專題5.4 作軸對稱圖形-將軍飲馬問題（專項練習）-2020-2021學年七年級數(shù)學下冊基礎知識專項講練（湘教版）

專題5.4作軸對稱圖形-將軍飲馬問題（專項練習）一、單選題1．如圖，點A，B在直線l的同側，若要用尺規(guī)在直線l上確定一點P，使得AP+BP最短，則下列作圖正確的是（）A．B．C． D．2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，點D為AB上一點，DE∥CB，交AC于點E，點P是EC上的一個動點，要使PD+PB最小，則點P應該滿足（）PB＝PD B．PC＝PE C．∠BPD＝90° D．∠CPB＝∠DPE3．四邊形中，，，在、上分別找一點、，使三角形周長最小時，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．4．已知：如圖，內一點，，分別是關于、的對稱點，交于，交于，若，則的周長是（）A． B． C． D．5．如圖，點P是∠AOB內任意一點，∠AOB＝30°，OP＝8，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，則△PMN周長的最小值為（）A．5 B．6 C．8 D．106．如圖，點P為∠AOB內一點，分別作出點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1，P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，則△PMN的周長為（）A．4 B．5 C．6 D．77．如圖，∠AOB＝30°，OC為∠AOB內部一條射線，點P為射線OC上一點，OP＝6，點M、N分別為OA、OB邊上動點，則△MNP周長的最小值為（）A．3 B．6 C． D．8．如圖所示，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點，AD是BC邊上的中線，P是AD上的動點，若AD=3，則EP＋CP的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．59．如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP=5cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°10．如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝50°,∠B＝∠D＝90°，點E、F分別是線段BC、DC上的的動點．當三角形AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．60° D．50°二、解答題11．如圖，∠XOY內有一點P，在射線OX上找出一點M，在射線OY上找出一點N，使PM＋MN＋NP最短.12．如圖，點是內任意一點，，，點、分別是射線、上的動點，求周長的最小值．13．如圖，點P在∠AOB內，點M、N分別是P點關于OA、OB的對稱點，且MN交OA、OB相交于點E，若△PEF的周長為20，求MN的長．14．有兩棵樹位置如圖，樹腳分別為A，B.地上有一只昆蟲沿A—B的路徑在地面上爬行．小樹頂D處一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂C處，問小鳥飛至AB之間何處時，飛行距離最短，在圖中畫出該點的位置．15．如圖，∠AOB＝30°，角內有一點P，PO＝10cm，兩邊上各有一點Q，R(均不同于點O)，則△PQR的周長的最小值是多少？16．公園內兩條小河MO，NO在O處匯合，兩河形成的半島上有一處景點P(如圖所示)．現(xiàn)計劃在兩條小河上各建一座小橋Q和R，并在半島上修三段小路，連通兩座小橋與景點，這兩座小橋應建在何處才能使修路費用最少？請說明理由．17．如圖,要在公路MN旁修建一個貨物中轉站,分別向A,B兩個開發(fā)區(qū)運貨.（1）若要求貨物中轉站到A,B兩個開發(fā)區(qū)的距離相等,那么貨物中轉站應建在哪里?（2）若要求貨物中轉站到A，B兩個開發(fā)區(qū)的距離和最小，那么貨物中轉站應建在哪里？18．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M為邊BC上的點，連結AM.如果將△ABM沿直線AM翻折后，點B恰好落在邊AC的中點處，求點M到AC的距離.19．如下圖所示.(1)作出△ABC關于y軸對稱的圖形；(2)在x軸上確定一點P,使得PA+PC最小.20．在邊長為1的小正方形組成的10×10網(wǎng)格中（我們把組成網(wǎng)格的小正方形的頂點稱為格點），△ABC的三個頂點都在格點上，請利用網(wǎng)格線和直尺畫圖．（1）在圖中畫出△ABC關于直線l成軸對稱的△A′B′C′；（2）在圖中找一點O，使OA＝OB＝OC；（3）在直線1上找一點P，使PA+PB的長最短．21．