數(shù)列專題之數(shù)列的通項與求和（1）-滬教版（上海）高中數(shù)學2019-2020學年高三數(shù)學二輪復習教案（教育機構(gòu)專用）

滬教版（上海）高中數(shù)學2019-2020學年度高三數(shù)學二輪復習數(shù)列專題之數(shù)列的通項與求和①教學目標1、理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義，了解遞推公式，掌握數(shù)列求通項的幾種方法2、掌握數(shù)列求和的幾種方法3、理解與的關(guān)系，培養(yǎng)觀察能力和化歸能力．知識梳理1、通項常見的求法1.公式法：利用熟知的公式求通項公式的方法稱為公式法。常用的公式有，等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式。2.歸納法：由數(shù)列前幾項用不完全歸納法猜測出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學歸納法證明其正確性。這種方法叫做歸納法。3.累加法：利用恒等式求通項公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項公式的基本方法（其中數(shù)列{f(n)}可求前n項和）。4.累乘法：利用恒等式求通項公式的方法稱為累乘法。累乘法是求型如的遞推數(shù)列通項公式的基本方法（數(shù)列g(shù){n}可求前n項積）。5.轉(zhuǎn)化法：通過變換遞推關(guān)系，將非等差（等比）數(shù)列轉(zhuǎn)化為與等差或等比有關(guān)的數(shù)列而求得通項公式的方法稱為轉(zhuǎn)化法。常用的轉(zhuǎn)化途徑有：（1）湊配、消項變換——如將一階線性遞推公式（q、d為常數(shù)，，）。通過湊配變成，或消常數(shù)項轉(zhuǎn)化為；（2）倒數(shù)變換——如將一階分式遞推公式（c、d為非零常數(shù)）取倒數(shù)得；（3）對數(shù)變換——如將一階遞推公式取對數(shù)得（4）換元變換——如將一階遞推公式（q、d為非零常數(shù)，，）變換成，令，則轉(zhuǎn)化為一階線性遞推公式。2、數(shù)列求和的最基本最重要的方法.一、公式法等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：4、二、錯位相減法求和：這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和，其中{an}、{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.三、反序相加法求和：這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.四、分組法求和：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.五、裂項法求和：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)六、合并法求和：針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.七、利用數(shù)列的通項求和：先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.典例精講例1.（★★）已知數(shù)列｛an｝滿足，求數(shù)列的通項公式。解： 鞏固練習1.（★★）已知數(shù)列的首項為1，且寫出數(shù)列的通項公式.解：2.（★★★）已知數(shù)列滿足，，求此數(shù)列的通項公式.解：回顧總結(jié)（1）若f(n)為常數(shù),即：,此時數(shù)列為等差數(shù)列，則=.（2）若f(n)為n的函數(shù)時，用累加法.方法如下：由得：時，，，，所以各式相加得即：.為了書寫方便，也可用橫式來寫：（3）已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項.若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。例2.（★★★）設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且（=1，2，3，…），則它的通項公式是=________.解：鞏固練習1.（★★★）已知,求數(shù)列的通項公式。解：回顧總結(jié)（1）當f(n)為常數(shù)，即：（其中q是不為0的常數(shù)），此時數(shù)列為等比數(shù)列，=.（2）當f(n)為n的函數(shù)時,用累乘法.由得時，，=f(n)f(n-1).例3.（★★）已知，求的前n項和.解：由由等比數(shù)列求和公式得＝＝＝1－例4.（★★）求和：………①解：由題可知，{}的通項是等差數(shù)列{2n－1}的通項與等比數(shù)列{}的通項之積設(shè)……….②（設(shè)制錯位）①－②得（錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：∴鞏固練習1、已知數(shù)列對于任意，有，若，則 。解：42、已知數(shù)列{}的前項和，則其通項；解：2n-103、等差數(shù)列中，；求數(shù)列的通項公式；解：4、求數(shù)列前n項的和.解：由題可知，{}的通項是等差數(shù)列{2n}的通項與等比數(shù)列{}的通項之積設(shè)…………………①………………②（設(shè)制錯位）①－②得（錯位相減）∴回顧總結(jié)1、錯位相減法求和：這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種