2023-2024學年北京市順義區(qū)九年級(上)期末數(shù)學試卷及答案解析

2023-2024學年北京市順義區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（共16分，每題2分）第18題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.（2分）實數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）

.b,

-5-4-3-2-10I2345

A.a>-3B.a<-4C.a>-bD.a<-b

2.(2分)在AABC中，ZC=90°,則co3等于)

AC.ACD.BC

fBCAC

3.（2分）將二次函數(shù)y=-x2+2x+3化為y=a（x-h）2+k的形式,則所得表達式為（）

A.y=(x+1)2—4B.y=-(x-1)2+4

C.y-—(x+1)2+2D.y=-(x-1)2+2

4.（2分）如圖，在。0中，弦AB,CD相交于點P,ZCAB=30°,ZABD=40°,則N

APD的度數(shù)為（

A.30°B.40°C.60°D.70°

5.（2分）如圖，D是AABC的邊AB上一點（不與點A,B重合），若添加一個條件使AACD

sZ\ABC,則這個條件不可以是（）

A.ZADC=ZACBB.D.AC.M

ABAC

6.（2分）對于反比例函數(shù)

A.它的圖象分布在第二、第四象限B.點（-1,4）在它的圖象上

C.當x>0時，y隨x的增大而減小D.當x<0時，y隨x的增大而增大

第1頁（共7頁）

7.（2分）已知標.

如圖，

（1）連接AB；

（2）作弦AB的垂直平分線“，分別交定，弦AB于C,D兩點；

（3）作線段AD,DB的垂直平分線匕，％，分別交AB于E,F兩點，交弦AB于G，H

兩點；

（4）連接EF.

A.AG=GD=DH=HBB.AE=EC=CF=FB

C.l/'KD.EF=GH

8.（2分）學習解直角三角形時，小明編了這樣一道題：

已知：在4ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=3,解這個直角三角形.

從同學們的解答思路中節(jié)選出以下四個步驟：

①由/B的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/A的度數(shù)；

②由AC,BC的值，根據(jù)/B的正切值得到/B的度數(shù)；

③由AC,BC的值，根據(jù)勾股定理得到AB的值；

④由BC,AB的值，根據(jù)NB的余弦值得到/B的度數(shù).

請你從中選擇三個步驟并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，則下列排序錯誤

的是（）

A.③④①B.④①③C.②①③D.③②①

二、填空題（共16分，每題2分）

9.（2分）若日立在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是

10.（2分）若將拋物線y=2x2向右平移2個單位長度，則所得拋物線的表達式

第2頁（共7頁）

為

11.(2分)如圖，直線AE,BF交于點0,AB〃CD〃EF.若0A=1,AC=2,CE=4.則

型的值為

DF

12.（2分）物理課上我們學習過凸透鏡成像規(guī)律.如圖，蠟燭AB的高為15cm,蠟燭AB

與凸透鏡的距離BE為32cm,蠟燭的像CD與凸透鏡的距離DE為8cm,則像CD的高為

13.（2分）如圖，PA,PB分別與。0相切于A,B兩點，C是優(yōu)弧AB上的一個動點，若

ZP=76°,則/ACB=1

14.（2分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，寫出一個滿足不等式ax2+bx+c

<-1的x的值，這個值可以是

15.（2分）在平面直角坐標系xOy中，點A（a,b）在雙曲線見上,點B(-b,a)在

雙曲線y3上，則m+n的值為.

X

16.（2分）已知A（3,2）,B（-1,-2）是拋物線上兩點，下面有四個推斷:

①該拋物線與x軸有兩個交點；

②若該拋物線開口向下，則它與y軸的交點一定在y軸的負半軸上;

第3頁（共7頁）

③若該拋物線開口向下，則它的對稱軸在直線x=l右側(cè)；

④若該拋物線開口向上，則在A,B兩點中，點B到它的對稱軸距離較小.

所有正確推斷的序號是.