如圖所示，，點為內一點，，點分別在上，求周長的最小值．22．如圖，已知∠AOB，點P是∠AOB內部的一個定點，點E、F分別是OA、OB上的動點．(1)要使得△PEF的周長最小，試在圖上確定點E、F的位置．(2)若OP＝4，要使得△PEF的周長的最小值為4，則∠AOB＝________．23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N點是AB上的一定點，M是AD上一動點，要使MB＋MN最小，請找點M的位置．24．如圖，在△ABC的一邊AB上有一點P.(1)能否在另外兩邊AC和BC上各找一點M、N，使得△PMN的周長最短？若能，請畫出點M、N的位置，若不能，請說明理由；(2)若∠ACB＝52°，在(1)的條件下，求出∠MPN的度數(shù)．三、填空題25．如圖，點P關于OA，OB的對稱點分別是P1，P2，P1P2分別交OA，OB于點C，D，P1P2=6cm，則△PCD的周長為___________．26．如圖，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，E、F分別為AC、AD上兩動點，連接CF、EF，則CF+EF的最小值為____．27．如圖所示：點P為∠AOB內一點，分別作出P點關于OA、OB的對稱點P1，P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，△PMN的周長為15cm，P1P2＝_____．28．如圖，將長方形紙片ABCD對折后再展開，得到折痕EF，M是BC上一點，沿著AM再次折疊紙片，使得點B恰好落在折痕EF上的點B′處，連接AB′、BB′．判斷△AB′B的形狀為；若P為線段EF上一動點，當PB+PM最小時，請描述點P的位置為．29．如圖，點P為∠AOB內一點，分別作出點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，則△PMN的周長為______．30．如圖所示,∠A0B=420，點P為∠A0B內一點，分別作出P點關于OA、OB的對稱點P1，P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，則△PMN的周長為________，∠MPN________.31．如圖，在Rt中，AC⊥BC，若AC＝7，BC＝24，AB＝25，將Rt折疊，使得點C恰好落在AB邊的點E處，折痕為AD，點P為AD上一動點，則的周長最小值為___________．32．如圖，是內一定點，點，分別在邊，上運動，若，，則的周長的最小值為___________.33．如圖，△ABC中，AC＝10，AB＝12，△ABC的面積為48，AD平分∠BAC，F(xiàn)，E分別為AC，AD上兩動點，連接CE，EF，則CE+EF的最小值為______．34．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，AB的垂直平分線交AB于點M，交AC于點N，在直線MN上存在一點P，使P、B、C三點構成的△PBC的周長最小，則△PBC的周長最小值為______．35．如圖，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，點M為OB上一定點，P為OC上的一動點，N為OB上一動點，當PM＋PN最小時，則∠PMO的度數(shù)為___________．36．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD是高，M，N分別是AD，AC上的動點，△ABC的面積是15，則MN+MC的最小值是_____．37．已知，∠ABC=48°，P是∠ABC內一定點，D、E分別是射線BA、BC上的點，當△PDE的周長最小時，∠DPE的度數(shù)是__________.38．如圖，鈍角三角形△ABC的面積是15，最長邊AB＝10，BD平分∠ABC，點M，N分別是BD，BC上的動點，則CM+MN的最小值為_____39．如圖，點P是∠AOB內任意一點，OP=4cm，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，∠AOB=30°則△PMN周長的最小值=________.40．如圖，△ABD是邊長為3的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是邊AD，AB上的動點，若∠ADC=∠ABC=90°，則△CEF周長的最小值為______．41．如圖，鈍角三角形ABC的面積為30，最長邊AB=20，BD平分∠ABC，點M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是_____________．42．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，CB=3，點D是BC邊上的點，將△ADC沿直線AD翻折，使點C落在AB邊上的點E處，若點P是直線AD上的動點，則△PEB的周長的最小值是________．43．如圖，菱形ABCD的邊長為6，M、N分別是邊BC、CD的上點，且MC＝2MB，ND＝2NC．點P是對角線上BD上一點，則PM＋PN的最小值是_____．

