第11小題 概率（高考必考22題）2024年高考《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)題型分類與方法點(diǎn)撥（解析版）

第第頁(yè)第11小題概率TOC\o"1-5"\h\u第11小題概率 1一、主干知識(shí)歸納與回顧 210.1隨機(jī)事件與概率 210.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件 210.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算 210.1.3古典概型 310.1.4概率的基本性質(zhì) 310.2事件的相互獨(dú)立性 310.3頻率與概率 4（一）命題角度剖析 4（二）考情分析 4（三）高考預(yù)測(cè) 5二、題型分類與預(yù)測(cè) 5命題點(diǎn)一：事件的關(guān)系與運(yùn)算 51.1母題精析（三年高考真題） 5一．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式（共5小題） 5二．離散型隨機(jī)變量的期望與方差（共1小題） 8三．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義（共2小題） 91.2解題模型 101.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?11一．互斥事件與對(duì)立事件（共1小題） 11二．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式（共3小題） 12三．條件概率與獨(dú)立事件（共1小題） 13四．離散型隨機(jī)變量的期望與方差（共5小題） 15五．二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型（共1小題） 18六．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義（共7小題） 18七．概率的應(yīng)用（共1小題） 22命題點(diǎn)二：求隨機(jī)事件的概率 231.1母題精析（三年高考真題） 23一．古典概型及其概率計(jì)算公式（共11小題） 23二．幾何概型（共3小題） 28三．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式（共4小題） 30四．條件概率與獨(dú)立事件（共2小題） 321.2解題模型 321.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?33一．古典概型及其概率計(jì)算公式（共19小題） 33二．列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率（共2小題） 43三．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式（共2小題） 44四．條件概率與獨(dú)立事件（共3小題） 45三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）： 47一．互斥事件的概率加法公式（共1小題） 47二．古典概型及其概率計(jì)算公式（共10小題） 48三．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式（共4小題） 53四．條件概率與獨(dú)立事件（共11小題） 56五．離散型隨機(jī)變量的期望與方差（共3小題） 62六．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義（共6小題） 65一、主干知識(shí)歸納與回顧10.1隨機(jī)事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)：對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn).有限樣本空間：樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，用表示.樣本空間：全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示.有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，則稱樣本空間為有限樣本空間.隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示.隨機(jī)事件：樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件.基本事件：只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.事件發(fā)生：在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件發(fā)生.必然事件：不可能事件：必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形，這樣每個(gè)事件都是樣本空間的子集.10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算事件B包含事件：若事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，就稱事件包含事件（或事件包含于事件），記作（或）.事件的相等：如果事件包含事件，事件也包含事件，則稱事件和事件相等.并事件（或和事件）：事件與事件至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件中，或者在事件中，我們稱這個(gè)事件為事件與事件的并事件（或和事件）.記作（或）.交事件（或積事件）：事件與事件同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件中，也在事件中，我們稱這個(gè)事件為事件與事件的交事件（或積事件）.記作（或）.互斥事件：如果事件與事件不能同時(shí)發(fā)生，即是一個(gè)不可能事件，即，則稱事件與事件互斥（或互不相容）.對(duì)立事件：如果事件和事件在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即，且，那么稱事件與事件互為對(duì)立.事件的對(duì)立事件記為.10.1.3古典概型1.概率：對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率.事件的概率用表示.2.古典概型的特點(diǎn)：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.3.古典概型概率計(jì)算公式：設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件發(fā)生的概率.10.1.4概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意事件，都有.性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即.性質(zhì)3：如果事件與事件互斥，那么.性質(zhì)4：如果事件與事件互為對(duì)立事件，那么,.性質(zhì)5：如果，那么.性質(zhì)6：設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有.10.2事件的相互獨(dú)立性相互獨(dú)立事件：對(duì)任意兩個(gè)事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱獨(dú)立.注意：當(dāng)三個(gè)事件,,兩兩獨(dú)立時(shí)，一般不成立.若事件與事件相互獨(dú)立，則與，與，與也相互獨(dú)立.10.3頻率與概率頻率的穩(wěn)定性：在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性，一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性，因此我們可以用頻率估計(jì)概率.（一）命題角度剖析1.事件的關(guān)系與運(yùn)算★★★☆☆2.求隨機(jī)事件的概率★★★★★（二）考情分析高考頻率：100%試題難度：中等呈現(xiàn)形式：以選擇題或填空題（三）高考預(yù)測(cè)在數(shù)學(xué)文化、科技等情境下，結(jié)合排列組合考查古典概型、互斥事件的概率加法公式、相互獨(dú)立事件的乘法公式，以及條件概率的求法、全概率公式的應(yīng)用。二、題型分類與預(yù)測(cè)命題點(diǎn)一：事件的關(guān)系與運(yùn)算1.1母題精析（三年高考真題）一．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式（共5小題）1．（2021?新高考Ⅰ）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立 C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立【分析】分別列出甲、乙、丙、丁可能的情況，然后根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷即可．【解答】解：由題意可知，兩點(diǎn)數(shù)和為8的所有可能為：，，，，，兩點(diǎn)數(shù)和為7的所有可能為，，，，，，（甲，（乙，（丙，（丁，（甲丙）（甲（丙，（甲?。祝ǘ?，（乙丙）（乙（丙，（丙?。ūǘ。蔬x：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的應(yīng)用，要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，屬于中檔題．2．（2023?新高考Ⅱ）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為 B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為 C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為 D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求解．【解答】解：采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為：，故正確；采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，依次收到1，0，1的概率為：，故正確；采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1包含收到的信號(hào)為包含兩個(gè)1或3個(gè)1，故所求概率為：，故錯(cuò)誤；三次傳輸方案發(fā)送0，譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率，，當(dāng)時(shí)，，故，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題．3．（2021?天津）甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為和，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為；3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為．【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式求出一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率，再利用直接法求出3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率．【解答】解：一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為，次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為．故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式，至少問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題．4．（2020?天津）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為．