三、解答題（共68分，第17-18題，每題5分，第19題6分，第20-21題，每題5分，第

22題6分，第23-4題，每題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每7分）

3x>x-2

17.（5分）解不等式組：,可x+2“."

18.（5分）計算：4sin60。+（—）°+l-2|-2tan6ff.

19.(6分)已知X2-3X-1=0,求代數(shù)式(2x+l)(x-1)-(x+1)2的值.

20.(5分)如圖，AC平分/BAD，ZB=ZACD.

(1)求證：ZiABC^AACD；

(2)若AB=6,AC=4,求AD的長.

21.（5分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx-2的圖象經(jīng)過點A（-1,0）,B（2,0）.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）直接寫出y>0時，x的取值范圍.

22.（6分）在一次數(shù)學綜合實踐活動中，某數(shù)學小組的同學們一起測量一座小山的高度.如

圖，在點A處測得山頂E的仰角為22.5,向山的方向前進20m,在點C處測得山頂E

的仰角為45°,已知觀測點A,C到地面的距離AB=1.而，CD=1.而.求小山EG的高

度（精確到0.hi）.（參考數(shù)據(jù)：、歷=1.414,sin22.5?0.384cos22.5-0.925tan22.5

-0.410

第4頁（共7頁）

E

23.（5分）如圖，AB是。0的直徑，CD±AB于點E,眾=而.

(1)求證：ZCOB=ZDOB；

（2）若。0的半徑為2,求0E,而的長.

24.（5分）正面雙手前擲實心球是發(fā)展學生力量和協(xié)調(diào)性的運動項目之一，實心球出手后

的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，從出手到著

地的過程中，實心球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)

小明進行了三次訓練.

第5頁（共7頁）

(1)第一次訓練時，實心球的水平距離X與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離X血0123456789

豎直高度y血22.73.23.53.63.53.23.721.1

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出滿足的函數(shù)關系y=a(x-h)2+k(a<0),并求出實心球著地點的

水平距離d1；

(2)第二次、第三次訓練時，實心球的豎直高度y與水平距離x的函數(shù)圖象的一部分如

圖所示，其中A,B分別為第二次、第三次訓練拋物線的頂點.記小明第二、三次訓練時

實心球著地點的水平距離分別為d2,d3,則d2,(I3的大小關系為.

25.(6分)如圖，AB為。0的弦，點C為AB的中點，CO的延長線交。0于點D,連接

AD,BD,過點D作。0的切線交A0的延長線于點E.

(1)求證:DE〃AB；

(2)若。0的半徑為3,tanZADC=工，求DE的長.

26.(6分)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2-2ax+a2-4與x軸交于A,B兩點(點

A在點B左側(cè)).

(1)若a=l,求拋物線的對稱軸及A,B兩點的坐標；

(2)已知點(3-a,yj，(a+1,y2),(-a,y3)在該拋物線上，若y1，y2,丫3中有且

僅有一個大于0,求a的取值范圍.

27.(7分)在菱形ABCD中，NB=60°,點P是對角線AC上一點(不與點A重合)，點

E,F分別是邊AB,AD上的點，且NEPF=60°,射線PE,PF分別與DA,BA的延長

線交于點M,N.

(1)如圖1,若點P與C重合，且PA平分/EPF,求證：AM=AN；

(2)連接BP,若NABP=45°,BP=3,且PA不平分NEPF.

①依題意補全圖2；

第6頁(共7頁)

②用等式表示線段AM,AN的數(shù)量關系，并證明.

C(P)

圖1

28.(7分)在平面直角坐標系xOy中，有如下定義：對于圖形G2,若存在常數(shù)d,使

得圖形G1上的任意一點P，在圖形G?上至少能找到一個點Q,滿足PQ=d,則稱圖形

G2是圖形G］的“映圖”,d是G1關于G2的“映距

(1)如圖，點A(-4,0),B(0,-4),C(-1,0),D(0,-1),E(4,0),F(0,

4),G(5,0),H(0,5).在線段CD,EF,GH中，線段AB的映圖是.

