2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練（藝考生基礎(chǔ)版）二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布（解析版）

第08講二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布

(精講)

目錄

第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶

第二部分：典型例題剖析

題型一：二項分布及其應(yīng)用

題型二：超幾何分布及其應(yīng)用

題型三：正態(tài)分布及其應(yīng)用

角度1：正態(tài)分布的概率計算

角度2：正態(tài)分布的實際應(yīng)用

第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶

知識點一：伯努利試驗與二項分布

(1)"重伯努利試驗的定義

①我們把只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.

②將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行〃次所組成的隨機試驗稱為"重伯努利試驗.

(2)二項分布

一般地,在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為P(0<p<1),用X

表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為尸(X=Q=Cf//(l—p)j,左=1,2,3,,n.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作

XB(n,p).

知識點二：兩點分布與二項分布的均值、方差

若隨機變量X服從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=p(l-p).

若XB(n,p),IH!|E(X)=np,D(X)=np(l-p)

知識點三：超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有“件次品，從N件產(chǎn)品中隨機抽取〃件(不

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放回)，用X表示抽取的“件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為尸(X=Q=

k=m,m+l,m+2,

其中八,N,A/eN*,M<N,n<N,m=max{O,n-N+M},r=vnin{n,M}.

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

知識點四：正態(tài)分布

(1)正態(tài)分布定義：

1kN)

若隨機變量X的概率密度函數(shù)為“X)二一修丁刀「，(工￡凡其中〃￡R,b>0為參

c/2萬

數(shù))，稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為XN("d).

(2)正態(tài)曲線的特點

①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

②曲線是單峰的，它關(guān)于直線1=〃對稱；

③曲線在X=〃時達(dá)到峰值--7=；

(TA/2"

④當(dāng)X<〃時，曲線上升；當(dāng)%>〃時，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸

時，以X軸為漸近線，向它無限靠近./

⑤曲線與X軸之間的面積為1;

⑥〃決定曲線的位置和對稱性；

當(dāng)b一定時，曲線的對稱軸位置由〃確定；如下圖所示，曲線隨著〃的變化而沿X軸平移。

⑦b確定曲線的形狀；

當(dāng)〃一定時，曲線的形狀由b確定。b越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；b越

大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。

(3)正態(tài)分布的3b原則：正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間的概率值

假設(shè)X~N(〃，〃)，可以證明：對給定的左eN*,尸(〃-左+

是一個只與左有關(guān)的定值.

特另!］地，尸(〃一crWXW〃+。)=0.6827,

尸(〃-2cr<X<//+2cr)~0.9545,

P("—3a<X<jU+3cr)?0.9973.

上述結(jié)果可用右圖表示.

此看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(-8,+8),但在一次試驗中，X的值幾乎總是落

在區(qū)間3。,〃+3。］內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027,通常認(rèn)為這種情

況幾乎不可能發(fā)生.

第2頁共33頁

在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N（〃,b2）的隨機變量X只取

［〃—3b,〃+3b］中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3b原則.

第二部分：典型」列題剖析

題型一：二項分布及其應(yīng)用

典型例題

例題1.（2022?甘肅臨夏?高二期末（理））已知隨機變量X服從二項分布80,；；則

尸(X=2)=()

5

D.

8

【答案】C

【詳解】由P（X=左）=c>

1Q

得尸(X=2)=sC=R.

OO

故選：C

例題2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若隨機變量X服從二項分布45,￡|,則尸（X=4）=

【詳解】依題意，尸（X=4）=C：［g：.，一：）=蔡.

故答案為：

例題3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）某公司為招聘新員工設(shè)計了一個面試方案：應(yīng)聘者

從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成.規(guī)定：至少正確完成其中

2道題便可通過.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應(yīng)聘

者乙每題正確完成的概率都是:，且每題正確完成與否互不影響.

