADF=ZCDB；③點(diǎn)尸是GE的中點(diǎn)；④AF=?AB;⑤葭皿=5S-其中正確結(jié)論的序

ABFB3

號(hào)是.

三、解答題：

21.根據(jù)圖中所注的條件，判斷圖中兩個(gè)三角形是否相似，并求出x和y的值.

22.已知：△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形網(wǎng)

格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)單位長(zhǎng)度).

(1)畫出AABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A/SG，點(diǎn)。的坐標(biāo)是

(2)以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出222c2,使222c2與△ABC位似，且位似比為2：1；

(3)四邊形442c2c的面積是平方單位.

23.已知：平行四邊形A8CDE是A4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE與A。、BD交于G、F.

求證：CF2=GFEF.

24.如圖，明珠大廈的頂部建有一直徑為16根的“明珠”，它的西面45〃7處有一高16根的小型建筑CA,人站

在8的西面附近無法看至「明珠”外貌，如果向西走到點(diǎn)尸處，可以開始看到“明珠”的頂端5；若想看到“明

珠”的全貌，必須向西至少再走12根，求大廈主體建筑的高度.(不含頂部“明珠”部分的高度)

B

6

□□oaoa

口口中口口

□□□aaa

□ac^ooa

□ocKiaa

16□□□□□a

45

25.如圖，已知AB為。的直徑，AC是。的切線，連接8C交O于點(diǎn)尸取g尸的中點(diǎn)。，連接AO交BC

于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作9_LAB于點(diǎn)

(1)求證：HBE-ABC；

(2)若CP=8,3尸=10,求AC和EH的長(zhǎng).

26.如圖，在RtZkABC中，ZC=90°,AC=20cm,BC=15cm,現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向

運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是4cm/秒，點(diǎn)Q的速度是2cm/秒，

它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.求：

(1)當(dāng)t=3秒時(shí)，這時(shí)，P,Q兩點(diǎn)之間的距離是多少？

(2)若aCPQ的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似？

27.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，AB=8,BC=10,E為AB上一點(diǎn)，把4

CBE沿CE折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)D處，

(1)求AE的長(zhǎng)；

(2)如圖2,將NCDE繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使角的一邊DE剛好經(jīng)過點(diǎn)B,另一邊與y軸交

于點(diǎn)F,求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使以點(diǎn)C、D、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若

存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)通過計(jì)算說明理由.

第二十七章相似

一、單選題：

1.若△⑷5cs△。￡尸，且AB=10cm,BC=12cm,OE=5cm,則E尸的長(zhǎng)度為（）.

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【答案】C

4z?

【分析】由跖，可得等=算，再代入數(shù)據(jù)建立方程，解方程后可得答案.

DEEF

【詳解】解：AABCs^DEF

.ABBC

'~DE~~EF"

AB=10cm,BC=12cm,DE=5cm,

.10-12

解得：DE=6,

經(jīng)檢驗(yàn)：DE=6符合題意，

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，如果/BAO=/CAE,那么添加下列一個(gè)條件后，仍不能確定AAOE與AABC相似

的是（）

AB_DEAB_AC

A.B=ZDB.ZC=ZAED

~AD~Hc~AD~~AE

【答案】C

【分析】XADE沿AABC

根據(jù)題意可得/皿＞=/C4B,然后根據(jù)相似三角形的判定定理逐項(xiàng)判斷，即可求解.

【詳解】解：；Na4D=NC4E,

ZEAD=ZCAB,

A.若添加4=ND,可用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，證明△ADEgZVIBC,故本選

項(xiàng)不符合題意；

B.若添加NC=NA￡D,可用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，證明AADE絲△ABC,故本

選項(xiàng)不符合題意；

C.若添加E=不能證明也△ABC,故本選項(xiàng)符合題意；

ADBC

AR

D.若添加二砥=>，可用兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，證明△ADE

ADAE

之△ABC,故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，把ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到VADE,當(dāng)點(diǎn)。剛好落在BC上時(shí)，連接CE,設(shè)AC、DE

相交于點(diǎn)則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)是（）.

