2023北京首都師大附中初三12月月考數(shù)學(xué)

2023北京首都師大附中初三12月月考

數(shù)學(xué)

2023.12.26

一、選擇題（共16分，每題2分）

1.在RtZkABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5,貝Ucos^B的值為（）

3434

A.-B.一C.-D.—

5543

2.已知x=a是關(guān)于無的方程/+依—2=o的根，則。的值為（）

A.0B.1C.—1D.+1

3.某游戲的規(guī)則為：選手蒙眼在一張如圖所示的正方形黑白格子紙（九個(gè)小正方形面積相等）上描一個(gè)

點(diǎn)，若所描的點(diǎn)落在黑色區(qū)域，獲得筆記本一個(gè)；若落在白色區(qū)域，獲得鋼筆一支.選手獲得筆記本的概

率為（）.

4.如圖，為了測(cè)量某棵樹的高度，小剛用長(zhǎng)為2m的竹竿作測(cè)量工具，移動(dòng)竹竿，使竹竿、樹的頂端的影

子恰好落在地面的同一點(diǎn)，此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)相距6m,與樹距15m,那么這顆樹的高度為（）

5.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流/（單位：A）與電阻R（單位：。）是反比例函數(shù)關(guān)

系，它的圖象如圖所示.若不超過3A為安全電流，則電阻的取值范圍是（）

6.如圖，已知R4,分別與，O相切于4B點(diǎn),C為優(yōu)弧ACB上一點(diǎn)，ZAPB=40°,則NACB

等于（）

A.70°B.75°C.80°D.100°

7.如圖，RtZXABC與Rt.EDC中NR4c=NDEC=30°,若AE/7BC5C=2,OC=3,AE等于

B.4D.3A/3

8.小明在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)后，對(duì)從解析式的角度研究函數(shù)有了新的體會(huì).現(xiàn)有函

數(shù)，=一

（其中m為常數(shù)，且/>1）,經(jīng)小明研究得出了下面幾個(gè)關(guān)于函數(shù)圖象特征的結(jié)論，其

中錯(cuò)誤的是（）

A.經(jīng)過原點(diǎn)B.不經(jīng)過第二、四象限

C.關(guān)于直線x=m對(duì)稱D.與直線）=九有三個(gè)交點(diǎn)

二、填空題（共16分，每題2分）

9.點(diǎn)A（l,%）,5（2,%）為反比例函數(shù)y=K（4w0）上的兩個(gè)點(diǎn)，若%>為，寫出一個(gè)符合條件的左的值

10.若將拋物線y=r—2x向上平移后經(jīng)過點(diǎn)（2,3）,所得拋物線的解析式為.

11.如圖，的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，貝UtanNACB的值為.

12.若拋物線y=x2+5x-左與x軸有交點(diǎn)，則上的取值范圍是.

13.如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，連接OE交對(duì)角線AC于點(diǎn)尸，若

AB=4,AD=3,AE=1,則CF的長(zhǎng)為.

14.ABC中，A3=AC=4,NA=120。，。是A3的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心作C。，若（一。與邊BC有且

僅有一個(gè)交點(diǎn)，則。的半徑廠應(yīng)滿足.

15.若拋物線y=/+6x+c的頂點(diǎn)在x軸上，且關(guān)于x的不等式/+法+c〈機(jī)的解集為一1＜兀＜3,則

m的值為.

16.正方形ABCD中，點(diǎn)E是A3邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接。及/。石3的角平分線所交邊于點(diǎn)廠，

若DGLEF于點(diǎn)、G,連接AG,BG,給出下面四個(gè)結(jié)論：

②當(dāng)4MG＞45°時(shí)，存在點(diǎn)E，使得△DEG為等腰直角三角形；

③AG=OG；

④當(dāng)AG+3G取得最小值時(shí)，滿足AG+BG=垃CD-

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21題6分，第22題5分，第23-24題,

每題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）

17.解方程：X2-4X+2=0

18.已知a為方程2爐—3%—1=0的一個(gè)根，求代數(shù)式（a+l）（a—l）+3a（a—2）的值.