（1）求甲恰好正確完成兩個面試題的概率；

（2）求乙正確完成面試題數(shù)〃的分布列及其期望.

【答案M嗎3

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（2）分布列見解析，￡（7）=2

（1）

解：由題意得：

設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為3則J的取值范圍是{1,2,3}.P（^=2）=-^=-；

（2）

設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為%則〃取值范圍是{0,1,2,3}.

P（〃=O）=C}]：尸（〃=1）=0需＞0*'

8

27

應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)〃的分布列為

0123

16128

P

27272727

???E（〃）=3xg=2

例題4.（2022?新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高二階段練習(xí)）甲、乙兩個籃球運動員互

不影響地在同一位置投球，命中率分別為。與乙且乙投球2次均命中的概率為人.

3lo

（1）求甲投球2次，命中1次的概率；

（2）若乙投球3次，設(shè)命中的次數(shù)為X,求X的分布列.

4

【答案】（1）（2）答案見解析.

【詳解】解：（1）設(shè)"甲投球一次命中”為事件A,

則尸（A）=鏟尸（A）=§

故甲投球2次命中1次的概率為

P=P（A-A）+P（A）P（A）=-x-+-x-=-

、）'）33339

（2）設(shè)"乙投球一次命中"為事件B.

由題意得P（B3）=PJ=],解得P=J,

164

第4頁共33頁

所以尸⑻=：,咽［

由題意得X服從則

X0123

272791

P

64646464

例題5.(2022?全國?高二課時練習(xí))在一個計算機網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)中，每一個設(shè)備能正

常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度.

(1)若該系統(tǒng)采用的是“一用兩備”(即一臺正常設(shè)備，兩臺備用設(shè)備)的配置，這三臺設(shè)

備中，只要有一臺能正常工作，該網(wǎng)絡(luò)就不會斷掉.設(shè)三臺設(shè)備的可靠度均為0.9,它們之

間相互不影響.求能正常工作的設(shè)備數(shù)才的分布和數(shù)學(xué)期望；

(2)若該網(wǎng)絡(luò)中每臺設(shè)備的可靠度是0.7,根據(jù)以往經(jīng)驗可知，計算機網(wǎng)絡(luò)斷掉可能帶來約

50萬的經(jīng)濟損失.為減少經(jīng)濟損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得

每臺設(shè)備的可靠度維持在0.9,更新設(shè)備硬件總費用為8萬元；方案2：對系統(tǒng)的設(shè)備進行

維護，使得設(shè)備可靠度維持在0.8,設(shè)備維護總費用為5萬元.請從期望損失最小的角度判

斷決策部門該如何決策？

【答案】⑴分布列見解析，E(X)=2.7

⑵應(yīng)選擇方案2

(1)

解：X為正常工作的設(shè)備數(shù)，由題意可知X?2(3,0.9).

所以p(x=0)=C；X0.9。X(1-09)3=0.001,

P(X=1)=C'x0.9x(1-0.9)2=0.027,

尸(X=2)=C；x0.92x(1-0,9)=0.243,

尸(X=3)=C^x0.93x(1-0.9)°=0.729,

第5頁共33頁

從而X的分布列為:

X0123

P0.0010.0270.2430.729

由X?2(3,0.9),則E(X)=3xO.9=2.7；

(2)

解：設(shè)方案1、方案2的總損失分別為X-X1,

采用方案1,更換部分設(shè)備的硬件，使得設(shè)備可靠度達(dá)到0.9,由(1)可知計算機網(wǎng)絡(luò)斷掉

的概率為0.001,不斷掉的概率為0.999,

所以E(XJ=80000+0.001x500000=80500元；

采用方案2,對系統(tǒng)的設(shè)備進行維護，使得設(shè)備可靠度維持在0.8,

可知計算機網(wǎng)絡(luò)斷掉的概率為C；x0.8°x(l-0.8)3=0.008,

故X?)=50000+0.008x500000=54000元.

