2024年高考第二次模擬考試卷：數(shù)學(xué)（新高考Ⅱ卷1）（全解全析）

2024年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學(xué)（新高考II卷）?全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓

名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高考全部內(nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合要求的。

1.已知集合人={無eN|x45},集合3={x|x（x-2）>0},則AB=（）

A.{2,3,4}B.{3,4,5}C.[2,5）D.（2,5]

【答案】B

【解析】由題設(shè)A={01,2,3,4,5},8={X|X>2或X<0},

所以AB={3,4,5},故選：B

2.已知復(fù)數(shù)2=巖，則[在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

r'l.aw_2-3i_(2-3i)(2-3i)512.

員奴—一一2?-（時(shí)一—百一二

故-z=qs+旨12，則三對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故選：B

3.已知向量。=（一3,1）,b=（m,m+2）,若知,則|d+6|=（）

A.2B.3C.4D.2A/5

【答案】D

【解析】依題意，a-b=-3xm+m+2=-2m+2=0,,解得力=1,則6=(1,3),

所以a+6=(-2,4),故上+目=J(-2)~+4,=y/20=2^/5,故選：D.

4.若函數(shù)〃元)=1。83(4+m3-療)在[1,+6)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.(-4,1)B.(0,1)C.(-1,4)D.(0,4)

【答案】D

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=log3(4+m-y-nr)在[1,上單調(diào)遞增，

所以y=4+%.3'-》在[1,+8)上單調(diào)遞增，且y=4+m-3工-蘇＞0在[1,+8)恒成立，

fm＞0

所以，5..2n＞解得0＜相＜4

[4+3/77-777-＞0

所以，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(0,4)。故選：D

5.已知圓：x2+y2=4,過直線/：2x+y=10上的一點(diǎn)尸作圓。的一條切線，切點(diǎn)為則1PM

的最小值為()

A.4B.5C.幣D.2拒

【答案】A

【解析】圓。：/+尸=4中，圓心0(0,0),半徑廠=2

設(shè)尸(%,%),貝!]2%+%=10,即％=10-2%

貝！J\PM\=7|PO|2-22=后+%2_4=/年-40%+96

=小5(%-4)2+162年=4(當(dāng)且僅當(dāng)%=4時(shí)等號成立)，故選：A

6.已知S“是數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，貝!)""=〃2-〃”是“數(shù)列｛q｝是公差為2的等差數(shù)歹[]”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】已知S"="2-",所以4=0,當(dāng)“22時(shí)，

a?=S“-S“_]=n2-(?-1)]=2M-2,

所以數(shù)列｛〃“｝是公差為2的等差數(shù)列；當(dāng)數(shù)列｛為｝是公差為2的等差數(shù)列時(shí)，因?yàn)椴恢醉?xiàng)，所以

數(shù)列｛外｝的前〃項(xiàng)和S.不確定，所以是充分不必要條件，故選A

7.已知sin[a-.)+cosa==，貝!1cos[2々+三)=()

772424

B.C.D.

25252525

【答案】B

走sina」c°s-3

【解析】sin+COS6Z=

225

所以^^sino+'cosa=—,

225

所以sin[a+V]=3，

cos2cr+-Ucos2cr+-Ul-2sin2Lz+-Ul-2x—,

13J(6{62525

故選:B.

8-已知雙曲線c：;>3。，"。）的離心率為事則。的漸近線方程為，

)

A.y=±y/3xB.y=±3xC.y=±-xD.y=±-x

33

【答案】A

【解析】因?yàn)殡p曲線c的離心率為半，所以5=后=「1^=竽，

所畔邛,又因?yàn)檫??！┑臐u近線方程為片±%,且”,

所以漸近線方程為y=±氐，故選A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.某校有5名同學(xué)參加國家安全知識競賽，甲同學(xué)得知其他4名同學(xué)的成績（單位：分）分別為

80,84,86,90,若這5名同學(xué)的平均成績?yōu)?7,則下列結(jié)論正確的是（）

A.甲同學(xué)的競賽成績?yōu)?5

B.這5名同學(xué)競賽成績的方差為26.4

C.這5名同學(xué)競賽成績的第40百分位數(shù)是84

D.從這5名同學(xué)中任取一人，其競賽成績高于平均成績的概率為0.6

【答案】AB

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng):