19.如圖，中，點(diǎn)。在邊AB上，滿足NACD=NABC,若AC=4,AD=3.求05的長(zhǎng).

20.如圖，。。的直徑AB垂直于弦CD,垂足P是OB的中點(diǎn)，CD=6cm,求直徑AB的長(zhǎng).

B

21.已知關(guān)于X的一元二次方程一〃氏+m—1=0.

(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若此方程的一個(gè)根是另一個(gè)根的三倍，求整數(shù)用的值.

22.已知二次函數(shù)>=--2%-3.

(1)將>=必—2x—3化成y=a(x—入了十女的形式，并寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象；

(3)當(dāng)-l<x<2時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫出函數(shù)值》的取值范圍.

23.如圖，AB為。。的直徑，C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD是。O的切線，D為切點(diǎn)，OFLAD于點(diǎn)E,交

CD于點(diǎn)F.

(1)求證：ZADC=ZAOF；

24.平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)4(2,m)是反比例函數(shù)y=-的圖象與直線y=x+l的交點(diǎn).

x

5^

5

(1)求加和左的值;

(2)已知點(diǎn)P(〃,0),過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線，交直線y=x+l于點(diǎn)3,交函數(shù)y=&圖象于點(diǎn)C.

x

①當(dāng)〃=3時(shí)，求/ACB的度數(shù)；

②若NACB>45°,結(jié)合圖象，直接寫出〃的取值范圍.

25.在學(xué)習(xí)《用頻率估計(jì)概率》時(shí)，小明和他的伙伴們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)摸球試驗(yàn)：在一個(gè)不透明帆布袋中裝有

白球和紅球共4個(gè)，這4個(gè)球除顏色外無其他差別，每次摸球前先將袋中的球攪勻，然后從袋中隨機(jī)摸出

1個(gè)球，觀察該球的顏色并記錄，再把它放回，在老師的幫助下，小明和他的伙伴們用計(jì)算機(jī)模擬這個(gè)摸

球試驗(yàn)，如圖顯示的是這個(gè)試驗(yàn)中摸出一個(gè)球是紅球的結(jié)果.

紅球頻率1

0.758

0.756

0.754

0.752

0.750

0.748

0.746

0.744

010002000300040005000600070008000900010000摸爆次數(shù)/次

（1）根據(jù)所學(xué)的頻率與概率關(guān)系的知識(shí)，估計(jì)從這個(gè)不透明的帆布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球的概率是

，其中紅球的個(gè)數(shù)是;

（2）如果從這個(gè)不透明的帆布袋中同時(shí)摸出兩個(gè)球，用列舉法求摸出的兩個(gè)球剛好一個(gè)是紅球和一個(gè)是

白球的概率；

（3）在袋中再放入九個(gè)白球，那么（2）中的概率將變?yōu)椋ㄓ谩ū硎荆?

26.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（Lm）,3（3,〃）在拋物線丁=依2+法上.設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線

x=t.

（1）若〃z=T,〃=3,求f的值；

（2）若對(duì)于拋物線上的點(diǎn)（外,乂）,（%2，%），當(dāng)0</<。+1時(shí)，都有力>%，求才的取值范

圍.

27.如圖，為等邊三角形，。為AC邊上一點(diǎn)，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD=CE.

（1）若尸為皮）的中點(diǎn)，連接

①補(bǔ)全圖形；

②判斷AQE尸的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）在（1）的條件下，點(diǎn)B關(guān)于直線A廠的對(duì)稱點(diǎn)是8,連接"E，若A8=&，直接寫出"E的

最小值.

28.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對(duì)于點(diǎn)尸和圖形以點(diǎn)P為圓心，1為半徑作0P,圖形M上的每一個(gè)

點(diǎn)。（不是原點(diǎn)），都能使得直線O。與。有公共點(diǎn)，那么稱圖形M和點(diǎn)P關(guān)聯(lián).

