人教版七年級數(shù)學(xué)下冊同步練習(xí)：估算(原卷版+解析)

七年級下冊數(shù)學(xué)《第六章實(shí)數(shù)》

專題估算

題型一估算無理數(shù)的范圍

題型一估算無理數(shù)的范圍

【例題1】（2022秋?偏州校級期末）無理數(shù)值的大小在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【變式1-2】（2022秋?九龍坡區(qū)校級期末）估計何的值在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【變式1-3]（2011秋?淅川縣期中）估算懂的值是在（）

A.2與3之間B.3與4之間C.4與5之間D.5與6之間

【變式1-4】（2022秋?南海區(qū)期末）估算房+1的值在（）

A.4到5之間B.5到6之間C.6到7之間D.7至U8之間

【變式1-5】（2023?南岸區(qū)校級開學(xué)）估計3+VB的值應(yīng)在（）

A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間

【變式1-6】（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）估計舊-3的值在（）

A.3至U4之間B.4至I」5之間C.1到2之間D.2到3之間

【變式1-7】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）估計原-5的值（）

A.在1和2之間B.在2和3之間C.在3和4之間D.在4和5之間

【變式1-8】（2022秋?雁塔區(qū)校級期末）2-有介于（）

A.0和1之間B.1和2之間C.0和-1之間D.-1和-2之間

【變式1-9]（2022?廬陽區(qū)校級三模）若無理數(shù)x=〃+逐,則估計無理數(shù)尤的范圍正確的是（）

A.1<%<2B.2<x<3C.3cx<4D.4cx<5

【變式i-io]（2022秋?雙牌縣期末）滿足-的整數(shù)共有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【變式【11】（2022秋?蕭山區(qū)期中）設(shè)面積為31的正方形的邊長為無，則x的取值范圍是（）

A.5.0<x<5.2B.5.2<x<5.5C.5.5<x<5.7D.5.7<x<6.0

【變式1-12】（2022秋?江北區(qū)校級期末）如果加=2匹-1,那么機(jī)的取值范圍是（)

A.4<m<5B.4<m<6C.5<m<6D.5<m<7

題型二已知估算的施圍求值

【例題2】（2022秋?鄲州區(qū)期末）若整數(shù)〃滿足上VaVVlG則整數(shù)〃是（）

A.2B.3C.4D.5

【變式2-1】（2022秋?衡山縣期末）已知〃為整數(shù)，>V40<n<V50,則〃等于（）

A.5B.6C.7D.8

【變式2-2】（2022秋?鎮(zhèn)平縣期末）若愿則整數(shù)〃的值不可能為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式2-3】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）若〃為整數(shù)，n<V13<n+l,則〃的值為（）

A.1B.0C.2D.3

【變式2-4】（2022秋?九龍坡區(qū)期末）若自然數(shù)〃滿足九<20豆-2〈幾+1,則〃的值為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式2-5】（2022秋?福田區(qū)期末）若m,〃是兩個連續(xù)的整數(shù)且〈n，則加+〃=（）

A.5B.6C.7D.8

【變式2-6】（2022春?新羅區(qū)校級月考）在-遮與同之間的整數(shù)之和是.

【變式2-7】（2022秋?桂平市期末）已知出〃為兩個連續(xù)的整數(shù)，且加V"UV小貝！J（加-〃）2。23的

值是（）

A.2023B.-2023C.1D.-1

【變式2-8】（2022秋?通川區(qū)校級期末）已知整數(shù)x滿足有一2-1,貝Ux=.

【變式2-9】（2022秋?輝縣市校級期末）若aV應(yīng)IV6,且a,。是兩個連續(xù)的正整數(shù)，則衍T的值

是（）

A.9B.5C.4D.3

【變式2-10】（2022秋?萊陽市期末）若aV聞Vb,且a、b為兩個連續(xù)的正整數(shù)，則a+6的平方根是

【變式2-11】（2022春?蓬江區(qū)校級月考）已知a,6為兩個相連的整數(shù)，滿足aV乃+ll<b,則a+b

的立方根為.