對于A中，設(shè)甲的成績?yōu)閤,

貝！I有:0+80+84+86+90)=87,解可得x=95,所以A正確；

對于B中，甲的成績?yōu)?5,則這5名同學(xué)競賽成績的方差s2=g[(95-87)2+(80-87戶

2

+(94-87)+(86-87)2+(90_87)2]=26.4,所以B正確；

對于C中，五人的成績從小到大排列，依次為：80、84、86、90、95,

因?yàn)?x40%=2,貝慎第40百分位數(shù)是184+86)=85,所以C錯誤；

對于D中，五人的成績中，高于平均分的有2人，

則從這5名同學(xué)中任取一人，其競賽成績高于平均成績的概率為:=。4,所以D錯誤.

故選：AB.

10.牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是為(單位：。C),環(huán)

境溫度是4(單位：℃),其中4>4、則經(jīng)過f分鐘后物體的溫度。將滿足。=〃。=4+(%-4)廠

(左eR且左>0).現(xiàn)有一杯100C的熱紅茶置于10C的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況,

下列結(jié)論正確的是()(參考數(shù)值m2。0.7,山3=1.1)

A.若"3)=40C,則"6)=20C

B.若左=七，則紅茶下降到55c所需時(shí)間大約為6分鐘

C.5分鐘后物體的溫度是40。(2,左約為0.22

D.紅茶溫度從80c下降到60C所需的時(shí)間比從60C下降到4CTC所需的時(shí)間多

【答案】AC

【解析】由題知。=/(f)=10+90et

A選項(xiàng)：若/(3)=40C,即40=10+90e-",所以L系=；,則

-M22

/(6)=10+90eML=10+90(e)=10+90x(1)=20°C,A正確；

1i-L111

B選項(xiàng)：若％=而，則10+90.屋記'=55,則ei°t=兩邊同時(shí)取對數(shù)得-而f=ln]=-ln2,所以

r=101n2?7,所以紅茶下降到55c所需時(shí)間大約為7分鐘，B錯誤;

C選項(xiàng)：5分鐘后物體的溫度是40°C,即10+90-e"=40,則e"=g,得-5左=In；=-ln3,所以

Z=gn3e0.22,故C正確；

D選項(xiàng)：/⑺為指數(shù)型函數(shù)，如圖，可得紅茶溫度從80C下降到60c所需的時(shí)間（Li）比從60c

下降到40。（3所需的時(shí)間少，故D錯誤.

11.已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,且對任意a,6eR,都有〃。+3)=/(。)+〃》)，且當(dāng)x>0

時(shí)，“力<0恒成立，則()

A.函數(shù)是R上的減函數(shù)B.函數(shù)〃x)是奇函數(shù)

C.若"—2)=2,則|/3|<1的解集為(Tl)D.函數(shù)/")+/為偶函數(shù)

【答案】ABC

【解析】設(shè)芯>%,且玉eR,x2eR,則

lfnf(a+b)=f(a)+f(b)

.,./(xj-/(x2)=/[(^-X,)+X2]-/(X2)=f(.xt-x2)+f(x2)-f(x2)=f(Xl-x2),

又當(dāng)x>0時(shí),/(x)<0恒成立，即/(%-%)<。，?.)(％)</(/)，

，函數(shù)y=/(無)是R上的減函數(shù)，A正確；

由/(a+Z?)=/(a)+/3),

令a=6=0可得/(0)=/(0)+/(0),解得/(0)=0,

^a=x,b=-xnmf(x-x)=f(x)+f(-x),即/(x)+/(—x)=/(0),而f(0)=0,

=而函數(shù)了=/(尤)的定義域?yàn)镽,

故函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)，B正確；

令—可得/(-2)=/(-1)+/(-I)=2,解得/(-I)=1,

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)是奇函數(shù)，所以/⑴=-1,

由"(切＜1,可得

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)是R上的減函數(shù)，所以c正確；

令gO)=/(無)+尤2,易知定義域?yàn)镽,

因?yàn)間(x)—g(—x)=/(x)+x~—/(—尤)—(―x)~=2/(尤)，顯然g(x)—g(—x)=。不恒成立，所以

8(彳)=/(尤)+/不是偶函數(shù)，D錯誤.