(2)?0的半徑為1.

①求。0關于直線y=-x+3近的映距d的最小值；

②若直線y=-x+m(mWO)被坐標軸所截的線段是。0的映圖，直接寫出m的取值范

圍.

第7頁(共7頁)

2023-2024學年北京市順義區(qū)九年級(上)期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(共16分，每題2分)第一8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.(2分)實數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是()

Iill???1?

-5-4-3-2-1012345

A.a>-3B.a<-4C.a>-bD.a<-b

【分析】由點在數(shù)軸上的位置分析選項可得答案.

【解答】解：A選項：由數(shù)軸的定義得左大右小，即a<-3,該選項錯誤.

B選項：a點在-4的左側(cè)，即a>-4,該選項錯誤.

C選項：2Vb<3,-3<-b<-2,故a在-b的左側(cè)，即a<-b,該選項錯誤.

D選項：正確.

故答案選D.

【點評】該題考查對數(shù)軸的理解，實數(shù)的相關概念及分類.

2.(2分)在4ABC中，ZC=90°,則coB等于()

A.挺B.區(qū)C.螞D.區(qū)

ABABBCAC

【分析】根據(jù)余弦等于鄰邊比斜邊列式即可得解.

【解答】解：在4ABC中，ZC=90°,則coS=￡.

AB

故選：A.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是關鍵.

3.(2分)將二次函數(shù)y=-x2+2x+3化為y=a(x-h)2+k的形式，則所得表達式為()

A.y=(x+1)2-4B.y=-(x-1)2+4

C.y=-(x+1)2+2D.y=-(x-1)2+2

【分析】將所給二次函數(shù)表達式轉(zhuǎn)化為頂點式即可.

【解答】解：由題知，

y=-x2+2x+3=-(X2-2X+1-1)+3=-(x2-2x+l)+1+3=-(x-1)2+4.

即二次函數(shù)的表達式可寫成：y=-(x-1)2+4.

故選：B.

【點評】本題考查二次函數(shù)的三種形式，熟知二次函數(shù)解析式中的頂點式是解題的關鍵.

第1頁(共23頁)

4.（2分）如圖，在00中，弦AB,CD相交于點P,ZCAB=30°,ZABD=40°,則/

APD的度數(shù)為（）

A.30°B.40°D.70°

【分析】利用圓周角定理以及三角形的外角的性質(zhì)解決問題.

【解答】解：：/ABD=40°,

ZACD=NABD=40°,

,?ZCAB=30°,

?.ZAPD=NACD+ZCAB=70°,

故選：D.

【點評】本題考查圓周角定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是掌握圓周角

定理，屬于中考?？碱}型.

5.（2分）如圖，D是4ABC的邊AB上一點（不與點A,B重合），若添加一個條件使4ACD

s/kABC,則這個條件不可以是（）

【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷可求解.

【解答】解：若/ADC=ZACB,且/A=NA,則AACD^AABC,故選項A不符合題

意；

若/ACD=ZB,且NA=/A,則AACD^AABC,故選項B不符合題意；

若至且/A=/A,則AACD^AABC,故選項D不符合題意；

ABAC

若虹迪,且/A=/A,則無法證明AACD^>AABC,故選項C符合題意；

ADBC

故選：C.

第2頁（共23頁）

【點評】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵.

6.（2分）對于反比例函數(shù)y=￡下列說法正確的是（）

X

A.它的圖象分布在第二、第四象限B.點（-1,4）在它的圖象上

C.當x>0時，y隨x的增大而減小D.當x<0時，y隨x的增大而增大

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可逐一分析即可.

【解答】解：A、k=4>0,則圖象位于第一、三象限，故不符合題意；

B、當x=-l時，y=-4,所以圖象經(jīng)過點（-1,-4）,故不符合題意；

C、當x>0時，y隨x的增大而減小，故符合題意；

D、當x<0時，y隨x的增大而減小，故不符合題意.

故選：C.

【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征等知識,

熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵，屬于基礎題.

