《建筑力學(xué)》課件-6.3 單跨靜定梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

1《建筑力學(xué)》

——6.3單跨靜定梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算本節(jié)內(nèi)容6.3單跨靜定梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算6.3.1梁橫截面上的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力6.3.2梁的強(qiáng)度條件6.3.3提高梁強(qiáng)度的措施6.3.1梁橫截面上的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力

梁在彎曲時(shí)，橫截面上一般既有剪力又有彎矩。顯然，只有剪應(yīng)力才能構(gòu)成剪力，只有正應(yīng)力才能構(gòu)成彎矩。因此，梁在彎曲時(shí)，橫截面一般將同時(shí)存在剪應(yīng)力和正應(yīng)力，分別稱為彎曲剪應(yīng)力和彎曲正應(yīng)力。

1、純彎曲和橫力彎曲的概念

一、

純彎曲試驗(yàn)與基本假設(shè)

梁在彎曲時(shí)，若各橫截面上既有彎矩又有剪力，我們稱之為橫力彎曲；若梁上只有彎矩而無(wú)剪力時(shí)，我們稱之為純彎曲。DCD段屬于純彎曲，AC和DB段屬于橫力彎曲。5水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組實(shí)

驗(yàn)

現(xiàn)

象純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力6水利土木工程學(xué)院工程力學(xué)課程組1、變形前互相平行的縱向直線、變形后變成弧線，且凹邊纖維縮短、凸邊纖維伸長(zhǎng)。2、變形前垂直于縱向線的橫向線,變形后仍為直線，且仍與彎曲了的縱向線正交，但兩條橫向線間相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。實(shí)

驗(yàn)

現(xiàn)

象純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力2、純彎曲試驗(yàn)觀察梁的變形，可以看到:（1）橫向線m-m和n-n在變形后仍保持為直線，只是相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)微小角度，但仍保持與各縱向線垂直。（2）各縱向線變?yōu)閳A弧線，且a1-a1縮短，b1-b1伸長(zhǎng)。3、純彎曲假設(shè)

根據(jù)以上變形現(xiàn)象，可以做出以下假設(shè)：（1）平面假設(shè)：梁在純彎曲時(shí)，各橫截面始終保持為平面，且保持與各縱向線垂直。（2）單向受力假設(shè)：設(shè)想梁是由無(wú)數(shù)縱向“纖維”組成，則各縱向“纖維”之間沒(méi)有相互拉伸或擠壓作用，均處于單向拉伸或壓縮狀態(tài)。

由平面假設(shè)和單向受力假設(shè)可知，梁在純彎曲時(shí)，橫截面上各點(diǎn)無(wú)剪應(yīng)變，所以梁在純彎曲時(shí)橫截面上無(wú)剪應(yīng)力，而只有正應(yīng)力。從上圖還可以看出，梁的下部纖維伸長(zhǎng)，上部纖維縮短。由于變形的連續(xù)性，沿梁的高度必有一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短(如果把梁看成一層層纖維疊加而成)，這一纖維層稱為中性層，如圖所示。中性層與橫截面的交線稱為中性軸，用Z表示，。顯然，它與橫截面的縱向?qū)ΨQ軸垂直，且可證明它通過(guò)橫截面的形心。梁在純彎曲時(shí)，各橫截面繞中性軸做相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

中性層中性軸截面形心二、

彎曲正應(yīng)力一般公式

根據(jù)單向受力假設(shè)，各縱向纖維只受到單向拉伸或壓縮作用，且越靠近中性層各縱向纖維變形越小。進(jìn)一步分析可知，各縱縱向纖維的線應(yīng)變與其到中性層的距離成正比，也即橫截面上各點(diǎn)的線應(yīng)變與點(diǎn)到中性軸的距離成正比，即其中y為所求應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的距離。ρ為中性層曲率半徑。當(dāng)橫截面上的正應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，由虎克定律可知：

即純彎曲梁橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與其到中性軸的距離成正比，其應(yīng)力分布圖如圖：rey=rsEy=彎曲正應(yīng)力分布圖:顯然，中性軸上各點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力均為零，距中性軸同一高度上各點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力相等。

進(jìn)一步分析可知：zEIM=r1所以純彎曲梁橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力公式為:zIMy=s為橫截面上的彎矩。ò=AzAyId2為截面對(duì)Z軸的慣性矩，其大小和截面的形狀和尺寸有關(guān)，單位為m或mm。