【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)“甲球落入盒子”為事件，“乙球落入盒子”為事件，由題意可知事件與事件相互獨(dú)立，且（A），（B），則甲、乙兩球都落入盒子的概率為（A）（B），事件“甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子”的對(duì)立事件為“甲、乙兩球都沒(méi)有落入盒子”所以甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為（A）（B），故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互斥事件的概率公式，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以獲勝的概率是0.18．【分析】甲隊(duì)以獲勝包含的情況有：①前5場(chǎng)比賽中，第一場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，②前5場(chǎng)比賽中，第二場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，③前5場(chǎng)比賽中，第三場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，④前5場(chǎng)比賽中，第四場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，由此能求出甲隊(duì)以獲勝的概率．【解答】解：甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，甲隊(duì)以獲勝包含的情況有：①前5場(chǎng)比賽中，第一場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，其概率為：，②前5場(chǎng)比賽中，第二場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，其概率為：，③前5場(chǎng)比賽中，第三場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，其概率為：，④前5場(chǎng)比賽中，第四場(chǎng)負(fù)，另外4場(chǎng)全勝，其概率為：，則甲隊(duì)以獲勝的概率為：．故答案為：0.18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二．離散型隨機(jī)變量的期望與方差（共1小題）6．（2021?浙江）袋中有4個(gè)紅球，個(gè)黃球，個(gè)綠球．現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則1，．【分析】根據(jù)取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，得到關(guān)于，的方程，然后求出，的值，得到的值；先確定的可能取值，求出相應(yīng)的概率，由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解即可．【解答】解：由題意，，又一紅一黃的概率為，所以，解得，，故；由題意，的可能取值為0，1，2，所以，，，所以．故答案為：1；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型的概率，組合數(shù)公式的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量及其分布列和離散型隨機(jī)變量期望，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義（共2小題）7．（2021?新高考Ⅱ）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論中不正確的是A．越小，該物理量在一次測(cè)量中落在內(nèi)的概率越大 B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5 C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D．該物理量在一次測(cè)量中結(jié)果落在與落在的概率相等【分析】利用正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)以及曲線所表示的意義對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【解答】解：因?yàn)槟澄锢砹康臏y(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，所以測(cè)量的結(jié)果的概率分布關(guān)于10對(duì)稱，且方差越小，則分布越集中，對(duì)于，越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，測(cè)量結(jié)果大于10的概率為0.5，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，由于概率分布關(guān)于10對(duì)稱，所以測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的區(qū)域大于分布在10附近的區(qū)域，故測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率大于落在內(nèi)的概率，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)以及曲線所表示的意義，解題的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．8．（2022?新高考Ⅱ）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則0.14．【分析】利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解．【解答】解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，，故答案為：0.14．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．1.2解題模型1.互斥事件與對(duì)立事件的判斷方法(1)利用定義①判斷兩個(gè)事件是否為互斥事件，主要看它們能否同時(shí)發(fā)生，若不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)事件是互斥事件；若能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)事件不是互斥事件。②判斷兩個(gè)事件是否為對(duì)立事件，主要看它們是否同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一是不能同時(shí)發(fā)生；二是必有一個(gè)發(fā)生.如果這兩個(gè)條件同時(shí)滿足，那么這兩個(gè)事件就是對(duì)立事件；如果至少有一個(gè)條件不滿足，那么這兩個(gè)事件就不是對(duì)立事件.兩個(gè)事件是對(duì)立事件的前提是它們互斥.(2)利用集合的觀點(diǎn)設(shè)表示事件A,B的集合分別為集合A,B.①事件A與B互斥?集合A∩B=.②事件A與B對(duì)立?集合A∩B=,且AB=Ω.2.判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的方法(1)定性法：直觀地判斷一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生與否有沒(méi)有影響，若沒(méi)有影響，則這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立事件.(2)定量法：利用P(AB)=P(A)P(B)(P(A)>0,P(B)>0)是否成立可以準(zhǔn)確地判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立.【歸納總結(jié)】與互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率相關(guān)的常用結(jié)論已知事件A,B發(fā)生的概率分別為P(A),P(B),有如下結(jié)論：3.概率的基本性質(zhì)事件表示概率（A、B互斥）概率（A、B相互獨(dú)立）A、B至少有一個(gè)發(fā)生或A、B都發(fā)生0A、B都不發(fā)生A、B恰有一個(gè)發(fā)生A、B中至多有一個(gè)發(fā)生1性質(zhì)1:對(duì)任意的事件A,都有P(A)≥0.性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P()=0.性質(zhì)3:如果事件A與事件B互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B).性質(zhì)4:如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性質(zhì)5:如果AB,那么P(A)≤P(B).性質(zhì)6:設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∩B).1.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹┮唬コ馐录c對(duì)立事件（共1小題）1．（2022?南平模擬）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，下列事件與事件“至少一枚硬幣正面朝上”互為對(duì)立的是A．至多一枚硬幣正面朝上 B．只有一枚硬幣正面朝上 C．兩枚硬幣反面朝上 D．兩枚硬幣正面朝上【分析】直接利用對(duì)立事件的定義求出結(jié)果．【解答】解：事件“至少一枚硬幣正面朝上”互為對(duì)立的是：兩枚硬幣反面朝上．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：對(duì)立事件的定理，主要考查學(xué)生對(duì)定義的理解，屬于基礎(chǔ)題．二．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式（共3小題）2．（2023?莆田模擬）某地區(qū)一個(gè)家庭中孩子個(gè)數(shù)的情況如表．1230每個(gè)孩子的性別是男是女的概率均為，且相互獨(dú)立，則一個(gè)家庭中男孩比女孩多的概率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意分析男孩比女孩多的可能情況，結(jié)合互斥事件以及獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解．【解答】解：一個(gè)家庭中男孩比女孩多有三種可能：“1個(gè)小孩，且為男孩”、“有2個(gè)小孩，且為男孩”、“3個(gè)小孩，3個(gè)男孩或2個(gè)男孩”，所以概率．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件以及獨(dú)立事件概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022?廈門模擬）為充分感受冬奧的運(yùn)動(dòng)激情，領(lǐng)略?shī)W運(yùn)的拼搏精神，甲、乙、丙三人進(jìn)行短道速滑訓(xùn)練．已知每一場(chǎng)比賽甲、乙、丙獲勝的概率分別為，，，則3場(chǎng)訓(xùn)練賽過(guò)后，甲、乙獲勝場(chǎng)數(shù)相同的概率為A． B． C． D．【分析】3場(chǎng)訓(xùn)練賽過(guò)后，甲、乙獲勝場(chǎng)數(shù)相同的情況有兩種：①甲、乙兩人均獲勝0場(chǎng)，②甲、乙兩人均獲勝1場(chǎng)，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出3場(chǎng)訓(xùn)練賽過(guò)后，甲、乙獲勝場(chǎng)數(shù)相同的概率．【解答】解：3場(chǎng)訓(xùn)練賽過(guò)后，甲、乙獲勝場(chǎng)數(shù)相同的情況有兩種：①甲、乙兩人均獲勝0場(chǎng)，概率為；②甲、乙兩人均獲勝1場(chǎng)，概率為，場(chǎng)訓(xùn)練賽過(guò)后，甲、乙獲勝場(chǎng)數(shù)相同的概率為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的運(yùn)算，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．