7.（2分）已知定.

如圖，

（1）連接AB；

（2）作弦AB的垂直平分線小分別交合，弦AB于C,D兩點；

（3）作線段AD,DB的垂直平分線］2，%，分別交益于E,F兩點，交弦AB于G，H

兩點；

（4）連接EF.

A.AG=GD=DH=HBB.AE=EC=CF=FB

C.\//\//\D.EF=GH

【分析】理由圖象信息判斷即可.

第3頁（共23頁）

【解答】解：由作圖可知，AG=DG=DH=BH,\//\//\,四邊形EFGH是矩形，

?.EF=GH,

故選項A,C,D正確，

故選：B.

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，線段的垂直平分線等知識，解題的關鍵是讀懂圖象

信息.

8.（2分）學習解直角三角形時，小明編了這樣一道題：

已知：在4ABC中，NC=90。，AC=2,BC=3,解這個直角三角形.

從同學們的解答思路中節(jié)選出以下四個步驟：

①由/B的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/A的度數(shù)；

②由AC,BC的值，根據(jù)/B的正切值得到/B的度數(shù)；

③由AC,BC的值，根據(jù)勾股定理得到AB的值；

④由BC,AB的值，根據(jù)/B的余弦值得到/B的度數(shù).

請你從中選擇三個步驟并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，則下列排序錯誤

的是（）

A.③④①B.④①③C.②①③D.③②①

【分析】根據(jù)題中所給的條件，得出可求出未知量的步驟即可解決問題.

【解答】解：因為題中給出AC和BC的長，

所以可先用勾股定理求出AB的長，或求出/A（ZB）的正切值，進而得出/A（ZB）

的度數(shù).

B選項將④放在第一步，

此時還未求出AB的值，

所以B選項的排序錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查解直角三角形，熟知解直角三角形的一般步驟是解題的關鍵.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.（2分）若丁存在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是x》2.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到x-2'O,解之即可求出x的取值范圍.

【解答】解：根據(jù)題意得：x-2'O,

解得：x>2.

第4頁（共23頁）

故答案為：x22.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關鍵是掌握二次根式有意義時被開

方數(shù)是非負數(shù).

10.（2分）若將拋物線y=2x2向右平移2個單位長度，則所得拋物線的表達式為y=2

（X-2）2.

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的法則解答即可.

【解答】解：將拋物線y=2x2向右平移2個單位長度，則所得拋物線的表達式為y=2（X

-2）2.

故答案為：y=2（x-2）2.

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“左加右減”的法則是解題的

關鍵.

11.（2分）如圖，直線AE,BF交于點0,AB〃CD〃EF.若OA=1,AC=2,CE=4,則

毀的值為1.

DF一4一

【分析】由CD〃EF,利用平行線分線段成比例，可得出毀="，結(jié)合OC=OA+AC

DFCE

=3,CE=4,即可求出結(jié)論.

【解答】解：：CD〃EF,

.OD=OC

"DFCE,

又：OA=1,AC=2,CE=4,

；.0C=0A+AC=1+2=3,

.OD=3.

"DF了

故答案為：1.

4

【點評】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊

（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例”是解題的關鍵.

第5頁（共23頁）

12.（2分）物理課上我們學習過凸透鏡成像規(guī)律.如圖，蠟燭AB的高為15cm,蠟燭AB

與凸透鏡的距離BE為32cm,蠟燭的像CD與凸透鏡的距離DE為8cm,則像CD的高為

-1^.cm.

4.

【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可.

【解答】解：VAB±BD,CD±BD,

/.AB〃CD,

：.AABE（^ACDE,

.AB=BE

"CDDE'

'.'AB的高為15cm,BE為32cm,DE為8cm,

.1532

CD8

.".CD=工（cm）,

4

故答案為：江.

4

【點評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應用及分析問題、解決問題的能力.利

用數(shù)學知識解決實際問題是中學數(shù)學的重要內(nèi)容.解決此問題的關鍵在于正確理解題意

的基礎上建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.