E

上

BDC

A.3對(duì)B.4對(duì)C.5對(duì)D.6對(duì)

【答案】B

［分析］根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得至UAABC必ADE,N2=N1,利用三角形內(nèi)角和得到/3=/4,

EF

則可判斷根據(jù)相似的性質(zhì)得——=——，而NAFD=N￡FC,則可判斷

DFFC

△AF4AEFC；由于NBAC=NZME,AB=AD,AC=AE,所以/3=/5,于是可判斷

△ABD^AAEC.

【詳解】解：如圖，

E

BDC

??,把ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到VAT>￡,

：,AABC沿AADE,N2=N1,

??./3=/4,AABCS^ADE,

：.Z\AFE^/\DFC,

.AF_EF

??而一衣’

ZAFD=AEFC,

/.△AFD^AEFC,

VZBAC=ZDAE,AB=AD,AC=AE,

AZ3=Z5,

???AABD^AAEC

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題.

4.如圖，在△4BC中，DE〃BC,ZADE=ZEFC,AD:BD=5:3,CF=6,則。E的長(zhǎng)為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

AT）AE5

【分析】由。E〃BC可得出一=——=一，ZAED=ZC,結(jié)合NAr>E=/EFC可得出及位）￡

BDEC3

5

s2\EFC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出A黑F==D|F=[,再根據(jù)CT=6,即可求出的長(zhǎng)度.

ECFC3

【詳解】解：石〃5C,

.ADAE5

'茄一法一]ZAED=ZC.

又?:ZADE=ZEFC9

：.AADE^AEFC,

.AEDE5

??法—

VCF=6,

?DE5

??—―，

63

：.DE=10.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線

段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)列出比例式是解題的關(guān)鍵.

5.為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識(shí)，小明在書房里掛了一張視力表.由于書房空間狹小，他想根據(jù)

測(cè)試距離為5m的大視力表制作一個(gè)測(cè)試距離為3租小視力表.如圖，如果大視力表中“E”

的高度是3.5s,那么小視力表中相應(yīng)“E”的高度是（）

H—3m-?

*5ma

A.3cmB.2.5cmC.23cmD.2.1cm

【答案】D

【分析】直接利用平行線分線段成比例定理列比例式，代入可得結(jié)論.

【詳解】如圖，由題意，得CD〃AB,zECDsEAB,.AB=3.5cm,BE=5m,

ABBE

CD3

DE=3m,yy=—,CD=2.1cm.故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，比較簡(jiǎn)單；根據(jù)生活常識(shí)，墻與地面垂直，則兩張

視力表平行，根據(jù)平行相似或平行線分線段成比例定理列比例式，可以計(jì)算出結(jié)果.

6.如圖，D、E分另IJ是AABC的邊A8、上的點(diǎn)，DE//AC,若S/DE：SACDE^1；4,

則S/BOE：S/ADC的值為()

A.1：16B.1：18C.1：20D.1：24

【答案】C

【分析】由S.8OE：SACDE^I：4,得到BE：CE=1：4,于是得到BE：2C=1：5,根據(jù)

DE//AC,推出△BOES^BAC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】W：\"SABDE：SACDE=1：4,

：.BE：CE=1：4,

：.BE：BC=1：5,

'."DE//AC,

:.△BDEsLBAC,

；.SABDE：SBAC=(-)2=—.

A525

：.SABDE：SAADC=1-(25-1-4)=1：20.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等高不同底的三角形的面積的比等

于底的比與三角形的面積比等于相似比的平方是解決問題的關(guān)鍵.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-3,6)、2(-9,-3),以原點(diǎn)。為位似中

心，相似比為g,把△AB?？s小，則點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)次的坐標(biāo)是()

C.(-9,1)或(9,-1)D.(-3,-1)或(3,1)

【答案】D

【分析】利用以原點(diǎn)為位似中心，相似比為左，位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于人或把

B點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別乘以g或J即可得到點(diǎn)夕的坐標(biāo).