故選：ABC.

12.已知圓錐的表面積等于1271cm,其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則以下結(jié)論正確的是()

A.圓錐底面圓的半徑為2cm

B.該圓錐的內(nèi)接圓柱(圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面在圓錐的側(cè)面上)的側(cè)面積的最大

值為2yl^兀

C.該圓錐的內(nèi)接圓柱的體積的最大值時(shí)，圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為定

D.該圓錐的內(nèi)切球的表面積為與

【答案】ABC

【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為"，母線長為/,

依題意得2口=gx2或，所以/=2r,

根據(jù)圓錐的表面積為兀戶+^-x27tr/=127t,解得廠=2cm,

所以A正確；

如圖為圓錐和內(nèi)接圓柱體的軸截面，由題可知,

AB=2.r=4,CA=CB=I=4,CO=2由,

設(shè)石尸=2x,0<%<2

由相似關(guān)系得失=崇，即一^=高，解得。E=2石-"v,

則內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于2口x（2道-gx）=2島卜￡+2x）,

當(dāng)x=l時(shí)側(cè)面積最大，等于2后，所以B正確；

內(nèi)接圓柱的體積等于V（x）=義（2退一氐）=扃（一/+2/）,

S（X）=若兀（-3尤2+4x）=-若口（3%-4）,

44

令VQ）＞0,解得o＜%＜§,令VQ）vO,解得耳＜元＜2,

所以V（x）在單調(diào)遞增，2）單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)圓柱體積最大，此時(shí)圓柱的高為DE=2叵，

33

4

圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為3翁=耳2，

r

所以C正確；

設(shè)ABC內(nèi)切圓的圓心為。|半徑為彳，

因?yàn)閟ABC~S,oxAB+So、BC+So}AC9

所以廠=2sA—=AB°C_2百

1-AB+BC+AC~AB+BC+AC~3

因?yàn)閳A錐的內(nèi)切球的半徑等于村,

所以內(nèi)切球的體積等于4叫2=U，所以D錯誤.

故選:ABC.

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.陀螺是我國民間最早的娛樂工具之一（如圖），一個(gè)倒置的陀螺，上半部分為圓錐，下半部分為

同底圓柱，其中總高度為10cm,圓柱部分高度為7cm,該陀螺由密度為0.8g/cm3的木質(zhì)材料做成,

其總質(zhì)量為96g,則此陀螺圓柱底面的面積

【答案】15cm2

【解析】依題意，該陀螺的總體積為念=120cm3,

0.8

設(shè)圓柱底面圓半徑為r,則兀,x7+gn，x3=120,解得“2=15,

所以此陀螺圓柱底面的面積為S=無尸=15cm2.

14.中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)中國空間站要安排甲，

乙，丙，丁，戊5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢天實(shí)驗(yàn)艙各安排

1人.若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有種

【答案】14

【解析】按照甲是否在天和核心艙劃分，

①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲乙之外的三人中選取兩人，

剩下兩人去剩下兩個(gè)艙位，

則有C；xA；=3x2=6種可能；

②若甲不在天和核心艙，需要從問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙中挑選一個(gè)，

剩下四人中選取三人進(jìn)入天和核心艙即可，

則有C；xC：=2x4=8種可能；

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有6+8=14種可能.

15.已知函數(shù)/（尤）=sin[s+彳＞0）,若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)到最值點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)距離的最小

值為號,則。的值為.

【答案】j3

【解析】因?yàn)橄噜彽淖钪迭c(diǎn)與零點(diǎn)之間的區(qū)間長度為:，也是函數(shù)/（X）的一個(gè)零點(diǎn)到最值點(diǎn)距離的最

4

>???>-T71e47127c3

小值，從而]=所以7=彳，0=不=].

