2024年高考數(shù)學(xué)一模試題分類匯編：函數(shù)與函數(shù)基本性質(zhì)（解析版）（廣東專用）

專題02函數(shù)及函數(shù)的基本性質(zhì)

A.(-?,3]B.(-co,3)C.[0,3]D.[0,3)

【答案】D

【詳解】由"={叩=3(3-”)},有3—x>0,即x<3,所以/=(一叫3)；

B=[y\y=\l-x2+6x\t==9

由(I1令f=T+6x,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)有-4,

所以又因?yàn)閂=J-i+6x,所以ye[0,3],^=[0,3].

所以/八8=[0,3).

故選：D

2.(2024下?廣東?深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校)若集合/={xeR|x<2},5=[eR?=-^==|,則)

A.(1,2)B.(2,3)C.(1,2]D.[2,3)

【答案】D

【詳解】由題意可得%，=2+"),

因?yàn)?-x>0nx<3,;.8=(-<?,3),所以危“卜^=[2,3),

故選:D.

3.(2024下?廣東?東莞東華學(xué)校)已知集合/=卜1=4+8=卜7丁;]x卜那么

c5)=.

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x\xw

【答案】

x>0

【詳解】要使得歹二6+乂二三有意義，則1-x-°,解得OWxVl,即集合月尤4

1

若'1一5式有意義，則

l-x>0x<l且"0,

而y/l-x>0g\jl-xW1,所以1一Jl-L<1PI1-Jl-xW0,

所以8=37<0或了訓(xùn)，從而/C8={1},q（/c8）={x|xwl}.

|x|xw1}

故答案為:

卜|則

4.（2024下?廣東?廣雅學(xué)校）已知集合"二y=J-2x'+3x+2）,N={x￡N|x>-2},

M=,McN=

x|-jWx42

{0,1,2}

【答案】

」<<2

【詳解】由-2*+3尤+220,即（2X+1）（X-2）40,解得

M=x\y=y/-2x2+3x+2x|——?x?2

所以

又"={%￡可x>—2},所以MnN={0,l,2}

x|-5WxW2

.{0/，2}

故答案為:

題型02函數(shù)的單調(diào)性

1.（2024下?廣東?深圳市一模）已知函數(shù)/（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，在區(qū)間（0,+e）上單調(diào)

遞增，且對(duì)任意玉,馬，均有/（石/）=/（再）/（9）成立，則下列函數(shù)中符合條件的是（）

A.y=ln|x|B.y=x3C.y=2忖D.y=|x|

【答案】D

【解析】

【詳解】對(duì)于A,/（x1x2）=ln|x1x2|=ln|x1|+ln|x2|=/（%1）+/（%,）,故A錯(cuò)誤；

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對(duì)于B,/(T)=T=-/⑴，故y=/不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,/(X])/(%)=2㈤2M=2"』=/伍+%)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,/(再%)=卜%21Txi|同=/(%)/(9)，

又y=/(x)=|x|定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且/(-x)=H=|x|=/(x),

即函數(shù)/(X)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x單調(diào)遞增，滿足題意.

故選：D.

2.(2024下?廣東佛山?模擬考試)已知函數(shù)>=在定義域(T3)上是增函數(shù)，且/(2"1)</(2-°),

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(1,2)B.(一甩1)C.(0,1)D.(1,+s)

【答案】C

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)在定義域(一單)上是增函數(shù)，且/(2。-1)</(2-a),

—1<2Q—1<30<〃<2

<一1<2—。<3<—1<。<3

則有3-1<2-。，則儲(chǔ)<1,解得

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(°」).

故選：C.

3.(2024下廣東?模擬考試)已知在(0,+8)上單調(diào)遞減，且與〉0,則下列結(jié)論中一定成立的是

()

A./(x0+l)>/(x0)B./(x0+l)</(x0)

C.f(x0-l)>f(x0)D./(x0-l)</(x0)

【答案】B

【詳解】由%>°得，結(jié)合/(x)在(0，+°°)上單調(diào)遞減，

則必有f(xo+l)<f(x。)，顯然B正確，A錯(cuò)誤，

而當(dāng)x°e(0,l)時(shí)不在定義域內(nèi)，故無法比較，c,D錯(cuò)誤.