44為所求應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的距離

橫截面上某點(diǎn)正應(yīng)力該點(diǎn)到中性軸距離該截面彎矩該截面慣性矩顯然正應(yīng)力的最大值對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)到中性軸的距離(y)的最大值在離中性軸最遠(yuǎn)處即梁的上下邊緣處彎曲正應(yīng)力最大，其值為

zIMy=s令則zIMymaxmax=smaxyIWzz=zW稱為抗彎截面模量，其大小也和截面的形狀和尺寸有關(guān)單位為或。3m3mmzWM=maxs

上面兩式已為試驗(yàn)所證實(shí)。以上公式雖然是在純彎曲的情況下推出的，但精確分析表明，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的非薄壁截面梁，只要梁的跨度與橫截面高度之比（）大于5時(shí)，應(yīng)用上述公式計(jì)算橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力仍然是相當(dāng)準(zhǔn)確的。

hl/三、慣性矩1．簡(jiǎn)單截面的慣性矩3121bhIz=261bhW=464DIzp=332DWzp=)()1(6444DdDIz=-=aap)()1(3243DdDWz=-=aap平面彎曲剪應(yīng)力簡(jiǎn)介梁在橫力彎曲時(shí)，橫截面上既有彎矩又有剪力。因此，橫力彎曲梁橫截面上不僅存在彎曲正應(yīng)力，還存在彎曲剪應(yīng)力。下面就常見(jiàn)截面梁的彎曲剪應(yīng)力進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。

一、矩形截面梁橫截面上的彎曲剪應(yīng)力FQ如圖所示矩形截面，當(dāng)截面高度h大于寬度b時(shí)，對(duì)矩形截面上的彎曲剪應(yīng)力可作如下的假設(shè)：1．各點(diǎn)處彎曲剪應(yīng)力的方向均平行于剪力FQ

。t2．彎曲剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即距中性軸等距離各點(diǎn)處的剪應(yīng)力相等。t)4(6)(223yhbhFyQ-=t由上式可見(jiàn)：

彎曲剪應(yīng)力沿截面高度呈拋物線規(guī)律分布，最大彎曲剪應(yīng)力發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處（y=0）,其值為:

AFbhFQQ2323max==t

由此可見(jiàn)，矩形截面梁橫截面上的最大彎曲剪應(yīng)力為平均彎曲剪應(yīng)力的1.5倍。FQ6.3.2平面彎曲強(qiáng)度條件及應(yīng)用一、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件

前面分析表明,一般情況下，梁的橫截面上同時(shí)存在彎曲正應(yīng)力和彎曲剪應(yīng)力。最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在離中軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處；最大彎曲剪應(yīng)力通常發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處。因此，針對(duì)上述情況應(yīng)該分別建立相應(yīng)的強(qiáng)度條件。

梁的最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，而這些點(diǎn)處的剪應(yīng)力或?yàn)榱慊蚝苄?，這些點(diǎn)處于單向拉伸或壓縮狀態(tài)，所以梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為

即要求整個(gè)梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力不得超過(guò)材料在單向受力時(shí)的許用正應(yīng)力。][)(maxmaxss￡=zWM只適用于許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力相等的塑性材料。

對(duì)于等截面梁，最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在截面，其彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為

][maxmaxss￡=zWM只適用于許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力相等的塑性材料。

對(duì)于脆性材料的梁，由于許用拉應(yīng)力［］和許用壓應(yīng)力[]不相等，所以應(yīng)對(duì)梁內(nèi)的最大拉應(yīng)力

和梁內(nèi)的最大壓應(yīng)力

分別進(jìn)行校核，即

tscstmaxscmins][tmaxt￡ss][cmaxc￡ss應(yīng)用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，可以解決彎曲強(qiáng)度校核，設(shè)計(jì)截面尺寸和確定許可載荷三類(lèi)問(wèn)題例1、

一簡(jiǎn)支梁，在全梁上受均布載荷的作用，己知梁的跨長(zhǎng)為l=500mm,其橫截面為矩形,高度h=12mm,寬度

b=8mm，均布載荷的集度q=1kN/m,材料的許用應(yīng)力

[σ]=170MPa，試按彎曲正應(yīng)力校核該梁的強(qiáng)度。

解：(1)畫(huà)彎矩圖FAFB

最大彎矩發(fā)生在梁的跨中截面C，故截面C為危險(xiǎn)截面。mmN3125085001822max.=×==qlM（2）強(qiáng)度計(jì)算3221921286161mmbhWz=××==MPa170MPa7.16219231250maxmax￡===zWMs所以，梁的強(qiáng)度足夠。例2、

一等截面簡(jiǎn)支梁的受力情況及截面尺寸如圖所示，已知截面為矩形，h=2b,FP=12kN,材料的許用應(yīng)力[σ]=80MPa,試確定截面尺寸。解：(1)畫(huà)彎矩圖