（1）點(diǎn)下列圖形中與點(diǎn)P關(guān)聯(lián)的圖形是;

①y軸；

②直線％=!；

2

③半徑為1的：。；

④線段HK,其中X（O,—1）,K（—L-1）.

（2）點(diǎn)P在直線y=l上，點(diǎn)A在X軸上，點(diǎn)B在第一象限，已知Q45為等邊三角形，若OAB與點(diǎn)P

關(guān)聯(lián)，求點(diǎn)尸橫坐標(biāo)方的取值范圍；

（3）平面上一點(diǎn)C滿足OC=2夜，將點(diǎn)C繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)C,連接CC,點(diǎn)、尸在線段

CC'上.點(diǎn)E在以。為中心，邊長(zhǎng)為8的正方形上，E與點(diǎn)P關(guān)聯(lián)，直接寫出的半徑r的取值范

圍.

參考答案

一、選擇題（共16分，每題2分）

1.【答案】B

【分析】根據(jù)余弦的定義計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，

BC7AB2-AC2=4

BC4

在RtZkABC中，cosB==—,

AB5

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角A的鄰邊6與斜邊c的比叫做角A的余弦是解題的

關(guān)鍵.

2.【答案】D

【分析】本題考查了方程的解的定義，即使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，掌握方程的解的意義是解題

的關(guān)鍵.把x=a代入*2+依一2=0求得。=±1.

【詳解】解：把x代入f+依―2=0得

a~+cr—2=0，

a2=1

故。=±1

故選D.

3.【答案】D

【詳解】試題分析：因?yàn)橐还灿?個(gè)小正方形，其中黑色小正方形有5個(gè)，所以選手獲得筆記本的概率為

—,故選D.

9

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單事件的概率.

4.【答案】B

【分析】先判定△。鉆和AOCD相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可.

【詳解】解：如圖，

:.NDAB^NOCD,

.AB_OB

~CD~~OD，

AB=2m,OB=6m,OD=6+15=21m,

.26

,,一，

CD21

解得CD=7根.

這顆樹的高度為7m,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，讀懂題目信息，確定出相似三角形是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】D

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用.根據(jù)函數(shù)圖象即可得可變電阻的變化范圍.

【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象知，

不超過3A為安全電流，則電阻的取值范圍是H22，

故選：D.

6.【答案】A

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn).連接。4、0B,根據(jù)切線的性質(zhì)可得

NOAP=NOBP=9。。,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出/A03,最后根據(jù)圓周角定理即可解答.

【詳解】解：如圖，連接（M,0B,

PA,P5分別與.。相切于48兩點(diǎn)，

:.OArPA,OB±PB,

:.ZOAP^ZOBP^90°,

ZAOB=360°-90°-90°-40°=140°,

.\ZACB=-ZAOB=-xl40°=70°.

22

故選：A.

7.【答案】C

【分析】本題考查了含30°直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)；

根據(jù)含30。直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出AC和CE,然后證明NC4石=90°,再利用勾股定理求

出AE即可.

【詳解】解：：RtAABC與Rt,EDC中ZBAC=NDEC=30°,

ZACB=90。，ZDCE=90°,AB=2BC=4,DE=2CD=6,

?*-AC=siAB2-BC2=2>/3-CE=[DE2-C?=3+，

AE//BC,

ZCAE^ZBCA=90°,

???AE=^CE2-AC2=J(3@2—(2/『=J15，

故選：C.

8.【答案】D

【分析】本題考查了二次函數(shù)，反比例函數(shù)等性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)和反比例函數(shù)知識(shí)逐一判斷即可得出答

案.

【詳解】解：A.當(dāng)％=0時(shí)，y=0,說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；

B.當(dāng)x<0時(shí)，y<0,當(dāng)x>0且xwzn時(shí)，y>0,說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；

m

。當(dāng)％=機(jī)時(shí)，y-------石無意義，說法正確，故選項(xiàng)不符合題意；

(m—m)

x

y=-----------

D.由｛(X-m)2得，可以求得x=m±l,只有兩個(gè)交點(diǎn)，選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選項(xiàng)符合題意；

y=x

故選：D.