13.（2分）如圖，PA,PB分別與。0相切于A,B兩點,C是優(yōu)弧AB上的一個動點，若

NP=76°,則/ACB=52。.

【分析】連接0A,0B,由切線的性質(zhì)推出/PAO=ZPBO=90°,又/P=76°,即可

求出NAOB=360°-90°-90°-76°=104°由圓周角定理得到NACB=」NA0B=

2

52°.

第6頁（共23頁）

【解答】解：連接0A,0B,

VPA,PB分別與。0相切于A,B兩點，

；.0A±PA,OB±PB,

ZPAO=ZPBO=90°,

VZP=76°,

ZAOB=360°-90°-90°-76°=104°

ZACB=_ZAOB=52。.

2

故答案為：52.

【點評】本題考查圓周角定理，切線的性質(zhì)，關鍵是由切線的性質(zhì)推出/PAO=NPBO

=90°,由圓周角定理得到/ACB=AZAOB.

2

14.(2分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，寫出一個滿足不等式ax2+bx+c

<-1的x的值，這個值可以是1

【分析】先求出y=-1時的x的值，然后結(jié)合圖象求解即可.

【解答】解：由圖象可知，當y=-l時，xi=0,X2=2.8

?.當0<x<2.8時，y<-1.

二不等式ax2+bx+c<-1的解為0<x<2.8

,滿足不等式ax2+bx+c<-1的x的值可以是1,

故答案為：1.

【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式組，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵.

15.(2分)在平面直角坐標系xOy中，點A(a,b)在雙曲線丫=典上，點B(-b,a)在

X

雙曲線y/上，則m+n的值為0.

【分析】由點A(a,b)在雙曲線yi上，可得m=ab,由點B(-b,a)在雙曲線y/

上，可得n=-ab,然后得出答案.

第7頁(共23頁)

【解答】解：...點A(a,b)在雙曲線y=3上，點B(-b,a)在雙曲線y3上,

XX

??m■—ab,n—ab,

??m+n=ab+(-ab)=0；

故答案為：0.

【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點坐標的特征，熟知反比例函數(shù)y=K(kWO)的

X

系數(shù)k=xy是解題的關鍵.

16.(2分)已知A(3,2),B(-1,-2)是拋物線上兩點，下面有四個推斷：

①該拋物線與x軸有兩個交點；

②若該拋物線開口向下，則它與y軸的交點一定在y軸的負半軸上；

③若該拋物線開口向下，則它的對稱軸在直線x=l右側(cè)；

④若該拋物線開口向上，則在A,B兩點中，點B到它的對稱軸距離較小.

所有正確推斷的序號是①③⑷.

【分析】依據(jù)題意，設拋物線為y=ax2+bx+c,從而(9a+3b+c=2.解得b=_2a,c=

Ia-b+c=-2

-1-3a,再求出△=b2-4ac=l+16@2,進而可以判斷①；依據(jù)題意，a<0,從而c=

-1-3a>-1,則它與y軸的交點可能在y軸下方或y軸上方，故可判斷②；又b=l-

2a,從而其進而-2=再結(jié)合aVO,可以判斷③；若a>0,從

2a2a2a2a

而對稱軸直線x=--J-+1VI,再分B(-1,-2)在對稱軸右側(cè)或左側(cè)，結(jié)合

2a2a

增減性可以判斷④.

【解答】解：由題意，設拋物線為y=ax2+bx+c,

.I9a+3b+c=2

1a-b+c=-2

??b=1-2a,c=-1-3a.

?.A=b2-4ac=(1-2a)2-4a(-1-3a)

=1-4a+4a2+4a+l2a2

=l+16a2.

對于任意a都有a2^0,

A=l+16a2^l>0.

,該拋物線與x軸有兩個交點，故①正確.

?.,a<0,

第8頁(共23頁)

3a<0.

-3a>0.

-1-3a>-1.

c=-1-3a>-1.

它與y軸的交點可能在y軸下方或y軸上方.