參考答案1．C【解析】根據(jù)對稱的性質以及兩點之間線段最短可知選項C是正確的．故選C．2．D【分析】如圖，作點P關于直線AC的對稱點D′，連接BD′交AC于P，此時DP+PB的值最?。猓喝鐖D，作點D關于直線AC的對稱點D′，連接BD′交AC于P，此時DP+PB的值最?。蓪ΨQ性可知：∠APD＝∠APD′，∵∠CPB＝∠APD′，∴∠CPB＝∠DPE，∴DP+PB最小時，點P應該滿足∠CPB＝∠DPE，故選：D．【點睛】本題考查軸對稱最短問題、平行線的性質等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．3．C【分析】延長AB到A′使得BA′＝AB，延長AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點M、N，此時△AMN周長最小，推出∠AMN＋∠ANM＝2（∠A′＋∠A″）即可解決．解：延長AB到A′使得BA′＝AB，延長AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點M、N，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′關于BC對稱，A、A″關于CD對稱，此時△AMN的周長最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′＋∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″＋∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN＋∠ANM＝2（∠A′＋∠A″），∵∠BAD＝130°，∴∠A′＋∠A″＝180°?∠BAD＝50°∴∠AMN＋∠ANM＝2×50°＝100°．故選C．【點睛】本題考查對稱的性質、線段垂直平分線的性質、三角形內角和定理等知識，利用對稱作輔助線是解決最短的關鍵．4．D【解析】由P與P1關于OA對稱，得到OA為線段PP1的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得MP=MP1，同理可得NP=NP2，由P1P2=P1M+MN+NP2=6，等量代換可求得三角形PMN的周長．解：∵P與P1關于OA對稱，∴OA為線段PP1的垂直平分線，∴MP=MP1，同理，P與P2關于OB對稱，∴OB為線段PP2的垂直平分線，∴NP=NP2，∴P1P2=P1M+MN+NP2=MP+MN+NP=6cm，則△PMN的周長為6cm．故選D【點睛】此題考查了軸對稱的性質，以及線段垂直平分線的性質，利用了轉化的思想，熟練掌握線段垂直平分線性質是解本題的關鍵．5．C【解析】設點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，當點M、N在CD上時，△PMN的周長最?。猓悍謩e作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．∵點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；∵點P關于OB的對稱點為D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD＝OC＝OD＝8．∴△PMN的周長的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8，故選：C．【點睛】此題考查軸對稱-最短路線問題，解題關鍵在于作輔助線6．C【解析】試題分析：根據(jù)對稱圖形的性質可得：PM=M，PN=N，則△PMN的周長=PM+MN+PN=M+MN+N==6．考點：對稱的性質7．B【分析】作點P關于OA的對稱點P1，點P關于OB的對稱點P2，連結P1P2，與OA的交點即為點M，與OB的交點即為點N，則此時M、N符合題意，求出線段P1P2的長即可.解：作點P關于OA的對稱點P1，點P關于OB的對稱點P2，連結P1P2，與0A的交點即為點M，與OB的交點即為點N，△MNP的最小周長為P．M＋MN＋PN=P1M＋MN＋P2N=P1P2，即為線段P1P2的長，連結OP1、OP2，則OP1=0P2=6，又∵∠P1OP2=2∠AOB=60。，∴△OP1P2是等邊三角形，∴P1P2=OP1=6，即△MNP的周長的最小值是6．故選：B．【點睛】本題考查等邊三角形的性質和的判定以及軸對稱-最短路線問題的應用，解題的關鍵是確定M、N的位置．8．B【解析】由等邊三角形的性質得，點B，C關于AD對稱，連接BE交AD于點P，則EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.故選B.