【詳解】解：；以原點(diǎn)。為位似中心，相似比為：，把AAB?？s小，

:.點(diǎn)B(-9,-3)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(-3,-1)或(3,1).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,

相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于左或-公

8.如圖,正方形ABCD中,M為上一點(diǎn),ME±AM,ME交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若AB=12,

D謂

【答案】B

【分析】先根據(jù)題意得出故可得出CG的長(zhǎng)，再求出OG的長(zhǎng)，根據(jù)AMCG

s^EDG即可得出結(jié)論.

【詳解】解：：四邊形是正方形，AB=12,BM=5,

：.MC=12-5=1.

'：ME±AMf

：.ZAME=90°,

：.ZAMB+ZCMG=90°.

???ZAMB+ZBAM=90°,

，/BAM=NCMG,ZB=ZC=90°,

AABM^AA/CG,

.ABBM日口125

MCCG7CG

"G=12一**

'：AE//BC,

：.ZE=CMG,NEDG=NC,

：.AMCGsAEDG,

MC品,解得。E=掾.

~DE

故選B.

BMC

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

9.如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接AC,BD交

DE

于點(diǎn)E,則轉(zhuǎn)等于（）

BE

c.叵D,

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)證得，AADF是等腰直角三角形，求得BD=0+1,再證AADE

^△BDA,得ED=0-1,BE=2.即可得出結(jié)果.

【詳解】連接AD、CD,作AF〃CD,交BE于F,

:點(diǎn)口是AC的中點(diǎn)，

可設(shè)AD=CD=1,

根據(jù)平行線的性質(zhì)得NAFD=/CDF=45。.

???△ADF是等腰直角三角形，

則AF=0,BF=AF=V2.

.,.BD=72+1.

VZDAC=ZABD,ZADB=ZADB,

/.△ADE^ABDA,

:.DE=——=y/2-l,BE=2

V2+1'

,DE_y/2-\

??一,

BE2

故答案是：蟲二L

2

【點(diǎn)睛】考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，正確的作

出輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，將矩形A8CO沿AE折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在8c上點(diǎn)尸處，過點(diǎn)尸作R5〃C￡),

連接ERDG,下列結(jié)論中正確的有()

@ZADG=ZAFG；②四邊形DEFG是菱形；@DCr=^AE-EG-,④若AB=4,AD=5,則CE=1.

A.①②③④B.①②③C.①③④D.①②

【答案】B

【詳解】⑴由折疊的性質(zhì)可得：N")G=NABG(故①正確)；

(2)由折疊的性質(zhì)可知：ZDGE=ZFGE,ZDEG-ZFEG,DE=FE,

"JFG//CD,

：.ZFGE=ZDEG,

：.ZDGE=ZFEG,

C.DG//FE,

四邊形DEFG是平行四邊形，

5L'：DE=FE,

，四邊形DEFG是菱形(故②正確)；

(3)如圖所示，連接。歹交AE于。，

?.?四邊形DEFG為菱形,

：.GE±DF,OG=OE=^GE,

VZDOE^=ZADE=90°,ZOED=ZDEA,

.?.△OOEs△ADE,

OFDF

BPDE2=EO^AE,

DEAE

；EO=；GE,DE=DG,

：.DG2=^AE>EG,故③正確；

(4)由折疊的性質(zhì)可知，AF=AD=5,DE=FE,

'：AB=4,ZB=90°,

.,.BF=752-42=3?

：.FC=BC-BF=2,

設(shè)CE=x,貝l|莊=￡)￡=4-尤，

3

在及ACEF中，由勾股定理可得：(4-X)2=X2+22,解得：x=-.

故④錯(cuò)誤；

綜上所述，正確的結(jié)論是①②③.

故選：B.

二、填空題：

11.已知△ABCSAD斯，且面積比為9：4,貝I]ABC與QEF的對(duì)應(yīng)角平分線之比為一

【答案】3:2

【分析】根據(jù)相似三角形性質(zhì)先求出相似比，然后進(jìn)一步即可得出對(duì)應(yīng)角平分線之比.