【變式2-12】（2022秋?古田縣期中）已知為兩個連續(xù)的整數(shù)，且aV-疽Vb,則2a-36=.

【變式2-13】（2022秋?海曙區(qū)期中）若整數(shù)尤滿足3+府+2,則x的值是.

題型三估算無理數(shù)最接近的值

【例題3】（2022秋?興隆縣期末）下列選項(xiàng)中的整數(shù)，與歷接近的是（）

A.5B.6C.7D.8

【變式3-1】（2022春?仙居縣期末）與近最接近的整數(shù)是.

【變式3-2】（2021春?合肥期末）下列整數(shù)中，與同最接近的整數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.8

【變式3-3]（2022?三門峽二模）數(shù)軸上與-百最接近的整數(shù)是.

【變式3-4]（2022秋?蘇州期末）下列整數(shù)中，與J（7T-4）2最接近的是（）

A.-1B.0C.1D.2

【變式3-5】（2022秋?南岸區(qū)期末）與2+VTU最接近的整數(shù)是（)

A.5B.6C.7D.8

【變式3-6】（2022春?瀘縣期末）與俯-1最接近的整數(shù)是（)

A.5B.6C.7D.8

【變式3-7】下列整數(shù)中，與+3最接近的是（）

A.5B.6C.7D.8

【變式3-8】（2022秋?九龍坡區(qū)校級月考）與6-同最接近的整數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式3-9】（2022秋?寧德期末）定義國為不大于x的最大整數(shù),如⑵=2,㈣=1,[4.1]=4,則滿

足[迎]=5,則〃的最大整數(shù)為_________.

【變式3-10]（2022春?香洲區(qū)期末）如圖，用邊長為3的兩個小正方形拼成一個面積為18的大正方形,

則大正方形的邊長最接近的整數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

題型四利用估算比較數(shù)的大小

【例題4】（2022?惠水縣模擬）下列各數(shù)中比-百小的數(shù)是（）

1

A.-2B.-1D.0

C.2

【變式4-1】（2021秋?乳山市期末）通過估算比較大小，下列結(jié)論不正確的是（）

____A/7—21

A.V69>V16B.-V10>Vz27C.-------<-D.V15<2V5

22

【變式4-2］（2022春?鐵東區(qū)校級月考）若將r泛，旗,2百，VTT四個無理數(shù)表示在數(shù)軸上，其中能

被如圖所示的墨跡覆蓋的數(shù)是（）

???廠--------?Ia

-2-1-------------------?45

A.-72B.2V3C.V6D.V11

【變式4-3】（2021秋?灌云縣月考）己知：a=V2-l,b=2-V5,則。、b的大小關(guān)系為：ab

（填“〉”、或"="）.

【變式4-4］通過估算比較大?。禾?”］；（填“〈”或“〉”）

【變式4-5】通過估算，比較下面各組數(shù)的大?。?/p>

V3-11,—

（1）-------,-；⑵V15,3.85.

22

【變式4-6】通過估算比較大小:

V99-7「8V10-1J

(1)與E(2)---------與

233

題型五無理數(shù)整數(shù)部分與小數(shù)部分問題

【例題5】（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）已知：舊;元+y,其中x是整數(shù)，且0<y<l,則肛=

【變式5-1]（2022秋?尤溪縣期末）實(shí)數(shù)V7+2的小數(shù)部分是.

【變式5-2]（2022秋?明水縣校級期末）如果8的小數(shù)部分為a,舊的整數(shù)部分為b,則a+b-^3=.

【變式5-3]（2022秋?金牛區(qū)校級期末）己知：2+百的整數(shù)部分為加小數(shù)部分為n,則2m-〃=.

【變式5-4]（2022秋?雙峰縣期末）若x表示遮的整數(shù)部分，y表示它的小數(shù)部分，則（遮+?y的值

為.

【變式5-5】（2022秋?東港市期末）若5+aU與5-VTU的小數(shù)部分分別為。，b,則a+b=.

【變式5-6]（2022秋?商水縣期末）已知a的立方根是2,b是6的整數(shù)部分，c是9的平方根，則a+b+c

的算術(shù)平方根是.

