2023屆高考復(fù)習(xí)系列模擬數(shù)學(xué)試卷·沖刺卷（新高考I卷）（解析版） - 副本

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023屆高考復(fù)習(xí)系列模擬試卷·沖刺卷（新高考I卷）數(shù)學(xué)第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榧希裕?故選：A.2．設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A． B． C．1 D．2〖答案〗D〖解析〗由，則，所以z的虛部為2．故選：D．3．最早的測(cè)雨器記載見(jiàn)于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書(shū)九章》（1247年）.該書(shū)第二章為“天時(shí)類(lèi)”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”、“圓罌測(cè)雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.其中“天池測(cè)雨”法是下雨時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，當(dāng)盆中積水深九寸（注：1尺=10寸）時(shí)，平地的降雨量是（

）A．9寸 B．6寸 C．4寸 D．3寸〖答案〗D〖解析〗如圖所示，由題意知天池盆上底面半徑是14寸，下底面半徑是6寸，高為18寸，由積水深9寸知水面半徑為(14+6)=10寸，則盆中水體積為

(立方寸)，所以平地降雨量為3(寸)；故選：D.4．如圖，這是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)的圖形，已知是平面四邊形內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗如圖，延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)做交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).因?yàn)?，?所以.由圖可知當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，在上的投影有最大值1，當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，在上的投影有最小值，又因?yàn)?，所以的取值范圍?故選：D5．（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”推測(cè)自然和社會(huì)的變化，如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦、分別象征著天、地、雷、風(fēng)、水、火、山、澤八種自然現(xiàn)象.每一卦由三個(gè)爻組成，其中“▃”表示一個(gè)陽(yáng)爻，“▃▃”表示一個(gè)陰爻）.若從含有兩個(gè)或兩個(gè)以上陰爻的卦中任取兩卦，這兩卦中恰好含有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗含有兩個(gè)或兩個(gè)以上陰爻的卦有坎、艮、震、坤卦，若任取兩卦則有種，其中恰好含有兩個(gè)陽(yáng)爻的有坎卦與艮卦；坎卦與震卦；艮卦與震卦共3種，故概率為，故選：B.6．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且在上沒(méi)有最小值，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．10〖答案〗A〖解析〗由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)可得解得或由，由于在上沒(méi)有最小值，所以，又或所以，故選：A7．已知，，，則下列關(guān)系正確的為（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗令，，，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即（當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），所以，即.，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，則，即；，令，則，故在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，則，即，.綜上，，即.故選：B.8．已知四邊形為菱形，且，現(xiàn)將沿折起至，并使得與平面所成角的余弦值為，此時(shí)三棱錐外接球的體積為，則該三棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗在菱形中，，設(shè)，則和均為邊長(zhǎng)為的正三角形．將折起后，，取的中點(diǎn)，連接、，如圖．因?yàn)?，則，，又因?yàn)?，平面，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，平面，則，又因?yàn)?，，平面，平面，，所以，直線與平面所成角為，在中，，所以，．在中，，，所以，則，因此點(diǎn)為正的中心，所以三棱錐是棱長(zhǎng)為的正四面體．將正四面體補(bǔ)成正方體，則正方體的棱長(zhǎng)為，所以，三棱錐外接球半徑為，三棱錐外接球的體積為，解得，因此，正四面體的表面積為.故選：B.9．已知正方體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．直線與所成角的正切值為B．直線平面C．平面平面D．到直線的距離為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A中，在正方體中，可得，所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，設(shè)，取的中點(diǎn)，連接和，在直角中，，即異面直線與所成的角的正切值為，所以A不正確；對(duì)于B中，因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以直線平面，所以B正確；對(duì)于C中，在正方體中，可得平面，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)，因?yàn)槠矫?，且平面，可得，所以即為點(diǎn)到直線的距離，在直角中，，所以，即到直線的距離為，所以D正確.故選：BCD.10．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示從乙罐取出的球是紅球．則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．事件B與事件相互獨(dú)立 D．，，兩兩互斥〖答案〗AD〖解析〗依題意，，A正確；事件，，兩兩互斥，D正確；，，，，，，因此B與不是相互獨(dú)立事件，BC都不正確．故選：AD11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，直線過(guò)且交于不同的，兩點(diǎn)，且，下列結(jié)論正確的有（

