2024屆安徽高三年級下冊聯(lián)考（二模）數(shù)學(xué)試題+答案

絕密★考試結(jié)束前

'2023-2024學(xué)年第二學(xué)期天域全國名校協(xié)作體聯(lián)考

高三年級數(shù)學(xué)試題

考生須知：

1.本卷共5頁滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字。

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙。

選擇題部分

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知43是全集U的非空子集，且月三。出，則（）

A.BAB.6=*/C.D.A匚B

2.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說:數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分

家萬事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中,常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分

2x

的圖象大致為（）

析函數(shù)的圖象特征.則函數(shù)/（x）=2

X+1

3.已知復(fù)數(shù)z=a+e/?)>x2-()

A.20B.12C.2V5D.20

4.已知等邊4ABC的邊長為2,點D,E分別為AB,BC的中點，若瓦^2而，則市?萬=（）

465

A.1B.-C.-D.-

554

22

5.已知耳，外是雙曲線三-與=l（a>0/>0）的左、右焦點，若雙曲線上存在點尸滿足

ab

比?可=-2/,則雙曲線離心率的最小值為（）

A.V6B.V5C.2D.V3

高三數(shù)學(xué)試題第1頁（共5頁）

6.在數(shù)列｛%｝中，S"為其前"項和，首項q=1,且函數(shù)/(x)=x3-%+]Sinx+(2a“+l)x+l的導(dǎo)函數(shù)

有唯一零點，則用=()

A.26B.63C.57D.25

2024

7.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(x+2)-2為奇函數(shù)，/(3x+l)為偶函數(shù)，/⑴=0,則工〃口=

k=\

()

A.4036B.4040C.4044D.4048

8.已知直線/:Zx+5y+C=0(Z2+3200)與曲線沙：y=》有三個交點。、E、F,且

\DE\=\EF\=2,則以下能作為直線/的方向向量的坐標(biāo)是().

A.（0,1）B.（1,-1）C.（1,1）D.（1,0）

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知由樣本數(shù)據(jù)(%，%)(7=1，2,3,…，10)組成的一個樣本，得到回歸直線方程為，=-x+3,

且嚏=4.剔除一個偏離直線較大的異常點(-5,-1)后，得到新的回歸直線經(jīng)過點(6,-4).則下列說

法正確的是

A.相關(guān)變量-7具有正相關(guān)關(guān)系

B.剔除該異常點后，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值變大

C.剔除該異常點后的回歸直線方程經(jīng)過點(5,-1)

D.剔除該異常點后，隨x值增加相關(guān)變量〉值減小速度變小

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角。以坐標(biāo)原點。為頂點，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，其終邊經(jīng)過

點M(a,6),\OM\=m[m^^,定義〃8)=*,g")="13,則()

mm

A-Wk用=1B./（。）+/（。）“

C.若嚕=2,則sin2O=3

D./(e)g(e)是周期函數(shù)

g（。）5

11.如圖，多面體由正四棱錐和正四面體組合而成，其中PS=1,則

下列關(guān)于該幾何體敘述正確的是

3________歹s

A.該幾何體的體積為正

B.該幾何體為七面體/7\：';

4

C.二面角4-P5-C的余弦值為-工D.該幾何體為三棱柱\L____________V

3AB

高三數(shù)學(xué)試題第2頁(共5頁)

非選擇題部分

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.從某工廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取11個，其尺寸值為43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57(單位mm),

現(xiàn)從這11個零件中任取3個，則3個零件的尺寸剛好為這11個零件尺寸的平均數(shù)、第六十百分位

數(shù)、眾數(shù)的概率為.

13.已知偶函數(shù)/(x)=sin(m+°)3>0)的圖像關(guān)于點［：,()］中心對稱，且在區(qū)間0,￡上單調(diào),

則g=.

14.若實數(shù)x，V滿足/+/=25,則,50+8x+6y+,50+8x—6.y的最大值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知函數(shù)/(x)=lnx+3—ax,aeR

⑴若/(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)時，求/(x)的極值點.