【變式5-7】（2022?南譙區(qū)校級模擬）已知-是64的負(fù)的平方根，3〃是后的整數(shù)部分，貝心加?的立

方根為.

【變式5-8】（2022春?玉州區(qū)期中）閱讀下面文字，然后回答問題.

大家知道/是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以段的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，由于魚的

整數(shù)部分是1,將近減去它的整數(shù)部分，差就是它的小數(shù)部分，因此魚的小數(shù)部分可用近-1表示.由此

我們得到一個真命題：如果e=尤+?其中x是整數(shù)，且0<y<l,那么x=l,y=&—1.

請解答下列問題：

（1）如果有=a+b,其中a是整數(shù)，且0<6<1,求a,b的值；

（2）如果一有=0+4,其中c是整數(shù)，且0<d<l,求c,d的值；

（3）己知3+遙=〃z+〃，其中m是整數(shù),且求|m-〃|的值.

【變式5-9】（2022春?樂昌市校級期中）閱讀下面的文字，解答問題：

大家知道應(yīng)是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此魚的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是

小明用魚-1來表示/的小數(shù)部分.事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)轸~的整數(shù)部分是1,將

這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.

又例如必<V7<V9,即2<V7<3,

??.V7的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為V7-2；

請解答：

（1）歷的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是;

（2）如果4T的小數(shù)部分為“，上的整數(shù)部分為b,求la-的值；

（3）已知：9+V5=x+y,其中x是整數(shù)，且0<y<l,求x-y的相反數(shù).

【變式5-10】（2022秋?滄州期末）已知一個正數(shù)。的平方根分別是2a-5和2a+l,另一個實(shí)數(shù)b的立

方根是2,c是后的整數(shù)部分.求：

（1）a,b,c的值；

（2）求2a+46-C2的平方根.

【變式5-11】（2022秋?興化市校級期末）材料1：2.5的整數(shù)部分是2,小數(shù)部分是0.5,小數(shù)部分可以

看成是2.5-2得來的，類比來看，企是無理數(shù)，而1<企<2,所以聲的整數(shù)部分是1,于是可用或-1

來表示&的小數(shù)部分.

材料2：若10—3a=a+ba,則有理數(shù)部分相等，無理數(shù)部分也相等，即a,6要滿足a=10,Z>=-|.

根據(jù)以上材料，完成下列問題:

(1)內(nèi)的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是

(2)3+8也是夾在相鄰兩個整數(shù)之間的，可以表示為。＜3+8＜6,求的算術(shù)平方根.

【變式5-12】(2022秋?煙臺期末)閱讀下面的文字，解答問題?例如：因?yàn)榉担枷Γ?5,即2＜夜＜3,

所以舊的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為近-2.

請解答下列各題:

(1)VT7的整數(shù)部分是.，小數(shù)部分是

(2)已知9-g小數(shù)部分是〃z,9+g小數(shù)部分是〃，且/=巾+〃，請求出滿足條件的x的值.

七年級下冊數(shù)學(xué)《第六章實(shí)數(shù)》

專題估算

題型一估算無理數(shù)的范圍

題型一估算無理數(shù)的范圍

【例題1】（2022秋?僧州校級期末）無理數(shù)的大小在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【分析】先找離14最近的兩個平方數(shù)，即9<14<16,即可得出舊的范圍.

【解答】解：???gvMciG,

.?.3<-/14<4；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是無理數(shù)的估值，解題關(guān)鍵找到離14最近的兩個平方數(shù).

【變式1-2】（2022秋?九龍坡區(qū)校級期末）估計舊的值在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大?。豪猛耆椒綌?shù)和算術(shù)平方根對無理數(shù)的大小進(jìn)

行估算.也考查了算術(shù)平方根.

【解答】解：：25<27<36,

.?.5<V27<6,

，估計內(nèi)的值在5和6之間，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3】（2011秋?淅川縣期中）估算懂的值是在（）

A.2與3之間B.3與4之間C.4與5之間D.5與6之間

【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)得出怖〈V品<71石，求出怖、VI用的值，代入即可.