（2022?泉州模擬）2021年7月25日召開(kāi)的第44屆世界遺產(chǎn)大會(huì)上，“泉州：宋元中國(guó)的世界海洋商貿(mào)中心”獲準(zhǔn)列入世界文化遺產(chǎn)名錄，至此泉州20年的申遺終于圓夢(mèng)．申遺的遺產(chǎn)點(diǎn)包括九日山祈風(fēng)石刻、開(kāi)元寺、洛陽(yáng)橋等22處代表性古遺跡，這些古遺跡可分為文化紀(jì)念地史跡等五類．這五類古遺跡充分展現(xiàn)了世紀(jì)泉州完備的海洋貿(mào)易制度體系、發(fā)達(dá)的經(jīng)濟(jì)水平及多元包容的文化態(tài)度．某校中學(xué)生準(zhǔn)備到各類古遺跡打卡，已知該同學(xué)打卡第一類、第二類的概率都是，打卡第三類、第四類和第五類的概率都是，且是否打卡這五類古遺跡相互獨(dú)立．用隨機(jī)變量表示該同學(xué)打卡的類別數(shù)，則．【分析】設(shè)第一、二類打卡數(shù)為，第三、四、五類打卡數(shù)為，則由題意，，，利用次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解即可．【解答】解：記該同學(xué)打卡第一類、第二類的類別數(shù)為，打卡第三類、第四類和第五類的類別數(shù)為，隨機(jī)變量，則，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．三．條件概率與獨(dú)立事件（共1小題）5．（2023?福州模擬）已知，是兩個(gè)事件，且（B），則事件，相互獨(dú)立的充分條件可以是A． B． C． D．【分析】利用條件概率公式，互斥的性質(zhì)，相互獨(dú)立的判斷，逐個(gè)選項(xiàng)分析即可求解．【解答】解：若，則事件，沒(méi)有共同部分，即互斥，得不出事件，相互獨(dú)立，錯(cuò)；由（A），得，則（B），得（B），即（A）（B），則事件，相互獨(dú)立，正確；由，即，得（B）（A）（B）（B），即（A）（B），則事件，相互獨(dú)立，正確；由，①且，②②式兩邊平方，并利用①式可得，，③結(jié)合①③，可得，，則，所以（A），（B），所以（A）（B），即事件，相互獨(dú)立，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥的應(yīng)用，考查條件概率的性質(zhì)，考查學(xué)生推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．四．離散型隨機(jī)變量的期望與方差（共5小題）6．（2023?福建模擬）如圖是一塊高爾頓板示意圖，在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號(hào)為0，1，2，3，，10，用表示小球落入格子的號(hào)碼，則A． B． C． D．【分析】分析得到，進(jìn)而利用二項(xiàng)分布求概率公式求出相應(yīng)的概率，利用二項(xiàng)分布求期望和方差．【解答】解：設(shè)“向右下落”，“向左下落”，則，因?yàn)樾∏蜃詈舐淙敫褡拥奶?hào)碼等于事件發(fā)生的次數(shù)，而小球下落的過(guò)程中共碰撞小木釘10次，所以，于是，同理可得：，正確，錯(cuò)誤；由二項(xiàng)分布求期望及方差公式得：，，錯(cuò)誤，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)分布的期望與方差的求解，屬中檔題．7．（2023?莆田模擬）“50米跑”是《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》測(cè)試項(xiàng)目中的一項(xiàng)．某地區(qū)高二男生的“50米跑”測(cè)試成績(jī)（單位：秒）服從正態(tài)分布，且．從該地區(qū)高三男生的“50米跑”測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取3個(gè)，其中成績(jī)?cè)陂g的個(gè)數(shù)記為，則A． B． C． D．【分析】對(duì)于，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解；對(duì)于，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望公式，即可求解；對(duì)于，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式，即可求解．【解答】解：由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，，故，故錯(cuò)誤；由題意可知，，故，故正確；某地區(qū)高二男生的“50米跑”測(cè)試成績(jī)（單位：秒）服從正態(tài)分布，則，，故錯(cuò)誤；，則，故，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱性，以及二項(xiàng)分布的期望公式，屬于基礎(chǔ)題．8．（2021?福州模擬）購(gòu)買某種意外傷害保險(xiǎn)，每個(gè)投保人年度向保險(xiǎn)公司交納保險(xiǎn)費(fèi)20元，若被保險(xiǎn)人在購(gòu)買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，可獲得賠償金50萬(wàn)元．已知該保險(xiǎn)每一份保單需要賠付的概率為，某保險(xiǎn)公司一年能銷售10萬(wàn)份保單，且每份保單相互獨(dú)立，則一年度內(nèi)該保險(xiǎn)公司此項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)需要賠付的概率約為0.63；一年度內(nèi)盈利的期望為萬(wàn)元．（參考數(shù)據(jù)：【分析】根據(jù)題意，設(shè)該保險(xiǎn)業(yè)務(wù)需要賠付為事件，由相互獨(dú)立事件的概率公式可得，結(jié)合對(duì)立事件的概率公式可得（A），進(jìn)而由期望的概念計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)該保險(xiǎn)業(yè)務(wù)需要賠付為事件，該保險(xiǎn)每一份保單需要賠付的概率為，則每一份保單不需要賠付的概率為，則10萬(wàn)份保單都不需要賠付的概率，則保險(xiǎn)業(yè)務(wù)需要賠付的概率（A）；一年度內(nèi)盈利的期望（萬(wàn)元），故答案為：0.63，150．【點(diǎn)評(píng)】本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的計(jì)算，涉及隨機(jī)變量的期望計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．9．（2020?漳州三模）勤洗手、常通風(fēng)、戴口罩是切斷新冠肺炎傳播的有效手段．經(jīng)調(diào)查疫情期間某小區(qū)居民人人養(yǎng)成了出門戴口罩的好習(xí)慣，且選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩的概率為，每人是否選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩是相互獨(dú)立的．現(xiàn)隨機(jī)抽取5位該小區(qū)居民，其中選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩的人數(shù)為，且，，則的值為．【分析】根據(jù)題意，可知選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩的人數(shù)滿足：，根據(jù)公式，，，即可得．【解答】解：由題可知，選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩的人數(shù)滿足：，，即，解得，又，即，解得或（舍．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，屬基礎(chǔ)題．10．（2020?福建二模）在一個(gè)袋中放入四種不同顏色的球，每種顏色的球各兩個(gè)，這些球除顏色外完全相同．現(xiàn)玩一種游戲：游戲參與者從袋中一次性隨機(jī)抽取4個(gè)球，若抽出的4個(gè)球恰含兩種顏色，獲得2元獎(jiǎng)金；若抽出的4個(gè)球恰含四種顏色，獲得1元獎(jiǎng)金；其他情況游戲參與者交費(fèi)1元．設(shè)某人參加一次這種游戲所獲得獎(jiǎng)金為，則．【分析】由題意知的可能取值為，1，2，分別求出相應(yīng)概率，由此能求出．【解答】解：由題意知的可能取值為，1，2，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．五．二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型（共1小題）11．（2021?泉州一模）“立定跳遠(yuǎn)”是《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》測(cè)試項(xiàng)目中的一項(xiàng)，已知某地區(qū)高中男生的立定跳遠(yuǎn)測(cè)試數(shù)據(jù)（單位：服從正態(tài)分布，且．現(xiàn)從該地區(qū)高中男生中隨機(jī)抽取3人，記不在的人數(shù)為，則A． B． C． D．【分析】由已知可得正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸，再由對(duì)稱性求得判斷；不在的人數(shù)的可能取值為0，1，2，3，由可知，不在的概率為0.2，分別求出與判斷與；再求出判斷．【解答】解：由題意可得，正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸方程為，又，，故錯(cuò)誤；不在的人數(shù)的可能取值為0，1，2，3，由可知，不在的概率為0.2，則，，，．，故錯(cuò)誤；，則，故錯(cuò)誤；，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及其幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．六．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義（共7小題）12．（2022?廈門模擬）我們將服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量．概率論中有一個(gè)重要的結(jié)論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機(jī)變量，當(dāng)充分大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量可以由正態(tài)隨機(jī)變量來(lái)近似，且正態(tài)隨機(jī)變量的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量的期望和方差相同．棣莫弗在1733年證明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯對(duì)一般的進(jìn)行了證明．現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過(guò)60次的概率為（附：若，則，，A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望與方差公式，求出，，再結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解．【解答】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，設(shè)硬幣正面向上次數(shù)為，則，故，，由題意可得，，且，，，用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過(guò)60次的概率為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望與方差公式，以及正態(tài)分布的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．13．（2023?寧德模擬）某地生產(chǎn)紅茶已有多年，選用本地兩個(gè)不同品種的茶青生產(chǎn)紅茶．