二、填空題(共16分，每題2分)

9.【答案】1(答案不唯一)

【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.由題可知4B在

一個(gè)象限，根據(jù)為>為得到圖象位于一、三象限，即左>。給出符合題意的左值即可.

【詳解】由題可知A,8在一個(gè)象限，

<?,%>為，

k

二反比例函數(shù)y=-(k^0)的圖象位于一、三象限，

左＞0,

即左=1,

故答案為：1（答案不唯一）.

10.【答案】y—x~—2.x+3

【分析】主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.并用規(guī)律求函數(shù)

解析式.

【詳解】解：將拋物線丁=三一2x向上平移后的解析式為：y^x2-2x+m（m>0）,

把（2,3）代入y=d-2了+帆得4—4+/〃=3,

解得：m=3,

...解析式為：y=Y—2x+3,

故答案為：y=x2-2x+3.

11.【答案】1

【分析】本題考查三角函數(shù)，勾股定理.作5。J_AC于點(diǎn)。，根據(jù)等積法求出皮）的長(zhǎng)，結(jié)合勾股定理

及正切定義直接求解即可得到答案.

【詳解】解：作于點(diǎn)。，由圖形可得，

BC=V32+12=Vio>AB=2,AC=，32+32=3收，

：.-x3s/2xBD=-x2x3,

22

解得:BD=O，CD=《BC?—BEP=20，

CD2V22

故答案為：g；

25

12.【答案】人-彳

【分析】本題考查拋物線與無軸的交點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確一之0時(shí)，拋物線與X軸有交點(diǎn).

【詳解】解：：拋物線y=/+5x—左與x軸有交點(diǎn)，

AA=25-4xlx(-^)>0,

解得：k>-----,

4

25

故答案為：k>-----.

4

13.【答案】4

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理求出AC=5根據(jù)

矩形的性質(zhì)證明.AEFs.,CDF,利用三角形相似的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：ABCD是矩形，

:.AB//CD,CD=AB=4,

；；.AEF—CDF,

.AEAF

"CD~CF

ZADC^9Q°,AD=3,

AC=y]AD2+CD2=5-

AEAF_1

,CD-CF-4)

:.AF=-CF,

4

AF+CF=-CF+CF=AC=5,

4

.-.CF=4.

14.【答案】r=1或2<廠4庖

【分析】本題考查含30。角的直角三角形的性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系，掌握直線與圓的位置關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

過點(diǎn)。作的垂線，垂足為E,過點(diǎn)A作”，6c于點(diǎn)E連接C。，根據(jù)30。角所對(duì)的直角邊等于斜

邊的一半可以得到AF=2,3E=26，DE=1,BE=6,利用勾股定理求出長(zhǎng)，分為相切和當(dāng)8

在圓內(nèi)部，點(diǎn)C在。。上或在。外分類討論即可解題.

【詳解】過點(diǎn)。作5C的垂線，垂足為E，過點(diǎn)A作河，6c于點(diǎn)口，連接C。，

:.ZB=ZC=30°,

???。是AB的中點(diǎn)，

:.BD=2,

:.DE=l,BE=e,AF=2,BF=26，

'：AB=AC=4,

BC=2BF=473，

/?EC=BC-BE=4^-6=35

CD=,+(3國(guó)=731.

當(dāng)DE=r,即r=l時(shí)，。與邊5C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)B在圓內(nèi)部，點(diǎn)。在。上或在。外時(shí)，即2<廠<商時(shí)，與邊也有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

.?.當(dāng)廠=1或2(廠〈用，。與邊有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

故答案為：r=l或

15.【答案】4

【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根據(jù)拋物線y=V+6x+c

的頂點(diǎn)在無軸上得出c=L,再根據(jù)不等式X2+法+c<"2的解集為—1<X<3可以得出x=—1或x=3

4

是關(guān)于x的方程爐+法+c—m=0的解，然后解方程組即可求出加的值.