【解答】解：悔<71^,

.\4<V68<5,

怖在4和5之間.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的大小比較的應(yīng)用，主要考查學(xué)生能否知道道的范圍.

【變式1-4】（2022秋?南海區(qū)期末）估算辰+1的值在（）

A.4到5之間B.5到6之間C.6到7之間D.7到8之間

［分析］根據(jù)信即5<仲<6,可得.

【解答】解：V5<V32<6,

/.6<V32+1<7,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是無理數(shù)大小的估算，解題的關(guān)鍵是會用夾逼法進(jìn)行估算.

【變式1-5】（2023?南岸區(qū)校級開學(xué)）估計3+后的值應(yīng)在（）

A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間

【分析】先估算同，然后進(jìn)一步估算3+6即可.

【解答】解：；3<代<4,

.,.6<3+V15<7.

故估計3+用的值應(yīng)在6和7之間.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查了無理數(shù)的估算，估算無理數(shù)大小要用逼近法.用有理數(shù)逼近無理數(shù)，

求無理數(shù)的近似值.

【變式1-6]（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）估計71回-3的值在（)

A.3到4之間B.4到5之間C.1到2之間D.2到3之間

【分析】首先得出4<VT^V5,進(jìn)而求出結(jié)論.

[解答]解：：圓

.\4<V18<5,

/.V18-3的值在1到2之間.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，關(guān)鍵是確定，立的范圍.

【變式1-7]（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）估計回-5的值（）

A.在1和2之間B.在2和3之間C.在3和4之間D.在4和5之間

【分析】根據(jù)完全平方數(shù)，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：V49<56<64,

.,.7<V56<8,

.,.2<V56-5<3,

...估計除-5的值在2和3之間，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握完全平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-8]（2022秋?雁塔區(qū)校級期末）2-b介于（）

A.0和1之間B.1和2之間C.0和-1之間D.-1和-2之間

【分析】估算無理數(shù)遮的大小，可得結(jié)論.

【解答】解：：2V近<3,

A-1<2-V5<O,

.,.2—介于T和0之間.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提.

【變式1-9】（2022?廬陽區(qū)校級三模）若無理數(shù)尤=〃+逐，則估計無理數(shù)尤的范圍正

確的是（）

A.1Vx<2B.2Vx<3C.3<x<4D.4c尤<5

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)（被開方數(shù)越大，其算術(shù)平方根越大）解決此題.

【解答】解：??,4<5<9,

.?.V4<V5<V9.

.,.2<V5<3.

.".V4+2<V4+V5<V4+V9.

VV4=2,

.,.4<2+V5<5.

V4+V5,

/.4<x<5.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查算術(shù)平方根的性質(zhì)，熟練掌握被開方數(shù)越大，其算術(shù)平方根越大是

解決本題的關(guān)鍵.

【變式1-10]（2022秋?雙牌縣期末）滿足的整數(shù)共有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】先估算出-夜和g的范圍，再求出即可.

【解答】解：:IV魚<2,

-2<-V2<-1,

V1<V3<2,

，滿足一企的整數(shù)有-1，0,1,共3個，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能估算出-&和g的范圍是解此題的關(guān)鍵.

【變式1-11】（2022秋?蕭山區(qū)期中）設(shè)面積為31的正方形的邊長為x,則x的取值范

圍是（）

A.5.0<x<5.2B.5.2<x<5.5C.5.5<x<5.7D.5.7<x<6.0

【分析】利用正方形的面積=邊長X邊長可得正方形邊長尤=V31，再估算聞的范圍即可.

【解答】解：正方形邊長x=同，

V5.52=30.25,5.62=31.36,

V5.5<Vn<5.6.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù).

【變式1-12】（2022秋?江北區(qū)校級期末）如果那么機(jī)的取值范圍是（）

A.4c機(jī)<5B.4c優(yōu)<6C.5<m<6D.5<m<7

【分析】先估算伍在3與4之間，再根據(jù)%=2舊-1,即可得出機(jī)的取值范圍.

【解答】解：：3VVIU<4,

A2X3-K2VT0-K2X4-1,

即5<2V10-K7,

：.m的取值范圍是5cm<7.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，掌握題意確定無理數(shù)的整數(shù)部分是關(guān)鍵.