故選：B

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4.(2024下廣東?中山模擬)已知函數(shù)/^)=1。83(31+3)-5,若〃0-1)2/(2。+1)成立，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍為()

A.(-00,-2]B.(-oo,-2]U[0,+oo)

「41「41

C.-2,—D.(-oo,-2]Uy,+°oI

【答案】C

【詳解】因?yàn)?("2")-"嗎伊+用的定義域?yàn)镽,又g(_x)=]*3F)=g(x),

故函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

乂x?0，+⑹時(shí)，3^1,y=3去單調(diào)遞增，故由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)y=3^+3)在[0,+。)單調(diào)

遞增，函數(shù)y=1°g3x在定義域上單調(diào)遞增，

所以g(x)在[°，+動(dòng)單調(diào)遞增，

X-1X2

「「J(x)=log3(3+3)-=1+log3(3-+1)-Jx=log3(3-+l)-1(x-2)=g(x-2)

所以212

所以/(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，且在[2,+8)單調(diào)遞增.

所以〃”1)2/(2“+1)?！?一2|2四+1-2|,

,、，、_<

兩邊平方，化簡(jiǎn)得("2)(3"4)W0,解得9

故選：C.

題型3函數(shù)的奇偶性

1.(2024下?廣東?茂名市一模)函數(shù)>=/(x)和y=/(x—2)均為R上的奇函數(shù)，若/(1)=2,

貝1/(2023)=()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】A

【解析】

【詳解】因?yàn)閥=/(x—2)為奇函數(shù)，所以y=/(x)關(guān)于(―2,0)對(duì)稱，即/(—x)+/(x—4)=0,

又y=/(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則/(-X)=-/(X),有/(x)=/(x—4)=>/(x+4)=/(x),

所以y=/(x)的周期為4,故/(2023)=/(-1+2024)=/(-1)=-/⑴=-2.

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故選：A

2.（2024下?廣東凍莞模擬）下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在（0,+句上單調(diào)遞增的是（）

A.，（x）=^yB./（X）=2H

C./（x）=-x3D./（x）=2x-：

【答案】D

f（x）=------,..

【詳解】對(duì)于A,x-l的定義域?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,/（切=2國(guó)定義域?yàn)镽,為偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,“切=一一定義域?yàn)?為奇函數(shù)，在（°，+°°）上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,'定義域?yàn)閧刈'?！銄,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且滿足X,即八町為奇函數(shù)，

又""一2xx在（0，+“）上單調(diào)遞增，口正確，

故選：D

3.（2024下?廣東中山?模）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在其定義域上為增函數(shù)的是（）

III1

A.y=snixB.y=x\x\C._2D.y=x——

1vX

【答案】B

7T-.7T-,,

------F2E,—+2E,KeZ

【詳解】A選項(xiàng)，＞=sin、是奇函數(shù)，但在L22」上單調(diào)遞增，在

住+2祈，爭(zhēng)+2左兀］,keZ

上單調(diào)遞減,故A錯(cuò)誤;

II\xI2,x＞0

2/n

B選項(xiàng)，Lx戶＜U是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，故B正確；

C選項(xiàng)，了=爐=6，定義域［°，+”）是非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，'一無一最為奇函數(shù)，在（一項(xiàng)°）和（°，十°°）上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

4.（2024下廣東?廣州市一模）己知函數(shù)“X）的部分圖象如圖所示，則/（X）的解析式可能是（

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A./(x)=sin(tanx)B,/(x)=tan(sinx)

C./(x)=cos(tanx)D./(x)=tan(cosx)

【答案】D

【解析】/(O)wO,排除A,BJ(x)的定義域?yàn)镽,排除C,選D.

5.(2024下?廣東佛山?一模)已知f(x)=(x+l)(x+a)(x+b)為奇函數(shù)，則y=/(x)在x=0處的切

線方程為()

A.x+y=0B.x-y=0

C.3x+y=QD.3%-y=0

【答案】A

［詳解】因?yàn)椤▁)=(x+l)(x+a)(x+6)=(v+l)p+@+b)c+ab~\

=/+(Q+b+1)、2+(Q+b+如卜+

所以/(-%)=-/+(4+6+I,2—1+6+而y+ab

因?yàn)椤▁)為奇函數(shù)，所以/(-x)+/(x)=2(a+6+l)f+2而=0對(duì)xeR恒成立,

+6+1=0

所以1仍=0，代入函數(shù)表達(dá)式得〃力=/一,

所以/'(x)=3Y-1,則〃0)=0,7?'⑼=!

所以＞=/(x)在x=0處的切線方程為片-X,即無+y=0.