【詳解】解：拋物線丁=必+法+。的頂點(diǎn)在x軸上，

.?萬—4c=0，

b2

,.c——,

4

不等式X2+bx+c<m的解集為—1<x<3,

:.x=-1或x=3是關(guān)于x的方程V+法+c—機(jī)=o的解，

b2

l—-------m=0

4

,b2'

9+3b-\-------m=0

I4

■-m的值為4,

故答案為：4.

16.【答案】①③④

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和垂直判定共圓，結(jié)合同弧所對(duì)圓周角相等推出矛盾，并證明

GAHW.GDM,利用AG=OG得到三點(diǎn)共線時(shí)最短距離.

【詳解】解：作MGLDE于M,GH_LAB于H,如圖,

:.MG=GH,

■：ZDAE=ADGE=90°,

；.A、D、G、E四點(diǎn)共圓，故①正確；

ZDGE=90°,

設(shè)存在點(diǎn)E,使得一。EG為等腰直角三角形，

/GDE=NGED=45。,

：.ZGED=ZDAE=45°,

?：ZDAG>45°,

矛盾，不存在，故②錯(cuò)誤；

VZGAH=ZGDM,ZGHA=ZGMD=90°,GH=GM,

：.^GAH^GDM(AAS),

：.GA=GD,故③正確；

則AG+5GuOG+NG,

當(dāng)。、G、B三點(diǎn)共線時(shí)，AG+6G有最小值，最小值是的長(zhǎng)，

?..四邊形ABCD為正方形，

AD=AB=DC,

AG+BG>DB=y/DA^+AB2=《DC?+DC。=42CD，故④正確；

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、角平分線性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)和最短距離問題，利

用同弧所對(duì)圓周角相等和證明GAH^GDA/是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共68分，第17-20題，每題5分，第21題6分，第22題5分，第23-24題，

每題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分)

17.【答案】%,=2+72,x2=2-72

【分析】本題考查一元二次方程，利用配方法求解即可.

【詳解】解：產(chǎn)―4%+2=0

X2—4x+4——2+4

(x-2)2=2

x—2=+V2

解得：％=2+V^,x2=2—V2.

18.【答案】1

【分析】將。代入方程中得2a2—3a=l，將所求代數(shù)式化簡(jiǎn)整理后，把2/—3a=1整體代入即可.

【詳解】解：為方程2/—3x—1=0的一個(gè)根，

-2。~—3a—1=0-

；?2a2—3。=1.

原式=-1+3a2—6a=4-cr—6a-I=2(2a--3a)-1=2x1-1=1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解的概念，以及用整體代入法求代數(shù)式的值.解題的關(guān)鍵是掌握整

體代入法.

7

19.【答案】-

3

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

ACAD

證明△ACDS"BC,則一=一,求AB,根據(jù)=—AD,計(jì)算求解即可.

ABAC

【詳解】解：：NACD=NABC,ACADABAC,

：.AACD^AABC,

.ACADRn43

ABACAB4

解得=

3

7

DB=AB-AD=-,

3

7

03的長(zhǎng)為一.

3

20.【答案】4A/3

【詳解】連結(jié)OC,BC,貝|OC=OB

：PC垂直平分0B,

/.OC=BC.

.*.OC=OB=BC.

△BOC為等邊三角形.

ZBOC=60°

由垂徑定理，CP=1cD=3cm

在RtAPOC中，/=tan/COP=7^

OP=y/3cm.

AB=2OB=4OP=4拒cm.

4

21.【答案】（1）見解析（2）—或4

3

【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式、解一元二次方程，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，采用分類討論

的思想解題，是解此題的關(guān)鍵.

（1）先計(jì)算出根的判別式的值得到△=（丫-4xlx［（m-1）］>0,然后根據(jù)根的判別式的意義即可得

到結(jié)論；

（2）先解方程得出X1=1,%="2一1，再分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)/=3王時(shí)，分別列出方程，

解方程即可得到答案.