）A．直線的斜率 B．若，則C．若平分，則 D．〖答案〗ACD〖解析〗知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)直線的方程為，，，則由則由整理得，由且，解得或，所以，故A正確；由韋達(dá)定理得，又，故D正確；對(duì)于B：若，即，所以，設(shè)，在準(zhǔn)線上的投影分別為，，則即，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，方法1：如圖，過(guò)、作軸垂線，垂足為，.則，又，所以.注意到，則.則，即存在滿足題意，故D正確；方法2：設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則.注意到：，則、、三點(diǎn)共線，所以，其余同方法1；方法3：若平分，則由角平分線定理可得，所以，又，.即，下同方法1；方法4：只需，即，注意到，，則，解得或3（舍去），后同方法1，故C正確.故選：ACD12．已知函數(shù)，，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．的圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心 D．若存在單調(diào)遞減區(qū)間，則〖答案〗AC〖解析〗由題意得，令，則或，令，則，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，為，故A正確；因?yàn)?，，，所以函?shù)的圖象在上與軸有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的圖象在上與軸無(wú)交點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則函數(shù)是奇函數(shù)，點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心，將函數(shù)的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則有解，即有解，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________．〖答案〗252〖解析〗由二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，則，則，故項(xiàng)的系數(shù)為.故〖答案〗為：14．已知直線，直線過(guò)點(diǎn)且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則_________．〖答案〗〖解析〗由直線，可得斜率，因?yàn)榍抑本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以的方程為，又由圓，即，可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng).故〖答案〗為：.15．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足且為偶函數(shù)，若，則不等式的解集為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗令，即，則.因?yàn)?，所以在R上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.又為偶函數(shù)，所以，所以，所以.又不等式等價(jià)于，即，即.又在上單調(diào)遞增，可得.所以，不等式的解集為.故〖答案〗為：.16．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，線段的中垂線交于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為16，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗如圖，由題意可得，可得，連接，在中，由勾股定理得，所以，整理得，所以即，所以橢圓的離心率.在中，所以.設(shè)直線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在中，有，所以為橢圓的左焦點(diǎn).又，所以的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng).又的周長(zhǎng)為，所以.解得.所以，.故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且.（1）求，，；（2）若不超過(guò)240，求的最大值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（2）∵，①∴當(dāng)時(shí)，，又，則，當(dāng)時(shí)，②，①-②可得：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，∴.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，∴由，得，的最大取值為15.18．（湖南省郴州市2023屆高三下學(xué)期5月適應(yīng)性模擬考試數(shù)學(xué)試題）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大?。唬?）若D是BC上一點(diǎn)，且，求面積的最大值．解：（1）在中，由及正弦定理得，因?yàn)椋瑒t有，即，由，得，所以.（2）依題意，，在與中，分別由余弦定理得，，又，于是，則有，整理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為．19．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，，，點(diǎn)E在線段AB上，且．（1）求證：CE⊥平面PBD；（2）求二面角P－CE－A的余弦值．（1）證明：設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)H，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，由，，得，因此，，可得，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，，平?所以CE⊥平面PBD；（2）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，，，所以，，設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，于是，平面ACE的一個(gè)法向量為，則，由圖形可知二面角P－CE－A為銳角，所以二面角P－CE－A的余弦值是．20．2022年###第二十次全國(guó)代表大會(huì)勝利召開(kāi)之際，結(jié)合鞏固深化“不忘初心、牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中繼續(xù)開(kāi)展黨史學(xué)習(xí)教育．為了配合這次學(xué)黨史活動(dòng)，某地組織全體黨員干部參加黨史知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從參加入員中隨機(jī)抽取100人，并對(duì)他們的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）現(xiàn)從這100人中隨機(jī)抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為，試求隨機(jī)變量的分布列及期望．（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該地參加黨史知識(shí)競(jìng)賽人員的分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算．現(xiàn)從所有參加黨史知識(shí)競(jìng)賽的人員中隨機(jī)抽取500人，且參加黨史知識(shí)競(jìng)賽的人員的分?jǐn)?shù)相互獨(dú)立，試問(wèn)這500名參賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是多少?參考數(shù)據(jù)：，，，．解：（1）100人中得分不低于80分的人數(shù)為，隨機(jī)變量可能的取值為0，1，2．又，，，則的分布列為：012P．（2）．，∴，每位參賽者分?jǐn)?shù)不低于82.3的概率為0.15865，記500位參賽者中分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)為隨機(jī)變量，則，其中，所以恰好有k個(gè)參賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的概率為，．由，得．所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此可知，在這500名參賽者中分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是79．21．已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，Р為漸近線上一點(diǎn)，且，.（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線E實(shí)軸長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線C的右支不同的A，B兩點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)且滿足，試探究是否為定值，若是，則求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由，可設(shè)，在中，因?yàn)?，所以，即，所以，即為直角三角?所以在中，，，，所以，則雙曲線的離心率為.（2）由（1）可知在雙曲線中有且實(shí)軸長(zhǎng)為2，所以，所以雙曲線方程為.由，故設(shè)斜率為k的直線為，聯(lián)立，可得，因?yàn)橹本€與雙曲線右支交于不同兩點(diǎn)，所以，解得：.設(shè)，，則，，則，，即，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)镼為x軸上一點(diǎn)，滿足，故Q為AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，AB的垂直平分線的方程為：，令，則得，即，所以，又又因?yàn)椋陔p曲線的右支上，故，，故，即，故，即為定值.22．設(shè)，，.（1）求函數(shù)，的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若關(guān)于不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的值；（3）若存在直線，其與曲線和共有3個(gè)不同交點(diǎn)，，，求證：成等比數(shù)列.（1）解：由題設(shè)，有，可得