【詳解】:AABCSADEF,且面積比為9：4,

/.一ABC與DEF的相似比為3：2,

.ABC與一。防的對(duì)應(yīng)角平分線之比為3：2.

故答案為：3：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形相似比的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A8C。與正方形BEFG是以原點(diǎn)。為位似中心的

位似圖形，且位似比為!?點(diǎn)A、B、E在x軸上，若正方形BE/G的邊長(zhǎng)為6,則C點(diǎn)坐標(biāo)

【分析】先利用位似的性質(zhì)得到與=然后利用比例性質(zhì)求出2C和即可得

605+63

到。點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：:正方形ABC。與正方形BE/G是以原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，且位似

比為］'

.BCOB_1

,?EF~OE~39

而BE=EF=6,

.BCOB1

??寶一。5+6一屋

:?BC=2,05=3,

：.C(3,2).

故答案為：(3,2).

【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于

一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.

13.如圖，BD平分NABC,鉆=4,BC=6,當(dāng)BD=時(shí)，AABD^ADBC.

HC

【答案】276

【分析】根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似，列出比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】解：???BD平分NABC,

???NABD=NCBD,

VAABD^ADBC,

.ABBD

??茄一茄’

VAB=4,BC=6,

.4BD

?.一，

BD6

解得BD=2指

故答案為2指.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，主要利用了兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形

相似，熟記判定方法是解題的關(guān)鍵.

14.如圖所示,把DEF沿DE平移到一抽。的位置，它們重合部分的面積是面積的§，

【答案】76-2

【分析】根據(jù)面積比等于相似比的平方，先求出AE的長(zhǎng)度，然后再求AO即可.

【詳解】解：由平移可知，AC//DF,

：.△AEMsADEF,

:面積的比等于相似比的平方；

，（當(dāng)二，

DE3

*.*AB=DE=&,

???（戈）2=g;解得AE=2（負(fù)值舍去），

***移動(dòng)的距禺AD=y/6—2.

故答案為：病-2.

c

【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)相似三角形,

明確面積比等于相似比的平方.

15.如圖，.ABC與，AOB中，ZABC=ZAD3=90。，NC=ZABD,AC=5cm,AB=4cm,

AD的長(zhǎng)為.

【答案】-cm

【分析】首先根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等證得得出與=黑，即可得出結(jié)論

ABAD

【詳解】VZABC=ZADB=90°fZC=ZABDf

△ACS?八ABD,

.AC_AB

??法一茄’

*.*AC=5cm,AB=4cm,

..CAB216

AC5

故答案為：—cm

【點(diǎn)睛】本題考查了相似的三角形的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用，能正確運(yùn)用判定定理進(jìn)行推理

是解此題的關(guān)鍵.

BF2

16.如圖，平行四邊形A3CD中，E是邊BC上的點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)、F,如果訪=§，那

,EC

么一=

BE

BEC

【答案】I

【分析】首先由四邊形A8CZ）是平行四邊形，可知3C=A0,又由于3E〃A0,可證

RFBF?

△BEF-ADAF,則黑===：，從而得出結(jié)果.

ADFD3

【詳解】解：?.?四邊形A3CO是平行四邊形，

：.BC//AD,BC=AD,

.BE_BE

??正一茄?

又,：BE〃AD,

：.ABEFsADAF,

,BE_BF_2

??茄一而一"

..BE-2

*BC3.

3

??.BC=—BE,

2

EC=-BE,

2

.EC1

"8￡-2；

故答案為：g

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)

用平行線判定三角形相似，列出比例式，求出線段的關(guān)系.

17.如圖，在A48C中，AB=9,AC=6,BC=12,點(diǎn)M在48邊上，且AM=3,過點(diǎn)〃作直

線與AC邊交于點(diǎn)N,使截得的三角形與原三角形相似，則MN=.