題型二已知估算的范圍求值

【例題2】（2022秋?邦州區(qū)期末）若整數(shù)a滿足近VaV后，則整數(shù)。是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】先計算（夕產(chǎn)=7,（V15）2=15,然后看哪個平方數(shù)在7和15之間即可.

【解答】解：；7<9<15,

.,.V7<3<V15,

...如果整數(shù)。滿足V7<a<Vl^，則。的值是：3.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1】（2022秋?衡山縣期末）已知”為整數(shù)，且胸VnV聞，則”等于（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】先估算出何與聞的值的范圍，即可解答.

【解答】解：?；36<40<49,

.?.6<V40<7,

V49<50<64,

.,.7<V50<8,

?"為整數(shù)，且俯

:.n=7,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2]（2022秋?鎮(zhèn)平縣期末）若遮Va<vn^,則整數(shù)a的值不可能為（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】由1216=6,2<V5<3,V5<a<y/216,可求出符合條件a的整數(shù).

【解答】解：:際石=6,V5<a<V216.

.,.V5<h<6,

V2<V5<3,

整數(shù)a的值可為3或4或5,

整數(shù)a的值不可能為2.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握根式的運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵，綜合性較

強(qiáng)，難度適中.

【變式2-3】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）若"為整數(shù)，71<V13<?+1,則”的值為（）

A.1B.0C.2D.3

【分析】利用完全平方數(shù)，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：：9<13<16,

.\3<V13<4,

?〃為整數(shù)，n<V13<n+1,

.\n=3,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握完全平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-4】（2022秋?九龍坡區(qū)期末）若自然數(shù)〃滿足n<2g-2<Vi+l,則〃的值

為（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)2舊的大小，再由不等式的性質(zhì)得出2而-2

的大小即可.

【解答】解：2g=V4x13=V52,

VV49<V52<V64,BP7<V52<8,

.?.5<V52-2<6,

即5<2V13-2<6,

VM<2V13-2<n+l,而"是自然數(shù)，

??5,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查估算無理數(shù)的大小，理解算術(shù)平方根的定義是正確估算的前提.

【變式2-5】（2022秋?福田區(qū)期末）若加，“是兩個連續(xù)的整數(shù)且mVgVn,貝”九+w

=（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】先估算出VH的值的范圍，從而求出加〃的值，然后代入式子中，進(jìn)行計算即可

解答.

【解答】解：?.,9V14V16,

.\3<V14<4,

'.'m,"是兩個連續(xù)的整數(shù)且m

?*JTl~~3f

徵+/=3+4=7,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握完全平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-6]（2022春?新羅區(qū)校級月考）在-百與VTU之間的整數(shù)之和是.

【分析】根據(jù)估算-8和VTU的近似值，可得-禽和V1U之間的所有的整數(shù)，再求和即可.

【解答】V22>3>12,32<10<42,

A-2<-V3<-1,3<V10<4,

B與aU之間的所有的整數(shù)為-1、0、1、2,3；-l+0+l+2+3=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)評】本題考查了無理數(shù)的近似值，正確估計出無理數(shù)的近似值是解題關(guān)鍵.

【變式2-7】（2022秋?桂平市期末）已知機(jī)，w為兩個連續(xù)的整數(shù)，且加則

（加-〃）2°23的值是（）

A.2023B.-2023C.1D.-1

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)VTU的大小，確定m、n的值，再代入計算即可.

【解答】解：：3<同<4,而mVx/TUv”，其中相，〃為兩個連續(xù)的整數(shù)，

?*in~~3,H■=4,

；.（m-n）2023=（3-4）2023=-1,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查估算無理數(shù)的大小，理解算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提.

【變式2-8】（2022秋?通川區(qū)校級期末）已知整數(shù)x滿足近-2三久3位一1,則尤

【分析】先估算出近與夕的值的范圍，從而估算出近-2與V7-1的值的范圍，即可解答.

【解答】解：??,4<5<9,

.?.2<V5<3,

.\0<V5-2<1,

V4<7<9,

.,.2<V7<3,

.".1<V7-1<2,

:整數(shù)x滿足有一2WxW近一1,

??x~~1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握估算無理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵.