16.(15分)

據(jù)新華社北京2月26日報道，中國航天全年預(yù)計實施100次左右發(fā)射任務(wù)，有望創(chuàng)造新的紀(jì)錄，我

國首個商業(yè)航天發(fā)射場將迎來首次發(fā)射任務(wù)，多個衛(wèi)星星座將加速組網(wǎng)建設(shè)；中國航天科技集團(tuán)有

限公司計劃安排近70次宇航發(fā)射任務(wù)，發(fā)射290余個航天器，實施一系列重大工程任務(wù)。由于航天

行業(yè)擁有廣闊的發(fā)展前景，有越來越多的公司開始從事航天研究，某航天公司研發(fā)了一種火箭推進(jìn)

器，為測試其性能，對推進(jìn)器飛行距離與損壞零件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下：

飛行距離x(kkm)5663717990102110117

損壞零件數(shù)y(個)617390105119136149163

_88

參考數(shù)據(jù)：x=86,7=112,82743,￡x,2=62680

Z=1Z=1

(l)建立y關(guān)于x的回歸模型j=之+A,根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求p關(guān)于x的回歸方程()精

確到01，，精確到1)；

(2)該公司進(jìn)行了第二項測試，從所有同型號推進(jìn)器中隨機(jī)抽取100臺進(jìn)行等距離飛行測試，對其

中60臺進(jìn)行飛行前保養(yǎng)，測試結(jié)束后，有20臺報廢，其中保養(yǎng)過的推進(jìn)器占比30%,請根據(jù)統(tǒng)計

數(shù)據(jù)完成2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否認(rèn)為推進(jìn)器是否報廢與保養(yǎng)有關(guān)？

高三數(shù)學(xué)試題第3頁(共5頁)

保養(yǎng)未保東合計

報廢20

未報廢

合計60100

E（尤,-x）（%-y）__

附：回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為務(wù)=『——=——=y-bx,

力（X、

Z=1

2

“2n(ad-bc)」

K-----------------------，及=Q+67+C+"；

(〃+6)(。+d)(a+c)(6+d)

PH2koy0.250.10.050.0250.010.001

k,1.3232.7063.8415.0246.63510.828

17.（15分）

在三棱錐尸—48C中，必，平面48C,AB=BC=BP=2,點E在平面48C內(nèi)，且滿足平

面平面尸8￡,BA垂直于BC。

7171

（1）當(dāng)N4BEe時，求點E的軌跡長度;

83

（2）當(dāng)二面角E-K4-8的余弦值為?士時，求三棱錐E-PC8的體積.

3

18.(17分)

在平面直角坐標(biāo)系X。中，橢圓水：二+4=1（。>6>0）的離心率為e,已知橢圓長軸長是短軸長

ab

的2倍，且橢圓少過點（l,e）.

（1）求橢圓彳的方程;

（2）已知平行四邊形/5CQ的四個頂點均在沙上，求平行四邊形/BC。的面積S的最大值.

高三數(shù)學(xué)試題第4頁（共5頁）

19.（17分）

對稱變換在對稱數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義.

若一個平面圖形K在加（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對稱

性，并記加為K的一個對稱變換.例如，正三角形R在〃“（繞中心。作120°的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍

然與R重合（如圖1圖2所示），所以M是尺的一個對稱變換，考慮到變換前后R的三個頂點間

（123、

的對應(yīng)關(guān)系，記叫=;又如，R在h（關(guān)于對稱軸心所在直線的反射）的作用下仍然與

口12）

（123}

R重合（如圖1圖3所不）,所以/i也是R的一個對稱變換，類似地，記4=.記正三角

U32J

形R的所有對稱變換構(gòu)成集合S.

一個非空集合G對于給定的代數(shù)運算。來說作成一個群，假如同時滿足：

I.X/a,beG,a。6eG；II.\/a,b,c^G,（a%）℃=a0（6℃）；

III.G,\faeG,aoe=e°a=a；IV.\faG,3alG,a°a~l=a~loa=e.

對于一個群G,稱R中的e為群G的單位元，稱〃中的qT為。在群G中的逆元.

一個群G的一個非空子集X叫做G的一個子群，假如H對于G的代數(shù)運算。來說作成一個群.