16.已知。為拋物線C：產(chǎn)=4x上的動點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足到點(diǎn)A（2,0）的距離與到點(diǎn)歹（F是C的焦

點(diǎn)）的距離之比為岑，貝!J|加|+同的最小值是.

【答案】4-A/2

【解析】

由題意得戶（1,0）,|。尸|等于點(diǎn)Q到準(zhǔn)線%=-1的距離,

過點(diǎn)Q作QS垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)S,則|。月=|。司，

22

,、J（x-2]+y五2

設(shè)動點(diǎn)”（x,y）,則,；.天,整理得（尤-3）一+V=2,

J（x-l）+y22

所以點(diǎn)知的軌跡為以3（3,0）為圓心，半徑為行的圓，

所以|。閭+|。同引。邳-夜+|QS|,所以當(dāng)5,0",8四點(diǎn)共線時(shí)，|。閭+|。司最小，

故（|叫|+|。尸|）血?=1+3-0=4-0.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

17.（本小題滿分10分）ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。,b,c,已知cosB+bcosA=ac>

a7

sin2A=sinA.

⑴求A及。；

⑵若）-c=2,求3C邊上的高.

【解析】（1）因?yàn)閍cos5+/?cosA=Y^ac,由正弦定理得sinAcos8+sinBcosA=EasinC,

77

所以sin（A+3）=^^osinC,XA+B=K-C,

所以sinC=—asinC,又sinC>0,則a=，7.

7

因?yàn)閟in2A=sinA,即2sinAcosA=sinA,又sinA>0,所以cosA=—,

2

因?yàn)锳e(O,7t),所以A4

(2)由(1)及余弦定理/=/+。2一26CCOSA,得/+C2—尻=7.

將6=。+2,代入〃+。2-加=7,得C2+2C-3=0,

解得c=l或c=-3(舍去),則6=3.

設(shè)3C邊上的高為/z,則〃=bsinC=.

18.（本小題滿分12分）如圖,在直三棱柱ABC-A瓦G中，點(diǎn)反尸分別是BC,AG中點(diǎn),平面ABB^

平面AEF=I.

GF4

⑴證明：1//EF,

⑵若AB=AC=20,44,=2,平面ACG4，平面,求直線/與平面班。0所成角的余弦值.

【解析】（1）證明：取中點(diǎn)G,連接EG,AG,?：E,G分別是3C,AB中點(diǎn)

I—AT

GF4

EG//AC且EG=—AC

2

又：AlF//AC^_AlF=^AC,:.//EG,=EG

二四邊形EGA,尸為平行四邊形

/.EF//Afi,EFcz平面ABB】A,AGu平面ABB,A

所〃平面ABB^,

?..跖u平面A肝，平面AE尸c平面ABBiA=/，

/.EFUl

(2)解：由三棱柱為直棱柱得叫，平面A笈G,

M1AG,

?.?平面ACC|A，平面A8月A，平面ACGA平面46<2平面47￡4,

AG,平面AB瓦A，A耳u平面ABB^,

AG_L44,

/.B.C-=4度+AC；=16,即B￡=4,

取棱8c中點(diǎn)H,中點(diǎn)K,連接EK,EH,

???由三棱柱為直棱柱得CC,1平面44G,AHu平面A片G,

A,H1GG,

AB=AC=20,

；AH，BC,

?：瓦Gqc=c,,B,q,qcu平面B&CB,

.??4〃，平面BCG片,

???點(diǎn)尸，K分別是AG，HG中點(diǎn),

/.FK//A}H,

AFK_L平面BCC4.

由(1)可知EF/〃,

，Z.FEK為所求線面角記為?,FK=；AH=1.在RtVEHK中EK=下.

在RtEKF中EF=dEK?+FK2=屈，

?EK回

??COSCC----=----9

EF6

直線/與平面BCC4所成角的余弦值為叵

6

19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/'(x)=ae*-x(aeR).

⑴討論/(九)的單調(diào)性；

⑵若〃e(0,l),證明：/[-|>0,

【解析】⑴f'(x)=ae~\,

r

若aWO,fle-l<0,即尸(x)<0,此時(shí)/'(x)在R上單調(diào)遞減.