②錯誤.

b=l-2a,

以=工-1.

2a2a

~—b—_--1+,1.

2a2a

a<0,

對稱軸直線x=-上-=--L+i>1.

2a2a

它的對稱軸在直線x=l右側(cè)，故③正確.

若a>0,

，對稱軸直線x=—=+1<1.

2a2a

二當A(3,2),B(-1,-2)在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，顯然B到它的對稱

軸距離較小;

當A(3,2),B(-1,-2)在對稱軸兩側(cè)，又B關于直線x=--^-對稱的點-也■+1<

2aa

3,故B到它的對稱軸距離較小.

A?正確.

故答案為：①③④.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關

鍵.

三、解答題(共68分，第17-18題，每題5分，第19題6分，第20-21題，每題5分，第

22題6分，第23-4題，每題5分，第25-26題，每題6分，第27-28題，每7分)

’3x>x-2

17.(5分)解不等式組：，x+2.?

-3->x

【分析】分別解兩個不等式得到X>-1和X<1,然后根據(jù)“大小小大中間找”確定不等

式組的解集.

第9頁(共23頁)

3X>X-2(D

【解答】解:

等〉X②‘

解不等式①得x>-1,

解不等式②得X<1,

所以不等式組的解集為-

【點評】本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各

不等式的解集，再求出這些解集的公共部分.

18.(5分)計算：4sin60°+等)°+122tan6Cf.

【分析】首先計算零指數(shù)嘉、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值，然后計算乘法，最后從左

向右依次計算，求出算式的值即可.

【解答】解：4sin60。+(y)0+|-2|-2tan6Cf

=4X$l+l+2-25/3

2

=2如+1+2-25/3

=3.

【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，

和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有

括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

19.(6分)已知X2-3X-1=0,求代數(shù)式(2x+l)(x-1)-(x+1)2的值.

【分析】先根據(jù)完全平方公式和多項式乘多項式進行計算，合并同類項，求出X2-3X=1,

最后代人求出答案即可.

【解答】解：(2x+l)(x-1)-(x+1)2

2

=2x-2x+x-1-x2-2x-1

=x2-3x-2,

Vx2-3x-1=0,

/.x2-3x=l,

二原式=l-2=-l.

【點評】本題考查了整式的化簡求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進行計算是解此題的

關鍵.

20.(5分)如圖，AC平分/BAD,NB=/ACD.

第10頁(共23頁)

(1)求證：ZXABC^AACD；

(2)若AB=6,AC=4,求AD的長.

【分析】(1)利用兩角法證得結(jié)論；

(2)根據(jù)相似三角形的對應邊成比例列出比例式，代入相關數(shù)值計算.

【解答】(1)證明：：AC平分/BAD,

ZBAC=NCAD.

,?ZB=ZACD,

?.AABC^>AACD；

(2)解：:△ABC^AACD,

?AC=AD

"ABAC'

VAB=6,AC=4,

.".AD=紋

3

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關鍵是要懂得找相似三角形，

利用相似三角形的性質(zhì)求解.

21.(5分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx-2的圖象經(jīng)過點A(-1,0),B(2,0).

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)直接寫出y>0時，x的取值范圍.

【分析】(1)依據(jù)題意，由二次函數(shù)y=ax2+bx-2的圖象經(jīng)過點A(-1,0),B(2,0),

進而代人求出a,b即可得解；

(2)依據(jù)題意，由拋物線y=x2-x-2開口向上，與x軸交點為A(-1,0),B(2,0),

從而y>0時，X的取值范圍是圖象在X軸上方部分對應的自變量的范圍，進而可以判斷

得解.

【解答】解：(1)：二次函數(shù)丫=a*2+5*-2的圖象經(jīng)過點A(-1,0),B(2,0),

.(a-b_2=0

143+26-2=0'

?.a=l,b=—1.

第11頁(共23頁)

，二次函數(shù)的表達式為y=x2-x-2.