【小問1詳解】

解：△=（一加）一一4xlx［（m-1）］

=m2—4m+4,

=（m-2）2>0.

，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

【小問2詳解】

解：x2-mx+m-1=0>

=0,

解得：%=1,x2=m-l,

.,.當(dāng)%=3々時(shí)，l=

4

解得：機(jī)=§；

當(dāng)=3%時(shí)，冽-1=3,

解得：根=4,

4

綜上所述，加的值為一或4.

3

22.【答案】（1）y=（x—1）2—4,（1,-4）

（2）見解析（3）-4<y<0

【分析】（1）運(yùn)用配方法將原解析式化為頂點(diǎn)式即可；

（2）根據(jù)（1）所得的頂點(diǎn)式解析式，利用五點(diǎn)作圖法直接畫出圖像即可;

（3）根據(jù)函數(shù)圖像確定當(dāng)-1<%<2時(shí)對(duì)應(yīng)的y的取值范圍即可.

【小問1詳解】

y=x2-2x-3

=無2—2x+l-1-3

=（X-1）2-4.

【小問2詳解】

列表如下：

X-i0123

y0-3—4-30

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確畫出二次

函數(shù)的圖象成為解答本題的關(guān)鍵.

23.【答案】（1）見解析；（2）2.

【分析】（1）連接0D,根據(jù)CD是。。的切線，可推出NADC+/ODA=90。，根據(jù)OFLAD,

ZAOF+ZDAO=90°,根據(jù)OD=OA,可得NODA=NDAO,即可證明；

（2）設(shè)半徑為r,根據(jù)在Rt^OCD中，sinC=-,可得=OC=3r,AC=2r,由AB為。0的直

3

徑，得出NADB=90。，再根據(jù)推出OF,AD,OF//BD,然后由平行線分線段成比例定理可得

1J-!2

OEOA

求出OE,——=——=-,求出OF,即可求出EF.

BDAB2BDBC4

【詳解】（1）證明：連接OD,

AODXCD,

???ZADC+ZODA=90°,

VOFXAD,

ZAOF+ZDAO=90°,

VOD=OA,

AZODA=ZDAO,

JZADC=ZAOF；

在RtZYDCD中，sinC=-,

3

OD1

--------二一,

OC3

OD=r,OC=3r,

VOA=r,

AAC=OC-OA=2r,

TAB為。O的直徑，

???ZADB=90°,

XVOFXAD,

???OF〃BD,

?OE_OA_1

，9BD~AB~2f

AOEM,

..OFOC

?BD-BC_4'

:.OF=6,

，EF=OF-OE=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)，切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是90。，

靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

24.【答案】（1）m=3,k=6

（2）①Z4CB=45。；②〃>3或"―3

【分析】（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出點(diǎn)A坐標(biāo)，即求出m的值，再把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比

例函數(shù)解析式，求出k的值即可；

（2）①根據(jù)（1）所求求出5（3,4）,C（3,2）,進(jìn)而利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明

AC-+AB2=BC2,AC=BC，即可得到NACB=45°；②設(shè)￡（3,4）,尸（3,2）,當(dāng)〃>3時(shí)，設(shè)直線

交直線A/于G,先證明AGB=NAFE=45。，則由三角形外角的性質(zhì)可得

NACB=NAGfi+NC4G=45°+NC4G>45°,類似可得當(dāng)0<〃<3時(shí)，ZACB<45°,同理可得

當(dāng)”<—3時(shí)=+4H=45°+NC4H>450；綜上所述，當(dāng)〃>3或〃<—3,

ZACB>45°.