根據(jù)其種植經(jīng)驗(yàn)，在正常環(huán)境下，甲、乙兩個(gè)品種的茶青每500克的紅茶產(chǎn)量（單位：克）分別為，，且，，，，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是A．的數(shù)據(jù)較更集中 B． C．甲種茶青每500克的紅茶產(chǎn)量超過(guò)的概率大于 D．【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)和特點(diǎn)求解．【解答】解：對(duì)于，的密度曲線更尖銳，即數(shù)據(jù)更集中，正確；對(duì)于，因?yàn)榕c之間的與密度曲線圍成的面積，與密度曲線圍成的面積，，，正確；對(duì)于，，甲種茶青每500克超過(guò)的概率，正確；對(duì)于，由知：，，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．14．（2023?福建模擬）已知，則，，．今有一批數(shù)量龐大的零件．假設(shè)這批零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)（單位：毫米）服從正態(tài)分布，，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取個(gè)，這個(gè)零件中恰有個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間．若，試以使得最大的值作為的估計(jì)值，則為A．45 B．53 C．54 D．90【分析】由已知可推得，，根據(jù)已知以及正態(tài)分布的對(duì)稱性，可求得．則，，設(shè)，求出函數(shù)的最大整數(shù)值，即可得出答案．【解答】解：由已知可得，．又，所以，，．設(shè)，則，所以，所以，所以，所以，所以使得最大的值作為的估計(jì)值，則為53．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正態(tài)分布曲線，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．15．（2021?廈門一模）已知某地居民在2020年“雙十一”期間的網(wǎng)上購(gòu)物消費(fèi)額（單位：千元）服從正態(tài)分布，則該地某居民在2020年“雙十一”期間的網(wǎng)上購(gòu)物消費(fèi)額在，內(nèi)的概率為附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，，．A．0.9759 B．0.8186 C．0.73 D．0.4772【分析】由已知可得，，然后結(jié)合與原則求解．【解答】解：服從正態(tài)分布，，，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的運(yùn)用、與原則的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．（2023?廈門模擬）李明每天從家里出發(fā)去學(xué)校，有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時(shí)30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時(shí)34分鐘，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車用時(shí)和騎自行車用時(shí)都服從正態(tài)分布，則A． B． C．李明計(jì)劃前到校，應(yīng)選擇坐公交車 D．李明計(jì)劃前到校，應(yīng)選擇騎自行車【分析】首先利用正態(tài)分布，確定和，再結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，和的原則，即可求解．【解答】解：．由條件可知，，，，根據(jù)對(duì)稱性可知，故錯(cuò)誤；．，，所以，故正確；．，所以，故正確；．，，所以，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．17．（2022?福州模擬）某質(zhì)量指標(biāo)的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，則在一次測(cè)量中A．該質(zhì)量指標(biāo)大于80的概率為0.5 B．越大，該質(zhì)量指標(biāo)落在的概率越大 C．該質(zhì)量指標(biāo)小于60與大于100的概率相等 D．該質(zhì)量指標(biāo)落在與落在的概率相等【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解．【解答】解：對(duì)于，某質(zhì)量指標(biāo)的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，該質(zhì)量指標(biāo)大于80的概率為0.5，故正確，對(duì)于，該質(zhì)量指標(biāo)的測(cè)量結(jié)果的概率分布關(guān)于80對(duì)稱，且方差越小，分布越集中，越大，該質(zhì)量指標(biāo)落在的概率越小，故錯(cuò)誤，對(duì)于，某質(zhì)量指標(biāo)的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，該質(zhì)量指標(biāo)小于60與大于100的概率相等，故正確，對(duì)于，由于概率分布關(guān)于80對(duì)稱，故該質(zhì)量指標(biāo)落在大于落在的概率，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．18．（2023?泉州模擬）設(shè)隨機(jī)變量，若，則0.3．【分析】結(jié)合正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義求解即可．【解答】解：由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得，，則，即，故答案為：0.3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，屬基礎(chǔ)題．七．概率的應(yīng)用（共1小題）19．（2023?泉州模擬）某商場(chǎng)設(shè)有電子盲盒機(jī)，每個(gè)盲盒外觀完全相同，規(guī)定每個(gè)玩家只能用一個(gè)賬號(hào)登陸，且每次只能隨機(jī)選擇一個(gè)開(kāi)啟．已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為，從第二次抽盲盒開(kāi)始，若前一次沒(méi)抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎(jiǎng)品；則這次抽中的概率為．記玩家第次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為，則A． B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 C． D．當(dāng)時(shí)，越大，越小【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，求出的值，可得正確，對(duì)于，分析可得，變形可得，由等比數(shù)列的定義可得正確，對(duì)于和，由的結(jié)論推出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此分析可得正確，錯(cuò)誤，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，，正確；對(duì)于，根據(jù)題意，，變形可得，故數(shù)列為等比數(shù)列，正確；對(duì)于，由的結(jié)論，數(shù)列為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，則，變形可得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，綜合可得：，正確；對(duì)于，由的結(jié)論，，數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率與數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，屬于基中檔題．命題點(diǎn)二：求隨機(jī)事件的概率1.1母題精析（三年高考真題）一．古典概型及其概率計(jì)算公式（共11小題）1．（2023?乙卷）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為A． B． C． D．【分析】利用古典概型、排列組合等知識(shí)直接求解．【解答】解：某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，甲、乙兩位參賽同學(xué)構(gòu)成的基本事件總數(shù)，其中甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題包含的基本事件個(gè)數(shù)，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（2023?甲卷）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為A． B． C． D．【分析】從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，基本事件總數(shù)，這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率．【解答】解：某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，基本事件總數(shù)，這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)包含的基本事件個(gè)數(shù)，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．（2022?新高考Ⅰ）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為A． B． C． D．【分析】先求出所有的基本事件數(shù)，再寫出滿足條件的基本事件數(shù)，用古典概型的概率公式計(jì)算即可得到答案．【解答】解：從2至8的7個(gè)整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)共有種方式，其中互質(zhì)的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14種，故所求概率為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的概率計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2022?甲卷）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，用列舉法分析“從6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張”和“抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)”的情況數(shù)目，由古典概型公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，從6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種取法，其中抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)有，，，，，，共6種情況，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的計(jì)算，注意古典概型的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（2022?全國(guó)）在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)的和能被3整除的概率是A． B． C． D．【分析】基本事件總數(shù)，1，4，7被3除余1；2，5，8被3除余2；3，6，9剛好被3除，若要使選取的三個(gè)數(shù)字和能被3整除，則需要從每一組中選取一個(gè)數(shù)字，或者從一組中選取三個(gè)數(shù)字，由此能求出結(jié)果．