故選：A

6.(2024下?廣東?佛山禪城一模)(多選)已知函數(shù)/(x)=sinx+cos2x與g(x)=sin2x+cosx,

記〃(x)=4/(x)+〃g(x),其中％,且；p+〃2wo.下列說法正確的是()

A.〃(x)一定為周期函數(shù)B.若乙〃〉0,則〃'(x)在上總有零點(diǎn)

C.〃(x)可能為偶函數(shù)D.在區(qū)間(0,2兀)上的圖象過3個(gè)定點(diǎn)

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【解析】ABD.對(duì)于A,VxeR,

〃(%+2兀)=2/(1+2乃)+4g(x+2兀)=/l/(x)+4g(x)=/z(x),A正確;

對(duì)于B,〃'(x)=2(cosx-2sin2x)+//(2cos2x-sinx),〃'(0)=X+2〃，hr

因?yàn)榇ā?,即％,〃同號(hào)，所以/z'(0)/z'|JJ<0,由零點(diǎn)存在定理知〃'(x)在上總

有零點(diǎn)，故B正確；

對(duì)于C,/z(x)=2sinx+2cos2x+//sin2x+//cosx,

/z(-x)=-2sinx+2cos2x-//sin2x+//cosx,由/z(x)=%(—x)得

2Xsinx+2〃sin2x=2Xsinx+2〃?2sinxcosx=2sinx(4+2〃cosx)=0對(duì)xcR恒成立,

則2=〃=0與題意不符，故c錯(cuò)誤;

/(、)=0sinx+cos2x=l-2sin2x+sinx=-(sinx-1)(2sinx+1)=0

對(duì)于D,令《

.g(x)=0sin2x+cosx=cosx(2sinx+l)=0

sinx=1或sinx=——

2I兀兀7兀I

即x￡〈---F2AJI,—F2AJI,----F2kji'，keZ,

I626J

cosx=0^4sinx=——

故所有定點(diǎn)坐標(biāo)為1-5+2砒°”［萬+2伍0),［工_+2m0),keZ,

又因?yàn)閤e(O,2兀)，所以函數(shù)〃(x)過定點(diǎn),0,*,0,?,0,故D正確；故選ABD.

7.(2024下廣東?模擬預(yù)測(cè))(多選)己知函數(shù)〃X)的定義域?yàn)镽j(x-l)是奇函數(shù)，/(x+1)為偶

>+1_1

函數(shù)，當(dāng)-IV尤W1時(shí)，/(x)=-——-則(

')3,+1

A.7'(x)的圖象關(guān)于直線尤=1對(duì)稱B.的圖象關(guān)于點(diǎn)(TO)對(duì)稱

3

C./(x+6)=/(x)D./(2021)=--

【答案】ABD

【詳解】設(shè)g(x)="尤T),因?yàn)榍尧攀瞧婧瘮?shù),

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所以g(r)=〃fT*g(x)f(xT,即/(-1+力+/(-1-力=。,

即/(x)關(guān)于(-1,0)對(duì)稱，B正確；

設(shè)'(x)=/(x+l),因?yàn)椤?x)為偶函數(shù),所以〃(-尤)=g)，

gp/(-x+l)=/(x+l)j/(l+x)=/(l-x)j所以的關(guān)于直線尤=1對(duì)稱，

A正確；

由“X)關(guān)于(T，°)對(duì)稱可得〃x)+/(-2-x)=0,由“X)的關(guān)于直線x=l對(duì)稱,

可得〃x)=/(2-x),兩式聯(lián)立得〃2一尤)+〃-2-尤)=0,令尤=x+2得:

/(-x)+/(-4-x)=0；即/(無)+/(x-4)=0,令尤=x-4,

得/(1)+仆-8)=0,即/(力=/"-8),故/(x)的周期為8,

故“x+8)=/(x),c錯(cuò)誤;

因?yàn)椋?8,所以〃2021)=/(252X8+5)=〃5)=/(-3),

又/(T+x)+1(-lr)=0,令x=-2得〃-3)+/'⑴=0,

22-133

/(1)=〃2。2j㈢一⑴故口正確.

3^T~4,所以

故選：ABD

8.（2024下廣東廣州天河區(qū)一模）已知f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，/（X）=-,若/（山2）=L

8

則a=.

【答案】3

【詳解】由題意知/(X)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=-e*

/\1aIn2-1

故/(ln2)=-/(—ln2)=-/(1nQ=e=e,

2o

則(])"=3,

故答案為：3

題型04抽象函數(shù)的性質(zhì)

1.（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若定義在R上的函數(shù)〃x）滿足/卜2）=-/（-/）,則下

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列結(jié)論一定正確的為()

A.7(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.，(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

C./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱D./⑴的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱

【答案】A

【解析】

【詳解】若"eR,當(dāng)/>0時(shí)，令/=/,因?yàn)?(/)=—/(_必)，

所以/(O=-/(-0，即/(-，)=一/⑺;

當(dāng)/=0時(shí)，令/=/=0,因?yàn)?(/)=一

所以/(0)=-/(—0),即/(0)=0；

當(dāng)好0時(shí)，令tT,因?yàn)?/p>

所以/(-/)=-/⑺，

綜上，V/eR,=所以/(x)是奇函數(shù)，所以A正確；

若/(x)=x,則/(/)=一/(一/)成立，但B,C,D都不成立.