因此，從期望損失最小的角度，決策部門應(yīng)選擇方案2.

同類題型歸類練

1.(2022?全國?高三專題練習(xí))從一個裝有4個白球和3個紅球的袋子中有放回地取球5

次，每次取球1個，記X為取得紅球的次數(shù)，則￡>(X)=()

15202560

A.—B.—C.—D.—

772149

【答案】D

【詳解】由題意得：從一個裝有4個白球和3個紅球的袋子中取出一個球，是紅球的概率為

3_3

3+4-7?

因為是有放回的取球，所以X?

所以D(X)=5xMT啜

故選：D

2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知隨機變量X服從二項分布X?,則尸(X=2)=

3

【答案】-##0.375

O

【詳解】因為X服從二項分布X?臺口,；

第6頁共33頁

13

所以尸（x=2）=c；a）4=。

2o

故答案為：，

O

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）為了推進國家"民生工程"，某市現(xiàn)提供一批經(jīng)濟適用房來保

障居民住房.現(xiàn)有條件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供A2,C,3人申請，且他們的申請是

相互獨立的.

（1）求兩人不申請同一套住房的概率;

⑵設(shè)3名申請人中申請甲套住房的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

3

【答案】叱

3

⑵分布列見解析，數(shù)學(xué)期望歷

【詳解】（1）設(shè)A2兩人申請同一套住房為事件",

尸(M)=C；X\LL

―4444

3

所以45兩人不申請同一套住房的概率為。=1-2也）=“

（2）方法一：隨機變量X可能取的值為（M,2,3.

27

p(X=0)=C°x

64

尸(X=l)=C；x；x3?W

尸(X=2)=C；x

31

尸(X=3)=C

~64

所以X的分布列為

X0123

272791

P

64646464

77?7Q13

所以數(shù)學(xué)期望"(X)=°嗝+1XX+2XM+3XR*

方法二:依題意得X?8

03-k

所以尸(X=%)=C;=C：x——，4=0,1,2,3,

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所以X的分布列為

X0123

272791

P

64646464

1Q

所以數(shù)學(xué)期望E（X）=3xa="

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）為保護學(xué)生視力，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，促進學(xué)生身心健

康發(fā)展，教育部于2021.年1月15日下發(fā)文件《關(guān)于加強中小學(xué)生手機管理工作的通知》，

幾對中小學(xué)生的手機使用和管理作出了相關(guān)的規(guī)定.某中學(xué)研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“中學(xué)

生每日使用手機的時間”.從該校學(xué)生中隨機選取了100名學(xué)生，調(diào)查得到如下表所示的統(tǒng)

計數(shù)據(jù).

時間〃min[0,12)[12,24)[24,36)[36,48)[48,60)[60,72]

人數(shù)630351964

⑴從該校任選1名學(xué)生，估計該學(xué)生每日使用手機的時間小于36min的概率；

⑵估計該校所有學(xué)生每日使用手機的時間f的中位數(shù)；

⑶以頻率估計概率,若在該校學(xué)生中隨機挑選3人,記這3人每日使用手機的時間在[48,72]

的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）.

71

【答案】⑴而

（2）28.8min；

⑶分布列見解析，E（X）=A.

【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)可知：學(xué)生每日使用手機的時間小于36min共有6+30+35=71人，

71

.?.所求概率p=而；

（2）設(shè)中位數(shù)為%,

由表格數(shù)據(jù)知：使用手機的時間「小于24分鐘的頻率為需=（＜g,使用手機的時間1小

711

于36分鐘的頻率為古＞e，

故M[24,36）,

解得：=28.8,

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即估計該校所有學(xué)生每日使用手機的時間f的中位數(shù)為28.8min；

(3)由題可得學(xué)生每日使用手機的時間在［48,72］內(nèi)的概率為，

則X534

3

所以P（x=o）H=729

woo7

尸（X=1）=喂.1243

1—1000,

2

27

P（X=2）=C]

