2023-2024學(xué)年浙江省寧波市鄞州中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)浙江省寧波市鄞州中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與交于，兩點(diǎn)，且，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】將代入拋物線得，結(jié)合弦長(zhǎng)可得，根據(jù)拋物線定義求即可.【詳解】令，則，故，所以，所以，故準(zhǔn)線為，則.故選：B2．已知雙曲線：（，），、分別為左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，，到左焦點(diǎn)的距離是到右焦點(diǎn)的距離的3倍，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義和離心率運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，由題意可知：，則，可得，因?yàn)椋瑒t，即，整理得，所以雙曲線的離心率是.故選：B.3．已知雙曲線：（，）的離心率為2，則漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)離心率可表示出，從而可求出漸近線方程【詳解】曲線：（，）的漸近線方程為，因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以，所以，所以，所以漸近線方程為，故選：D4．拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，過分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，根據(jù)拋物線的定義求得，根據(jù)，列出方程求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，①如圖（1）所示，過分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，所以，把代入拋物線，可得，即點(diǎn)或，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在軸上方，即，由，可得，即因?yàn)榍遥?，解得，所以，所?②如圖圖（2）所示，過分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，所以，把代入拋物線，可得，即點(diǎn)或，當(dāng)點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在軸下方，即，由，可得，即因?yàn)榍遥?，解得，所以，所?綜上可得，故選：A.

5．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．6．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段為邊作正三角形，若邊的中點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由橢圓定義得，計(jì)算得離心率.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，由題意得：，，由橢圓定義得：，所以，故選：B．7．已知雙曲線，的左右焦點(diǎn)記為，，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，記與雙曲線的交點(diǎn)為P，若所得的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件探求出的內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)，再借助點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算作答.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，則，由對(duì)稱性不妨令與平行的漸近線為，直線方程為：，即，令的內(nèi)切圓與三邊相切的切點(diǎn)分別為A，B，C，令點(diǎn)，如圖，由切線長(zhǎng)定理及雙曲線定義得：，即，而軸，圓半徑為，則有，點(diǎn)到直線的距離：，整理得，即，而，解得，所以雙曲線的離心率為2.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②根據(jù)給定條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線C:y2=2px()的焦點(diǎn)為F，直線x=3與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，｜AF|=4，圓E為的外接圓，直線OM與圓E切于點(diǎn)M，點(diǎn)N在圓E上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知及拋物線的定義，可求，進(jìn)而得拋物線的方程，可求，，的坐標(biāo)，直線的方程，可得圓的半徑，求得圓心，設(shè)的坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，可得所求范圍．【詳解】解：由題意，設(shè)，所以，解得，所以拋物線的方程為，，，，所以直線的方程為，設(shè)圓心坐標(biāo)為，，所以，解得，即，圓的方程為，不妨設(shè)，設(shè)直線的方程為，則，根據(jù)，解得，由，解得，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是：首先求出圓的方程為，然后利用直線OM與圓E切于點(diǎn)M，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，引入圓的參數(shù)方程表示N點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及輔助角公式，可得所求范圍．.二、多選題9．雙曲線，點(diǎn)，則（

）A．該雙曲線漸近線為B．過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則滿足的直線有1條C．與雙曲線兩支各有一個(gè)交點(diǎn)的直線斜率可以是1.1D．過點(diǎn)能作4條僅與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)的直線【答案】ACD【分析】由雙曲線漸近線的定義可求出漸近線方程，判斷A選項(xiàng)；再由直線與雙曲線的位置關(guān)系依次判斷選項(xiàng)B、C、D.【詳解】由題意，雙曲線，則雙曲線漸近線為，選項(xiàng)A正確；依題意，當(dāng)過點(diǎn)的直線直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)時(shí)，通徑最短，為，當(dāng)直線與雙曲線的兩支交于兩點(diǎn)時(shí)，的最小值為，所以，若，則滿足條件的直線有3條，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由于雙曲線漸近線為，與雙曲線兩支各有一個(gè)交點(diǎn)的直線斜率，而，選項(xiàng)C正確；過點(diǎn)能作兩條與漸近線平行的直線和兩條切線，均與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，故滿足條件的直線有4條，選項(xiàng)D正確.故選：ACD

