小題壓軸題專練22-立體幾何（翻折問題）-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

小題壓軸題專練22—立體幾何（翻折問題）一．單選題1．如圖，四邊形為矩形，，是的中點(diǎn)，將沿翻折至的位置（點(diǎn)平面，設(shè)線段的中點(diǎn)為．則在翻折過程中，下列推斷不正確的是A．平面 B．的長度恒定不變 C． D．異面直線與所成角的大小恒定不變2．如圖甲，在梯形中，，，、分別為、的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)不落在平面內(nèi)（如圖乙），那么在以下3個結(jié)論中，正確結(jié)論的個數(shù)是①平面；②平面；③平面．A．0 B．1 C．2 D．33．已知菱形，，為邊上的點(diǎn)（不包括，，將沿對角線翻折，在翻折過程中，記直線與所成角的最小值為，最大值為，A．，均與位置有關(guān) B．與位置有關(guān)，與位置無關(guān) C．與位置無關(guān)，與位置有關(guān) D．，均與位置無關(guān)4．如圖所示，在直角梯形中，，，分別是，上的點(diǎn)，，且（如圖，將四邊形沿折起，連結(jié)、、（如圖．在折起的過程中，下列說法中正確的個數(shù)①平面；②、、、四點(diǎn)可能共面；③若，則平面平面；④平面與平面可能垂直．A．0 B．1 C．2 D．35．如圖，在直角梯形中，，，且為的中點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，將沿折起，則下列說法正確的個數(shù)是①不論折至何位置（不在平面內(nèi)），都有平面；②不論折至何位置（不在平面內(nèi)），都有；③不論折至何位置（不在平面內(nèi)），都有；④在折起過程中，一定存在某個位置，使．A．1 B．2 C．3 D．46．已知菱形中，，，將沿折起至△，使平面平面，則四面體中，與所成角的余弦值為A．0 B． C． D．7．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，將四邊形沿翻折，使得平面平面，則異面直線與所成角的正弦值為A． B． C． D．8．如圖，邊長為4正方形中，、分別為、中點(diǎn)，將，沿、折起，使、兩點(diǎn)重合于點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，則直線與夾角余弦值的最大值為A． B． C． D．二．多選題9．在四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，構(gòu)成三棱錐，則在三棱錐中，下列命題錯誤的是A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面10．如圖，四邊形中，，，，，將沿折到位置，使得平面平面，則以下結(jié)論中正確的是A．三棱錐的體積為8 B．三棱錐的外接球的表面積為 C．二面角的正切值為 D．異面直線與所成角的余弦值為11．如圖所示，在矩形中，，，為上一動點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起至，在平面內(nèi)作，為垂足．設(shè)，，則下列說法正確的是A．若平面，則 B．若平面，則 C．若平面平面，且，則 D．若平面平面，且，則12．已知菱形的邊長為2，，沿對角線折疊成三棱錐，使得二面角為直二面角，設(shè)為的中點(diǎn)，為三棱錐表面上的動點(diǎn)，則A．四面體的外接球的半徑為 B．與所成的角 C．線段的最大值是 D．若，則點(diǎn)軌跡的長度為三．填空題13．如圖，四邊形中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，．現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角為時，異面直線與所成角的余弦值為．14．農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原．如圖，三角形是底邊和腰長分別為和的等腰三角形的紙片，將它沿虛線（中位線）折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的四面體，若該四面體內(nèi)包一蛋黃（近似于球），則蛋黃的半徑的最大值為（用最簡根式表示）；在該四面體的所有棱和面所成的異面直線所成的角、二面角中最小的角的余弦值為．15．如圖，長為4，寬為2的矩形紙片中，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻轉(zhuǎn)△平面，若為線段的中點(diǎn)，則在翻轉(zhuǎn)過程中，下列正確的命題序號是①平面；②異面直線與所成角是定值；③三棱錐體積的最大值是；④一定存在某個位置，使．16．如圖，的正方形紙片，剪去對角的兩個的小正方形，然后沿虛線折起，分別粘合與，與，與，與，得到一幾何體，記上的棱與的夾角為，則下列說法正確的是．①幾何體中，；②幾何體是六面體；③的體積為；④．