最大彎矩發(fā)生在C截面上，故截面C為危險(xiǎn)截面。xM(a)(+)FPm.kN76.5max=M

(2)強(qiáng)度計(jì)算根據(jù)強(qiáng)度條件取取取][maxmaxss￡=zWM有3333maxmm107280101076.5][×=××=3sMWz33210723261×3==bbhWzmm7.473b取，mm48=bmm96=h6.3.3提高梁強(qiáng)度的主要措施

一般情況下，梁的強(qiáng)度是由彎曲正應(yīng)力控制的。所謂提高梁的彎曲強(qiáng)度是指用盡可能少的材料，使梁能夠承受盡可能大的載荷，達(dá)到既經(jīng)濟(jì)又安全、減輕結(jié)構(gòu)重量等目的。工程中常見(jiàn)的提高梁強(qiáng)度的措施有以下幾種。1．選擇合理的截面形狀使

盡可能大。AWZ即用少的材料獲得比較大的抗彎截面模量，從而降低最大彎曲正應(yīng)力，達(dá)到提高彎曲強(qiáng)度的目的。（1）對(duì)于一定的WZ值，選擇合理的截面形狀，使截面積盡可能小。如采用工字型截面要比采用矩形截面更合理。

（2）對(duì)于一定的橫截面積

A，選擇合理的截面形狀，使其WZ值盡可能大

。如矩形截面豎放要比橫放更合理。

上述措施可以從梁橫截面上彎曲正應(yīng)力分布找到解釋。在彈性范圍內(nèi)，彎曲正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布，距中性軸愈遠(yuǎn)的點(diǎn)正應(yīng)力愈大，中性軸附近點(diǎn)上的正應(yīng)力很小。當(dāng)距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)的應(yīng)力達(dá)到許用應(yīng)力值時(shí)，中性軸附近點(diǎn)的應(yīng)力還遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于許用應(yīng)力，這部分材料便沒(méi)有充分利用。在不破壞整體性的前提下，可以將中性軸附近的材料移至離中性軸較遠(yuǎn)處，從而形成工程結(jié)構(gòu)中常用的空心截面以及工字型、箱型和槽型截面等的“合理截面”構(gòu)件。

合理設(shè)計(jì)梁的截面時(shí)，在考慮使材料盡可能離中性軸較遠(yuǎn)時(shí)，還應(yīng)考慮不同材料的特性。對(duì)于許用拉、壓應(yīng)力相等的塑性材料，應(yīng)采用工字型等Z軸對(duì)稱的截面，使其截面上的最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到材料的許用應(yīng)力，從而使材料得以充分利用；對(duì)于許用拉、壓應(yīng)力不等的脆性材料，則應(yīng)采用T字型等Z軸不對(duì)稱的截面，并使距中性軸較遠(yuǎn)的點(diǎn)受壓應(yīng)力，距中性軸較近的點(diǎn)受拉應(yīng)力，充分發(fā)揮抗壓性能強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。

2．采用變截面梁或等強(qiáng)度梁

梁的強(qiáng)度計(jì)算中，主要是以限制危險(xiǎn)面上危險(xiǎn)點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力不大于許用應(yīng)力為依據(jù)的。除了純彎梁之外，一般梁上的彎矩沿梁長(zhǎng)度方向各不相等。因此，當(dāng)危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力達(dá)到許用應(yīng)力時(shí)，其他截面上的最大彎曲正應(yīng)力遠(yuǎn)未達(dá)到這一數(shù)值，因此，從節(jié)省材料、減輕結(jié)構(gòu)重量的角度看，這樣的設(shè)計(jì)不盡合理。所以，為了節(jié)省材料及減輕構(gòu)件重量，常常在彎矩較大處采用尺寸較大的橫截面；在彎矩較小處采用較小橫截面，即截面尺寸隨彎矩的變化而變化，這就是變截面梁。

還可以將變截面梁設(shè)計(jì)成等強(qiáng)度梁，等強(qiáng)度梁上每個(gè)橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力都同時(shí)等于材料的許用應(yīng)力值，顯然，等強(qiáng)度梁的材料利用率最高、重量最輕，因而是最合理的。但由于這種梁的截面尺寸沿梁軸線連續(xù)變化，加工制造時(shí)有一定的難度。故一些實(shí)際彎曲構(gòu)件都設(shè)計(jì)成近似的等強(qiáng)度梁。增添蓋板的鋼板梁魚(yú)腹式吊車(chē)梁廠房中的屋架大梁工程中的變截面梁

3．改變梁的受力情況和支座位置為提