（2）?.?拋物線y=x2-x-2開口向上，與x軸交點為A（-1,0）,B（2,0）,

.,.y>0時，x的取值范圍是圖象在x軸上方部分對應的自變量的范圍.

.,.x<-1或x>2.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關

鍵.

22.（6分）在一次數(shù)學綜合實踐活動中，某數(shù)學小組的同學們一起測量一座小山的高度.如

圖，在點A處測得山頂E的仰角為22.3,向山的方向前進20m,在點C處測得山頂E

的仰角為45°,已知觀測點A,C到地面的距離AB=L7n,CD=1.Tn.求小山EG的高

度（精確到0.h）.（參考數(shù)據(jù)：&=1,414,sin22.5=0.384cos22.5心0.925tan22.3

-0.414）

【分析】延長AC交EG于點H,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到NCEA=22.5,得到NCEA

=ZEAH,根據(jù)等腰三角形的判定求出EC,再根據(jù)中正弦的定義求出EH,進而求出EG.

【解答】解：如圖，延長AC交EG于點H,

由題意得：AH±EG,

VEG±BG,CD±BG,

，四邊形FGDC為矩形，

AHG=CD=1.而，HC=GD,

ZECH=45°,ZEAH=22.5,/

ZCEA=ZECH-ZEAH=22.5,4G^D.B

/.ZCEA=ZEAH,

EC=AC=20m,

ZECH=45°,

；.EH=ECQin/ECH=20X亞=10&(m),

2

AEG=EH+HG=10>/2+l.7心15.8(m),

第12頁（共23頁）

答：小山EG的高度約為15.8n.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟

記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵.

23.(5分)如圖，AB是。0的直徑，CD±AB于點E,而.

(1)求證：ZCOB=ZDOB；

(2)若。0的半徑為2,求0E,而的長.

【分析】(1)由垂徑定理推出前=俞，由圓心角、弧、弦的關系推出/COB=ND0B；

(2)由垂徑定理推出血=益，而號=而，得到NC0D=120°,由等腰三角形的性質(zhì)

求出NC=30°,由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得到0E=」0C=1,由弧長公式即可

2

求出面的長.

【解答】(1)證明：I,直徑ABJ_CD,

BC=BD,

ZCOB=ZD0B；

(2)解：,直徑AB±CD，

AC=AD,

??,CA=CD.

，面的度數(shù)=2X360°=120°,

3

/.ZCOD=120°,

VOC=0D,

.\ZC=ZD=Ax(180°-120°)=30。，

2

,/ZOEC=90°,

第13頁(共23頁)

AOE=—OC=AX2=1,

22

V0O的半徑為2,ZCOD=120。，

,畝的長=120兀X221T

1803

【點評】本題考查垂徑定理，弧長的計算，圓心角、弧、弦的關系，關鍵是由垂徑定理

推出食=奇，AC=*S,掌握弧長公式.

24.(5分)正面雙手前擲實心球是發(fā)展學生力量和協(xié)調(diào)性的運動項目之一，實心球出手后

的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，從出手到著

地的過程中，實心球的豎直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)

(1)第一次訓練時，實心球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離X血0123456789

豎直高度y血22.73.23.53.63.53.23.721.1

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出滿足的函數(shù)關系y=a(x-h)2+k(a<0),并求出實心球著地點的

水平距離d1；

(2)第二次、第三次訓練時，實心球的豎直高度y與水平距離x的函數(shù)圖象的一部分如

圖所示，其中A,B分別為第二次、第三次訓練拋物線的頂點.記小明第二、三次訓練時

第14頁(共23頁)

實心球著地點的水平距離分別為d2,d3,則dpd2,CI3的大小關系為d"<d]<da.

【分析】（1）先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點坐標，即可得出實心球豎直高度的最大值；

選出表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；再令y=0求出x的值即可；

（2）根據(jù)三次投擲實心球所得拋物線的對稱軸和拋物線都過點（0,2）,由函數(shù)的對稱

性得出結(jié)論.

