人教A版高中數(shù)學選修3-3-6.3-用球面多邊形的內(nèi)角和公式證明歐拉公式-課件

用球面多邊形的內(nèi)角

和公式證明歐拉公式問題提出如何計算球面三角形的面積？球面三角形面積與平面三角形面積有什么區(qū)別？如何利用球面三角形面積公式證明球面多面體的歐拉公式？如何利用球面知識證明簡單多面體的歐拉公式？球面二角形的面積我們知道，若球面半徑為R，則球面面積為，現(xiàn)在考慮球面上的一個小區(qū)域：球面上由兩個大圓的半周所圍成的較小部分叫做一個球面二角形。球面二角形的面積例1：計算地球上一個時區(qū)所占有的面積。球面二角形的面積解：如圖所示，設(shè)O為地心，N、S為北極點和南極點，A、B為赤道上兩點，

且，地球半徑為R=6400km。根據(jù)地理知識，地球共分為24個時區(qū)，一個時區(qū)跨越地球表面，所以由經(jīng)線NAS與經(jīng)線NBS圍成的二角形就是一個時區(qū)，它所占面積為地球表面積的即球面二角形的面積如何計算一般球面二角形的面積？二角形的夾角α，就是平面PA與PB所夾的二面角的平面角；這個二角形可以看成半個大圓繞直徑P旋轉(zhuǎn)角所生成；球面二角形的面積與其夾角成比例。計算球面三角形的面積設(shè)表示球面三角形ABC的面積，對球面三角形ABC，分別畫出三條邊所在的大圓。計算球面三角形的面積設(shè)A、B、C的對徑點分別是，則計算球面三角形的面積球面三角形+球面三角形+球面三角形+球面三角形構(gòu)成半個球面，所以計算球面三角形的面積又因為 計算球面三角形的面積所以得到定理：球面三角形的面積等于其內(nèi)角和減去π。球面三角形的三個內(nèi)角和大于π計算球面三角形的面積例2：計算以北京、上海、重慶為頂點的球面三角形的邊長和的面積。解：根據(jù)地理知識，北京位于北緯39°56′、東經(jīng)116°20′，上海位于北緯31°14′、東經(jīng)121°29′，重慶位于北緯29°30′、東經(jīng)106°30′的經(jīng)緯度，地球半徑為R=6400km計算球面三角形的面積如圖所示，設(shè)N為北極點，B為北京，S為上海，C為重慶.計算球面三角形的面積在球面三角形NBC中計算球面三角形的面積解球面三角形NBC，有即同理 計算球面三角形的面積解球面三角形BSC，有即所以球面三角形BSC的面積為練習1．證明：半徑為R的球面上，夾角為的二角形的面積為。2．證明：半徑為R的球面上，球面三角形ABC的面積。3．已知球面二角形的面積是球面面積的，求其夾角。練習4．已知球面三角形的邊角關(guān)系如下，求它的面積（1）已知（2）已知球面上的歐拉公式設(shè)S是一個球面，我們把球面分割成若干個球面三角形，要求球面上的每一點至少包含在某個球面三角形的內(nèi)部或邊上。同時，任何兩個球面三角形或者沒有公共點，或者有一個公共點的頂點，或者有一條公共邊，三者比居其一，這樣構(gòu)成的球面上的網(wǎng)絡(luò)，叫做球面S上的一個三角剖分，記為。球面上的歐拉公式圖中所示的兩個三角形的位置關(guān)系在球面的三角剖分中都是不允許出現(xiàn)的。球面上的歐拉公式例3：觀察下面的球面三角剖分，記錄它們的頂點數(shù)V，三角形邊數(shù)E和三角形個數(shù)F，說明它們滿足什么關(guān)系？球面上的歐拉公式在左圖中，頂點為A、B、C、D，頂點數(shù)V=4，三角形的邊為AB、AC、AD、BC、BD、CD，邊數(shù)E=6，三角形為ABC、ABD、ACD、BCD，三角形個數(shù)F=4，所以球面上的歐拉公式在中圖中，頂點為A、B、C、D、E、F，頂點數(shù)V=6，三角形邊為AB、AC、AD、AE，F(xiàn)B、FC、FD、FE、BC、BE、CD、ED，邊數(shù)E=12三角形為ABC、ABE、ACD、ADE，F(xiàn)BC、FBE、FCD、FDE，三角形個數(shù)F=8，所以 ；球面上的歐拉公式在右圖中，頂點為A、B、C、D、E、F、G、H，頂點數(shù)V=8，三角形的邊為AB、AC、AH、HD、AE、CH、HE，F(xiàn)G、GB、FC、FD、FE、BC、BE、CD、ED、CG、GE，邊數(shù)E=18，三角形為ABC、ABE、ACH、CHD、AHE、HED，F(xiàn)GC、GCB、FGE、GEB、FCD、FDE，三角形個數(shù)F=12，所以球面上的歐拉公式球面上的三角剖分滿足下面的公式：