【分析】分別利用，當(dāng)MN〃:BC時(shí)，以及當(dāng)/ANM=/B時(shí)，分別得出相似三角形，再利

用相似三角形的性質(zhì)得出答案.

【詳解】如圖1,當(dāng)MN〃:BC時(shí)，

A

則△AMNs-BC,

AMANMN

故---二——二----

ABACBC

3MN

則nil3二元，

解得：MN=4,

如圖2所示：當(dāng)/ANM=/B時(shí),

又；NA=NA,

.,.△ANM^AABC,

.AM_MN

,,正一正’

3MN

即Rn一=,

612

解得：MN=6,

故答案為：4或6.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形判定，正確利用分類討論得出是解題關(guān)鍵.

18.如圖，D是BC上一點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，AD、CE交于點(diǎn)P,且AE：EB=3：2,CP：

CE=5:6,那么DB：CD=.

【答案】1：3

【分析】過E點(diǎn)作跖〃BC,根據(jù)平行線間的對(duì)應(yīng)線段成比例知所：BD=3：5,EF：CD=3:

15,即可求出DB：CD的值.

【詳解】過E點(diǎn)作EF〃BC,交AO于E

,：AE：EB=3：2,CP：CE=5:6,

：.EF：BD=3:(3+2)=3：5,EF：(7。=(6—5)：5=1：5=3：15,

：.DB:CD=5：15=1：3.

A

【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABC。的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)。的

坐標(biāo)為（0,2）延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)4，作正方形A/BGC；延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)4，作

正方形A282c2。，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2018個(gè)正方形的面積為.

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB,證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出48,

計(jì)算求出A/C,根據(jù)正方形的面積公式求出正方形A/SC/C的面積，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律計(jì)

算即可.

【詳解】解：；點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2）,

：.OA=1,（90=2,

ZAOD=90°,

：.AB=AD=yjo^+OD2=BNODA+Z040=90°,

:四邊形A2C￡）是正方形，

ZBAD=ZABC=90°,S正方形ABCD=5,

：.ZABAi=90°,Z0AD+ZBAAi=9Q°,

：.ZODA=ZBAAi，

Rt^ABAi^Rt^DOA,

OA_OD1_2

,?48-AB'即港一存'

解得，AiB=^-,

2

,\AiC=^~,

2

則正方形4/B/C/C的面積=（垣）2=5xg,

24

9

同理，正方形A2&C2G的面積=5x(—)2,

4

9

則第2018個(gè)正方形的面積為5x(：)2。17,

4

9

故答案為：5X(：)2。%

4

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出正方形A5C。

和正方形4BGC的面積，得出求解的規(guī)律.

20.如圖，在RtZXABC中，AB=BC,NABC=90。，點(diǎn)。是A5的中點(diǎn)，連結(jié)8,過點(diǎn)3作

BG上CD,分別交CO、C4于點(diǎn)E、F,與過點(diǎn)A且垂直于A3的直線相交于點(diǎn)G,連結(jié)

.給出以下五個(gè)結(jié)論:①當(dāng)=誓；②/?=NCDB；③點(diǎn)廠是GE的中點(diǎn);④AF=變A8；

ABFB3

⑤)SA甌=5S-其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②④

【分析】根據(jù)題意證明AFGsCFB,進(jìn)而可確定①；由oAFG四△ATO,可得GP=尸Z)

由ED>FE,進(jìn)而判斷結(jié)論②，AFGAAFDAG=\AB=~BC,進(jìn)而由

22

AF1AF1

-AFG--CFB可得左=l，即可判斷③，根據(jù),=以及。是的中點(diǎn)即可判斷⑤.