【解答】解：（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點坐標為（4,3.6）,

二拋物線的解析式可表示為：y=a（x-4）2+3.6,

當x=0時，y=2,

；.2=a（0-4）2+3.6,

解得a=-」j

10

???函數(shù)解析式為y=-—（X-4）2+3.6；

令y=0,貝!]-」一(x-4)2+3.6=0,

10

解得X1=1O，x2=-2（舍去），

實心球著地點的水平距離山為1。米；

（2）根據(jù)圖象知，第二次、第三次拋物線的對稱軸分別為直線x=3.83和直線x=4.07,

;三次拋物線都過點（0,2）,3.83<4<4.07,

二小明第一、第二、三次訓練時實心球著地點的水平距離d2<di<d3，

<

故答案為：d2'd1<d3.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求函數(shù)關系式，實數(shù)大小比較，解題的

關鍵是讀懂題意，能夠從表格中獲取有用信息列出函數(shù)關系式.

25.（6分）如圖，AB為。0的弦，點C為AB的中點，CO的延長線交。0于點D,連接

AD,BD,過點D作。0的切線交A0的延長線于點E.py

⑴求證：DE//AB；（/\\x\

（2）若。0的半徑為3,tanZADC=工，求DE的長./X\\

【分析】（1）連接0B,由等腰三角形的性質(zhì)推出OCLAB,由切線的性質(zhì)得到0D±DE,

即可證明DE〃AB；

第15頁（共23頁）

（2）由tanZADC,令AC=x,CD=2x,得到0C=2x-3,由勾股定理得到

DC2

（2x-3）2+X2=32,求出X=」2,得到AC=22,0C=2x-3=a,由銳角的正切定義

555

得到理=￡,代入有關數(shù)據(jù)即可求出DE長.

OD0C

【解答】（1）證明：連接0B,

VOB=0A,點C為AB的中點，

.\0C_LAB,

VDE切圓于D,

AODIDE,

.\DE〃AB；

(2)解：,/tanZADC=—=A,

DC2

.二令AC=x,CD—2x,

VOO的半徑為3,

AOA=0D=3,

OC=2x—3,

???0A2=0C2+AC2,

/.(2x-3)2+X2=32,

19Q

/.AC,OC=2X-3=N,

55

,/ZDOE=ZA0C,

/.tanZDOE=tanZA0C,

.DE=AC

ODOC，

12

.DE__4

3旦3

5

.,.DE=4.

【點評】本題考查切線是性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，關鍵是由勾股定理得到（2x

-3）2+X2=32,求出AC,0C的長.

26.（6分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2-2ax+a2-4與x軸交于A,B兩點（點

第16頁（共23頁）

A在點B左側(cè)).

(1)若a=l,求拋物線的對稱軸及A,B兩點的坐標；

(2)已知點(3-a,yi)，(a+1,y2),(-a,y3)在該拋物線上，若y2,丫3中有且

僅有一個大于0,求a的取值范圍.

【分析】利用對稱軸的公式x=一2求出對稱軸，再令y=0,求出A、B坐標；把x的

2a

值代入y中，得到y(tǒng)i大于0，從而求出a的取值范圍.

【解答】解：⑴-.,a=l,

；.y=x2-2x-3,

二拋物線的對稱軸是：直線x=-'=l,

2a

當x2-2x-3=0時，

/.(x-3)(x+1)=0,

X]=3,x2=-1,

；.A(-1,0),B(3,0),

故答案為：對稱軸是：直線x=l,A(-1,0),B(3,0).

(2)當x=3-a時，yi=4a2-i2a+5；

當x=a+l時，y2=-3<0；

當*=-2時，y3=4a2-4；

yi,y2,丫3中有且僅有一個大于0，

分兩種情況：

①當yi=4a2-i2a+5>0,而y3=4a2-4<0時，

,；yi=4a2-i2a+5>0,

令4a2-12a+5=0,

/.(2a-5)(2a-1)=0,

.-5a=1

/.a的取值范圍是：aV」■或a>—.

22

*.*Y3=4a2