A-10007

I31

尸(X=3)

10007

所以X的分布列為:

X0123

729243271

P

1000100010001000

13

所以石（X）=3x—=—

v71010

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))某中學(xué)課外實踐活動小組在某區(qū)域內(nèi)通過一定的有效調(diào)查方

式對〃北京冬奧會開幕式〃當(dāng)晚的收看情況進行了隨機抽樣調(diào)查.統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，通過手機收看的

約占千，通過電視收看的約占g,其他為未收看者：

⑴從被調(diào)查對象中隨機選取3人，其中至少有1人通過手機收看的概率；

⑵從被調(diào)查對象中隨機選取3人，用X表示通過電視收看的人數(shù)，求X的分布列和期望.

7

【答案】(1)-

O

(2)分布列見解析，E(X)=1

(1)

記事件A為至少有1人通過手機收看，

由題意知，通過手機收看的概率為:，沒有通過手機收看的概率為1-:，

/2

則P（A）=l-1l-g7

8

（2）

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3,11,則X的可能取值為0,1,2,3,

由題意知：XB

1

P（X=1）=C；gIX12

27

所以X的分布列為:

X0123

81261

P

27272727

所以E（X）=3xg=l.

題型二：超幾何分布及其應(yīng)用

典型例題

例題1.(2022?全國?高二課時練習(xí))如圖，我國古代珠算算具算盤每個檔(掛珠的桿)

上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面2顆叫上珠，下面5顆叫下珠，若從某一檔的7顆算珠

中任取3顆，記上珠的個數(shù)為X,則尸(XN1)=()

下珠

【答案】A

【詳解】法一：由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,

C1C2C2cl5

則P(XZ1)=尸(X=1)+P(X=2)=胃+胃=亍.

法二：由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,

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則尸(X21)=l-P(X=0)=lO=；.

故選：A.

例題2.(2022?廣東東莞?高二期中)一個袋中裝有5個形狀大小完全相同的小球，其中

紅球有2個，白球有3個，從中任意取出3個球.

(1)求取出的3個球恰有一個紅球的概率；

(2)若隨機變量才表示取得紅球的個數(shù)，求隨機變量X的分布列.

【答案】(嗎

(2)分布列見解析.

(1)

設(shè)取出的3個球恰有一個紅球為事件A,

"/八C'C"2x33

則「網(wǎng)=^=可有

(2)

隨機變量X可能取值為0,1,2,

P(x=o)=^=5，尸(X=1)=萼I，尸(X=2)砥C；_3

cj而

故x的分布列為:

X012

133

P

10510

例題3.(2022?寧夏?銀川市第六中學(xué)高三期中(理))全國第36屆中國化學(xué)奧林匹克

競賽已經(jīng)結(jié)束，我校學(xué)生取得了優(yōu)異成績，為了方便統(tǒng)計，現(xiàn)將學(xué)生成績轉(zhuǎn)化為百分制，

從中隨機抽取了100名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將

數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6

組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

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八頻率

0.040--------------------——

0.024-------------——

0.015----------------------------------

m-----------------------------------------

0.006--1-----------------------------------------

4050—60708090—100成績’(分)

(1)求頻率分布直方圖中機的值，并估計這100名學(xué)生成績的中位數(shù)；

(2)在這100名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在［70,80),［80,90),［90,100］的三

組中抽取了10人，再從這10人中隨機抽取3人，記X為3人中成績在［80,90)的人數(shù),

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

【答案】(1)切=0。09,中位數(shù):65

9

(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為伍.

【詳解】(1)由題可知，10x(0.006+0.024+0.040+0.。15+加+0.006)=1,

解得旭=0.009.

04-02

中位數(shù)為60+10x上上士=65.