【詳解】依題意得，ZABC=90°9GALAB,

ABC//AG,

:.MFGs^CFB,

.AGFG

,?正一詬’

又AB=BC,

.AGFG

…石一花’

故①正確；

如圖，標(biāo)記如下角，

BGLCD,ZABC=90°,

Zl+Z3=90°,Zl+Z4=90°,

/.Z3=Z4,

在-ABG與△BCD中，

Z3=Z4

<AB=BC

ZBAG=ZCBD=90°

??一ABG沿ABCD(ASA),

/.AG=BD,

又；點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，

「BD=AD,

AG=AD,

AB=BC,ZABC=90°f

.\ZDAF=45°,

NG4B=90。，

:.ZGAF=45°,

.\ZGAF=ZDAF,

在LAFG與△ATO中，

AG=AD

<ZFAG=ZFAD

AF=AF

/.,AFGAAFD(SAS),

/.Z5=Z2,

N5+N3=Nl+N3=90。，

.*.Z5=Z1,

.-.Z1=Z2,

即ZADF=ZCDBf

故②正確；

AFG^AAFD,

:.FG=FD,

」FDE是直角三角形，

FD>FE,

:.FG>FE,

即點(diǎn)P不是線段EG的中點(diǎn)，

故③不正確；

ABC是等腰直角三角形，

AC=飛AB?+BC。=叵AB，

一AFG絲AAFD，

AG^AD=-AB=-CB,

22

,AFG^CFB,

AGAF

'^C~~FC，

:.FC=2AF,

AF=-AC=—AB,

33

故④正確；

AF=-AC,

3

一-0sABF_-J3-5ABC，

「點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，

一S&BDF=萬^AABF，

?

一0sBDF-IsABC'

O

=

即SABC6sBDF，

故⑤錯(cuò)誤.

綜上所述，①②④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判

定，勾股定理，三角形中線的性質(zhì)，證明和二AFGs—c?必是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：

21.根據(jù)圖中所注的條件，判斷圖中兩個(gè)三角形是否相似，并求出x和y的值.

【答案】(1)相似，x=4,y=10；(2)相似，x=124,y=33

fZ1=Z2

【分析】(1)由題得，八，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得，

[ZG=Z/=90

工53

FGHJIH,由相似三角形的性質(zhì)得，石=一=/，解出]，丁即可；

8y6

72483

(2)由/在由+/6收=90。=/3^+/6?^,從而得出，NFHG=NJHK,由一=一=一,

48322

根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似可得，、FGHJKH,由相似三角形的性質(zhì)

可解出x,y.

【詳解】在圖(1)中，

」N-2

[NG=N/=90?！?/p>

FGHJIH,

GHFHGF

,1H~JH~IJ，

x53

*___—____—____

"y~6"

解得：x=4,y=10；

在圖（2）中，

/./FHG+/GHK=90°=ZKHJ+ZGHK,

:./FHG=/JHK,

FH72GH483

JH~KH~32~2,

:...FGHJKH,

x=124°,y=33.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定.

22.已知：△A3C在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,3)、8(3,4)、C(2,

2)(正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是一個(gè)單位長(zhǎng)度).

(1)畫出AABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A/8/G，點(diǎn)G的坐標(biāo)是；

⑵以點(diǎn)8為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△&B2C2,使AA222c2與△ABC位似，且位似比為2：

1;

(3)四邊形AA2C2C的面積是平方單位.

【答案】⑴(2,-2)

(2)見解析

(3)7.5

【分析】(1)將△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△A//G，如圖所示，找出所求點(diǎn)坐標(biāo)

即可；

(2)以點(diǎn)B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△42&C2,使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為

2：1,找出所求點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(3)根據(jù)四邊形的面積等于兩個(gè)三角形面積之和解答即可.

(1)

如圖所示，畫出△ABC向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△4SG，

點(diǎn)C/的坐標(biāo)是(2,-2)；

(2)

如圖所示，以B為位似中心，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1,

/.=2AB,根據(jù)A2B=2AB畫出點(diǎn)&,

：.C2B=2CB,根據(jù)C2B=2CB畫出點(diǎn)C2,

點(diǎn)與與點(diǎn)8重合，

連接AC2、48、C2B,即可得到222c2；

(3)

+x

四邊形A42c2c的面積是=S&AC^c2c=_5xl+—x5x2=7.5

故答案為：7.5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平移變換和位似變換進(jìn)行作圖，解決問題的關(guān)鍵是掌握：平移

圖形時(shí)，要先找到圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，分別把這幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)按照平移的方向和距離確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)后,

再順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可得到平移后的圖形.