【小問1詳解】

解:把4（2,〃。代入y=x+l中得：機(jī)=2+1=3,

A（2,3）,

把4（2,3）代入y」中得：3=3

X2

：.k=6；

【小問2詳解】

解：①在丁=尤+1中，當(dāng)％=3時(shí)，y=4,在y=9中，當(dāng)％=3時(shí)，y=2,

X

：.B（3,4）,C（3,2）,

；?AC=J（3-2）2+（4-3）2=6,43=J（3-2）2+（2—3）2=&，BC=2,

???AC2+AB2=BC2,AC=BC>

是等腰直角三角形，且NBAC=90°,

ZACB=45°；

②設(shè)￡（3,4）,F（3,2）,

當(dāng)〃>3時(shí)，設(shè)直線交直線好于G,

■：EFBG,

：.AGfi=ZAEE=45°,

NACB=/AGB+ZCAG=45°+ZCAG>45°,

類似可得當(dāng)0<〃<3時(shí)，NACB<45°,

當(dāng)〃>3時(shí)，ZACB>45°；

同理當(dāng)“<0時(shí)，可求得當(dāng)〃=—3時(shí)，ZAMN=45°,

同理可得當(dāng)〃<—3時(shí)，ZAC'B'=ZAHB'+NCAH=450+NC'AH>45°；

綜上所述，當(dāng)”>3或〃<—3,ZACB>45°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的

性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)等等，利用待定系數(shù)法求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，以及利用數(shù)形結(jié)合和分類

討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】(1)0.75,3

⑶+7/7+6

rT+777+12

【分析】(1)根據(jù)圖表中的頻率分布可估計(jì)概率，再利用總數(shù)乘以概率可得紅球個(gè)數(shù)；

列出表格，利用概率公式計(jì)算；

由(2)可知可能出現(xiàn)的結(jié)果共有(〃+4)仇+3)="+7〃+12種，且這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，其中摸

出的兩個(gè)球剛好一個(gè)是紅球和一個(gè)是白球共有(〃+4)(八+3)-6=*+7〃+6種結(jié)果，計(jì)算概率即可.

【小問1詳解】

解：由圖表可知：摸出紅球的頻率分布在0.75上下，則可估計(jì)隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球的概率是0.75,紅

球的個(gè)數(shù)是：4x0.75=3個(gè)，

故答案為：0.75,3；

【小問2詳解】

列表格為：

紅1紅2紅3白

紅1/紅1,紅2紅1,紅3紅1,白

紅2紅2,紅1/紅2,紅3紅2,白

紅3紅3,紅1紅3,紅2/紅3,白

白白，紅1白，紅2白，紅3/

可以看出，從帆布袋中同時(shí)摸出兩個(gè)球，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，且這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等,

其中摸出的兩個(gè)球剛好一個(gè)是紅球和一個(gè)是白球共有6種結(jié)果，概率為

122

【小問3詳解】

解：從帆布袋中同時(shí)摸出兩個(gè)球，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有5+4）5+3）=*+7〃+12種，且這些結(jié)果

出現(xiàn)的可能性相等，其中摸出的兩個(gè)球剛好一個(gè)是紅球和一個(gè)是白球（記為事件A）共有

n2+777+6

(〃+4)(〃+3)-6=〃2+7〃+6種結(jié)果，概率為

n~+7/7+12

rr+777+6

故答案為:

n+771+12

26.【答案】（1）/的值為1

（2）1<一1或年2

【分析】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).熟練掌握數(shù)形結(jié)合法求解二次函數(shù)的問題

是解題的關(guān)鍵.

（1）由題意知A。,—1）,5（3,3）,待定系數(shù)法求得根據(jù)對(duì)稱軸為直線%=/=—（，計(jì)算求解

即可；

（2）由丁=以2+法，對(duì)稱軸為直線1=可得二次函數(shù)的圖象與無軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,（260）,分

當(dāng)a>0,f>0時(shí)，當(dāng)a>0,r<0時(shí)，當(dāng)a<0,r<0時(shí)，當(dāng)"0,『>0時(shí)，四種情況，結(jié)合圖象求解即

可.