10．已知斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．為定值 B．線段的中點(diǎn)在一條定直線上C．為定值 D．為定值（為拋物線的焦點(diǎn)）【答案】BC【分析】分析可知，，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可判斷A選項(xiàng)；求出線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可判斷B選項(xiàng)；利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理可判斷C選項(xiàng)；利用拋物線的焦半徑公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】若，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，則，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，對(duì)于A選項(xiàng)，不一定是定值，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，為定值，故線段的中點(diǎn)在定直線上，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，為定值，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，不一定為定值，D錯(cuò).故選：BC.11．如圖，P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，且共焦點(diǎn)的離心率分別為，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．若，則C．若，則的最小值為2 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線定義計(jì)算判斷A；由余弦定理計(jì)算判斷B，C；由余弦定理、二倍角的余弦計(jì)算判斷D作答.【詳解】依題意，，解得，A不正確；令，由余弦定理得：，當(dāng)時(shí)，，即，因此，B正確；當(dāng)時(shí)，，即，有，而，則有，解得，C不正確；，，于是得，解得，而，因此，D不正確.故選：ACD12．已知橢圓，其右焦點(diǎn)為，以為端點(diǎn)作條射線交橢圓于，且每?jī)蓷l相鄰射線的夾角相等，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，的面積的最小值為C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，過作橢圓的切線，且交于點(diǎn)交于點(diǎn)，則的斜率乘積為定值【答案】ABD【分析】設(shè)，求得，同理求出，，代入，根據(jù)兩角和差公式，即可判定A正確；得到，結(jié)合三角恒等變換的公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，可判斷B正確；取，求得的值，可判定C錯(cuò)誤；求出的方程，得到,，結(jié)合斜率公式，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，對(duì)于橢圓，其中，為橢圓上一點(diǎn)，又由，則.如圖所示，設(shè)，則，代入上式可得，解得，故對(duì)于，，所以，同理可得，.所以，所以A正確；對(duì)于B中，結(jié)合A結(jié)論有，其中，因?yàn)椋环猎O(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且，所以，所以，所以B正確.對(duì)于C中，取，則，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，設(shè)橢圓上一點(diǎn)，則，即①，設(shè)切線，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，可得，即②，由，消去，整理得，因?yàn)槭菣E圓的切線，可得，解得③，且韋達(dá)定理，有④，由③④兩式相乘，化簡(jiǎn)得，將②式代入，解得，由①式可得，所以，所以的方程為，結(jié)合①式，化簡(jiǎn)得，設(shè),可知的方程為，因?yàn)榻挥邳c(diǎn)，所以切點(diǎn)弦的方程為，因?yàn)橄疫^，所以，同理可得，因?yàn)椋?，故，所以，所以D正確.故選:ABD.【點(diǎn)睛】總結(jié)點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．三、填空題13．已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)（記為，），點(diǎn)是該橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則的面積為.【答案】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理和三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)闄E圓與雙曲線共焦點(diǎn)，所以有，因?yàn)樵摍E圓與雙曲線是中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形，所以不妨設(shè)點(diǎn)是在第一象限，左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可知：，由余弦定理可知：，所以有，因此的面積為，故答案為：14．已知點(diǎn)和拋物線，過的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．若，則．【答案】2【分析】方法一：利用點(diǎn)差法得到AB的斜率，結(jié)合拋物線定義可得結(jié)果.【詳解】［方法一］：點(diǎn)差法設(shè)，則，所以所以，取AB中點(diǎn),分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為因?yàn)?，因?yàn)闉锳B中點(diǎn)，所以平行于x軸，因?yàn)镸(-1,1)，所以，則即．故答案為：2.［方法二］：【最優(yōu)解】焦點(diǎn)弦的性質(zhì)記拋物線的焦點(diǎn)為F，因?yàn)椋瑒t以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M，由拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)可知，所以．［方法三］：焦點(diǎn)弦性質(zhì)+韋達(dá)定理記拋物線的焦點(diǎn)為F，因?yàn)?，則以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M，記中點(diǎn)為N，則，設(shè)，代入中，得，所以，得，所以．［方法四］：【通性通法】暴力硬算由題知拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，代入中得，設(shè)，則，同理有，由，即．又，所以，得．［方法五］：距離公式+直角三角形的性質(zhì)設(shè)直線為，與聯(lián)立得，則從而，可得的中點(diǎn)，所以．又由弦長(zhǎng)公式知．由得，解得，所以．［方法六］：焦點(diǎn)弦的性質(zhì)應(yīng)用由題可知，線段為拋物線的焦點(diǎn)弦，，由于以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，又點(diǎn)M恰為拋物線準(zhǔn)線上的點(diǎn)，因此，以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M．過點(diǎn)M作平行于軸的直線交于點(diǎn)N，則N為圓心．設(shè)，則．又因?yàn)?，所以?lián)立解得．將的值代入中求得．因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)，所以．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)點(diǎn)差法找出直線的斜率與兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)拋物線定義求出中點(diǎn)坐標(biāo)，從而解出；方法二：直接根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)解出，是該題的最優(yōu)解；方法三：根據(jù)焦點(diǎn)弦性質(zhì)可知，直線過點(diǎn)，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線的斜率；方法四：直接設(shè)出直線方程，聯(lián)立運(yùn)算，屬于解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的通性通法，思路直接，運(yùn)算復(fù)雜；方法五：反設(shè)直線，再通過聯(lián)立，利用直角三角形的性質(zhì)求解，運(yùn)算較復(fù)雜；方法六：利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)直接求出其中一點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式求出．15．點(diǎn)P為雙曲線（，為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，點(diǎn)P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，l是點(diǎn)處的切線，過左焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為M，則.【答案】【分析】利用雙曲線的定義結(jié)合條件及中位線定理計(jì)算即可.【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，易知，設(shè)，則，易知O為的中點(diǎn)，所以.故答案為：16．已知是橢圓的左焦點(diǎn)，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)，利用均值不等式求解.【詳解】如圖，

