類比專題之圓錐曲線中的類比思想-滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教案（教育機(jī)構(gòu)專用）

滬教版（上海）高中數(shù)學(xué)2019-2020學(xué)年度高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)類比專題之圓錐曲線中的類比課堂引入當(dāng)魯班的手不慎被一片小草割破后,他通過仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)小草葉子的邊沿布滿了密集的小齒。于是便產(chǎn)生聯(lián)想,根據(jù)小草的結(jié)構(gòu)發(fā)明了鋸子。魯班在這里就運(yùn)用了“類比思想”。所謂“類比思想”,就是在兩類不同的事物之間進(jìn)行對比,找出若干相同或相似點(diǎn)之后,推測在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方式。類似的故事還有“叩診法”的發(fā)現(xiàn)。18世紀(jì)中葉,奧地利醫(yī)生奧恩布魯格,從制酒商經(jīng)常用手指關(guān)節(jié)敲叩木制酒桶,憑著叩聲的不同,就能準(zhǔn)確地估計(jì)出桶內(nèi)還有多少酒。由此他聯(lián)想到,是否可以把人的胸腔類比作酒桶,根據(jù)用手指敲叩患者胸部所得的不同音響來作出診斷呢?由此他發(fā)明了“叩診法”,此法至今仍是臨床醫(yī)療中常用的診斷方法之一。教學(xué)目標(biāo)1、掌握圓和橢圓的類比原則2、掌握橢圓和雙曲線的類比原則知識梳理橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)（類比）橢圓雙曲線定義判斷焦點(diǎn)位置標(biāo)準(zhǔn)方程圖象a，b，c的關(guān)系焦點(diǎn)坐標(biāo)范圍對稱性頂點(diǎn)漸近線無草圖的畫法焦點(diǎn)到漸近線的距離無待定系數(shù)法求方程等軸雙曲線無典例精講例1（★★★）已知兩個圓：，①與②則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程，將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，而已知命題要成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為.分析將題設(shè)中所給出的特殊方程①、②推廣歸納到一般情況：設(shè)圓的方程為，③與④其中或，則由③式減去④式可得兩圓的對稱軸方程.評注本題通過類比推廣，可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題。例2（★★★★）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.分析類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為、時，那么與之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值.證明：設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)為（）、（），則N（）.因?yàn)辄c(diǎn)M（）在已知雙曲線上，所以，同理.則（定值）.評注本題以橢圓、雙曲線為載體，考查直線的斜率，橢圓、雙曲線的概念與方程，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。例3（★★★★）圓錐曲線上任意兩點(diǎn)連成的線段稱為弦。若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦。已知橢圓C：。(1）過橢圓C的右焦點(diǎn)作一條垂直于軸的垂軸弦，求的長度；(2）若點(diǎn)是橢圓C上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，是橢圓C的短軸，直線分別交軸于點(diǎn)和點(diǎn)（如右圖），求的值；EPNMxOF(3）在（2）的基礎(chǔ)上，把上述橢圓C一般化為，是任意一條垂直于軸的垂軸弦，其它條件不變，試探究是否為定值？（不需要證明）；請你給出雙曲線EPNMxOF答案：(1）由條件可知右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為…………….1分代入橢圓C的方程，得…………….3分所以…………….4分(2）設(shè)則…………….6分令則…………….7分同理可得：，…………….8分在橢圓C：上，，則…………….10分(3）點(diǎn)是橢圓C：上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，是垂直于軸的垂軸弦，直線分別交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，則。………12分點(diǎn)是雙曲線C：上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，是垂直于軸的垂軸弦，直線分別交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，則?！?14分證明如下：設(shè)則令則同理可得：，在雙曲線C：上，，則…………….18分鞏固練習(xí)（★★★★）我們知道，判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別，那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎？請同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問題。（1）設(shè)F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，試求d1·d2的值，并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系。（2）設(shè)F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2到直線（m、n不同時為0）的距離分別為d1、d2，且直線L與橢圓M相切，試求d1·d2的值。（3）試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件，并證明。（4）將（3）中得出的結(jié)論類比到其它曲線，請同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論（不必證明）。解：（1）；聯(lián)立方程；與橢圓M相交。（2）聯(lián)立方程組消去（3）設(shè)F1、F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，且F1、F2在直線L的同側(cè)。那么直線L與橢圓相交的充要條件為：；直線L與橢圓M相切的充要條件為：；直線L與橢圓M相離的充要條件為：證明：由（2）得，直線L與橢圓M相交命題得證。（4）可以類比到雙曲線：設(shè)F1、F2是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2到直線距離分別為d1、d2，且F1、F2在直線L的同側(cè)。那么直線L與雙曲線相交的充要條件為：；直線L與雙曲線M相切的充要條件為：；直線L與雙曲線M相離的充要條件為：注意：圓錐曲線的