【解答】在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3個(gè)不同的數(shù)，基本事件總數(shù)，，4，7被3除余1；2，5，8被3除余2；3，6，9剛好被3除，若要使選取的三個(gè)數(shù)字和能被3整除，則需要從每一組中選取一個(gè)數(shù)字，或者從一組中選取三個(gè)數(shù)字，這3個(gè)數(shù)的和能被3整除的不同情況有：，這3個(gè)數(shù)的和能被3整除的概率為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．（2021?甲卷）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【分析】先計(jì)算出3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，2個(gè)0相鄰的概率，再利用對(duì)立事件概率之和等于1，即可求解．【解答】解：將兩個(gè)0捆綁在一起，進(jìn)行插空，故共有種方法，故2個(gè)0不相鄰的概率．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型計(jì)算公式，排列組合公式在古典概型計(jì)算中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．（2021?甲卷）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為A． B． C． D．【分析】分別計(jì)算出4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行的種數(shù)以及2個(gè)0不相鄰的種數(shù)，然后由古典概型的概率公式求解即可．【解答】解：6個(gè)空位選2兩個(gè)放0，剩余4個(gè)放1，故總的排放方法有種，利用插空法，4個(gè)1有5個(gè)位置可以放0，故排放方法有種，所以所求概率為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型概率公式的應(yīng)用，排列組合的應(yīng)用，對(duì)于不相鄰問(wèn)題，一般會(huì)運(yùn)用插空法進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題．8．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)為正方形的中心，在，，，，中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)古典概率公式即可求出．【解答】解：，，，，中任取3點(diǎn)，共有，，，，，，，，，十種，其中共線為，，和，，兩種，故取到的3點(diǎn)共線的概率為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型概率問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．9．（2022?乙卷）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．【分析】從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲、乙被選中包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由此求出甲、乙被選中的概率．【解答】解：方法一：設(shè)5人為甲、乙、丙、丁、戊，從5人中選3人有以下10個(gè)基本事件：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；甲、乙被選中的基本事件有3個(gè)：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；故甲、乙被選中的概率為．方法二：由題意，從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，基本事件總數(shù)，甲、乙被選中，則從剩下的3人中選一人，包含的基本事件的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型及其概率的計(jì)算公式，甲、乙都入選的概率．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題．10．（2022?甲卷）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為．【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)公式計(jì)算“從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)”的取法，分析其中“4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面”的情況，由古典概型公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，有種取法，若這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面，有底面2個(gè)和側(cè)面4個(gè)、對(duì)角面6個(gè)，一共有12種情況，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的計(jì)算，涉及正方體的幾何結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題．11．（2021?上海）已知花博會(huì)有四個(gè)不同的場(chǎng)館，，，，甲、乙兩人每人選2個(gè)去參觀，則他們的選擇中，恰有一個(gè)館相同的概率為．【分析】根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：甲選2個(gè)去參觀，有種，乙選2個(gè)去參觀，有種，共有種，若甲乙恰有一個(gè)館相同，則選確定相同的館有種，然后從剩余3個(gè)館種選2個(gè)進(jìn)行排列，有種，共有種，則對(duì)應(yīng)概率，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率的計(jì)算，利用古典概型的概率公式是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．二．幾何概型（共3小題）12．（2023?乙卷）設(shè)為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為，則直線的傾斜角不大于的概率為A． B． C． D．【分析】作出圖形，根據(jù)幾何概型的概率公式，即可求解．【解答】解：如圖，為第一象限與第三象限的角平分線，根據(jù)題意可得構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳A環(huán)，而直線的傾斜角不大于的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，所求概率為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概型的概率的求解，屬基礎(chǔ)題．13．（2021?乙卷）在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為A． B． C． D．【分析】由題意可得可行域：，可得三角形的面積，結(jié)合幾何概型即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意可得可行域：，可得三角形的面積，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線性規(guī)劃知識(shí)、三角形的面積、幾何概型、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（2021?乙卷）在區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為A． B． C． D．【分析】我們分別計(jì)算出區(qū)間和的長(zhǎng)度，代入幾何概型概率計(jì)算公式，即可得到答案．【解答】解：由于試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為，構(gòu)成該事件的區(qū)域長(zhǎng)度為，所以取到的數(shù)小于的概率．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算，其中根據(jù)已知條件計(jì)算出基本事件總數(shù)對(duì)應(yīng)的幾何量的大小，和滿足條件的幾何量的大小是解答本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．三．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式（共4小題）15．（2022?乙卷）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，，且．記該棋手連勝兩盤的概率為，則A．與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，最大 C．該棋手在第二盤與乙比賽，最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，最大【分析】已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以受比賽次序影響，錯(cuò)誤；再計(jì)算第二盤分別與甲、乙、丙比賽連贏兩盤的概率，比較大小即可．【解答】解：選項(xiàng)，已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以受比賽次序影響，故錯(cuò)誤；設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為，棋手在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為，棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為，，同理可得，，，，，最大，即棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率最大．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的靈活運(yùn)用．16．（2023?天津）甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為，，．現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為．【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求解；根據(jù)古典概型概率公式即可求解．【解答】解：設(shè)盒子中共有球個(gè)，則甲盒子中有黑球個(gè)，白球個(gè)，乙盒子中有黑球個(gè)，白球個(gè)，丙盒子中有黑球個(gè)，白球個(gè)，從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率．故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件乘法公式，考查古典概型，是基礎(chǔ)題．17．（2021?天津）甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為和，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為；3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為．【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式求出一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率，再利用直接法求出3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率．【解答】解：一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為，次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為．故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式，至少問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，是中檔題．