0.4

(2)依題意，［70,80),［80,90),［90,100］三組的頻率為0.15,0.09,006,

所以［70,80),［80,90),［90,100］三組抽取的人數(shù)為5,3,2,

所以在這10人成績在［80,90)的有3人，不在的有7人，

所以X=0,1,2,3,

C3_63

P(x=o)=k=含尸(x=1)=Z

Mo"no9

r1c221c31

)

叱2竿4尸g)點5

Jo"no

所以列出分布列如下:

X0123

3563211

p

120120120120

c35163c2119

月f以E(X)=0x-----F1x------F2x-------F3x----=—

12012012012010

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例題4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）中國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星

導(dǎo)航系統(tǒng)，作為國家戰(zhàn)略性空間基礎(chǔ)設(shè)施，我國北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)不僅對國防安全意義重

大,而且在民用領(lǐng)域的精準(zhǔn)化應(yīng)用也越來越廣泛.2020年6月23日，中國第55顆北斗導(dǎo)航

衛(wèi)星成功發(fā)射標(biāo)志著擁有全部知識產(chǎn)權(quán)的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)全面建成.據(jù)統(tǒng)計，2019年衛(wèi)

星導(dǎo)航與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值達(dá)到3450億元，較2018年約增長14.4%.從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)

星的城市中選取了40個城市進行調(diào)研，上圖是這40個城市北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與位置服務(wù)產(chǎn)

業(yè)的產(chǎn)值（單位：萬元）的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求產(chǎn)值小于600萬元的調(diào)研城市個數(shù)；

（2）在上述抽取的40個城市中任取2個，設(shè)Y為產(chǎn)值不超過600萬元的城市個數(shù)，求Y的分

布列及期望和方差.

（3）把頻率視為概率，從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中任取5個城市，求恰有3個城市的產(chǎn)值

超過605萬元的概率.

【答案】（1）14

⑵E"）=N,D（y）=—

v710J300

（3）尸（X=3）=0.1323

（1）

由頻率分布直方圖可知產(chǎn)值小于600萬元的頻率為（0.03+0.04）x5=0.35,

所以產(chǎn)值小于600萬元的調(diào)研城市個數(shù)為40x0.35=14（個）；

（2）

由（1）得產(chǎn)值不超過600萬元的調(diào)研城市有14個，超過600萬元的調(diào)研城市有40-14=26

（個），

所以隨機變量F的取值可能為0,1,2,

所以中叫親后，“,卜噌'（，"=2）=券=焉，

C401215C4060

所以可得分布列

第13頁共33頁

Y012

577

P

121560

5777

期望￡(y)=0x—+lx—+2x—=一；

V712156010

七*27丫51Y727Y7133

'，I10J12I10J15I10J60300

(3)

由頻率分布直方圖可知城市的產(chǎn)值超過她萬元的概率為(0.05+0.01)x5=0.3,

設(shè)任取5個城市中城市的產(chǎn)值超過605萬元的城市個數(shù)為X,

可知隨機變量X滿足X5(5,0.3),

所以尸(X=3)=C；x0.33x(l-0.3)2=0.1323.

例題5.(2022?江蘇江蘇?高三階段練習(xí))根據(jù)北京冬奧組委與特許生產(chǎn)商的特許經(jīng)營協(xié)

議，從7月1日開始，包括冰墩墩公仔等在內(nèi)的2022北京冬奧會各種特許商品將停止生產(chǎn).

現(xiàn)給出某零售店在某日(7月1日前)上午的兩種顏色冰墩墩的銷售數(shù)據(jù)統(tǒng)計表(假定每人

限購一個冰墩墩)：

藍(lán)色粉色

5aa

男顧客

~66

2a4〃

女顧客

TT

(1)若有99%的把握認(rèn)為網(wǎng)G客購買的冰墩墩顏色與其性別有關(guān)，求。的最小值；

(2)在。取得最小值的條串豐下，現(xiàn)從購買藍(lán)色冰墩墩的顧客中任選P人，從購買粉色冰墩墩

的顧客中任選4人，且p+q=9Cp>0,q>0),記選到的人中女顧客人數(shù)為X,求X

的分布列及數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.050.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案］⑴12