由橢圓方程可知，，當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線，，聯(lián)立，得：，，弦長(zhǎng)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為；當(dāng)直線斜率為0時(shí)，.綜上，的最小值為.故答案為：四、解答題17．在下列條件下求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)．(2)焦點(diǎn)在軸上，雙曲線上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為，且經(jīng)過點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與已知雙曲線有相同的漸近線，求解出之間的關(guān)系，再運(yùn)用雙曲線經(jīng)過已知點(diǎn)求解出雙曲線的方程；（2）根據(jù)雙曲線的定義求解出實(shí)軸長(zhǎng)，再結(jié)合上雙曲線過已知點(diǎn)確定雙曲線的方程.【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為所求雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為根據(jù)題意可得此時(shí)，所求雙曲線的方程為；所求雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為根據(jù)題意得,無解，綜上，所求的雙曲線方程為（2）設(shè)所求雙曲線的方程為，根據(jù)題意又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以解得故所求雙曲線方程為.18．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，為雙曲線上異于、的任意一點(diǎn)，直線、的斜率乘積為．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、在雙曲線的右支上，直線、在軸上的截距之比為．試問直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)所給條件，列出方程組，求出即可得解；（2）設(shè)出直線方程及M，N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出截距建立方程，再由解方程得或，即可得解.【詳解】（1）設(shè)，由可得，又，，又焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為，解得：．所以雙曲線的方程：.（2）設(shè)直線的方程為，如圖，

由得，，，直線，則直線在軸上的截距為，直線，則直線在軸上的截距為，由題得：，又，所以．所以，則，，，，化簡(jiǎn)得：或．若，直線過頂點(diǎn)，舍去．．則直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．19．如圖，點(diǎn)在橢圓上，且.

(1)求證：直線為某個(gè)定圓的切線：(2)記為橢圓的左焦點(diǎn).若存在上述的一對(duì)點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線，求橢圓的離心率的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）考慮直線斜率不存在和斜率存在時(shí)，兩種情況，分別求出原點(diǎn)到直線的距離，距離為定值即可證明；（2）利用須在定圓上或圓外，建立不等式，解出即可.【詳解】（1）當(dāng)直線軸時(shí)，設(shè)，則，則，又點(diǎn)在橢圓上，則，即，解得，原點(diǎn)到直線的距離；

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)：，，，

由得，故，.，則，于是原點(diǎn)到直線的距離，所以直線是圓的切線；（2）利用（1），須在上述定圓上或圓外，

則，即，從而，由此得.20．類似于圓的垂徑定理，橢圓：（）中有如下性質(zhì)：不過橢圓中心的一條弦的中點(diǎn)為，當(dāng)，斜率均存在時(shí)，，利用這一結(jié)論解決如下問題：已知橢圓：，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，使，求四邊形的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出，由可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程可得點(diǎn)的軌跡方程.（2）設(shè)，由，知為中點(diǎn)，當(dāng)直線不與坐標(biāo)軸重合時(shí)，結(jié)合已知條件，可得，求出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，可得根與系數(shù)關(guān)系，由弦長(zhǎng)公式求出，再由點(diǎn)到直線的距離公式可求得，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，可求得面積，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸重合時(shí)，易得解.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)椋?，代入橢圓得：，點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）

設(shè)，由（1）則，①當(dāng)直線不與坐標(biāo)軸重合時(shí)，由，知為中點(diǎn)，，直線：，代入橢圓：的方程得：即：，設(shè)，，由根與系數(shù)關(guān)系，，設(shè)表示點(diǎn)到直線的距離，表示點(diǎn)到直線的距離，；它法：利用比例關(guān)系轉(zhuǎn)化：，酌情給分.②當(dāng)直線與坐標(biāo)軸重合時(shí)，不妨取，，，或，，，綜上所述：四邊形的面積是.21．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)若，證明：直線過定點(diǎn)．(2)已知，直線在直線的右側(cè)，，與之間的距離，交于，兩點(diǎn)，試問是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程求出，直線與拋物線聯(lián)立方程組，由，利用向量數(shù)量積和韋達(dá)定理，求出，可得直線所過定點(diǎn).（2）設(shè)兩條直線與的方程，分別與拋物線方程聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)，由和，求的值.【詳解】（1）證明：將點(diǎn)代入，得，即．聯(lián)立得，

由，設(shè)，，則，．因?yàn)?，所以恒成立，則，所以的方程為，故直線過定點(diǎn)．（2）聯(lián)立得，則且