18．（2020?天津）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為．【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)“甲球落入盒子”為事件，“乙球落入盒子”為事件，由題意可知事件與事件相互獨(dú)立，且（A），（B），則甲、乙兩球都落入盒子的概率為（A）（B），事件“甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子”的對(duì)立事件為“甲、乙兩球都沒(méi)有落入盒子”所以甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為（A）（B），故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互斥事件的概率公式，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．四．條件概率與獨(dú)立事件（共2小題）19．（2023?甲卷）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛(ài)好滑冰，的同學(xué)愛(ài)好滑雪，的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪，在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛(ài)好滑雪，則該同學(xué)也愛(ài)好滑冰的概率為A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1【分析】根據(jù)題意，設(shè)某人愛(ài)好滑冰為事件，某人愛(ài)好滑雪為事件，由古典概型公式求出（A）和，進(jìn)而由條件概率公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，設(shè)選出的同學(xué)愛(ài)好滑冰為事件，選出的同學(xué)愛(ài)好滑雪為事件，由于中學(xué)生中有的同學(xué)愛(ài)好滑冰，的同學(xué)愛(ài)好滑雪，的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪，則（B）；則同時(shí)愛(ài)好兩個(gè)項(xiàng)目的占，則，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率的計(jì)算，涉及集合間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．20．（2022?天津）52張撲克牌，沒(méi)有大小王，無(wú)放回地抽取兩次，則兩次都抽到的概率為；已知第一次抽到的是，則第二次抽取的概率為．【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到的條件下，第二次抽到的概率．【解答】解：由題意，設(shè)第一次抽到的事件為，第二次抽到的事件為，則，（B），，故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．1.2解題模型1.古典概型概率的求法求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是先確定樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用古典概型的概率公式計(jì)算即可.常用的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定方法有列舉法、列表法、畫樹(shù)狀圖法、運(yùn)用排列組合知識(shí)計(jì)算.要注意在求解含有“至多”“至少”等類型的概率問(wèn)題時(shí)，從正面突破比較困難或比較煩瑣時(shí)，可考慮其反面，即其對(duì)立事件，然后應(yīng)用對(duì)立事件的性質(zhì)P(A)=1-P()求解.2.條件概率的求法(1)定義法：先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=;求P(B|A).(2)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n(A),再求事件AB包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n(AB),從而求得P(B|A)=(3)縮樣法：去掉事件A包含的樣本點(diǎn)，在剩余的樣本點(diǎn)構(gòu)成的樣本空間中研究事件B包含的樣本點(diǎn)，用古典概型概率公式求解.3全概率公式的應(yīng)用全概率公式的意義在于，當(dāng)直接計(jì)算事件B發(fā)生的概率P(B)較為困難時(shí)，可以先找到樣本空間Ω的一個(gè)劃分，即Ω=A?A?…An;A?,A?,…,An,兩兩互斥，將A?,A?,…,An,看成是導(dǎo)致B發(fā)生的一組原因，這樣事件B就被分解成了n個(gè)部分，分別計(jì)算P(B|A?),P(B|A?),…,P(B|An),再利用全概率公式求解.運(yùn)用全概率公式計(jì)算事件B發(fā)生的概率P(B)時(shí)，一般步驟如下：(1)求劃分后的每個(gè)小事件的概率，即P(Ai),i=1,2,…,n;(2)求每個(gè)小事件發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，即P(B|Ai),i=1,2,…,n;(3)利用全概率公式計(jì)算P(B),即P(B)=P(B|Ai).1.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹┮唬诺涓判图捌涓怕视?jì)算公式（共19小題）1．（2023?泉州模擬）目前，國(guó)際上常用身體質(zhì)量指數(shù)來(lái)衡量人體胖瘦程度以及是否健康．某公司對(duì)員工的值調(diào)查結(jié)果顯示，男員工中，肥胖者的占比為；女員工中，肥胖者的占比為，已知公司男、女員工的人數(shù)比例為，若從該公司中任選一名肥胖的員工，則該員工為男性的概率為A． B． C． D．【分析】先求出任選一名員工為肥胖者的概率和肥胖者員工為男性的概率，再根據(jù)條件概率計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)公司男、女員工的人數(shù)分別為和，則男員工中，肥胖者有人，女員工中，肥胖者有人，設(shè)任選一名員工為肥胖者為事件，肥胖者為男性為事件，則，，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了條件概率的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023?廈門模擬）17世紀(jì)中葉，人們認(rèn)為同時(shí)擲兩枚骰子時(shí)，若不給兩枚骰子標(biāo)記號(hào)，兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和為6或7的可能結(jié)果數(shù)相同，則出現(xiàn)的概率就應(yīng)該相同．然而有人發(fā)現(xiàn)，多次的試驗(yàn)結(jié)果和人們的預(yù)想不一致，這個(gè)問(wèn)題最終被伽利略解決．則A．當(dāng)不給兩枚骰子標(biāo)記號(hào)時(shí)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為6的結(jié)果有5種 B．當(dāng)給兩枚骰子標(biāo)記號(hào)時(shí)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為7的結(jié)果有3種 C．出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為7的概率為 D．出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為6的概率比出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為7的概率更大【分析】根據(jù)古典概型的方法，將所有滿足條件的情況列出再分析即可．【解答】解：對(duì)，當(dāng)不給兩枚骰子標(biāo)記號(hào)時(shí)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為6的結(jié)果有，，共三種情況，故錯(cuò)誤；對(duì)，當(dāng)給兩枚骰子標(biāo)記號(hào)時(shí)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為7的結(jié)果有，，，，，共6種情況，故錯(cuò)誤；對(duì)，由，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為7的情況共6種，投擲兩枚骰子所有可能的情況有種，故出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為7的概率為，故正確；對(duì)，當(dāng)給兩枚骰子標(biāo)記號(hào)時(shí)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為6的結(jié)果有，，，，共5種情況，故出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為7的概率為，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?福州模擬）為培養(yǎng)學(xué)生“愛(ài)讀書、讀好書、普讀書”的良好習(xí)慣，某校創(chuàng)建了人文社科類、文學(xué)類、自然科學(xué)類三個(gè)讀書社團(tuán)．甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)社團(tuán)，每位同學(xué)參加各個(gè)社團(tuán)的可能性相同，則這兩位同學(xué)恰好參加同一個(gè)社團(tuán)的概率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合古典概型及其概率計(jì)算公式，分別求出所有可能性的種數(shù)以及都參加同一社團(tuán)的種數(shù)，即可求解．【解答】解：甲、乙兩位同學(xué)參加三個(gè)社團(tuán)共有種可能，其中參加同一個(gè)社團(tuán)有3種，故這兩位同學(xué)恰好參加同一個(gè)社團(tuán)的概率為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?莆田模擬）某醫(yī)用口罩生產(chǎn)廠家生產(chǎn)醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩三種產(chǎn)品，三種產(chǎn)品的生產(chǎn)比例如圖所示，且三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為，，．若從該廠生產(chǎn)的口罩中任選一個(gè)，則選到綁帶式口罩的概率為A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77【分析】根據(jù)全概率公式進(jìn)行分析求解即可．【解答】解：由圖可知醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩的占比分別為，，，記事件，，分別表示選到醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩，則，且，，兩兩互斥，所以（A），（B），（C），又三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為，，，記事件為“選到綁帶式口罩”，則，，，所以由全概率公式可得選到綁帶式口罩的概率為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全概率公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（2023?南平模擬）某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線均生產(chǎn)規(guī)格的芯片．現(xiàn)有25塊該規(guī)格的芯片，其中來(lái)自甲、乙、丙的芯片數(shù)量分別為5塊、10塊、10塊．若甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片的優(yōu)質(zhì)品率分別為0.9，0.8，0.7，則從這25塊芯片中隨機(jī)抽取一塊，該芯片為優(yōu)質(zhì)品的概率是A．