(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：6

第14頁共33頁

（1）

（1）因為有99%的把握認(rèn)為顧客購買的冰墩墩顏色與其性別有關(guān),

不妨給出零假設(shè)：顧客購買的冰墩墩顏色與其性別無關(guān)，

且該假設(shè)成立概率小于等于0.010，且由表知P（K2..6.635）=0.010,

「「5〃4〃a

3ci—x--------x—

則片=?3=網(wǎng).6635,即9.9525,X?eZ,-eZ,

現(xiàn)x網(wǎng)x2axa36

22

所以。的最小值為12；

（2）

因為0+4=9,所以X的所有可能取值是0」,2,3,4,5,6,7,8,9,

女生一共有24人，男生一共有12人

甘Z,，=0,l,2,3,4,5,6,7,8,9

所以X的分布列為尸（X=i）=

且X?〃（9,24,36）,

所以9）卷型=6.

同類題型歸類練

1.（2022?全國?高二專題練習(xí)）某12人的興趣小組中，有5名“三好學(xué)生"，現(xiàn)從中任意選

6人參加競賽，用X表示這6人中"三好學(xué)生”的人數(shù)，則當(dāng)X取時，對應(yīng)的概率為

C61

=12

【答案】2或3

【詳解】由題意可知，X服從超幾何分布，

「X06-X0X06-X「3r30204

“5_y5grpi%5_y%_y5

H一不一「，歷"'一不66

C12C612C12~cC12~rC12'

所以X=2或3；

故答案為：2或3.

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）北京冬奧會某個項目招募志愿者需進行有關(guān)專業(yè)、禮儀及服

務(wù)等方面知識的測試，測試合格者錄用為志愿者.現(xiàn)有備選題10道，規(guī)定每次測試都從備選

題中隨機抽出3道題進行測試，至少答對2道題者視為合格，若甲能答對其中的5道題，求：

（1）甲測試合格的概率；

⑵甲答對的試題數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（嗚

第15頁共33頁

⑵分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望:

【詳解】(1)設(shè)甲測試合格為事件A,則「⑷戶產(chǎn)=怨人:

r>IZ-XJ乙

(2)甲答對的試題數(shù)X可以為0,1,2,3,

P（X=。"景=2,*=1）=獸4，尸（X=2）=詈4,P（X=3）=S=F

joJ。izJ。izy。iz

所以X的分布列為:

X0123

1551

P

12121212

E（x）=o+9+"+2J83

'/121212122

3.(2022?全國?高二課時練習(xí))某校高一、高二的學(xué)生組隊參加辯論賽，高一推薦了3名男

生、2名女生，高二推薦了3名男生、4名女生.推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，最終從參加集

訓(xùn)的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊.

⑴求高一至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率；

⑵某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X

的分布列.

99

【答案】⑴而

(2)分布列見解析

(1)

高一高二共推薦6名男生和6名女生,

C3c341

高一沒有學(xué)生入選代表隊的概率為赤1.

,199

所以高一至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率為1-同=而.

(2)

根據(jù)題意得知，X的所有可能取值為1、2、3.

尸（X=l）=mC*C3=g1，P（X=2）=C*2c2=3|,P（X=3）=C詈3cl1

5

所以X的分布列為

X123

第16頁共33頁

131

P

555

4.(2022?全國?高三專題練習(xí))某校高三年級有500名學(xué)生，一次考試的語文成績服從正

態(tài)分布N(100,225),數(shù)學(xué)成績的頻率分布表如下：

數(shù)學(xué)成績[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]

頻率0.160.1680.480.160.032

(1)如果成績高于130分為特別優(yōu)秀，則本次考試語文、數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的學(xué)生大約各多

少人？

⑵如果語文和數(shù)學(xué)兩科成績都特別優(yōu)秀的共有6人，從(1)中的這些學(xué)生中隨機抽取3人,

設(shè)3人中兩科成績都特別優(yōu)秀的人數(shù)為3求J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式及數(shù)據(jù)：

若X?N"吟,則尸(〃—b<X4〃+cr)=0.68,P(〃—2cr<XW〃+2b)=0.96,

P(〃-3cr<X4〃+3cr)=0.99.

