變化率問題（原卷版）

第五章《一元函數(shù)的導數(shù)及其應用》變化率問題[核心素養(yǎng)·學習目標]學習目標核心素養(yǎng)初步了解導數(shù)概念的背景，掌握平均變化率與瞬時變化率的概念及幾何意義.會求函數(shù)的平均變率與瞬時變化率.并能結合實際問題求曲線在某點處與某點附近點的切線與割線的斜率的極限值.通過本節(jié)課的學習，要求會求函數(shù)的平均變化率與瞬時變化率。課前預習課前預習考點一：瞬時速度的定義(1)物體在的速度稱為瞬時速度．(2)一般地，設物體的運動規(guī)律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時間內的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt無限趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于，我們就說當Δt無限趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)的極限是v，這時v就是物體在時刻t＝t0時的瞬時速度，即瞬時速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).考點二函數(shù)的平均變化率對于函數(shù)y＝f(x)，設自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋Δx)．這時，x的變化量為Δx，y的變化量為我們把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．考點三函數(shù)在某點處的導數(shù)如果當Δx→0時，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無限趨近于一個確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)知識講解知識講解1平均變化率若某個問題中的函數(shù)關系用f(x)表示，可用式子ΔyΔx【例】函數(shù)f(x)=x2它與斜率kAB相等2瞬時變化率我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.3導數(shù)概念函數(shù)f(x)在lim則稱它為函數(shù)y=f(x)在f【大招總結】1．瞬時速度(1)平均速度設物體的運動規(guī)律是s=s(t)，則物體在到+t這段時間內的平均速度為=.(2)瞬時速度①物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.

②一般地，當t無限趨近于0時，無限趨近于某個常數(shù)v，我們就說當t趨近于0時，的極限是v，這時v就是物體在t=時的瞬時速度，即瞬時速度v==.2．拋物線切線的斜率(1)拋物線割線的斜率設二次函數(shù)y=f(x)，則拋物線上過點、的割線的斜率為=.(2)拋物線切線的斜率一般地，在二次函數(shù)y=f(x)中，當x無限趨近于0時，無限趨近于某個常數(shù)k，我們就說當x趨近于0時，的極限是k，這時k就是拋物線在點處切線的斜率，即切線的斜率k==.3．函數(shù)的平均變化率函數(shù)平均變化率的定義

對于函數(shù)y=f(x)，設自變量x從變化到+x，相應地，函數(shù)值y就從f()變化到f(+x).這時，x的變化量為x，y的變化量為y=f(+x)f().我們把比值，即=叫做函數(shù)y=f(x)從到+x的平均變化率.二級結論總結二級結論總結1.變化率事物的變化率是相關的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；2.平均變化率一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的平均變化率為：3.如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：①作差：求出和②作商：對所求得的差作商，即。典型例題典型例題【例1】已知物體做直線運動對應的函數(shù)為S=S(t)，其中S表示路程，tA．經過4s后物體向前走了10mB．物體在前4秒內的平均速度為10m/sC．物體在第4秒內向前走了10mD．物體在第4秒時的瞬時速度為10m/s【解題思路】根據(jù)導數(shù)的物理意義可知，S(t)【解答過程】∵物體做直線運動的方程為S=根據(jù)導數(shù)的物理意義可知，S(t)∴S'(4)=10表示的意義是物體在第4s時的瞬時速度為故選：D．【例2】為了評估某種治療肺炎藥物的療效，有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．設該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關系為c=f(t)A．在t1B．在t2C．在t2D．在t1,t2【解題思路】根據(jù)圖象以及導數(shù)的知識對選項進行分析，從而確定正確選項.【解答過程】A選項，根據(jù)圖象可知，在t1時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，A選項結論正確B選項，根據(jù)圖象以及導數(shù)的知識可知，在t2B選項結論正確.C選項，根據(jù)圖象可知，在t2C選項結論正確.D選項，根據(jù)圖象可知，在t1在t2D選項結論錯誤.故選：D.【例3】若函數(shù)y=fx在x=x0處的導數(shù)為A．2 B．3 C．－2 D．－3【解題思路】利用導數(shù)的定義和幾何意義即可得出．【解答過程】解：若函數(shù)y=fx在x∴f則limΔx→0故選：B．【例4】函數(shù)f(x)=x,fA．k1>k2B．k1<k2【解題思路】根據(jù)題意可得k1=f【解答過程】故選：C．點撥用式子ΔyΔx=f(【例5】一個物體做直線運動，位移（單位：）與時間（單位：）之間的函數(shù)關系為，且這一物體在這段時間內的平均速度為，則實數(shù)的值為（）A．2B．1C．D．【解題思路】A【解答過程】，，因為物體在這段時間內的平均速度為，所以，解得，故選：A強化訓練強化訓練一、單選題1．已知點在函數(shù)的圖象上，若函數(shù)在上的平均變化率為，則下面敘述正確的是（