【變式2-9】（2022秋?輝縣市校級期末）若aV歷且a,b是兩個連續(xù)的正整數(shù)，

則的值是（）

A.9B.5C.4D.3

【分析】直接利用的近似值得出a,b的值，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：迎TP,且a,b為兩個連續(xù)的正整數(shù)，

；.a=4,6=5,

'.yja+b—7A+5=3.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了估算無理數(shù)大小，正確得出舊的取值范圍是解題關(guān)鍵.

【變式2-10】（2022秋?萊陽市期末）若a<g<b,且a、6為兩個連續(xù)的正整數(shù)，則

a+b的平方根是.

【分析】根據(jù)隹V何〈局解答.

［解答］I?：VV16<A/23<V25,

.,.4<V23<5,

.??a=4,b=5,

〃+。=4+5=9,

：.a+b的平方根是±3.

【點(diǎn)評】本題考查了平方根，求出a、6的值是解題的關(guān)鍵.

【變式2-11】（2022春?蓬江區(qū)校級月考）已知a,6為兩個相連的整數(shù)，滿足?！?、石+11

<b,則a+b的立方根為.

【分析】先估算出在的值的范圍，從而估算出&+11的值的范圍，然后求出a,b的值,

最后代入式子中，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：；4<6<9,

.\2<V6<3,

.,.13<V6+11<14,

,：a,b為兩個相連的整數(shù)，滿足aV、后+ll<b,

6=14,

〃+。=27,

：.a+b的立方根為3,

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握完全平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-12】（2022秋?古田縣期中）已知0,6為兩個連續(xù)的整數(shù)，且局Vb,

則2a-3b=.

【分析】首先估算-博在-5和-6之間，然后可得a、b的值，進(jìn)而可得答案.

【解答】I?：V-V36<-V33<-V25,

-6<-V33<-5,

??〃=-6,b~~-5,

2a-3。=-12+15=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)評】此題主要考查了估算無理數(shù)，用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值.

【變式2-13]（2022秋?海曙區(qū)期中）若整數(shù)x滿足3+V65<x<V65+2,則x的值

是?

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義估算無理數(shù)悔和痛的大小，進(jìn)而得出3+幗和

2+痛的大小即可.

【解答】解：:43=64,,53=125,而64V65V125,

.,.4<V65<5,

.,.7<3+V65<8,

又：V82=64,,92=81,而64V65V81,

/.8<V65<9,

.,.10<V65+2<ll,

又：整數(shù)x滿足3+悔<x<V65+2,

/.x=8或x=9或x=10,

故答案為：8或9或10.

【點(diǎn)評】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根、立方根的定義是正確估算的前提.

題型三估算無理數(shù)最接近的值

【例I題3】（2022秋?興隆縣期末）下列選項(xiàng)中的整數(shù)，與歷接近的是（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】直接利用已知得出接近后的有理數(shù)即可.

【解答】VV36<V37,

與何接近的是6.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出最接近的有理數(shù)是解題關(guān)鍵.

【變式3-1】（2022春?仙居縣期末）與有最接近的整數(shù)是.

【分析】用夾逼法估算無理數(shù)的大小即可得出答案.

【解答】解：V4<5<6.25,

/.2<V5<2.5,

???與花最接近的整數(shù)是2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)

是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2】（2021春?合肥期末）下列整數(shù)中，與盾最接近的整數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】先計算同位于哪兩個相鄰的整數(shù)之間，再確定51距離哪個整數(shù)的平方接近即可

確定答案.

【解答】解：；49<51<64,

；.V^<V51<V64,

即7<V51<8,

?；7.52=56.25,5K56.25,

與庖最接近的整數(shù)是7.

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查了無理數(shù)的估算，解題關(guān)鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題.

【變式3-3]（2022?三門峽二模）數(shù)軸上與-機(jī)最接近的整數(shù)是.

【分析】國大約等于1.7,由此可得出本題的答案.

【解答】解：-g-L7,

...最接近的整數(shù)為-2.