（1）直接寫出集合S（用符號語言表示S中的元素）；

23、,132、/213、

（2）同一個對稱變換的符號語言表達(dá)形式不唯一，如仆=

(312,、3217U32,

（23，312、，32

.對于集合S中的元素,定義一種新運算*,規(guī)則如下:

2VJ31J、21V

‘1a(7‘見a%、

23*b2a、2

,{a1,iz2,a3}={Z>1,Z>2,Zj3}={c1,%,c3}={1,2,3).

Mb2Jg

①證明集合S對于給定的代數(shù)運算*來說作成一個群;

②己知X是群G的一個子群，e,e'分別是G,笈的單位元，aeH,。工屋分別是。在群G,群〃

中的逆元.猜想e,e'之間的關(guān)系以及/i,4之間的關(guān)系，并給出證明;

③寫出群S的所有子群.

圖3

高三數(shù)學(xué)試題第5頁（共5頁）

絕密★考試結(jié)束前

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期天域全國名校協(xié)作體聯(lián)考

高三年級數(shù)學(xué)參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

題號12345678

答案BCDADCDC

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

題號91011

答案BCACDACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.213.114.6^/10

四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

.a...,..1a-ax1+x-a

15.(1)j(x)=Inx—uxH—(x〉0),..jr(x)=—ct———----------,

xxxx

若/(X)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則/'(x)<0對Vxe(0,+8)恒成立，即-狽2+X—。<0恒成立,

所以”>0,A=1-4?2<0>解得.................6分

2

(2)當(dāng)時，/'(x)>0,；J(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，二/⑴無極值點；.........8分

"l-Vl-4a21+J1-4a2、

當(dāng)0<a<工時,A=l-4a2>0>令/''(x)>0,解得xe

22a2a

令/'(x)<0,解得Xe［o,，力-4a］口("力”,+J

2a2a

則/(x)在1o,匕力主］上是單調(diào)遞減，在，1+力-4.］上是單調(diào)遞增,在

2a2a2a

\7\7

1+上是單調(diào)遞減，；.的極小值點為「I-4r,極大值點為生里.

［2?2a2a

.....................12分

高三數(shù)學(xué)參考答案第1頁(共6頁)

綜上，當(dāng)“40時，無極值點；當(dāng)0＜。＜］時，/(x)的極小值點為1-1一4〃2,極大值點為

22a

1+'-4片.................13分

2a

82743-8x86x112

16.(1)由題意否二?1.6........................3分

62680-8x86?

a=y-bx-26.......................6分

故)關(guān)于x的線性回歸方程為y=1.6x-26...........................................7分

(2)設(shè)零假設(shè)為外：是否報廢與是否保養(yǎng)無關(guān)

由題意，報廢推進(jìn)器中保養(yǎng)過的共20x30%=6臺，未保養(yǎng)的推進(jìn)器共20-6=14臺.

補充2x2列聯(lián)表如下:

保養(yǎng)未保養(yǎng)合計

報廢61420

未報廢542680

合計6040100

..........................11分

則100x(6x26-I4X54)；9.375>6.635

...................................14分

20x40x60x80

根于小概率值a=0.01的獨立性檢驗，我們推斷為不成立，即認(rèn)為是否報廢與是否保養(yǎng)有關(guān)，此推斷

的錯誤的概率不大于0.01............................................15分

17.(1)作BHLPE交PE于H,因為平面PAE1平面PBE,且平面PAEc平面PBE=PE,所以BH工

平面尸NE,又因為/￡u平面尸所以因為P8_L平面4BC,且NEu平面4BC,所

以可，/E,因為PB1AE,PB、BHu平面PBE,PBCBH=B,所以平面PBE,

又因為BEu平面P8E,所以/ELBE...........................................3分

分別以直線BA,BC,BP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

高三數(shù)學(xué)參考答案第2頁(共6頁)

則5（0,0,0）,P（0,0,2）,C（0,2,0）,42,0,°

設(shè)E（x,y,0），因為/ELBE,所以存.礪=0,AE=（x-2,y,0）,BE=（x,y,0），

所以（x-2）?x+y?y=0,即（x-1）?+>2=i...........................................