其中V、E、F分別是三角剖分的頂點數(shù)，三角形邊數(shù)和三角形個數(shù)。我們把這個公式叫做球面的歐拉公式。這個公式與球面的大小，三角剖分的方式無關(guān)。球面上的歐拉公式如何利用球面三角形面積公式證明球面多面體的歐拉公式？1．考慮E和F的關(guān)系：球面上共有F個三角形，每個三角形有三條邊，每條邊屬于兩個三角形，所以球面上的歐拉公式2．把F個三角形編號，記為。對于第個三角形，設(shè)它的面積為，三角形的內(nèi)角分別為，那么因此，整個球面的面積球面上的歐拉公式3．因為三角剖分共有V個頂點，而在每個頂點處，以它為頂點的所有球面角之和為，所以4．根據(jù)（1）、（2）、（3）式，得球面上的歐拉公式這個公式用歐拉的名字命名，是因為在1750年歐拉首次發(fā)現(xiàn)了凸多面體的歐拉公式。由若干個平面多邊形所圍成的封閉的立體，稱為多面體。如果一個多面體在它的每一個面所決定的平面的同一側(cè)，就稱為凸多面體。球面上的歐拉公式如圖所示，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是凸多面體，而（6）、（7）不是凸多面體。球面上的歐拉公式例4觀察下面的圖形，寫出凸多面體和它對應(yīng)的球面三角剖分的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F，并驗證凸多面體的歐拉公式和它對應(yīng)的球面三角剖分的歐拉公式。球面上的歐拉公式解 在上圖中，凸多面體的頂點數(shù)V=4，棱數(shù)E=6，面數(shù)F=4它對應(yīng)的球面三角剖分的頂點數(shù)V=4，棱數(shù)E=6，面數(shù)F=4，凸多面體的歐拉公式是，它對應(yīng)的球面三角剖分的歐拉公式；球面上的歐拉公式在中圖中，凸多面體的頂點數(shù)V=6，棱數(shù)E=12，面數(shù)F=8它對應(yīng)的球面三角剖分的頂點數(shù)V=6，棱數(shù)E=12，面數(shù)F=8，凸多面體的歐拉公式是，它對應(yīng)的球面三角剖分的歐拉公式；球面上的歐拉公式在下圖中，凸多面體的頂點數(shù)V=8，棱數(shù)E=18，面數(shù)F=12它對應(yīng)的球面三角剖分的頂點數(shù)V=8，棱數(shù)E=18，面數(shù)F=12，凸多面體的歐拉公式是，它對應(yīng)的球面三角剖分的歐拉公式；習題A1．已知地球表面上的球面三角形的三邊分別是1000km，1500km，2000km，求它的面積。2．在單位球面上，已知等邊球面三角形的面積等于球面面積的，求它的三個內(nèi)角和三條邊。3．已知一個簡單多面體的頂點數(shù)為8，面數(shù)為6，求這個多面體的棱數(shù)。4．在一個球面上，畫出一個三角剖分，并分別數(shù)出V、E、F，驗證歐拉公式。習題A5．如圖所示，驗證簡單多面體的歐拉公式。習題A6．若是球面上的一個三角剖分，說明的三角形個數(shù)一定是偶數(shù)。7．用8個全等的球面三角形覆蓋整個球面，如何構(gòu)造？8.在平面上，用等邊三角形可以覆蓋整個平面，從一點出發(fā)需要6個等邊三角形。從球面上一點出發(fā)，用5個球面等邊三角形覆蓋整個球面，這樣的球面三角形覆蓋是否成立？說明你的想法習題B1．