令可得，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；令可得，解得，.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；令可得，所以，所以，函數(shù)在上的遞增區(qū)間為：與；遞減區(qū)間為：與.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，極大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極小值，極小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，極大值為；（2）解：關(guān)于不等式在區(qū)間恒成立，即：在區(qū)間上恒成立.令，則，

令則，由（1）知：在上的極大值為，又，從而在上的最大值為1，即在上恒成立.于是在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；從而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以在上單調(diào)遞增；從而在上恒成立.所以，當(dāng)時(shí)在上恒成立.當(dāng)時(shí)，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，與已知矛盾，綜合上述，得：.（3）證明：對(duì)于函數(shù)，令，則.從而當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為.對(duì)于函數(shù)，令，則.從而當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為.因此，函數(shù)與有相同的最大值.其圖像如下圖所示.下面先證明：曲線與有唯一交點(diǎn).由，得，即證明方程有唯一實(shí)數(shù)根.令，則.所以在上恒為負(fù)數(shù).因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以曲線與在區(qū)間上沒(méi)有交點(diǎn).而在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，進(jìn)而函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，及零點(diǎn)存在定理得：函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，從而方程在上有唯一實(shí)數(shù)根，且.

由于直線與曲線，共有3個(gè)不同交點(diǎn)，故直線必過(guò)點(diǎn)，且，，由，得，即，而函數(shù)在上嚴(yán)格增，，，故

①

由，得，即，而函數(shù)在上嚴(yán)格減，，，故

②由①，②得.

③由，得，故有

④因此，由③，④得，即成等比數(shù)列.2023屆高考復(fù)習(xí)系列模擬試卷·沖刺卷（新高考I卷）數(shù)學(xué)第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榧?，所以?故選：A.2．設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A． B． C．1 D．2〖答案〗D〖解析〗由，則，所以z的虛部為2．故選：D．3．最早的測(cè)雨器記載見(jiàn)于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書(shū)九章》（1247年）.該書(shū)第二章為“天時(shí)類(lèi)”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”、“圓罌測(cè)雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.其中“天池測(cè)雨”法是下雨時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，當(dāng)盆中積水深九寸（注：1尺=10寸）時(shí)，平地的降雨量是（