故選：A.

2.(2024下?廣東?大聯(lián)考)若定義在R上的函數(shù)"X)滿足/(/)=-/(-/),則下列結(jié)論一定

正確的為()

A./*)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B./(x)的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱

C./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱D.的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

【答案】A

【解析】

【詳解】若V/eR,當(dāng)f>0時(shí)，令/=/,因?yàn)?/p>

所以/(O=-/(-0，即/(V)=--⑺；

當(dāng)/=0時(shí)，令/=必=0，因?yàn)?(/)=—

所以/(0)=—/(—0),即/(0)=0；

當(dāng)t<0時(shí)，令t=-X1，因?yàn)?(J)=,

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所以"-/)=-%),

綜上，V/eR,/(-?)=-/(?)，所以/⑴是奇函數(shù)，所以A正確；

若/(x)=x,則/(》2)=一/(_》2)成立，但B,C,D都不成立.

故選：A.

3.(2024下?廣東?番禺)已知函數(shù)/(X)及其導(dǎo)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,記g(x)=/'(x),/(2x+l)

和g(x+2)為偶函數(shù)，則()

A./⑴=/(2)B./(I)=/(3)C./(1)=/(4)D./(1)=/(5)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)/(2X+1)是偶函數(shù)，可得/(—2x+l)=/(2x+l),再求導(dǎo)計(jì)算，

從而求得g⑴=0，g(x+2)為偶函數(shù)得出對(duì)稱性，得出/(x)的周期，由此可求得答案.

【詳解】因?yàn)?(2x+l)是偶函數(shù)，所以/(—2x+l)=/(2x+l),即/(—x+l)=/(x+l),/(x)關(guān)

于X=1對(duì)稱，

兩邊求導(dǎo)得—27'(—2x+l)=2/'(2x+l),即—2x+l)=/'(2x+l),

所以g(2x+l)=-g(—2x+l),即g(x)=—g(—x+2),g(x)關(guān)于(1,0)對(duì)稱

令x=l可得g(D=-g(D，即g⑴=0,

因?yàn)間(x+2)為偶函數(shù)，所以g(x+2)=g(—x+2),即g(x)=g(4—x),g(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，

g(x)的周期為42—1|=4,

又因g(4-x)=-g(-x+2),所以g(l)=g(3)=0,/(x)關(guān)于x=3對(duì)稱，/(x)的周期為

2|3-l|=4,ap/(l)=/(5).

故選：D.

4.(2024下廣東?河源一模)已知函數(shù)力⑺的定義域?yàn)镽,且滿足Mx+l)+〃(x-l)=2,"2-x)是

103

偶函數(shù)，〃(2)=0,若〃eZ,則Zh(n)=()

n=-103

A.202B.204C.206D.208

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【答案】C

【詳解】因?yàn)椤?所以〃(x+2)+〃(x)=2①，即有g(shù)+4)+/z(x+2)=2②，

由①②得到Mx+4)=力(力,所以函數(shù)“(X)的周期為4,

又M2-X)是偶函數(shù)，所以〃(2+X)=〃(2T),得到〃3=〃(4_》)=//(-丫)，即函數(shù)M尤)為偶函數(shù),

乂由力(x+2)+〃(x)=2得到〃⑴+力(3)=2/(2)+為(4)=2//(0)+/z(2)=2

103103

X/〃)="(")+%(0)=2X25X4+/Z(0)+2(A(1)+A(2)+/z(3))=20(

又'⑵=。，所以M°)=2

故〃=-103n=\

故選：c.

5.(2024?廣東茂名一模)函數(shù)尸/(x)和尸/(x-2)均為R上的奇函數(shù)，若"1)=2,則〃2023)=

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】A

【詳解】因?yàn)槭?.一2)為奇函數(shù),所以了=/3關(guān)于(一2,0)對(duì)稱，即/(—)+/(尤-4)=0,

又昨/⑴關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則/(-x)=_/(x),有/*)=/(丫-4)=/(》+4)=/(無)，

所以＞=小)的周期為4,故〃2023)=/(-1+2。24)=止1).⑴=-2.

故選：A

6.(2024下?廣東?百校聯(lián)考)(多選)已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,且/(X—1)+/(X+1)=O,

/(l-x)=/(x+5),若/2]=1，貝u(

)

A./(X)是周期為4的周期函數(shù)B./(X)的圖像關(guān)于直線x=l對(duì)稱