求以北京、上海、廣州為頂點的球面三角形的面積。2．球面上除了可以有等邊三角形覆蓋外，還有其它三角形的覆蓋嗎？舉例說明。長風破浪會有時，直掛云帆濟滄海。努力，終會有所收獲，功夫不負有心人。以銅為鏡，可以正衣冠；以古為鏡，可以知興替；以人為鏡，可以明得失。前進的路上，要不斷反思、關(guān)照自己的不足，學習更多東西，更進一步。窮則獨善其身，達則兼濟天下?，F(xiàn)代社會，有很多人，鉆進錢眼，不惜違法亂紀；做人，窮，也要窮的有骨氣！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有堅忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修煉才華和能力，更重要的是要能堅持下來。士不可以不弘毅，任重而道遠。仁以為己任，不亦重乎?死而后已，不亦遠乎?心中有理想，腳下的路再遠，也不會迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此謂不朽。任何事業(yè)，學業(yè)的基礎(chǔ)，都要以自身品德的修煉為根基。飯疏食，飲水，曲肱而枕之，樂亦在其中矣。不義而富且貴，于我如浮云。財富如浮云，生不帶來，死不帶去，真正留下的，是我們對這個世界的貢獻。英雄者，胸懷大志，腹有良策，有包藏宇宙之機，吞吐天地之志者也英雄氣概，威壓八萬里，體恤弱小，善德加身。老當益壯，寧移白首之心；窮且益堅，不墜青云之志老去的只是身體，心靈可以永遠保持豐盛。樂民之樂者，民亦樂其樂；憂民之憂者，民亦憂其憂。做領(lǐng)導，要能體恤下屬，一味打壓，盡失民心。勿以惡小而為之，勿以善小而不為。越是微小的事情，越見品質(zhì)。學而不知道，與不學同；知而不能行，與不知同。知行合一，方可成就事業(yè)。以家為家，以鄉(xiāng)為鄉(xiāng)，以國為國，以天下為天下。若是天下人都能互相體諒，紛擾世事可以停歇。志不強者智不達，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越強，相應(yīng)的，逼迫自己所學的，也就越多。臣心一片磁針石，不指南方不肯休。忠心，也是很多現(xiàn)代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。為人謀而不忠乎?與朋友交而不信乎?傳不習乎?若人人皆每日反省自身，世間又會多出多少君子。人人好公，則天下太平；人人營私，則天下大亂。給世界和身邊人，多一點寬容，多一份擔當。為天地立心，為生民立命，為往圣繼絕學，為萬世開太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老將至，貧賤于我如浮云。淡看世間事，心情如浮云天行健，君子以自強不息。地勢坤，君子以厚德載物。君子，生在世間，當靠自己拼搏奮斗。博學之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之。進學之道，一步步逼近真相，逼近更高。百學須先立志。天下大事，不立志，難成！海納百川，有容乃大；壁立千仞，無欲則剛做人，心胸要寬廣。其身正，不令而行；其身不正，雖令不從。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不憂，勇者不懼?！闭嬲M者，不會把時間耗費在負性情緒上。好學近乎知，力行近乎仁，知恥近乎勇。力行善事，有羞恥之心，方可成君子。操千曲爾后曉聲，觀千劍爾后識器做學問和學技術(shù)，都需要無數(shù)次的練習。第一個青春是上帝給的；第二個的青春是靠自己努力當眼淚流盡的時候，留下的應(yīng)該是堅強。人總是珍惜未得到的，而遺忘了所擁有的。誰傷害過你，誰擊潰過你，都不重要。重要的是誰讓你重現(xiàn)笑容。幸運并非沒有恐懼和煩惱；厄運并非沒有安慰與希望。你不要一直不滿人家，你應(yīng)該一直檢討自己才對。不滿人家，是苦了你自己。