）A．9寸 B．6寸 C．4寸 D．3寸〖答案〗D〖解析〗如圖所示，由題意知天池盆上底面半徑是14寸，下底面半徑是6寸，高為18寸，由積水深9寸知水面半徑為(14+6)=10寸，則盆中水體積為

(立方寸)，所以平地降雨量為3(寸)；故選：D.4．如圖，這是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯用來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)的圖形，已知是平面四邊形內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗如圖，延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)做交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).因?yàn)?，?所以.由圖可知當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，在上的投影有最大值1，當(dāng)在點(diǎn)處時(shí)，在上的投影有最小值，又因?yàn)?，所以的取值范圍?故選：D5．（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”推測(cè)自然和社會(huì)的變化，如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦、分別象征著天、地、雷、風(fēng)、水、火、山、澤八種自然現(xiàn)象.每一卦由三個(gè)爻組成，其中“▃”表示一個(gè)陽(yáng)爻，“▃▃”表示一個(gè)陰爻）.若從含有兩個(gè)或兩個(gè)以上陰爻的卦中任取兩卦，這兩卦中恰好含有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗含有兩個(gè)或兩個(gè)以上陰爻的卦有坎、艮、震、坤卦，若任取兩卦則有種，其中恰好含有兩個(gè)陽(yáng)爻的有坎卦與艮卦；坎卦與震卦；艮卦與震卦共3種，故概率為，故選：B.6．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且在上沒(méi)有最小值，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．10〖答案〗A〖解析〗由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)可得解得或由，由于在上沒(méi)有最小值，所以，又或所以，故選：A7．已知，，，則下列關(guān)系正確的為（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗令，，，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即（當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），所以，即.，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，則，即；，令，則，故在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，則，即，.綜上，，即.故選：B.8．已知四邊形為菱形，且，現(xiàn)將沿折起至，并使得與平面所成角的余弦值為，此時(shí)三棱錐外接球的體積為，則該三棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗在菱形中，，設(shè)，則和均為邊長(zhǎng)為的正三角形．將折起后，，取的中點(diǎn)，連接、，如圖．因?yàn)?，則，，又因?yàn)?，平面，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，平面，則，又因?yàn)椋?，平面，平面，，所以，直線與平面所成角為，在中，，所以，．在中，，，所以，則，因此點(diǎn)為正的中心，所以三棱錐是棱長(zhǎng)為的正四面體．將正四面體補(bǔ)成正方體，則正方體的棱長(zhǎng)為，所以，三棱錐外接球半徑為，三棱錐外接球的體積為，解得，因此，正四面體的表面積為.故選：B.9．已知正方體的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．直線與所成角的正切值為B．直線平面C．平面平面D．到直線的距離為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A中，在正方體中，可得，所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，設(shè)，取的中點(diǎn)，連接和，在直角中，，即異面直線與所成的角的正切值為，所以A不正確；對(duì)于B中，因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，可得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以直線平面，所以B正確；對(duì)于C中，在正方體中，可得平面，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)，因?yàn)槠矫?，且平面，可得，所以即為點(diǎn)到直線的距離，在直角中，，所以，即到直線的距離為，所以D正確.故選：BCD.10．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示從乙罐取出的球是紅球．則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．事件B與事件相互獨(dú)立 D．，，兩兩互斥〖答案〗AD〖解析〗依題意，，A正確；事件，，兩兩互斥，D正確；，，，，，，因此B與不是相互獨(dú)立事件，BC都不正確．故選：AD11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，直線過(guò)且交于不同的，兩點(diǎn)，且，下列結(jié)論正確的有（