點睛：本題主要考查了等邊三角形的性質和軸對稱的性質，求一條定直線上的一個動點到定直線的同旁的兩個定點的距離的最小值，常用的方法是，①確定兩個定點中的一個關于定直線的對稱點；②連接另一個定點與對稱點，與定直線的交點就是兩線段和的值最小時，動點的位置.9．B【解析】分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點P關于OA的對稱點為D，關于OB的對稱點為C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵點P關于OB的對稱點為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周長的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故選B．考點：1.軸對稱的性質；2.最短路線問題；3.等邊三角形的判定與性質.10．A【解析】試題分析：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，∵∠C=50°，∴∠DAB=130°，∴∠HAA′=50°，∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=50°，∴∠EAF=130°﹣50°=80°，故選A．考點：軸對稱-最短路線問題．11．見解析解：如圖所示，分別以直線OX、OY為對稱軸，作點P的對稱點與，連接，分別交OX于點M，交OY于點N，則PM+MN+NP最短．12．的周長最小，最小值為8．【分析】設點P關于OA的對稱點為D，關于OB的對稱點為E，當點M、N在DE上時，△PMN的周長最?。猓喝缃鈭D，分別作點關于、的對稱點、，連接，分別交、于點，連接、、、．點關于的對稱點為，，，．。點關于的對稱點為，，，．，，是等邊三角形．．的周長為．此時的周長最小，最小值為8．【點睛】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，熟知兩點之間線段最短是解答此題的關鍵．13．20cm【分析】根據(jù)軸對稱的性質可知：EP=EM，PF=FN，所以線段MN的長=△PEF的周長，再根據(jù)△PEF的周長為20，即可得出MN的長．解：∵點M是P點關于OA的對稱點，∴EP=EM，∵N是P點關于OB的對稱點，∴PF=FN，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周長，∵△PEF的周長為20，∴MN=20cm.【點睛】此題主要考查了軸對稱的性質：對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等．14．見解析【解析】試題分析：根據(jù)兩點之間線段最短，做出點D關于AB的對稱點D′，連接CD′與AB的交點即為所求的點.試題解析：如圖，作D關于AB的對稱點D′，連接CD′交AB于點E，則點E就是所求的點．15．10cm【解析】試題分析：設點P關于OA的對稱點是E，關于OB的對稱點是F，當點R、Q在EF上時，△PQR的周長=PQ+QR+PR=EF，此時周長最小．試題解析：作出點P關于OA的對稱點E，作出點P關于OB的對稱點F，連接EF，交OA于Q，交OB于R．連接PQ，PR，PE，PF，OE，OF，則PQ=EQ，PR=RF，則△PQR的周長=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF，∵∠AOP=∠AOE，∠POB=∠FOB，∠AOB=∠AOP+∠POB=30°，∴∠EOF=90°，又∵OE=OP，OF=OP，∴OE=OF=10，即△EOF是等邊三角形，∴EF=OP=10，所以△PQR的周長的最小值為10．16．見解析【解析】試題分析：可過點P分別作關于OM，ON的對稱點P′，P″，連接P′P″，與OM、ON的交點即為滿足條件的建橋地點.試題解析：如圖，作P關于OM的對稱點P′，作P關于ON的對稱點P″，連接P′P″，分別交MO，NO于Q，R，連接PQ，PR，則P′Q＝PQ，PR＝P″R，則Q，R就是小橋所在的位置．理由：在OM上任取一個異于Q的點Q′，在ON上任取一個異于R的點R′，連接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，則PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周長最小，故Q，R就是我們所求的小橋的位置．【點睛】本題考查了最短徑問題，主要就是要掌握軸對稱在生活中的實際應用，解此類題的關鍵就是要作出對稱點，然后根據(jù)兩點之間線段最短進行連接，從而得到滿足條件的點.17．答案見解析【解析】要使貨站到兩個開發(fā)區(qū)的距離相等，可連接線段中垂線與的交點即為貨物中轉站的位置；