若”0,解制x)>0得x>ln/,

解廣(x)<0得x<ln4，

a

...”X)在[-鞏InJ上單調(diào)遞減，在1n：,+，|上單調(diào)遞增.

(2)?.?個(gè)]=1一!"1一』口>1],

\a)aya]\aJ

設(shè)力(%>1)”(x)=e"-2x,

設(shè)(p^x)=ex-2Mx>1)o'(x)=e"-2>0,

：?o(x)在(l,+°o)上單調(diào)遞增,x>l,°(x)>"(l)=e-2>0.

??.”(x)>0,從冗)在(1,+oo)上單調(diào)遞增.

20.（本小題滿分12分）在數(shù)列｛〃"｝中，q=4,且對任意大于1的正整數(shù)九，點(diǎn)（瘋，向T）在直

線y=x-2上.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵已知偽+偽++2=?！?，試比較。“與￡的大小.

【解析】（1）在數(shù)列｛4｝中，4=4,且對任意大于1的正整數(shù)〃，點(diǎn)（瓦，向）在直線y=x—2

上，

?■Ja”_]=J—2,77>1,即—=2，n>lt

所以數(shù)列｛瘋｝是首項(xiàng)為瓦=2,公差為2的等差數(shù)列，

2

=2+（M—1）x2=2n,an=4n.

所以數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式為4=4/.

（2）當(dāng)〃=1時(shí)，仿=%=4,

當(dāng)〃22時(shí)，bn=an-an_x=8"-4,

22

因?yàn)?=4滿足勿=8〃-4,所以；.2=8〃-4,〃eN*..an-bn=4n-8n+4=4（n-1）>0,

，心池.

21.（本小題滿分12分）已知有一道有四個(gè)選項(xiàng)的單項(xiàng)選擇題和一道有四個(gè)選項(xiàng)的多項(xiàng)選擇題，小

明知道每道多項(xiàng)選擇題均有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng).但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對的得5分，部分選對的

得2分，有選錯的得0分.這樣，小明在做多項(xiàng)選擇題時(shí)，可能選擇一個(gè)選項(xiàng)，也可能選擇兩個(gè)或三

個(gè)選項(xiàng)，但不會選擇四個(gè)選項(xiàng).

（1）如果小明不知道單項(xiàng)選擇題的正確答案，就作隨機(jī)猜測.已知小明知道單項(xiàng)選擇題的正確答案和

隨機(jī)猜測概率都是g,在他做完單項(xiàng)選擇題后，從卷面上看，在題答對的情況下，求他知道單項(xiàng)選

擇題正確答案的概率；

⑵假設(shè)小明在做該道多項(xiàng)選擇題時(shí)，基于已有的解題經(jīng)驗(yàn)，他選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為選擇兩個(gè)

選項(xiàng)的概率為:，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率為"已知該道多項(xiàng)選擇題只有兩個(gè)正確選項(xiàng)，小明完全不知

36

道四個(gè)選項(xiàng)的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇.記X表示小明做完該道多項(xiàng)選擇題后所得的分

數(shù).求X的分布列.

【解析】(1)記事件4為“題目答對了”，事件B為“知道正確答案”,

則P(A|B)=1,P(A|B)=1,P(B)=JP(B)=1,

?-i-111S

由全概率公式：P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)JP(A|B)=-xl+-x-=-,

X14

所求概率為PCB|A）=g^P(B)P(A|fi)2._

P(A)―一三一1

8

（2）設(shè)事件A表示小明選擇了，個(gè)選項(xiàng)，，=1,2,3,C表示選到的選項(xiàng)都是正確的.

X可能取值為0,2,5,

P（X=2）=P（AC）=P（A）P（C|A）=|x|=i,

P（X=5）=P（AC）=P（A）P（C|A）=1x±=±,

25

p（x=0）=1—P（X=2）—P（X=5）=布.

隨機(jī)變量X的分布列為

22.（本小題滿分12分）已知橢圓方程為J+/=l（a>6>0）,離心率為e=g且過點(diǎn)（0,白）.

⑴求橢圓方程；

⑵動點(diǎn)尸在橢圓上