【答案】(1)語文10人，數(shù)學(xué)16人

9

(2)分布列見解析，—

(1)

因為語文成績服從正態(tài)分布N(100,225),

所以語文成績特別優(yōu)秀的概率P[=P(X>130)=(1-0.96)x1=0.02.

由頻率估計概率，得數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的概率心=0。32,

所以語文成績特別優(yōu)秀的學(xué)生大約有500x0.02=10(人)，

數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的學(xué)生大約有500x0.032=16(人).

(2)

語文和數(shù)學(xué)成績都特別優(yōu)秀的有6人，則單科成績特別優(yōu)秀的有14人，J可取的值有0,1,

2,3,

所以P(J=0)=裊182_91

?70-285

P(J=1)c=Y*91

190

。20

C2cl

%=2)=*=35_7

190-38

y()

第17頁共33頁

C3i

P（J=3）=W=-L

I）Clo57

故4的分布列為

0123

919171

P

2851903857

E@=0x^+lx里+2」+3」，

v7570190385710

5.（2022?北京海淀?高二期末）研究表明，過量的碳排放會導(dǎo)致全球氣候變暖等環(huán)境問題,

減少碳排放具有深遠(yuǎn)的意義.中國明確提出節(jié)能減排的目標(biāo)與各項措施，在公路交通運輸領(lǐng)

域，新能源汽車逐步取代燃油車是措施之一.中國某地區(qū)從2015年至2021年每年汽車總

銷量如圖一，每年新能源汽車銷量占比如表一.（注：汽車總銷量指新能源汽車銷量與非新

能源汽車銷量之和）

汽車總銷量（萬輛）

5.65.65.55.73

i2015l2016l2017l2018l2019l2020l2021年份

圖一

年份2015201620172018201920202021

新能源汽車銷量占比1.5%2%3%5%8%9%20%

表一

（1）從2015年至2021年中隨機選取一年，求這一年該地區(qū)汽車總銷量不小于5.5萬輛的概率

⑵從2015年至2021年中隨機選取兩年,設(shè)X表示新能源汽車銷量超過0.5萬輛的年份的個

數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶對該地區(qū)連續(xù)三年的新能源汽車銷量作統(tǒng)計分析時，若第三年的新能源汽車銷量大于前

兩年新能源汽車銷量之和，則稱第三年為“爆發(fā)年”.請寫出該地區(qū)從2017年至2021年中"爆

發(fā)年”的年份.（只需寫出結(jié)論）

【答案】⑴亨

（2）X的分布列為:

X012

第18頁共33頁

10101

P

212121

期望￡*(X)=0x3+ix"+2x，=3

2121217

⑶2019年，2021年

(1)

從2015年到2021年這七年中，汽車總銷量不小于5.5萬輛的年份有2016,2017,2018,

2019,2020,2021共有6年，故從2015年至2021年中隨機選取一年，求這一年該地區(qū)汽

車總銷量不小于5.5萬輛的概率為亨

(2)

從2015年至2021年中隨機選取兩年共有C；=21種選法，只有2020年和2021年這兩年，

新能源汽車銷量超過了0.5萬輛，其余5年的銷量均未超過0.5萬輛，

故X可取:0,1,2

2112

P(X=O)=VC='10,P(X=1)=^CC^=’10,P(X=2)=*C=—1；

C；21C；21C；2〃

X的分布列為：

X012

10101

p212121

期望E(X)=0x?詞+

(3)

從2015年到2021年這七年中，新能源汽車銷量(單位：萬輛)分別為：

0.0615,0.112,0.168,0.275,0.456,0.540,1.16,

其中0.168+0.275=0.443>0.456,0.456+0.540=0.996>1.16,故只有2021,2018,2019連

續(xù)三年以及2019,2020,2021這三年第三年的銷量大于前兩年的銷量之和，故"爆發(fā)年〃的

年份為：2019,2021年.