故答案為：-2.

【點(diǎn)評】本題主要考查了無理數(shù)的估算，解題關(guān)鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題.

【變式3-4]（2022秋?蘇州期末）下列整數(shù)中，與」（兀-4尸最接近的是（）

A.-1B.0C.1D.2

【分析】由1T-4<0,結(jié)合二次根式的性質(zhì)即可得出J（兀一4）2=4-兀,從而可確定

，（兀-4）2最接近的是1.

【解答】解：??F-4<0,

J（7T—4尸=4—7T.

：4-冗最接近1,

.?.與，（兀一4尸最接近的是1.

故選：C.

,_（a（a>）

【點(diǎn)評】本題考查二次根式的性質(zhì).掌握笳=,，0、是解題關(guān)鍵.

【變式3-5】（2022秋?南岸區(qū)期末）與2+VIU最接近的整數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】根據(jù)完全平方數(shù)，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：：9<10<16,

/.3<V10<4,

V3.52=12.25,

.,.3<V10<3.5,

A5<2+V10<5.5,

/.與2+同最接近的整數(shù)是5,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握完全平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-6】（2022春?瀘縣期末）與同一1最接近的整數(shù)是（)

A.5B.6C.7D.8

【分析】用夾逼法估算無理數(shù)的大小即可得出答案.

【解答】解：V36<40<42.25,

/.6<V40<6.5,

.,.5<V40-1<5.5,

...最接近的整數(shù)是5,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，無理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)

是解題的關(guān)鍵.

【變式3-7】下列整數(shù)中，與舊+3最接近的是（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】先估算出局的取值范圍，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)估算出g+3的取值范圍即

可.

【解答】解：：3.62<13<3.72,

.,.3.6<V13<3.7,

.\3.6+3<V13+3<3.7+3,

即6.6<V13+3<6,7,

...與VH+3最接近的是7.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出無理數(shù)的取值范圍是解題關(guān)鍵.

【變式3-8】（2022秋?九龍坡區(qū)校級月考）與6-同最接近的整數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用實(shí)數(shù)的大小比較來判斷.

【解答】解：???同最接近的數(shù)是4,

...6最接近的整數(shù)是2,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)，解題的關(guān)鍵是實(shí)數(shù)的大小比較.

【變式3-9】（2022秋?寧德期末）定義區(qū)為不大于x的最大整數(shù)，如⑵=2,［舊］=1,

［4.1］=4,則滿足［低］=5,則w的最大整數(shù)為.

【分析】由題意得：5<V^<6,然后利用平方運(yùn)算，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：由題意得：

V5<Vn<6,

.?.25W〃<36,

：.n的最大整數(shù)為35.

故答案為：35.

【點(diǎn)評】本題考查了無理數(shù)的估算，掌握夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是關(guān)鍵.

【變式3-10】（2022春?香洲區(qū)期末）如圖，用邊長為3的兩個小正方形拼成一個面積為

18的大正方形，則大正方形的邊長最接近的整數(shù)是（）

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的概念結(jié)合正方形的性質(zhì)得出其邊長，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：???用邊長為3的兩個小正方形拼成一個大正方形，

大正方形的面積為：9+9=18,

則大正方形的邊長為：V18,

VV16<V18<VT52,

.,.4<V18<4.5,

大正方形的邊長最接近的整數(shù)是4.

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了算術(shù)平方根，正確掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

題型四利用估算比孩數(shù)的大小

【例題4】（2022?惠水縣模擬）下列各數(shù)中比-次小的數(shù)是（）

A.-2B.-1C.-ID.0

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法分析得出答案.

【解答］解:V|-2|=2,|-V3|=V3,

由2>\倍，

/.-2<-V3,故此選項(xiàng)正確；

B、V|-1|=1,|-V3|=V3,

由相,

/.-1>-V3,故此選項(xiàng)錯誤；

C、：1一方=奈|-V3|=V3,

由一〈追,

2

，―義>—遮，故此選項(xiàng)錯誤；

D、0>-V3,故此選項(xiàng)錯誤；

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)比較大小，正確掌握比較方法是解題關(guān)鍵.