）A．直線的傾斜角為 B．直線的傾斜角為C．直線的斜率為 D．直線的斜率為2．球的體積V（單位：）與半徑R（單位：cm）的關系為，則時體積關于半徑的瞬時變化率為（

）A． B． C． D．3．某水庫儲水量與水深的關系如下表所示：水深()儲水量在范圍內，當水深每增加時，水庫儲水量的平均變化率（

）A．不變 B．越來越小 C．越來越大 D．不能確定4．在曲線的圖像上取一點及附近一點，則等于（（

）A． B． C． D．5．函數(shù)在上可導，若，則（

）A．12 B．9 C．6 D．36．在高臺跳水運動中，時運動員相對于水面的高度單位：）是，則運動員在時的瞬時速度為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．8．某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程與時間的函數(shù)圖象如圖.記該車在時間段，，，上的平均速度的大小分別為，，，，則平均速度最小的是（

）A． B． C． D．9．為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改．設企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為，用的大小評價在這段時間內企業(yè)污水治理能力的強弱．已知整改期內，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關系如圖所示．給出下列四個結論：①在這段時間內，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；②在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；③在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都已達標；④甲企業(yè)在，，這三段時間中，在的污水治理能力最強．其中所有正確結論的序號是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④10．在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位m）與起跳后的時間（單位：）存在函數(shù)關系．該運動員在s時的瞬時速度（單位：）為（

）A． B． C．6 D．511．下列四個命題中，不正確的是（

）A．若函數(shù)在處連續(xù)，則B．函數(shù)的不連續(xù)點是和C．若函數(shù)，滿足，則D．12．有一機器人的運動方程為，是時間，是位移，則該機器人在時刻時的瞬時速度為（

）A． B． C． D．二、填空題13．如圖所示，函數(shù)的圖象在點P處的切線方程為，則．14．某生物種群的數(shù)量Q與時間t的關系近似地符合.給出下列四個結論：①該生物種群的數(shù)量不會超過10；②該生物種群數(shù)量的增長速度先逐漸變大后逐漸變?。虎墼撋锓N群數(shù)量的增長速度與種群數(shù)量成正比；④該生物種群數(shù)量的增長速度最大的時間.根據(jù)上述關系式，其中所有正確結論的序號是.15．某日中午12時整，甲船自A處以的速度向正東行駛，乙船自A的正北處以的速度向正南行駛，則當日12時30分時兩船之距離對時間的變化率是．16．蜥蜴的體溫單位：與太陽落山后的時間單位：的關系為，則從到，蜥蜴體溫的平均變化率為．三、解答題17．已知函數(shù)，求自變量x在以下的變化過程中，該函數(shù)的平均變化率：（1）自變量x從1變到；（2）自變量x從1變到；（3）自變量x從1變到．估算當時，該函數(shù)的瞬時變化率．18．下表為某水庫存水量y（單位：萬）與水深x（單位：m）的對照表：水深x/m05101520253035存水量y/萬0204090160275650(1)當x從5m變到10m時，存水量y關于x的平均變化率為多少？解釋它的實際意義；(2)當x從25m變到30m時，存水量y關于x的平均變化率為多少？解釋它的實際意義；(3)比較（1）與（2）的數(shù)值的大小，并聯(lián)系實際情況解釋意義．19．已知長方形的周長為10，一邊長為x，其面積為S．(1)寫出S關于x的函數(shù)關系．(2)當x從1增加到時，面積S改變了多少？此時，面積S關于x的平均變化率是多少？解釋它的實際意義．(3)當長從x