由于兩點之間線段最短，所以過點作關于對稱點，連接，與的交點即為貨物中轉站的位置．試題解析：(1)如圖所示：點即為所求.(2)如圖所示：點即為所求.18．點M到AC的距離為2【解析】【分析】利用圖形翻折前后圖形不發(fā)生變化，從而得出AB=AB′=3，DM=MN，再利用三角形面積分割前后不發(fā)生變化，求出點M到AC的距離即可．【詳解】∵△ABM沿直線AM翻折后，點B恰好落在邊AC的中點處，假設這個點是B′，作MN⊥AC，MD⊥AB，垂足分別為N，D，又∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，∴AB=AB′=3，DM=MN，AB′=B′C=3，S△BAC=S△BAM+S△MAC，即×3×6=×MD×3+×6×MN，∴MD=2，所以點M到AC的距離是2．【點睛】本題考查了翻折變換(折疊問題)，發(fā)現(xiàn)DM=MN，以及AB=AB′=B′C=3，結合面積不變得出等式是解決問題的關鍵．19．（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結構找出點A、B、C關于y軸對稱的點A1、B1、C1，然后順次連接即可；（2）根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，找出點A關于x軸的對稱點A′的位置，然后連接A′B與x軸的交點即為點P解：(1)如圖所示，△ABC即為所求；(2)如圖所示，點P即為所求（有兩種做法：作A或C的對稱點均可）.【點睛】此題考查作圖-軸對稱變換，軸對稱-最短路線問題，掌握作圖法則是解題關鍵20．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格性質找出點A、點B、點C關于直線l的對稱點A′、B′、C′，順次連接即可點△A′B′C′；（2）根據(jù)網(wǎng)格性質，作AB和BC的垂直平分線，交于點O，則點O即為所求；（3）根據(jù)軸對稱性質及兩點之間線段最短，連接A'B，與直線l的交點P即為所求．【詳解】（1）如圖所示，△A′B′C′即為所求；（2）如圖所示，作AB和BC的垂直平分線，交于點O，則點O即為所求；（3）如圖所示，連接A'B，與直線l的交點P即為所求．【點睛】本題考查的是作圖-軸對稱變換，熟知軸對稱的性質及網(wǎng)格性質是解答此題的關鍵．21．周長的最小值為8【解析】【分析】作P關于OA、OB的對稱點，連結、，即可快速找到解題思路.解：如圖，作P關于OA、OB的對稱點，連結、，交OA、OB于M、N，此時周長最小，根據(jù)軸對稱性質可知，，，且，，，，為等邊三角形，即周長的最小值為8.【點睛】本題應用知識比較隱晦，分別考查了軸對稱圖形和等邊三角形，需要認真分析，充分聯(lián)系所學知識，方可正確解答.22．(1)作圖見解析.(2)30°試題分析：（1）分別作點P關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F.（2）由軸對稱的性質知OP=OC，OP=OD，且△PEF周長的最小值是CD，所以dqga4OCD是等邊三角形，而∠COD=2∠EOF，由此即可求解.試題解析：(1)如圖，作點P關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F.此時，△PEF的周長最?。?2)根據(jù)軸對稱的性質得，OC=OP=OD，∠COE=∠POE，∠DOF=∠POF，△PEF的周長的最小值=CD，因為OP=4，△PEF的周長的最小值為4，所以△OCD是等邊三角形.因為∠COE=∠POE，∠DOF=∠POF，所以∠PEF=∠COD=30°.23．作圖見解析.【解析】試題分析：因為AD垂直平分BC，所以點C是點B關于AD的對稱點，連接CN交AD于點M.試題解析：如圖，連接NC與AD的交點為M點．點M即為所求．24．(1)作圖見解析.(2)76°.【解析】試題分析：（1）分別作點P關于AC，BC的對稱點D，G，連接DG交AC、BC于點M、N.（2）由四邊形的內角和求∠D+∠G=∠C，由軸對稱的性質可得，∠D=∠DPM，∠G=∠GPN，即可求解.試題解析：(1)①作出點P關于AC、BC的對稱點D、G.②連接DG交AC、BC于點M、N.點M、N即為所求．(2)設PD交AC于E，PG交BC于F，∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C＋∠EPF＝180°.∵∠C＝52°，∴∠EPF＝128°.∵∠D＋∠G＋∠EPF＝180°，∴∠D＋∠G＝52°.由對稱可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN＋∠DPM＝52°，∴∠MPN＝128°－52°＝76°.25．6【解析】連接PC、PD∵點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，∴PC=P1C，PD=P2D∴△MNP的周長等于P1P2=6cm.點睛：本題主要考查了軸對稱的性質的應用，難度適中，屬于中檔題，解題的關鍵熟記軸對稱的性質：對應點的連線被對稱軸垂直平分；軸對稱圖形對應線段相等，對應角相等.26．