【變式4-1】（2021秋?乳山市期末）通過估算比較大小，下列結(jié)論不正確的是（）

____-J7—21

A.V69>V16B.-710>7=27C.-------<-D.715<2V5

22

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義和立方根的定義估算各根式的大小，然后再比較大小即可.

【解答】解：4因?yàn)?4<69,所以4<閘，由6石=4,可知網(wǎng)>71%，故A正確，與

要求不符；

B、7=27=-3,-V10<-V9=-3,故-VIUvg7,故B錯誤，與要求相符；

C、V7<3,故此，V7-2<1,故此之二〈士則C正確，與要求不符；

22

。、2V5=V20,V15<V20,故。正確，與要求不符.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是實(shí)數(shù)大小比較，掌握無理數(shù)的大小的方法是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2】（2022春?鐵東區(qū)校級月考）若將十，V6,2V3,VH四個無理數(shù)表示在數(shù)

軸上，其中能被如圖所示的墨跡覆蓋的數(shù)是（）

???，---------------IIa

-2-1-------------45

A.-V2B.2A/3C.V6D.VT1

【分析】先估算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【解答】解：-也是負(fù)數(shù),在原點(diǎn)的左側(cè)，不符合題意；

2V3=V12>V9=3,在墨跡覆蓋處的右邊，不符合題意；

V4<V6<V9,BP2<V6<3,符合題意；，

VT1>V9,即VH>3,在墨跡覆蓋處的右邊，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查無理數(shù)的大小比較；熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，能夠準(zhǔn)確判斷無理數(shù)的

范圍是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2021秋?灌云縣月考）已知：a=V2-1,b=2—V5,則a、6的大小關(guān)

系為：ab（填“>”、"V”或“=”）.

【分析】先判斷。、6的正負(fù)，再比較它們的大小.

【解答】解：

a=V2—1>0,

,.?2<V5<3,

:.b=2-展V0,

??.〃〉〃，

故答案為：>.

【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)大小比較，解答本題的關(guān)鍵是明確實(shí)數(shù)的意義，會比較實(shí)數(shù)的大小.

,V5-21V2+1V10-18…

［變式4-4】通過估算比較大?。阂?——-_________1；_-_（填

33229

“V”或“>”）

【分析】先估算出各個數(shù)的范圍，再比較大小.

【解答】解：V2<V5<3,

.,.0<V5-2<l,

VI<V2<2,

.,.2<V2+1<3,

V2+1

/.----->1；

2

V3<V10<4,

.,.2<V10-l<3,

Vio-i

???--------->1,

2

8

v-<1,

9

V10-18

------>一,

29

故答案為：V,>,>.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，估算出無理數(shù)的大小是解決本題的關(guān)鍵.

【變式4-5】通過估算，比較下面各組數(shù)的大?。?/p>

11I—

(1)-------，一；(2)V15,3.85.

22

【分析】(1)首先得出百的近似值，進(jìn)而得出答案；

(2)首先求出3.852,進(jìn)而比較即可.

【解答】解:(1)VV3?1.73,

.\V3-K1,

V3-11

-------V-；

22

(2)V3.852^14.8,

AV15>3.85.

【點(diǎn)評】此題主要考查了估算無理數(shù)大小，正確估算B的近似值是解題關(guān)鍵.

【變式4-6】通過估算比較大小:

V99-7V10-1

(1)(2)----------與一.

233

V99—7338V99-7

【分析】⑴先把回看作瘋得出丁<1再比較清g的大小，即可得出與

2

O

g的大小,

V10-1Vs-iV10-11

(2)把VIU看作需可得---------->------,---即-，>-.

3333

V99-7V100-7V99-73

【解答】解:(1)---------<-----------,即-------<-,

2222

315816

一,

2-10’510

316

V—，

210

V99-78

------<一,

2---5

V10-1^8-1

（2）------->-----，

33

V10-11

------>]

3---3

【點(diǎn)評】此題主要考查了的是實(shí)數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是選擇合適的被開方數(shù).

題型五無理數(shù)整數(shù)部分與小數(shù)部分問題

【例題5】（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）已知：V3=