0.78 B．0.64 C．0.58 D．0.48【分析】?jī)?yōu)質(zhì)品的總數(shù)為：，然后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求出該芯片為優(yōu)質(zhì)品的概率．【解答】解：該芯片為優(yōu)質(zhì)品的概率為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式，等可能事件的概率計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（2023?漳州模擬）漳州某校為加強(qiáng)校園安全管理，欲安排12名教師志愿者（含甲、乙、丙三名教師志愿者）在南門、北門、西門三個(gè)校門加強(qiáng)值班，每個(gè)校門隨機(jī)安排4名，則甲、乙、丙安排在同一個(gè)校門值班的概率為A． B． C． D．【分析】每個(gè)校門隨機(jī)安排4名，基本事件總數(shù)，其中甲、乙、丙安排在同一個(gè)校門值班包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出甲、乙、丙安排在同一個(gè)校門值班的概率．【解答】解：安排12名教師志愿者（含甲、乙、丙三名教師志愿者）在南門、北門、西門三個(gè)校門加強(qiáng)值班，每個(gè)校門隨機(jī)安排4名，基本事件總數(shù)，其中甲、乙、丙安排在同一個(gè)校門值班包含的基本事件個(gè)數(shù)，則甲、乙、丙安排在同一個(gè)校門值班的概率為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（2023?福建二模）新星隊(duì)在某一排球賽中要和其余6個(gè)隊(duì)中的每一隊(duì)都比賽一次，已知新星隊(duì)在每次比賽中勝、負(fù)、平的概率相同，那么新星隊(duì)在打完這六場(chǎng)比賽后打勝的次數(shù)多于打敗的次數(shù)的概率是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，設(shè)新星隊(duì)在6場(chǎng)比賽中打勝的次數(shù)等于打敗的次數(shù)為事件，求出（A），由事件之間的關(guān)系分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，新星隊(duì)需要比賽6場(chǎng)，設(shè)其中打勝的次數(shù)等于打敗的次數(shù)為事件，則（A），則新星隊(duì)在打完這六場(chǎng)比賽后打勝的次數(shù)多于打敗的次數(shù)的概率（A）．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，注意事件之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023?廈門模擬）廈門山海健康步道云海線全長(zhǎng)約23公里，起于東渡郵輪廣場(chǎng)，終于觀音山沙灘，沿線串聯(lián)貿(mào)鳥(niǎo)湖、狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山、湖邊水庫(kù)、五緣灣、虎仔山、觀音山等“八山三水”．市民甲計(jì)劃從“八山三水”這11個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游覽，則選取的景點(diǎn)中有“水”的概率為A． B． C． D．【分析】利用對(duì)立事件，結(jié)合古典概型公式，即可求解．【解答】解：11個(gè)景點(diǎn)隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游覽，共有9種情況，選取景點(diǎn)中有“水”的對(duì)立事件是在狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山中選取3個(gè)相鄰的，共有4種情況，則其概率，則11個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游覽，則選取的景點(diǎn)中有“水”的概率．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．9．（2023?漳州模擬）2022年10月22日，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)勝利閉幕．某班舉行了以“禮贊二十大、奮進(jìn)新征程”為主題的聯(lián)歡晚會(huì)，原定的5個(gè)學(xué)生節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又臨時(shí)增加了兩個(gè)教師節(jié)目，如果將這兩個(gè)教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，則這兩個(gè)教師節(jié)目相鄰的概率為A． B． C． D．【分析】先插入第一個(gè)節(jié)目，再插入第二個(gè)節(jié)目，再按照分步乘法計(jì)數(shù)原理分別計(jì)算插入的情況數(shù)量及這兩個(gè)教師節(jié)目恰好相鄰的情況數(shù)量，再應(yīng)用古典概率公式求概率即可．【解答】解：由題意可知，先將第一個(gè)教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，有6種插入法，再將第二個(gè)教師節(jié)目插入到這6個(gè)節(jié)目中，有7種插入法，故將這兩個(gè)教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，共有（種情況，其中這兩個(gè)教師節(jié)目恰好相鄰的情況有（種，所以所求概率為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．10．（2022?三明模擬）某校為落實(shí)“雙減”政策．在課后服務(wù)時(shí)間開(kāi)展了豐富多彩的體育興趣小組活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)擬參加籃球、足球、乒乓球、羽毛球四項(xiàng)活動(dòng)，由于受個(gè)人精力和時(shí)間限制，每人只能等可能的選擇參加其中一項(xiàng)活動(dòng)，則恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為A． B． C． D．【分析】首先分析得到四名同學(xué)總共的選擇為個(gè)選擇，然后分析恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的情況為，則剩下兩名同學(xué)不能再選擇同一項(xiàng)活動(dòng)，他們的選擇情況為，然后進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：每人只能等可能的選擇參加其中一項(xiàng)活動(dòng)，且可以參加相同的項(xiàng)目，四名同學(xué)總共的選擇為個(gè)選擇，恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的情況為，剩下兩名同學(xué)的選擇有種，恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型及其概率的計(jì)算公式，解題的關(guān)鍵是能用排列組合的知識(shí)將滿足條件的選擇方案數(shù)計(jì)算出來(lái)．11．（2021?漳州模擬）某校甲、乙、丙三位同學(xué)報(bào)名參加，，，四所高校的強(qiáng)基計(jì)劃考試，每所高校報(bào)名人數(shù)不限，因?yàn)樗乃咝５目荚嚂r(shí)間相同，所以甲、乙、丙只能隨機(jī)各自報(bào)考其中一所高校，則恰有兩人報(bào)考同一所高校的概率為A． B． C． D．【分析】基本事件總數(shù)，恰有兩人報(bào)考同一所高校包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出恰有兩人報(bào)考同一所高校的概率．【解答】解：某校甲、乙、丙三位同學(xué)報(bào)名參加，，，四所高校的強(qiáng)基計(jì)劃考試，甲、乙、丙只能隨機(jī)各自報(bào)考其中一所高校，基本事件總數(shù)，恰有兩人報(bào)考同一所高校包含的基本事件個(gè)數(shù)，則恰有兩人報(bào)考同一所高校的概率為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．12．（2021?莆田二模）甲、乙兩位同學(xué)到莆田市湄洲島當(dāng)志愿者，他們同時(shí)從“媽祖祖廟”站上車，乘坐開(kāi)往“黃金沙灘“站方向的3路公交車（線路圖如圖所示）．甲將在“供水公司”站之前的任意每一站下車，乙將在“鵝尾神化石”站之前的任意一站下車．假設(shè)每人自“管委會(huì)”站開(kāi)始在每一站點(diǎn)下車是等可能的，則甲比乙后下車的概率為A． B． C． D．【分析】先求出基本事件總數(shù)，再分類討論乙的下車情況，由此能求出甲比乙后下車的概率．【解答】解：甲、乙下車的所有可能情況有：，若乙在管委會(huì)站下車，則甲在興海池至北埭（東環(huán)）站任意一站下車，共有7種可能；若乙在地稅分局站下車，則甲在興海池至北埭（東環(huán)）站任意一站下車，共有6種可能；乙在管委會(huì)站下車，則甲在興海池至北埭（東環(huán)）站任意一站下車，共有7種可能；蓮池沙灘站下車，則甲在興海池至北埭（東環(huán)）站下車，共有1種可能．甲比乙后下車的概率為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．13．（2023?福建模擬）5個(gè)人站成一排，小王不站兩端的概率為．【分析】利用排列和古典概型的知識(shí)求解即可．【解答】解：5個(gè)人站成一排共有種情況，5個(gè)人站成一排，小王不站兩端共有種情況，所以5個(gè)人站成一排，小王不站兩端的概率為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．14．（2022?莆田模擬）五一期間，廈門中學(xué)生助手的家庭（一共四個(gè)大人，三個(gè)小孩）一起去旅游，在某景點(diǎn)站成一排拍照留念，則小孩不站在兩端，且每個(gè)小孩左右兩邊都有大人的概率是．【分析】根據(jù)全排列求出7人的全排列，再利用插空法求出小孩不站在兩端，且每個(gè)小孩左右都有大人的排法種數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，7人全排列有種排法，利用插空法，其中小孩不站在兩端，且每個(gè)小孩左右都有大人的排法有種，故所求概率為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型概率計(jì)算公式，涉及插空法，考查學(xué)生歸納推理和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．15．（2022?龍巖模擬）某產(chǎn)品有5件正品和3件次品混在了一起（產(chǎn)品外觀上看不出有任何區(qū)別），現(xiàn)從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，則取出的3件產(chǎn)品中恰有1件是次品的概率為．【分析】利用古典概率模型及組合數(shù)公式求概率即可．【解答】解：由古典概率模型及組合數(shù)公式得，取出的3件產(chǎn)品中恰有1件是次品的概率為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概率模型及組合數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（2022?漳州模擬）古時(shí)候“五花”常指金菊花、木棉花、水仙花、火棘花、土牛花比喻的五種職業(yè)，“八門”則指巾、皮、彩、掛、平、團(tuán)、調(diào)、聊這八種職業(yè)，現(xiàn)從這13種職業(yè)中任取兩種職業(yè)，則這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五花”的概率是【分析】先求從這13種職業(yè)中任取兩種職業(yè)的方法數(shù)，再求這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五花”的方法數(shù)，利用古典概型求概率．