【分析】作BM⊥AC于M，交AD于F，根據(jù)三線合一定理求出BD的長和AD⊥BC，根據(jù)三角形面積公式求出BM，根據(jù)對稱性質求出BF=CF，根據(jù)垂線段最短得出CF+EF≥BM，即可得出答案．解：作BM⊥AC于M，交AD于F，∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC邊上的中線，∴BD=DC=3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴B、C關于AD對稱，∴BF=CF，根據(jù)垂線段最短得出：CF+EF=BF+EF≥BF+FM=BM，即CF+EF≥BM，∵S△ABC=×BC×AD=×AC×BM，∴BM=，即CF+EF的最小值是，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，解題的關鍵是畫出符合條件的圖形.27．15cm【解析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質可得PM=P1M，PN=P2N，然后求出△PMN的周長=P1P2．解：∵P點關于OA、OB的對稱點P1、P2，

∴PM=P1M，PN=P2N，

∴△PMN的周長=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，

∵△PMN的周長是15cm，

∴P1P2=15（cm）．

故答案為：15cm．【點睛】本題考查了軸對稱的性質，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等．28．等邊三角形，AM與EF的交點【分析】依據(jù)折疊的性質，即可得到AB=AB'=BB'，進而得出△ABB'是等邊三角形，依據(jù)當A，P，M在同一直線上時，PB+PM最小值為AM的長，即可得到點P的位置為AM與EF的交點．解：由第一次折疊，可得EF垂直平分AB，∴AB′=BB′，由第二次折疊，可得AB=AB′，∴AB=AB′=BB′，∴△ABB′是等邊三角形；∵點B與點A關于EF對稱，∴AP=BP，∴PB+PM=AP+PM，∴當A，P，M在同一直線上時，PB+PM最小值為AM的長，∴點P的位置為AM與EF的交點.故答案為等邊三角形，AM與EF的交點.【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題）與矩形的性質，解題的關鍵是熟練的掌握翻折變換（折疊問題）與矩形的性質.29．6【解析】試題分析：根據(jù)軸對稱的性質可得PM=P1M，PN=P2N，然后求出△PMN的周長=P1P2．解：∵點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，∴PM=P1M，PN=P2N，∴△PMN的周長=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，∵P1P2=6，∴△PMN的周長=6．故答案為6．考點：軸對稱的性質．30．1596°【解析】【分析】P點關于OA的對稱是點P1，P點關于OB的對稱點P2，故有PM＝P1M，PN＝P2N．由此即可得到△PMN的周長．根據(jù)四邊形內角和為360°，可得出∠P1PP2的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質和三角形外角的性質可得出∠PNM+∠PMN的度數(shù)，再根據(jù)三角形內角和定理即可得出∠MPN的度數(shù)．解：∵P點關于OA的對稱是點P1，P點關于OB的對稱點P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，PP2⊥OB，PP1⊥OA，∴△PMN的周長為PM+PN+MN＝MN+P1M+P2N＝P1P2＝15，∠P1PP2=360°－90°－90°－42°=138°，∠P2=∠NPP2，∠P1=∠P1PM，∴∠PNM=2∠P2，∠PMN=2∠P1，∴∠PNM+∠PMN=2∠P1+2∠P2=2（180°－∠P1PP2）=84°，∴∠MPN=180°－（∠PNM+∠PMN）=180°－84°=96°．故答案為：15，96°．【點睛】本題考查了軸對稱的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形的外角的性質、三角形內角和定理．熟練掌握相關定理和性質是解題的關鍵．31．42【分析】連接CP，根據(jù)折疊的性質得到點C和點E關于AD對稱，可推出PC+PB的最小值即PE+PB最小，即當點P在點D的位置上時，的周長最小，計算出△BDE的周長即可.解：連接CP，由于折疊可得：點C和點E關于AD對稱，∴CP=EP，在△PEB中，BE固定不變，PE和PB隨點P的位置變化，∴當點P在點D的位置上時，PC+PB最小，即PE+PB最小，∵AC=7，BC＝24，AB＝25，∴AE=7，BE=18，∴PE+PB的最小值為CD+BD=BC=24，∴△PEB的周長最小值為PE+PB+BE=24+18=42.