最深的孤獨不是長久的一個人，而是心里沒有了任何期望。要銘記在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一個過往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福卻很短暫。一個人的價值，應(yīng)該看他貢獻什么，而不應(yīng)當看他取得什么。做個明媚的女子。不傾國，不傾城，只傾其所有過的生活。生活就是生下來，活下去。人生最美的是過程，最難的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真愛，最后悔的是錯過。兩個人在一起能過就好好過！不能過就麻利點分開。當一個人真正覺悟的一刻，他放下追尋外在世界的財富，而開始追尋他內(nèi)心世界的真正財富。人若軟弱就是自己最大的敵人。日出東海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不轉(zhuǎn)牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。烏云總會被驅(qū)散的，即使它籠罩了整個地球。心態(tài)便是黑暗中的那一盞明燈，可以照亮整個世界。生活不是單行線，一條路走不通，你可以轉(zhuǎn)彎。給我一場車禍。要么失憶。要么死。有些人說：我愛你、又不是說我只愛你一個。生命太過短暫，今天放棄了明天不一定能得到。刪掉了關(guān)于你的一切，唯獨刪不掉關(guān)于你的回憶。任何事都是有可能的。所以別放棄，相信自己，你可以做到的。、相信自己，堅信自己的目標，去承受常人承受不了的磨難與挫折，不斷去努力、去奮斗，成功最終就會是你的！既然愛，為什么不說出口，有些東西失去了，就在也回不來了！對于人來說，問心無愧是最舒服的枕頭。嫉妒他人，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人當人；在人之下，要把自己當人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待陽光，人就會從卑微中站起來，帶著封存夢想去擁抱藍天。成功需要成本，時間也是一種成本，對時間的珍惜就是對成本的節(jié)約。人只要不失去方向，就不會失去自己。過去的習慣，決定今天的你，所以，過去的懶惰，決定你今天的一敗涂地。讓我記起容易，但讓我忘記我怕我是做不到。不要跟一個人和他議論同一個圈子里的人，不管你認為他有多可靠。想象困難做出的反應(yīng)，不是逃避或繞開它們，而是面對它們，同它們打交道，以一種進取的和明智的方式同它們奮斗。他不愛你，你為他擋一百顆子彈也沒用。坐在電腦前，不知道做什么，卻又不想關(guān)掉它。做不了決定的時候，讓時間幫你決定。如果還是無法決定，做了再說。寧愿犯錯，不留遺憾。發(fā)現(xiàn)者，尤其是一個初出茅廬的年輕發(fā)現(xiàn)者，需要勇氣才能無視他人的冷漠和懷疑，才能堅持自己發(fā)現(xiàn)的意志，并把研究繼續(xù)下去。我的本質(zhì)不是我的意志的結(jié)果，相反，我的意志是我的本質(zhì)的結(jié)果，因為我先有存在，后有意志，存在可以沒有意志，但是沒有存在就沒有意志。公共的利益，人類的福利，可以使可憎的工作變?yōu)榭少F，只有開明人士才能知道克服困難所需要的熱忱。立志用功如種樹然，方其根芽，猶未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后葉，葉而后花。意志的出現(xiàn)不是對愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一個更高的意識無論是美女的歌聲，還是鬢狗的狂吠，無論是鱷魚的眼淚，還是惡狼的嚎叫，都不會使我動搖。即使遇到了不幸的災(zāi)難，已經(jīng)開始了的事情決不放棄