題型三：正態(tài)分布及其應(yīng)用

角度L正態(tài)分布的概率計算

典型例題

例題1.(2022?江蘇?鹽城中學(xué)高三階段練習(xí))隨機變量X服從正態(tài)分布NO，。?)，則

P("-2a<X<+a)()

第19頁共33頁

附:

概率P(〃一〃+。)尸（〃一2o^X<u+2。）戶(〃一3?！戳?〃+3。)

近似值0.68270.95450.9973

A.0.8186B.0.4772C.0.84D.0.9759

【答案】A

【詳解】由題意可得：P（〃一2。VXV〃+2CT）=0.9545,尸（〃一cr。）=。.6827

尸（〃-2b<X<//+o-）=|Pg2c<X<〃+2b）+；尸（〃一bVX<〃+cr）=0.8186

故選：A.

例題2.（2022?遼寧錦州?高二期末）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（〃,吟,若

P（X>-2）+P（X>4）=l,貝！J〃=（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【詳解】由于隨機變量X服從正態(tài)分布N3b2),且尸(X>-2)+P(X24)=l,

而尸(X>—2)+尸(XW-2)=l,

所以尸(X24)=P(XV—2),

所以〃=

故選：B

例題3.(2022?全國?高三專題練習(xí))隨機變量X的概率分布密度函數(shù)

1(if

-

/(x)=^=e^(XGR),其圖象如圖所示，設(shè)尸(XN2)=〃，則圖中陰影部分的面積為

（）

A.PB.2PC.--pD.l-2p

【答案】C

【詳解】解：由題意可知則P(X40)=尸(X22)=p,

第20頁共33頁

故圖中陰影部分的面積為:-，

故選：C.

例題4.(2022?遼寧?丹東市教師進修學(xué)院高三期中)已知X?,若

/(x)=P(xVX<x+4)為偶函數(shù)，則〃=.

【答案】2

【詳解】若/(x)=P(尤WXWx+4)為偶函數(shù)，

則有/■(-無)=f(x),IPP(-x<X<-x+4)=P(x<X<x+4),

故答案為：2.

例題5.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知隨機變量X服從正態(tài)分布X~N(8,4),

14

P(x>10)=m,P(6<x<8)=n,則——+一的最小值為____________.

2mn

【答案】9+4&##4忘+9

【詳解】隨機變量X服從正態(tài)分布X?N(8,4),

P(X>8)=^,由尸(xN10)=機，P(6<x<8)=P(8<x<10)=n,

:.m+n=—,且根

1414、/_c、八〃8m八八九8m八“r-

貝！J----1—=(z-----1—)(2m+2n)=9H-----1------29+2J---------=9+4J2,

2mn2mnmn\mn

當(dāng)且僅當(dāng)二=駟，即上=巫士,〃=8-2」時等號成立.

mn1414

i4

--的最小值為9+4、回.

2mn

故答案為：9+4垃.

同類題型歸類練

1.(2022?北京大興,高二期末)已知兩個正態(tài)分布的密度函數(shù)圖像如圖所示，則()

A.<4，6<B.M<〃2，百>4

第21頁共33頁

C.4>〃2，D.〃1>〃2，>（T2

【答案】A

【詳解】解：由正態(tài)分布密度函數(shù)圖像的性質(zhì)可知：〃越大，圖像對稱軸越靠近右側(cè)；b越

大，圖像越"矮胖"，。越小，圖像越"瘦