小題壓軸題專練22—立體幾何（翻折問題）答案1．解：取的中點(diǎn)，連接，交于，．由題意可知為的中點(diǎn)，所以，，所以平面平面，所以正確；．因?yàn)椋ǘㄖ担?，（定值），（定值），在中由余弦定理可知的長是定值，所以正確．．若，則，所以，所以，若，又，則有面，所以有，這與不垂直于相矛盾，所以不正確；．由知在翻折過程中的形狀不變，點(diǎn)的位置也不會發(fā)生改變，所以大小不變，又易證，所以是異面直線與所成的角，所以異面直線與所成角的大小恒定不變，故正確．故選：．2．解：如圖甲，在梯形中，，，、分別為、的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)不落在平面內(nèi)（如圖乙），對于①，由題意得，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面，故①正確；對于②，取中點(diǎn)，連接，，是中點(diǎn)，，，與相交，與平面相交，故②錯誤；對于③，連接，，交于點(diǎn)，連接，四邊形是平行四邊形，是中點(diǎn)，，平面，平面，平面，故③正確．故選：．3．解：作交于點(diǎn)，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，如圖所示，由翻折前該四邊形為菱形，且，所以，為等邊三角形，同時點(diǎn)在上，由，，且，，平面，故平面，又，則平面，又平面，所以，直線與所成的角即直線與所成的角，即，所以，由點(diǎn)不與，重合，則當(dāng)點(diǎn)翻折到與點(diǎn)重合時，最小，為最小值，與點(diǎn)位置無關(guān)，當(dāng)沒有翻折時，最大，最大，則最大，與點(diǎn)位置有關(guān)，所以與位置無關(guān)，與位置有關(guān)．故選：．4．解：對①，在圖②中，連接，交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，則為平行四邊形，即，所以平面，故①正確；對②，如果、、、四點(diǎn)共面，則由平面，可得，又，所以，這樣四邊形為平行四邊形，與已知矛盾，故②不正確；對③，在梯形中，由平面幾何知識易得，又，平面，即有，平面，則平面平面，故③正確；對④，在圖②中，延長至，使得，連接，，由題意得平面平面，四點(diǎn)共面．過作于，則平面，若平面平面，則過作直線與平面垂直，其垂足在上，矛盾，故④錯誤．故選：．5．解：由已知，在未折疊的原梯形中，，，所以四邊形為平行四邊形，則，折疊后如圖所示，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，故，又，，所以平面平面，又平面，所以平面，故①正確；由已知，，，所以，，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故②正確；假設(shè)，則與確定平面，從而平面，平面，與和是異面直線矛盾，故③錯誤；當(dāng)時，，因?yàn)?，，，，平面，所以平面，又平面，所以，故④正確．所以說法正確的個數(shù)是3個．故選：．6．解：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)和，因?yàn)闉榱庑?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又平面，所以平面，又平面，則，因?yàn)闉榱庑危?，，所以是邊長為2的等邊三角形，所以，因?yàn)檠卣燮鹬痢?，所以，，在△中，，在△中，由余弦定理可得，又，所以與所成角即為，故與所成角的余弦值為．故選：．7．解：如圖，連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，則且，（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角．在矩形中，由，，得，，，平面平面，平面平面，，平面，平面，又，平面，，，得，．又，．在中，得．異面直線與所成角的正弦值為，故選：．8．解：取的中點(diǎn)，連接，，且點(diǎn)的延長線過點(diǎn)，，，，故平面，根據(jù)對稱性可知在底面平面內(nèi)的射影點(diǎn)必在上，記為點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，過點(diǎn)垂直于方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖示：，，，故，故為等腰直角三角形，故，，，，故，故，，，，0，，，，，，0，，設(shè)，，，，，故，，，，，，，故，，不妨設(shè)，，，，當(dāng)時取“”，故直線與夾角余弦值的最大值為：，故選：．