23.已知：平行四邊形ABCD,E是8A延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE與A。、3。交于G、F.

求證：CF?=GFEF.

A!\G

【答案】見解析

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD〃3C,AB//CD,得至“△DFGs^BFC,/\DFC

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.

【詳解】證明：???四邊形42。是平行四邊形，

AAD//BC,AB//CD,

：.ADFGsABFC,叢DFCsABFE

,GFDFCFDF

"cF"BF'EF-BF'

.GFCF

^CF2^GF-EF.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是

解題的關(guān)鍵.

24.如圖，明珠大廈的頂部建有一直徑為16根的“明珠”，它的西面45相處有一高16根的小型

建筑8,人站在8的西面附近無法看到“明珠”外貌，如果向西走到點(diǎn)尸處，可以開始看

到“明珠”的頂端5;若想看到“明珠”的全貌，必須向西至少再走12機(jī)，求大廈主體建筑的高

度.（不含頂部“明珠”部分的高度）

□□□□□□

□□C^OOQ

口口中口口

auoauu

□□□□□□

口口中口口

□□oaac

【答案】大廈主體建筑的高度為40〃z.

【分析】根據(jù)題意可得出,.FABs,FCD馬，GAEs.GCD,然后利用相似三角形性質(zhì)得出AF

與AG,利用/G=AG-AF=12進(jìn)一步列出方程求解即可.

【詳解】由題圖，知AE=/z,易證.、E4Bs,FCD,

AFABAFh+16.“尸45(/7+16)

一，BanJ=,??A.11—

CFCDAF-4516h

.AGAE

同理易證.G4￡s二GCD,

*CG-CD

AG45/z

gp=JLAG=

AG—4516h-16

.45/z45(/2+16)

FG=AG-AF=12,

1*h-16h

解得力=40或無=-24（不合題意，舍去）.

二大廈主體建筑的高度為40m.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)

鍵.

25.如圖，已知A8為。的直徑，AC是二。的切線，連接BC交Q于點(diǎn)尸取B尸的中點(diǎn)。,

連接AD交3c于點(diǎn)過點(diǎn)E作于點(diǎn)H.

（I）求證：HBE~ABC；

（2）若C/=8,BF=10,求AC和E”的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）04=12,EH=4

【分析】（1）利用切線的性質(zhì)得ABLAC,則可判斷EH〃AC,然后根據(jù)相似三角形的判定

方法得到結(jié)論；

（2）連接AF,如圖，利用圓周角定理得到/AFB=90。，則可判定△CAFs^CBA,利用相

似比可計(jì)算出CA=12,再利用D點(diǎn)為弧BF的中點(diǎn)得到NBAD=NFAD,根據(jù)角平分線的性

質(zhì)定理得到EF=EH,設(shè)EH=x,則EF=x,BE=10-x,由于△HBEsaABC,則利用相似比

求出x即可.

【詳解】（1）AB為（。的直徑，AC是：。的切線，

:.AB±AC,又EH_LAB,：.EH//AC,

HBEs,ABC.

（2）連接AF,

的為（。的直徑，

ZAFB=90\/.ZAFC=ZBAC=90°,

又NACF=NBC4,CAF^,CBA,

CACFCA8

----=-----,-------------,\CA.-12.

CBCA8+10CA

。為8尸的中點(diǎn)，：.ZBAD=ZFAD,

又EF1.AF，EH±AB,EF=EH.

設(shè)EH=x,則EF=x,BE=10-x,

由（1）知，HBES,ABC,

BEEH_10-x_x

"BC-CA）"10+8-12,

:.x=4,即￡77=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形

中己有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般

方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)是幾何計(jì)算常用的方法.也

考查了圓周角定理和切線的性質(zhì).

26.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=20cm,BC=15cm,現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿

AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是4cm/

秒，點(diǎn)Q的速度是2cm/秒，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)