【解答】解：從這13種職業(yè)中任取兩種職業(yè)，共有種，這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五花”，共有，故這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五花”的概率是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型的問(wèn)題，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)．17．（2022?莆田模擬）每年3月5日是“學(xué)雷鋒紀(jì)念日”，今年3月5日恰逢周六，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)計(jì)劃周六到，，，四個(gè)社區(qū)參加志愿服務(wù)，每人只去一個(gè)社區(qū)，則四位同學(xué)去的社區(qū)互不相同的概率是．【分析】先求出甲、乙、丙、丁四位同學(xué)計(jì)劃周六到，，，四個(gè)社區(qū)參加志愿服務(wù)，總的情況有種；要求每人只去一個(gè)社區(qū)，有種情況．利用古典概率計(jì)算公式即可得出結(jié)論．【解答】解：甲、乙、丙、丁四位同學(xué)計(jì)劃周六到，，，四個(gè)社區(qū)參加志愿服務(wù)，共有種情況；要求每人只去一個(gè)社區(qū)，則有種情況．則四位同學(xué)去的社區(qū)互不相同的概率．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概率的計(jì)算公式、排列數(shù)的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（2021?龍巖模擬）有六個(gè)從左到右并排放置的盒子，現(xiàn)將若干個(gè)只有顏色不同的黑球、白球隨機(jī)放入這六個(gè)盒子（每個(gè)盒子只能放入一個(gè)球，則事件“從左往右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)盒子，總有黑球個(gè)數(shù)不少于白球個(gè)數(shù)”發(fā)生的概率為．【分析】求出基本事件總數(shù)，用列舉法求出事件包含的基本事件數(shù)，代入古典概型公式即可．【解答】解：設(shè)總有黑球個(gè)數(shù)不少于白球個(gè)數(shù)為事件，基本事件總數(shù)為，事件包含以下事件，共20種，①6黑有1種：黑黑黑黑黑黑，②5黑1白有5種：黑黑黑黑黑白，黑黑黑黑白黑，黑黑黑白黑黑，黑黑白黑黑黑，黑白黑黑黑黑，③4黑2白有9種：黑黑黑黑白白，黑黑黑白黑白，黑黑黑白白黑，黑黑白白黑黑，黑黑白黑白黑，黑黑白黑黑白，黑白黑黑黑白，黑白黑黑白黑，黑白黑白黑黑，④3黑3白有5種：黑黑黑白白白，黑黑白黑白白，黑白黑黑白白，黑白黑白黑白，黑黑白白黑白，（A）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型的求法，利用列舉法是關(guān)鍵，屬于中檔題．19．（2021?漳州一模）2020年新冠肺炎肆虐，全國(guó)各地千千萬(wàn)萬(wàn)的醫(yī)護(hù)者成為“最美逆行者”，醫(yī)藥科研工作者積極研制有效抗疫藥物，中醫(yī)藥通過(guò)臨床篩選出的有效方劑“三藥三方”“三藥”是指金花清感顆粒、連花清瘟顆粒（膠囊）和血必凈注射液；“三方”是指清肺排毒湯、化濕敗毒方和宜肺敗毒方）發(fā)揮了重要的作用．甲因個(gè)人原因不能選用血必凈注射液，甲、乙兩名患者各自獨(dú)立自主的選擇一藥一方進(jìn)行治療，則兩人選取藥方完全不同的概率是．【分析】將三藥分別記為，，三方分別記為，，，選擇一藥一方的基本事件共有9個(gè)組合，求出兩名患者選擇藥方完全不同的情況的種數(shù)和兩名患者可選擇的藥方的種數(shù)，由此能求出兩人選取藥方完全不同的概率．【解答】解：將三藥分別記為，，三方分別記為，，，選擇一藥一方的基本事件如表所示，共有9個(gè)組合，，，，，，，，，，則兩名患者選擇藥方完全不同的情況有（種，兩名患者可選擇的藥方共有（種，所以兩人選取藥方完全不同的概率是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)性考查落實(shí)，試題以抗疫中藥的搭配為背景，考查古典概型，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和數(shù)據(jù)處理能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．二．列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率（共2小題）20．（2023?龍巖模擬）已知集合，1，2，3，5，6，，從集合中任取2個(gè)數(shù)字，則它們之和大于7的概率為A． B． C． D．【分析】利用古典概型計(jì)算即可．【解答】解：任取兩數(shù)大于7的組合有、、、、、、、、、十種情況，故概率為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．21．（2021?莆田模擬）在三棱柱中，為側(cè)棱的中點(diǎn)，從該三棱柱的九條棱中隨機(jī)選取兩條，則這兩條棱所在直線至少有一條與直線異面的概率是A． B． C． D．【分析】該三棱柱的九條棱中與異面的棱有4條，從該三棱柱的九條棱中隨機(jī)選取兩條，基本事件總數(shù)，這兩條棱所在直線至少有一條與直線異面包含的基本事件個(gè)數(shù)為，由此能求出這兩條棱所在直線至少有一條與直線異面的概率．【解答】解：在三棱柱中，為側(cè)棱的中點(diǎn)，該三棱柱的九條棱中與異面的棱有4條，從該三棱柱的九條棱中隨機(jī)選取兩條，基本事件總數(shù)，這兩條棱所在直線至少有一條與直線異面包含的基本事件個(gè)數(shù)為：，則這兩條棱所在直線至少有一條與直線異面的概率．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．三．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式（共2小題）22．（2023?莆田模擬）某地區(qū)一個(gè)家庭中孩子個(gè)數(shù)的情況如表．1230每個(gè)孩子的性別是男是女的概率均為，且相互獨(dú)立，則一個(gè)家庭中男孩比女孩多的概率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意分析男孩比女孩多的可能情況，結(jié)合互斥事件以及獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解．【解答】解：一個(gè)家庭中男孩比女孩多有三種可能：“1個(gè)小孩，且為男孩”、“有2個(gè)小孩，且為男孩”、“3個(gè)小孩，3個(gè)男孩或2個(gè)男孩”，所以概率．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件以及獨(dú)立事件概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．23．（2023?泉州模擬）某運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率均相等，若三次射擊中，至少有一次擊中目標(biāo)的概率為，則射擊一次，擊中目標(biāo)的概率為A． B． C． D．【分析】可設(shè)射擊一次，擊中目標(biāo)的概率為，則得出三次都擊不中目標(biāo)的概率是，從而可得出，然后解出的值即可．【解答】解：“至少一次擊中目標(biāo)”的對(duì)立事件是“三次都擊不中目標(biāo)”，設(shè)射擊一次，擊中目標(biāo)的概率為，則：，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了，，獨(dú)立時(shí)，（A）（B），考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．四．條件概率與獨(dú)立事件（共3小題）24．（2023?龍巖模擬）算盤是我國(guó)一類重要的計(jì)算工具．如圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左前四位分別表示個(gè)位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（簡(jiǎn)稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡(jiǎn)稱下珠）代表1，即五粒下珠的代表數(shù)值等于同組一粒上珠的代表數(shù)值，例如，個(gè)位撥動(dòng)一粒上珠至梁上，十位未撥動(dòng)，百位撥動(dòng)一粒下珠至梁上，表示數(shù)字105，現(xiàn)將算盤的千位撥動(dòng)一粒珠子至梁上，個(gè)位、十位、百位至多撥動(dòng)一粒珠子至梁上，其它位置珠子不撥動(dòng)．設(shè)事件“表示的四位數(shù)為偶數(shù)”，事件“表示的四位數(shù)大于5050”，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，列舉出所有基本事件，進(jìn)而求出（A），，再利用條件概率公式求解即可．【解答】解：算盤的千位撥動(dòng)一粒珠子至梁上，個(gè)位、十位、百位至多撥動(dòng)一粒珠子至梁上，其它位置珠子不撥動(dòng)．基本事件為：1000，1001，1005，1010，1050，1100，1500，5000，5001，5005，5010，5050，5100，5500共14種，事件“表示的四位數(shù)為偶數(shù)”，則（A），事件“表示的四位數(shù)大于5050”，則，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了條件概率的概率公式，屬于基礎(chǔ)題25．（2022?福州模擬）一個(gè)籠子里關(guān)著10只貓，其中有4只黑貓、6只白貓．把籠子打開(kāi)一個(gè)小口，使得每次只能鉆出1只貓．貓爭(zhēng)先恐后地往外鉆．如果10只貓都鉆出了籠子，事件表示“第只出籠的貓是黑貓”，，2，，10，則A． B． C． D．【分析】10只貓先后出籠的順序?yàn)?，第只出籠的貓是貓，即可先從4只黑貓中選出已知，而其余9個(gè)位置的貓們可任意排列，即可得到，對(duì)于，事件表示第1，2只出籠的貓都是黑貓，即可求解判斷；對(duì)于，事件表示第1只或第2只出籠的貓是黑貓，則根據(jù)，即可求解判斷；對(duì)于，結(jié)合條件概率公式求解．【解答】解：由題意得，對(duì)于，事件表示第1，2只出籠的貓都是黑貓，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于，事件表示第1只或第2只出籠的貓是黑貓，則，故正確；對(duì)于，，故正確；對(duì)于，事件表示第2，10只出籠的貓是黑貓，則，，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查古典概型、條件概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．26．（2023?福州模擬）利率變化是影響某金融產(chǎn)品價(jià)格的重要因素經(jīng)分析師分析，最近利率下調(diào)的概率為，利率不變的概率為．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在利率下調(diào)的情況下該金融產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為，在利率不變的情況下該金融產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為．則該金融產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為0.64．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合全概率公式，即可求解．【解答】解：由題意可知，該金融產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為．故答案為：0.64．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全概率公式，屬于基礎(chǔ)題．三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）：一．互斥事件的概率加法公式（共1小題）1．（2023?鯉城區(qū)校級(jí)模擬）甲箱中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球和2個(gè)黑球．現(xiàn)從甲箱中隨機(jī)取兩個(gè)球放入乙箱，然后再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)球．假