9．解：因?yàn)樵谒倪呅沃?，，，，，所以，又平面平面，且平面平面，故平面，則，又，故平面，所以平面平面，故正確；設(shè)，則，，，由，又，可得平面，可得，，所以為平面與平面所成角，且其正切值，不為直角，故錯誤；為平面與平面所成角，為，故錯誤；若平面平面，取的中點(diǎn)，可得，則平面，平面，可得，而中，，，，顯然不為直角三角形，故錯誤．故選：．10．解：如圖1，在中，過作的垂線，垂足為，取的中點(diǎn)，過作的垂線，垂足為，設(shè)，，則，在中，由，得，，，，，，，在中，，，，在中，，，，和的外接圓的圓心為，且外接圓的半徑為，對于，由平面平面，且，得平面，三棱棱的體積為，故正確；對于，如圖2，當(dāng)將沿折到位置，使得平面平面時，設(shè)此時的外接圓的圓心為，則平面，平面，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，根據(jù)球的性質(zhì)可知球心到平面的距離，，外接球的表面積為，故正確；對于，如圖3，在中，過作于，連接，由題意知是二面角的平面角，在中，，，故正確；對于，如圖4，在中，過作作，垂足為，過作，垂足為，連接，則，異面直線與所成角為與直線所成角，，，，，在△中，，，故錯誤．故選：．11．解：選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，所以，又在中，，，所以，，所以，故正確．選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，所以，．在中，；在中，，即，解得，故錯誤．過點(diǎn)作，垂足為，連接．選項(xiàng)，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以，又，所以平面，所以．?dāng)時，為中點(diǎn)，所以，，為等腰直角三角形．因?yàn)?，所以，故正確．選項(xiàng)，因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平面，所以，又，所以平面，所以．由翻折過程得，所以，所以，代入，，解得．故不正確．故選：．12．解：對于，如圖1，設(shè)的外心為，△的外心為，取中點(diǎn)為，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，所以面，面，且，，可得，過作面的垂線，過作面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)為四面體的外接球的球心，其半徑．故正確；對于，分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，，，，，，故，所以與所成的角，即正確；對于，，故錯；對于，若，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，則點(diǎn)軌跡的長度為，即成立．故選：．13．解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，，，，，是二面角的平面角，因此，作平面，垂足為點(diǎn)，則，，三點(diǎn)共線．．，，可得，．由題意，，．，0，，，，，，0，，，1，，，，，，1，，，，，，，異面直線與所成角的余弦值為．14．解：如圖示：對折疊之前的平面圖形中各點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記，同時將折疊后的幾何體置于長方體中，設(shè)長方體的長寬高分別為，，，則，解得：，四面體為，四面體的全面積為，內(nèi)切球半徑為，則，，設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，則，，，，故長為6的兩組對棱所成的角的余弦值都是，長為4的兩組對棱所成的角為直角，由于四面體的面積為，故各個面上的高都是相等的，設(shè)為，則，，當(dāng)棱的長選取最長為6時，該棱與相應(yīng)各面所成的角最小，其正弦值為，余弦值為，故各異面直線所成的角，線面所成的角中最小的角的余弦值是，故答案為：，．15．解：對于①，延長，交于，連接，由為的中點(diǎn)，可得為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，可得，平面，平面，則平面，①正確；對于②，，過作，平面，則是異面直線與所成的角或所成角的補(bǔ)角，且，在△中，，，，則為定值，即為定值，②正確；對于③，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，由直角三角形斜邊的中線長為斜邊的一半，可得平面平面時，三棱錐的體積最大，最大體積為，③正確；對于④，連接，可得，若，即有平面，即有，由在平面中的射