）A．直線的斜率 B．若，則C．若平分，則 D．〖答案〗ACD〖解析〗知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)直線的方程為，，，則由則由整理得，由且，解得或，所以，故A正確；由韋達(dá)定理得，又，故D正確；對(duì)于B：若，即，所以，設(shè)，在準(zhǔn)線上的投影分別為，，則即，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，方法1：如圖，過(guò)、作軸垂線，垂足為，.則，又，所以.注意到，則.則，即存在滿足題意，故D正確；方法2：設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則.注意到：，則、、三點(diǎn)共線，所以，其余同方法1；方法3：若平分，則由角平分線定理可得，所以，又，.即，下同方法1；方法4：只需，即，注意到，，則，解得或3（舍去），后同方法1，故C正確.故選：ACD12．已知函數(shù)，，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．的圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心 D．若存在單調(diào)遞減區(qū)間，則〖答案〗AC〖解析〗由題意得，令，則或，令，則，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，為，故A正確；因?yàn)椋?，，所以函?shù)的圖象在上與軸有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的圖象在上與軸無(wú)交點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則函數(shù)是奇函數(shù)，點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心，將函數(shù)的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則有解，即有解，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________．〖答案〗252〖解析〗由二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，則，則，故項(xiàng)的系數(shù)為.故〖答案〗為：14．已知直線，直線過(guò)點(diǎn)且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則_________．〖答案〗〖解析〗由直線，可得斜率，因?yàn)榍抑本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以的方程為，又由圓，即，可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng).故〖答案〗為：.15．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足且為偶函數(shù)，若，則不等式的解集為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗令，即，則.因?yàn)?，所以在R上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.又為偶函數(shù)，所以，所以，所以.又不等式等價(jià)于，即，即.又在上單調(diào)遞增，可得.所以，不等式的解集為.故〖答案〗為：.16．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，線段的中垂線交于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為16，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗如圖，由題意可得，可得，連接，在中，由勾股定理得，所以，整理得，所以即，所以橢圓的離心率.在中，所以.設(shè)直線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在中，有，所以為橢圓的左焦點(diǎn).又，所以的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng).又的周長(zhǎng)為，所以.解得.所以，.故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且.（1）求，，；（2）若不超過(guò)240，求的最大值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（2）∵，①∴當(dāng)時(shí)，，又，則，當(dāng)時(shí)，②，①-②可得：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，∴.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，∴由，得，的最大取值為15.18．（湖南省郴州市2023屆高三下學(xué)期5月適應(yīng)性模擬考試數(shù)學(xué)試題）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大?。唬?）若D是BC上一點(diǎn)，且，求面積的最大值．解：（1）在中，由及正弦定理得，因?yàn)椋瑒t有，即，由，得，所以.（2）依題意，，在與中，分別由余弦定理得，，又，于是，則有，整理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為．19．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，，，點(diǎn)E在線段AB上，且．（1）求證：CE⊥平面PBD；（2）求二面角P－CE－A的余弦值．（1）證明：設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)H，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，由，，得，因此，，可得，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)椋?，平?所以CE⊥平面PBD；（2）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，，，所以，，設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量，則，即，令，則，，于是，平面ACE的一個(gè)法向量為，則，由圖形可知二面角P－CE－A為銳角，所以二面角P－CE－A的余弦值是．20．2022年###第二十次全國(guó)代表大會(huì)勝利召開(kāi)之際，結(jié)合鞏固深化“不忘初心、牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中繼續(xù)開(kāi)展黨史學(xué)習(xí)教育．為了配合這次學(xué)黨史活動(dòng)，某地組織全體黨員干部參加黨史知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從參加入員中隨機(jī)抽取100人，并對(duì)他們的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）現(xiàn)從這100人中隨機(jī)抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為，試求隨機(jī)變量的分布列及期望．（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該地參加黨史知識(shí)競(jìng)賽人員的分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算．現(xiàn)從所有參加黨史知識(shí)競(jìng)賽的人員中隨機(jī)抽取500人，且參加黨史知識(shí)競(jìng)賽的人員的分?jǐn)?shù)相互獨(dú)立，試問(wèn)這500名參賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是多少?參考數(shù)據(jù)：，，，．解：（1）100人中得分不低于80分的人數(shù)為，隨機(jī)變量可能的取值為0，1，2．又，，，則的分布列為：012P．（2）．，∴，每位參賽者分?jǐn)?shù)不低于82.3的概率為0.15865，記500位參賽者中分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)為隨機(jī)變量，則，其中，所以恰好有k個(gè)參賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的概率為，．由，得．所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此可知，在這500名參賽者中分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是79．21．已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，Р為漸近線上一點(diǎn)