故答案為：42.【點睛】本題考查了折疊的性質，最短路徑問題，關鍵是求出P點的位置，題目比較好，難度適中．32．3【分析】如圖，作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．根據(jù)對稱的性質可以證得：△COD是等邊三角形，據(jù)此即可求解．解：如圖，作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．∵點P關于OA的對稱點為C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵點P關于OB的對稱點為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．【點睛】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，綜合運用了等邊三角形的知識．正確作出圖形，理解△PMN周長最小的條件是解題的關鍵．33．8【分析】根據(jù)題意畫出符合條件的圖形，作F關于AD的對稱點為M，作AB邊上的高CP，求出EM+EC=MC，根據(jù)垂線段最短得出EM+EC=MC≥PC，求出PC即可得出CE+EF的最小值．解：試題分析：作F關于AD的對稱點為M，作AB邊上的高CP，∵AD平分∠CAB，△ABC為銳角三角形，∴M必在AC上，∵F關于AD的對稱點為M，∴ME＝EF，∴EF＋EC＝EM＋EC，即EM＋EC＝MC≥PC（垂線段最短），∵△ABC的面積是48，AB＝12，∴×12×PC＝48，∴PC＝8，即CE＋EF的最小值為8．故答案為8．點睛：本題考查了最短路線問題，關鍵是畫出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．34．18cm【分析】根據(jù)軸對稱的性質，即可判定P就是N點，所以△PBC的周長最小值就是△NBC的周長.解：∵A、B關于直線MN對稱，∴連接AC與MN的交點即為所求的P點，此時P和N重合，

即△BNC的周長就是△PBC的周長最小值，

∴△PBC的周長最小值為BC+AC=8+10=18cm.故答案為：18cm.【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，軸對稱-最短距離，根據(jù)軸對稱的性質求出P點的位置是解答本題的關鍵.35．45°【分析】找到點M關于OC對稱點M′，過點M′作M′N⊥OB于點N，交OC于點P，則此時PM+PN的值最小，再根據(jù)角平分線的性質及三角形內角和即可得出答案．解：如圖，找到點M關于OC對稱點M′，過點M′作M′N⊥OB于點N，交OC于點P，則此時PM+PN的值最?。逷M=PM′，∴此時PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵點M與點M′關于OC對稱，OC平分∠AOB，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案為：45°．【點睛】本題考查了利用軸對稱的知識尋找最短路徑的知識，涉及到兩點之間線段最短、垂線段最短的知識，有一定難度，正確確定點P及點N的位置是關鍵．36．5【分析】首先過點C作CE⊥AB交AB于點E，交AD于點M，過點M作MN⊥AC于點N，由AD是∠BAC的平分線，由垂線段最短得出MN=ME，MC+MN=CE的長度，最后通過三角形面積公式即可求解.解：過點C作CE⊥AB交AB于點E,交AD于點M,過點M作MN⊥AC于點N,∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形∴AD是∠BAC的平分線∴MN=ME，則此時MC+MN有最小值，即CE的長度，【點睛】本題主要考查等腰三角形三線合一定理，三角形面積公式，垂線段最短，運用數(shù)形結合思想是解題關鍵.37．84°【解析】如圖作點P關于直線AB的對稱點F，作點P關于直線BC的對稱點G，連接FG交AB于D，交BC于E，則△PDE的周長最小．設∠ABP=∠ABF=x，∠CBP=∠CBG=y，則x+y=48°，∵BP=BF，∴∠BPF=∠BFP=（180°-2x）=90°-x．同法可得∠BPG=90°-y，∴∠FPG=180°-x-y=132°，∴∠BFP+∠BGP=132°，∵∠BFG+∠BGF=180°-96°=84°，∴∠PFG+∠PGF=132°-84°=48°，∵DF=DP，EP=EG，∴∠DFP=∠DPF，∠EGP=∠EPG，∴∠EDP=2∠DFP，∠DEP=2∠EGP，∴∠PDE+∠PED=96°，∴∠DPE=180°-96°=84°，故答案為：84°．38．3【分析】過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，過點M作MN⊥BC于N，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長，即為C