【小問1詳解】

解：Vm=-l,n=3,

4(1,-1)1(3,3),

a+b=-1

將A（l,—1）,5（3,3）代入y=+/?%得，<

9a+3b=3

—?1

解得,

<b=-2

工對(duì)稱軸為直線x—t-..=--=1,

2a2

??:的值為1;

【小問2詳解】

解：y=ax1+bx,

當(dāng)％=0時(shí)，y=0,

二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，

:對(duì)稱軸為直線％=/,

二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,（2力0）,

當(dāng)。>0,/>0時(shí)，如圖1,

圖I

?.?當(dāng)0<西<1/<々<f+l時(shí)，都有％〉內(nèi),

解得，?>2；

當(dāng)。>0,r<0時(shí)，如圖2,

圖2

:當(dāng)0<占<1/<々<1+1時(shí)，都有%>%，

.../+1W0,

解得，/<—1;

當(dāng)a<0,f<0時(shí)，如圖3,此時(shí)不滿足當(dāng)0<%</+1時(shí)，都有％〉為；舍去;

當(dāng)a<0,/>0時(shí)，如圖4,此時(shí)不滿足當(dāng)0<玉</+1時(shí)，都有力>%；舍去;

圖4

綜上所述，/4-1或/22.

27.【答案】（1）①見解析；②EFLAF，EF<AF，證明見解析

（2）—A/2

2

【分析】（1）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

②延長(zhǎng)A尸至點(diǎn)G,使尸G=A/，連接BG,AE,GE,根據(jù)SAS證明.A￡>/瑪.GM得

AD=BG,ZG=ZDAF,再根據(jù)SAS證明△ABGZzXACE得AG=AE=2AF,

ZBAG=ZCAE,可證△AEG是等邊三角形，然后利用勾股定理即可求出EF=；

（2）55'交"的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接B'F,B'E,DE,作DH〃BC交AB于點(diǎn)H,由軸對(duì)稱的性質(zhì)得

BF=B'F>ZBFG=ZB'FG=ZAFD,根據(jù)SAS證明...EB'E1均EDE得=再根據(jù)SAS證

明，BHg；；DCE得BD=DE，從而BD=B'E，則當(dāng)8。最短時(shí)，3'E取得最小值，然后求出班）的

最小值即可.

【小問1詳解】

解：①如圖，根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形如下：

②EFLAF，EF=6AF，證明如下：

,/ABC為等邊三角形，

/.ZABC=ZACB=ABAC=60°,AB=AC,

：.NACE=120°,

如圖，延長(zhǎng)AF至點(diǎn)G,使FG=AF,連接BG,AE,GE,

?.?/為8。的中點(diǎn)，

：?BF=DF，

'：AAFD=ZBFG,

：.ADF^GBF(SAS),

：.AD=BG,ZBGF=ZDAF,

BG//AD,

ZCBG=ZACB=60°,

：.ZABG=ZABC+ZCBG=120°,

ZABG=ZACE,

_ABG空ACE(SAS),

/.AG=AE=2AF,ZBAG=ZCAE,

ZEAF=ZBAC=60°,

；?ZVIEG是等邊三角形，

:AF=GF,

--EF1AF，

22

EF=y]AE-AF=#1Ap；

【小問2詳解】

如圖，8?交Ab的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接B'F,B'E,DE,作DH〃B。交AB于點(diǎn)H,

?.?點(diǎn)8關(guān)于直線AF的對(duì)稱點(diǎn)是8，

/._BFG￡B'FG,

/.BF=B'F，ZBFG=ZB'FG=ZAFD.

：F為3。的中點(diǎn)，

.BF=FD=RF.

,FE=FE,

：.,FB'E^..FDE（SAS）,

；?B'E=DE.

；為等邊三角形，

/ABC=ZACB=ABAC=60°,AB=AC=娓,

：.ZACE=120°.

?：DH//BC,

/.ZAHD=ZABC=60°,ZADH=ZACB=60°,

,Affl）是等邊三角形，

AAD=DH=AH,ZAHD=60°,

Z.BH=CD