設(shè)48中點為N,則N。,。），

如圖：

又N4BE』工巴],所以//NE生],

[83」[43」

因此，E的軌跡為圓弧其長度為（年―弓）x1

（2）由（1）知，可設(shè)E（x,y,0）,⑸=，（2,0,-2）,赤=（x-2,y,0）,

設(shè)平面PAE的一個法向量為亢=（。，①。），

則產(chǎn)？=0,即2c=0,令口一則6=2—x,c=y,n=（y,2-x,y}

n-AE=Q,\a{x-2）+by=Q10分

BC=（0,2,0）為平面P/3的一個法向量，令二面角E—K4—8為角，

n,BCx200八I、—2|-y/^

cosff=\-\，因為（x—1）+y=1所以cos6=i-=—

MBC-^/（x-2）2+2y2V4-x23

高三數(shù)學(xué)參考答案第3頁（共6頁）

解得x=2,y=0（舍去）或》=1/=±1則￡（1,1,0）,或￡（1,一1,0）13分

從而可得三棱錐E-PCB的體積

11cc,2

VE-PCB一x—x2x2xl=—..15分

323

18.（1）由題意知1e21c2b2+c2

r------1---------=1,

ab2a2a2b2a2b2F

解得6=1,所以。=2；

2

所以橢圓沙的方程為土+y2=1；4分

4

（2）①若直線的斜率存在，設(shè)N3的方程為>=&+%,/（再,％）,B（x2,y2）,

因為*CD,故可設(shè)CD方程設(shè)為〉=丘+%,

y—kx+mx

由＜尤2得（1+4斤2）》2+8上丐x+4機(jī):-4=0,

—+y2=1

14

8kml

X]+%=一

1+4左2

貝l]A=8（2后2—4+1）＞0且....................7分

4m.2-4

中2=二以

22

所以|1=yl\+kJ（xl+x2）-4xlx2=J1+左2——口——

l+4k2

同理ICWE7,[fl，....................9分

因為|4B|=|CD|,所以加；=武，因為“。加2，所以嗎+加2=0.......................n分

Ivyi—IY]II2wI

設(shè)兩平行線8間的距離為d,則八1+黃,因為啊+加2=。，所以

4左之一加；+1+w

k~一屁+14M34i；+l）M

所以S=|/a0=42

1+4F-何L-i74p＜8=4

1+4左2

所以當(dāng)4左2+1=2喏時，ABCD的面積S取得最大值為4.....................14分

②若直線的斜率不存在，此時平行四邊形48co為矩形，設(shè)次國,必），易知S=4|x）]|,

又1=/+升22污U=|xj",所以S<4,當(dāng)且僅當(dāng)％=%時取等；...............16分

綜上所述：/BCD的面積S的最大值為4.............17分

19.解析：（1）由題設(shè)可知，正三角形R的對稱變換如下：繞中心。作120°的旋轉(zhuǎn)變換

高三數(shù)學(xué)參考答案第4頁（共6頁）

(123、勺23、

ml=；繞中心。作240°的旋轉(zhuǎn)變換加2=；繞中心。作360°的旋轉(zhuǎn)變換

、312,<231

(123(123

m3二；關(guān)于對稱軸心所在直線的反射變換4=關(guān)于對稱軸及所在直線的反

J237J327

423、(123

射變換4；關(guān)于對稱軸-3所在直線的反射變換4

、32d137

Y123(123、(\23)023)023、（1231

綜上，s=<31》.（形式不唯

12J31JU23凡32乂321

一）3分

b2a、b24、。3、

a2a2%、

(2)?Z.V€S,*GS；

b

2A八qC2C3)°2A><ciC2C3)<ci)

、

&a2生)(Ab3C2。3

〃.V2G5,

"3

14b?&yC2d27

bA'、、、

‘％aa2CC%、CCaa

2**%23*%2323

〃3〃2〃3"3

3i&7C2C3?、4d27C3ydz

b\b

a2CC‘可a2A、a%、

‘%2**%232*a2

b

2A>CC、"3"3J、"2"3y

23?4d273i瓦b'3J14d24

所以

b、、

?2*24*%C2q

b24>

C2C3)、4d2d-37

、b、

‘見2C

?2a3b1%2。3

**5分

bb

23C

)2C3Jd2d-37